5.4.1正弦函数、余弦函数的图像第1课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章　三角函数 5.4　三角函数的图象与性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的图象 1 (1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作y=sinα； (2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作x=cosα。 ﹒ 1、正弦函数、余弦函数定义. 设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y) 2、正弦函数与余弦函数关系. 复习回顾: 3、画函数图像的步骤. 列表、描点、连线。 我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式 sin(x±2π)= sin x，cos(x±2π)= cos x来表示． 这说明，自变量每增加(减少)2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程． 探究新知 下面先研究函数y=sin x,x∈R的图象，从画函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象开始. 3 x0 T( x0,sin x0 ) y0 x y 思考：在[0,2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0,sinx0) O 4 O A x0 x y 1.在x轴确定x0， 2.在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆,⨀O与轴正半轴的交点为A(0,1). (0,1) 5 O B A M x0 x0 x y 3.在单位圆上,将点A绕着点O旋转x0弧度至点B,根据正弦函数的定义,B点的纵坐标y0=sinx0. (0,1) y0 6 T( x0,sin x0 ) B A M x0 x0 x y O 4.以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0,sinx0). (0,1) ● y0 7 1 -1 0 y x ● 下面我们利用上述方法画y=sinx，x[0,2]的图象. 1.把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使x0的值分别为0， ， ， ， …，2π 它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分。 ● 1 -1 0 y x ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2.再按上述画点T(x0，sinx0)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点． 3.用光滑曲线连接图象上的点． B 利用信息技术，可以在[0,2π]上取到足够多的点，再将这些点用光滑曲线连接起来，可得到比较精确的y=sin x,x∈[0,2π]函数的图象. (0,1) x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  如何由 的图象得到 的图象 y=sinx, x[0,2] y=sinx, xR y=sinx x[0,2] y=sinx xR sin(x+2k)=sinx, kZ 利用图象平移 正弦函数 的图像叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．                   想一想：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的点有哪几个？ (0,0)、( , 1)、( ,0)、( ,-1)、 (2 ,0) 12 因此，在精确度要求不高时，通常描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称之为“五点法”． 13 对于函数 ，由诱导公式 ，得到： 而函数 的图像可以通过正弦函数 的图像向左平移 个单位长度得到． 所以，将正弦函数的图像向左平移 个单位长度，就得到余弦函数的图像． 14 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  余弦函数的图象 正弦函数的图象 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  下面我们以正弦函数的图象为基础，通过图形平移变换得到余弦函数的图象。 余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线． x cos x o 1 -1 x y 思考：找出余弦函数在［-π，π］的五个关键点 16 （1）y＝1＋sin x，x∈［0，2π］； （2）y＝－cos x，x∈［0，2π］． x sin x 1＋sin x 【例1】先用五点法画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象变换得到下列函数的图象： 【解析】（1）按五个关键点列表： 0 π 2π 0 1 0 －1 0 1 2 1 0 1 典型例题 17 x y o y＝1＋sin x，x∈［0，2π］ y=sinx，x[0, 2] 如图，描点并将它们用光滑的曲线连接起来． y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象可将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向上平移一个单位长度得到。 18 （1）y＝1＋sin x，x∈[0，2π]； （2）y＝－cos x，x∈[0，2π]． 【解析】（2）按五个关键点列表： x cos x －cos x 【例1】先用五点法画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象变换得到下列函数的图象： 0 π 2π 1 0 －1 0 1 －1 0 1 0 －1 19 y＝－cos x，x∈[0，2π]将函数可将y＝cos x，x∈［0，2π］的图象 关于x轴对称得到． 如图，描点并将它们用光滑的曲线连接起来．                   y＝cos x 20 1.“五点法”是作三角函数图象的常用方法， “五点”即三角函数图象与x轴的交点、最高点和 最低点. 2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中 的三个基本环节,注意用光滑的曲线连接五个关键点. 归纳总结 用三角函数的图象解三角不等式的方法: (1)作出相应正弦函数或余弦函数在区间[0,2π]上的图象; (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集; (3)根据诱导公式一写出不等式的解集. 归纳总结 课堂练习 x 0 y 0 1 0 -1 0 （1） x 0 y 3 2 1 2 3 （2） ABC 1. 正弦曲线、余弦曲线作法 几何作图法（三角函定义） 描点法（五点法） 图象变换法 2.正弦曲线和余弦曲线之间的区别与联系 知识小结 位置不同 形状完全一样 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  x 6 o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y y=sinx y=cosx 【例2】 求不等式sin x≥ 的解集. 解:在同一平面直角坐标系下, 作函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象以及直线y=. 由函数y=sin x的图象,可知sin =sin. 所以当0≤x≤2π时,sin x≥的解集为. 故不等式sin x≥的解集为. $$