专题11 反比例函数常见几何模型归纳（五大模型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题11 反比例函数常见几何模型归纳（五大模型） 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【模型4：中点模型】 【模型5：相等模型】 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【方法点拨】 1．如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，过点作轴，垂足为．已知的面积，则等于（   ）． A． B．2 C．4 D． 2．如图，反比例函数的图象上有一点A，平行于x轴交y轴于点B，的面积是，则反比函数的解析式是（   ）    A． B． C． D． 3．如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（   ） A．24 B．12 C．6 D．3 4．如图，反比例函数第二象限的图象上一点A分别向x轴y轴作垂线，垂线与坐标轴围成的矩形的面积为4，k的值为（   ）． A．－8 B．8 C．－4 D．4 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【方法点拨】 5．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，轴，且A为轴上任一点，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．6 6．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（    ） A．4 B．1 C． D． 7．如图，点B，C分别是反比例函数 与 的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A，则的面积为 （     ） A．6 B．4 C．3 D．2 8．如图，函数和的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，连接，且轴，以为边作，其中点C、D在x轴上，则的面积为 ． 10．如图所示，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点，若点是轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【方法点拨】 11．如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．15 B．12 C．10 D．18 13．如图，平行于x轴的直线与函数，的部分图象分别相交于A，B两点，点C在x轴的负半轴上．则的面积为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 14．如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 15．如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 ． 16．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 ． 17．如图，点A，B分别在反比例函数和图象上，分别过A，B两点向x轴、y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为12，则 ． 【模型4：中点模型】 【方法点拨】 条件：A/B两点分别位上不同两点，延长AB交x轴与点F，B位AF的中点 结论： ①本质为BD十▲ACF中位线 ②C、D为线段OF的三等分，即OC=CD=DF ③ ④ 18．如图，矩形的面积为8，边在y轴上，E是边的中点，若B，E两点在函数的图象上，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 19．如图，点A，B在反比例函数的图象上，延长与x轴负半轴交于点C，连接，若点B是的中点，的面积等于9，则k的值为 ．    20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过上的两点A，P，其中P为的中点，的面积为8，则k的值为 ． 21．如图，在中，C是的中点，反比例函数在第一象限的图象经过A，C两点，若面积为12，则k的值为 ．    22．如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 23．如图，已知反比例函数（）的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若的面积为9，则的值为 ． 24．如图，A，是反比例函数图象上的两点，连接，，过点A作轴于点，交于点，若为的中点，的面积为2，点的坐标为，则的值为 ． 25．如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ． 【模型5：相等模型】 【方法点拨] 条件：一函数与反比例函数交于点A和点B 结论：①AC=BD ② ③过点B作BE⊥x轴，作AF⊥y轴，则OE=FC 26．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 27．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线（，）经过、的中点N、F，连接、、．若，则k的值是（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 28．如图，点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，连接，，，若，的面积为4，则k的值为 ． 29．如图，的边在轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 反比例函数常见几何模型归纳（五大模型） 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【模型4：中点模型】 【模型5：相等模型】 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【方法点拨】 1．如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，过点作轴，垂足为．已知的面积，则等于（   ）． A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数中系数的几何意义． 由反比例函数图象的对称性和反比例函数系数的几何意义可得：的面积为面积的 2 倍，． 【详解】解：由题意得：， 则， ∵， 则 故选：A． 2．如图，反比例函数的图象上有一点A，平行于x轴交y轴于点B，的面积是，则反比函数的解析式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数函数系数的几何意义得到即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象上有一点A，平行于x轴交y轴于点B， ∴， ∴， 又∵函数图象位于第一象限， ∴， ∴． ∴反比函数解析式为． 故选：B． 3．如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（   ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】作轴于M，根据，易得点是中点，由的面积为12，求出的面积为，进而求出的面积为，再根据，即可解答． 【详解】解：如图，作轴于M， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点是中点， ∵的面积为12， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 4．如图，反比例函数第二象限的图象上一点A分别向x轴y轴作垂线，垂线与坐标轴围成的矩形的面积为4，k的值为（   ）． A．－8 B．8 C．－4 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．设，则，由垂线与坐标轴围成的矩形的面积为4得出，结合反比例函数的图象经过第二象限可知，即可得出结论． 【详解】解：设，则， 矩形的面积为4， ， ， 反比例函数的图象经过第二象限， ， ． 故选：C． 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【方法点拨】 5．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，轴，且A为轴上任一点，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，由的几何意义得，再由三角形同底等高面积相等即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 由题意可得： ， ∵轴， ∴， 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握几何图形面积的计算与反比例系数的关系是解题的关键． 根据题意，设，则，，根据平行四边形的面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：在反比例函数的图象上， ∴设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， 解得，， 故选：D ． 7．如图，点B，C分别是反比例函数 与 的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A，则的面积为 （     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定；过点B作轴于E，设交x轴于点F，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：过点B作轴于E，设交x轴于点F，如图， ∵点，分别是反比例函数与的图象上，且轴， ∴，四边形是矩形， ∴， 故选：B． 8．如图，函数和的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于得出A的坐标和B的坐标． 设P的坐标是，推出A的坐标和B的坐标，求出，求出的值，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：设P的坐标是 (a为正数)， ∵轴， ∴A的横坐标是a， ∵A在上， ∴A的坐标是， ∵轴， ∴B的纵坐标是， ∵B在上， ∴代入得：， 解得：， ∴B的坐标是， ∴，， ∵轴，轴，x轴轴， ∴， ∴的面积是：． 故选A． 9．如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，连接，且轴，以为边作，其中点C、D在x轴上，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、平行四边形的面积公式是解题的关键．根据轴可得，即可求得，再根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵轴 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：5． 10．如图所示，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点，若点是轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数中值的几何意义，熟练掌握反比例函数中值的几何意义是解题的关键；分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图所示： 由反比例函数的几何意义可知：， ∴； 故答案为：3． 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【方法点拨】 11．如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练利用反比例函数的几何意义计算三角形面积是解题的关键．根据反比例函数的几何意义得出的面积为，再根据即可得出答案． 【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为， 的面积为， ， 的面积为， 故选：C． 12．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．15 B．12 C．10 D．18 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的几何意义，设反比例函数为，设，得到，，，求出，得到，求出，得到，，列得，得到，进而求出，即可得到． 【详解】解：设反比例函数为, ∴， ∵，， ∴设， ∴， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴，， ∴， 得 ∴ ∵ ∴． 故选A． 13．如图，平行于x轴的直线与函数，的部分图象分别相交于A，B两点，点C在x轴的负半轴上．则的面积为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，连接，根据反比例函数的几何意义，得出，即可求解． 【详解】解：连接，设直线与y轴交于点，如图所示： ∵轴， ∴， ，， 则， 故选：B． 14．如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：． 15．如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 根据比例系数k的几何意义得到，然后即可计算出． 【详解】解：根据题意得 而， 所以， 所以． 故答案为：8． 16．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出矩形和矩形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形的面积为：1，矩形的面积是3，则矩形的面积为：． 【详解】解：过点A作轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上， 矩形的面积为：1，矩形的面积是3， 矩形的面积为：， 故答案为：2． 17．如图，点A，B分别在反比例函数和图象上，分别过A，B两点向x轴、y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为12，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：如图所示：    由题意得：四边形均为矩形， 且 ∵阴影部分的面积， ∴ 故答案为： 【模型4：中点模型】 【方法点拨】 条件：A/B两点分别位上不同两点，延长AB交x轴与点F，B位AF的中点 结论： ①本质为BD十▲ACF中位线 ②C、D为线段OF的三等分，即OC=CD=DF ③ ④ 18．如图，矩形的面积为8，边在y轴上，E是边的中点，若B，E两点在函数的图象上，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，矩形的性质，设，则，根据B，E两点在函数的图象，列方程即可解答，熟练运用反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 四边形为矩形，且面积为， ，， E是边的中点， ， ， B，E两点在函数的图象， ， 可得，即， 故选：D． 19．如图，点A，B在反比例函数的图象上，延长与x轴负半轴交于点C，连接，若点B是的中点，的面积等于9，则k的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何结合．根据题意过点作于点，设，，即可得到，再列出，得到，继而得到本题答案． 【详解】解：过点作于点，    设，， ∴，， ∵的面积等于9， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过上的两点A，P，其中P为的中点，的面积为8，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由题意直接根据反比例函数k值的几何意义解答即可，即求出三角形面积即可． 【详解】解：如图，连接，作轴，垂足为E，轴，垂足为D， ∵P为的中点， ∴，, ∵反比例函数的图象经过点A、P， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键． 21．如图，在中，C是的中点，反比例函数在第一象限的图象经过A，C两点，若面积为12，则k的值为 ．    【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义及三角形的中位线定理，关键是正确作出辅助线，掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．分别过点、点作的垂线，垂足分别为点、点，根据是的中点得到为的中位线，然后设，，，根据，得到，最后根据面积求得，从而求得． 【详解】解：分别过点、点作的垂线，垂足分别为点、点，取的中点E，连接，如图所示，    ∵， ∴， 点为的中点，点E为的中点 为的中位线， ∴， ∴由平行线的唯一性可得在同一直线上，即点N和点E重合， 设，，， ，    ， ， ， ， ． 故答案为：． 22．如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，反比例函数的性质，根据平行四边形的性质得出，，设点D的坐标为，得出点B的坐标为，求出，根据，得出，得出A点的坐标为，求出点C的坐标为，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点D在反比例函数上， ∴设点D的坐标为， ∵D为的中点， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴A点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在上， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 23．如图，已知反比例函数（）的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若的面积为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，设，则，，结合图象经过斜边的中点，得到，根据点D，点C都在图象上，得到，得到，继而得到，结合的面积为9，得到，计算得，解答即可． 【详解】设，则，， ∵图象经过斜边的中点， ∴， ∵点D，点C都在图象上， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24．如图，A，是反比例函数图象上的两点，连接，，过点A作轴于点，交于点，若为的中点，的面积为2，点的坐标为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数中k的几何意义以及反比例函数图象上点的特征，先根据求得的面积，再根据反比例函数中系数k的几何意义求出k值，进而得出反比例函数解析式，将点B坐标代入解析式即可求解m值． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入中，得， ∴， 故答案为：． 25．如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ． 【答案】 【分析】先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， D为的中点， ， 轴， 的面积为3， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 【模型5：相等模型】 【方法点拨] 条件：一函数与反比例函数交于点A和点B 结论：①AC=BD ② ③过点B作BE⊥x轴，作AF⊥y轴，则OE=FC 26．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，得到，，再根据题意得到，计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上，，， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得，（舍去）． 故选：B． 27．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线（，）经过、的中点N、F，连接、、．若，则k的值是（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，先求出点坐标，利用待定系数法即可解决问题；求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵N、F是、的中点， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵N是中点， ∴， ∴， 把代入，得到， 故选：D． 28．如图，点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，连接，，，若，的面积为4，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义以及全等三角形的判定与性质，过点作轴于，过点作轴于，先求出，再由结合勾股定理得到，则，，最后根据反比例函数的系数的几何意义可得：，根据图中面积的关系可知：，列方程可得结论． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作于， 点，在反比例函数图象上，点的横坐标为1， ，， ， 设，则 ， ， ， 整理得，即， ∵， ∴， ， （负值舍）， ∴， ，， ∵，， ∴， ， ， ， ∵由图可知：， ∴， 故答案为：． 29．如图，的边在轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．作轴，垂足为，轴，垂足为，连接，由条件可知，根据反比例函数值几何意义可得，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，连接， ，， ， 由反比例函数值的几何意义可知： ， 设，则， ， ， 解得：． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$