专题12 反比例函数图像性质及综合应用（六大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题12 反比例函数图像性质及综合应用（六大题型） 【题型1：反比例函数性质】 【题型2：反比例函数性质图像】 【题型3：反比例函数大小比较】 【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】 【题型5：反比例函数与一次函数综合】 【题型6：反比例函数应用】 【题型1：反比例函数性质】 1．如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，结合题意得出当时，反比例函数中y随x的增大而增大，得到，计算求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像上有两点、， 当时，有， ∴当时，反比例函数中y随x的增大而增大， ∴ 得， 故选：D． 2．如果反比例函数的图像过点，那么这个函数的图像应在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，让点的横纵坐标相乘即为反比例函数的比例系数，根据比例系数的符号即可判断反比例函数的两个分支所在的象限． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴函数的图像在第二、四象限． 故选：C． 3．关于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．它与直线没有交点 B．随着的增大而增大 C．图象位于第一、三象限 D．图象经过点，则 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，正比例函数的图象性质，熟悉掌握图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：A：经过二，四象限，经过一，三象限，它与直线没有交点，故A正确； B：在每一个象限内才会随着的增大而增大，故B错误； C：经过二，四象限，故C错误； D：把代入可得：，解得：或，故D错误； 故选：A． 4．下列各选项的坐标对应的点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键．将各个选项的点代入反比例函数解析式，计算即可得解． 【详解】解：A、当时，，故在反比例函数的图象上，符合题意； B、当时，，故不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、当时，，故不在反比例函数的图象上，不符合题意； D、当时，，故不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：A． 5．函数中，在每个象限内，y随x的增大而 ． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，图象在每一象限内，y随x增大而减小，当时，图象在每一象限内，y随x增大而增大．据此即可求解． 【详解】解：∵函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 6．对于反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，而当时，，所以当时，或．关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式． 【详解】解：反比例函数中，， 图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， 当时，， 当时，或 故答案为：或 【题型2：反比例函数性质图像】 7．下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例图象交点坐标，掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据图象上一次函数和反比例函数的性质就可得出判断． 【详解】解：根据一次函数图象过一、二、三象限可知：，， 根据反比例函数图象过一、三象限可知：， ，，， 故选：A． 8．反比例函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像所在的象限与系数的关系，关键在于熟练掌握两种函数的性质． 首先由反比例函数y＝的图像位于第二、四象限，得出，则，得到一次函数图像经过第二，四象限且与y轴正半轴相交． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图像过二、四象限，与y轴相交于正半轴， ∴一次函数的图像过一、二、四象限． 故选：C． 9．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数和反比例函数的特点，，所以分和两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一三象限；D选项不符合； ②当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象在第二四象限．B、C选项不符合；A选项符合． 故选：A． 10．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ）． A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．根据正比例函数与反比例函数图象的性质解答即可． 【详解】 解：正比例函数中，， 故其图象过一、三象限， 反比例函数中，， 故其图象在二、四象限， 选项B符合； 故选：B． 11．如图所示，满足函数和的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 【详解】解：， 函数过点， ∴直线经过点，故不合题意； 当时，函数过第一、三、四象限，函数在一、三象限； 当时，函数过第一、二、四象限，函数在二、四象限；故A不符合题意，符合题意； 故选：． 12．函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和反比例函数的图象与性质，分两种情况讨论，分别分析当时和时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意即为正确答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故A、D错误，B正确； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故C错误， 故选：B． 13．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图像是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图像，根据一次函数与反比例函数的图像特点进行判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限．故各选项的图像均不符合； 当时，一次函数的图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限．故选项C的图像符合． 故选：C 14．如果 ，那么函数与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】此题考查了依据正比例函数与反比例函数的图像所经过的象限确定系数的符号，正确掌握各函数的图像与字母系数的关系是解题的关键． 根据正比例函数和反比例函数图像经过的象限，再对照四个选项中的图像即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数在第二，四象限内，且过原点， 函数 在第一，三象限内， 故选项 B符合题意； 故选：B． 15．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的性质，掌握函数图象的性质是关键． 根据比例系数，分类讨论，数形结合分析判定即可． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限， 当时，一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， ∴只有C选项符合题意， 故选：C ． 【题型3：反比例函数大小比较】 16．点都在反比例函数的图像上，并且，下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ∵， 点在第二象限，B、点在第四象限， ∴，， ． 故选：B． 17．函数图象上有两点（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 据此对每个选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一个象限内，y随着x的增大而增大， A、时，则，则在第二象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故A错误，不符合题意； B、可举反例，若，则，则在第二象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故B错误，不符合题意； C、可举反例，若，则，则在第四象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故C错误，不符合题意； D、若，则，则在第四象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 18．若点，，在反比例函数（m为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键．根据平方的非负性即可求出反比例函数的比例系数的符号，从而判断出反比例函数的增减性，即可得出结论． 【详解】解： ∴反比例函数图象经过二、四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大 ∴点，在第二象限，在第四象限 ∴，， ∵ ∴ 故选：A． 19．若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式可得反比例函数在每个象限内，随着的增大而增大，结合得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数在每个象限内，随着的增大而增大， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 故选：C． 20．已知点、、都在同一个反比例函数的图象上，那么、和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质．先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点位于第二象限， ∴， ∴点、位于第四象限， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 21．已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先确定反比例函数图象所在象限及单调性． 根据判断点、在第四象限，点在第二象限． 利用单调性得出、、的大小关系即可． 【详解】∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴点，在第四象限，且在第四象限随的增大而增大， ∴ ，而第四象限的值大于， ∴． 故答案为： ． 【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】 22．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，其中点A的横坐标为4， ∴B点的横坐标为， 故当时，x的取值范围是：或． 故选B． 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合的思想是解题的关键． 显然当时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方，结合图形可直接得出结论． 【详解】解：由正比例函数和反比例函数的中心对称性质可得， ∴当时，的取值范围是或， 故选：B． 24．如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（    ）      A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象．结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意； B、当时，，则此项正确，符合题意； C、当时，，则此项错误，不符合题意； D、当时，，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 25．若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数及一次函数交点问题．根据题意利用交点坐标及图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵双曲线与直线的一个交点坐标为， ∴反比例函数经过二，四象限，一次函数经过二，四象限，另一个交点为， ∴的解集为：或， 故选：C． 【题型5：反比例函数与一次函数综合】 26．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，点D坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)； (2)3 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是关键． （1）将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式；根据点D坐标为．求出，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，再利用即可求解； （3）时，自变量的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，根据图象即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， 即反比例函数解析式为：； ∵点D坐标为． ∴， ∴点D坐标为． ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵一次函数解析式为与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当时，则， ∴， ∴， ∵，， 则的面积， （3）解：根据图象可得，当时，自变量的取值范围为或． 27．在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． (1)求k与m的值： (2)直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题． （1）先利用一次函数求出m的值，得到点，再代入反比例函数解析式求出k的值即可： （2）求出点B的坐标，再求出点C的坐标，即可求出答案． 【详解】（1）解：把点代入得到， ∴， 把代入得到， 解得 （2）当时，，解得， ∴点B的坐标为， 由（1）可得，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ ∵， ∴的面积为． 28．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二象限内的点和，与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)点是轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）将点A，点B代入解析式，即可求解； （2）由题意求得，则，求得，然后设，根据题意求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得，解得， ∴反比例函数的解析式为； 将代入，可得，即：， 将，代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）当时，， 解得，即：， ∴， 则． ∵点是轴上一点，的面积等于面积的2倍， ∴设， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴或 ． 29．如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，且，与反比例函数的图像交于点，，且． (1)求一次函数的解析式； (2)点在轴负半轴上，当的面积为4时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，等腰三角形的判定与性质等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）过点D作轴于点H，联结，根据，确定均是等腰直角三角形，继而求出坐标，再由待定系数法即可求解； （2）先求出点D坐标，再求出反比例函数解析式，再联立反比例函数与一次函数解析式求出交点C坐标，最后由即可求解． 【详解】（1）解：过点D作轴于点H，联结， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 将，代入 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：将代入 得，， 解得：， ∴， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为， 联立反比例函数和一次函数解析式得， 解得：或， ∴， 如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点在轴负半轴上， ∴． 30．如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4． (1)k的值为_____，点B的坐标为_____． (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积． (3)过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标． 【答案】(1)8； (2)15 (3)或 【分析】（1）根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点A的横坐标代入，求出点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，联立两个函数解析式，求出点B的坐标即可； （2）求出点C的坐标为，过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形，得出，，，， ，根据，求出结果即可； （3）设点P的横坐标为（且），则，分两种情况：当时，当时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点A横坐标为4， ∴把代入得：， ∴， ∵点A是直线与双曲线的交点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为：； （2）解：如图，    ∵点C在双曲线上，纵坐标为8， ∴把代入得：， ∴点C的坐标为， 过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形， 则，，，，，， ∴ ； （3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点P的横坐标为（且），则， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图所示，    ∵， ∴， ∴． ∴，（舍去）， ∴； 若，如图所示，    ∵， ∴． ∴， 解得，（舍去）， ∴． ∴点P的坐标是或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题，反比例函数几何综合，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质，注意进行分类讨论． 31．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． （1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，根据的面积等于12，再建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图， 对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于12， ∴，即， 解得：或； ∴或． 32．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)结合图象请直接写出不等式的解集； (3)若点P在y轴上，且的面积为12，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)或 ． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及函数图象的交点坐标直接写出不等式解集即可； （3）设，先求出直线与y轴交点C的坐标，再根据三角形面积公式底高，以为底，A、B横坐标差的绝对值为高来计算的面积，进而求出y的值． 【详解】（1）解：将代入 ， 得， ∴， 把代入得 ， ∴反比例函数的解析式为； （2）如图所示，一次函数的图象与反比例函数y的图象交于点、，A点为， 把B点代入反比例函数 ，即， ∴B点坐标为， ∴根据函数图象及函数图象的交点坐标可知，不等式解集为：或； （3）如图所示，与y轴交于C点， 在中，令，得， ∴直线与y轴交点， 已知，，根据三角形面积公式， ，， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或 ． 33．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为） (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，解不等式等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）设点，，分，是对角线，，是对角线，，是对角线三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：；   ∴， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数， ∴，解得：， ∴， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：由（1）得，， 当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，， ∴或时，． （3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像， ∴设点，， ∵四边形是平行四边形， ∴①当，是对角线， ∴，解得：，∴ 点D的坐标为； ②当，是对角线时， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； ③当，是对角线时， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为：，，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【题型6：反比例函数应用】 34．如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的意义，根据三角形面积公式得到x、y的关系式是解题关键． 根据三角形面积公式得到x、y关系式，变形即可求解． 【详解】解：底边长为x，底边上的高为y的三角形面积为10， ， ． 故选：C． 35．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质和反比例函数系数的几何意义即可求得．本题考查等腰三角形的性质以及反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义是正确解答问题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， 故选：A． 36．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分． (1)求图中点A的坐标和段的表达式； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 【答案】(1)， (2)理由见解析 【分析】本题考查了求一次函数、反比例函数的解析式及根据解析式求解不等式． （1）将点坐标代入反比例函数解析求出段的表达式，再代入点的横坐标即可求解； （2）求出函数在上解析式，令，解出的范围，即可判断． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为； （2）解：设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于． 37．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少需要分钟后学生才能回教室 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的实际应用； （1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，解出即可． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得   ∴药物燃烧后； （2）令，则，， 答：至少需要分钟后学生才能回教室． 38．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，求近视眼镜的度数减少了多少度． 【答案】度． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：设y与x的函数关系式为， 把代入中得，， ∴， 当时，， 当时， ∴度数减少了度． 39．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中，为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第 分钟时学生的注意力更集中． (2)一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请通过计算说明． 【答案】(1)5； (2)教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题，见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据实际意义列出解析式是解题的关键． （1）根据图像信息即可得到结论； （2）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差与比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由图像可知， 设线段的解析式为， 将代入， 得：， 解得， 故线段的解析式为， 设双曲线的解析式为， 将代入，求得， 双曲线的解析式为， 当时，， 当时，， 故上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第5分钟时学生的注意力更集中； （2）解：当，，解得， 当，，解得， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 40．某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法分别得出一次函数以及反比例函数解析式即可； （2）当代入，求出的值，进而得出答案； （3）当代入，求出的值，进而得出答案； （4）利用分别得出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，由题意设，将代入得： ， 故在扩建改造期间的函数关系式为：； 当时，当时，，则； 即扩建改造工程完工后与之间的函数关系式为：； （2）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， ∴扩建改造工程完工后从第16个月开始，该企业月利润才能不低于190万元； （3）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， 则， ∴扩建改造工程完工后经过9个月，该企业月利润才能不低于174万元； （4）对于，当时，， 对于，当时，， 所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9这7个月，该厂资金紧张期共有7个月． 41．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） (1)求y关于x的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，正确的根据反比例函数得出y与x之间的关系是解题的关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）将代入（1）中所求解析式，即可得出y的值； （3）根据以及（1）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 即y关于x的函数表达式为； （2）解：∵， ∴当时，代入得 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力； （3）解：他不能撬动这块石头，理由如下： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴他不能撬动这块石头． 42．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧处挂了一个约的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．    (1)请问当物体保持不动时，弹簧秤的示数y（单位：N）与弹簧秤到中点O的距离x（单位：）满足怎样的函数关系？请写出y关于x的函数表达式． (2)左侧所挂物体的质量与位置不变，保持木杆处于水平状态下，移动弹簧秤到什么位置时，最省力（弹簧秤的示数最小）？并求出此时弹簧秤的示数为多少， 【答案】(1) (2)弹簧秤离木杆中点距离为时，最省力即弹簧秤的示数最小，最小示数为 【分析】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用反比例函数的性质求最值． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到和的函数关系，从而可以写出和满足哪种函数关系； （2）根据反比例函数的性质和木杆的总长度，可以得到移动弹簧秤到什么位置时，最省力（弹簧秤的示数最小），并求出此时弹簧秤的示数为多少． 【详解】（1）解：根据杠杆原理可知： ， ， 即是关于的反比例函数，函数表达式为； （2）解： ，， 当时，随的增大而减小， 当取最大值时，取最小值， 木杆长，为木杆的中点，故， 当时，， 答：弹簧秤离木杆中点距离为时，最省力（弹簧秤的示数最小），最小示数为． 43．已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 【答案】(1)反比例函数 (2) (3)串入的滑动电阻需增加欧姆 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据反比例函数的定义判断即可； （2）利用待定系数法即可求出函数表达式； （3）利用（2）中求得的函数表达式，求出电流比（2）中测得的值减少A时的电阻，再减去即可． 【详解】（1）解：，且该电路的电源电压为恒值， ， 即该电路中，电流与电阻成反比例函数关系， 故答案为：反比例函数； （2）， ， ； （3）A， ， 解得， ， 答：滑动电阻需增加10． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 反比例函数图像性质及综合应用（六大题型） 【题型1：反比例函数性质】 【题型2：反比例函数性质图像】 【题型3：反比例函数大小比较】 【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】 【题型5：反比例函数与一次函数综合】 【题型6：反比例函数应用】 【题型1：反比例函数性质】 1．如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如果反比例函数的图像过点，那么这个函数的图像应在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 3．关于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．它与直线没有交点 B．随着的增大而增大 C．图象位于第一、三象限 D．图象经过点，则 4．下列各选项的坐标对应的点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 5．函数中，在每个象限内，y随x的增大而 ． 6．对于反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ． 【题型2：反比例函数性质图像】 7．下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．反比例函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（   ） A．B．C．D． 9．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（   ） A．B．C．D． 10．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ）． A．B．C． D． 11．如图所示，满足函数和的大致图象是（   ） A．B．C．D． 12．函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B． C． D． 13．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图像是（   ） A．B．C． D． 14．如果 ，那么函数与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（　　） A．B．C．D． 15．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【题型3：反比例函数大小比较】 16．点都在反比例函数的图像上，并且，下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 17．函数图象上有两点（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 18．若点，，在反比例函数（m为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 19．若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 20．已知点、、都在同一个反比例函数的图象上，那么、和的大小关系是 ． 21．已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】 22．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 24．如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（    ）      A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 25．若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【题型5：反比例函数与一次函数综合】 26．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，点D坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出当时，自变量x的取值范围． 27．在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． (1)求k与m的值： (2)直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 28．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二象限内的点和，与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)点是轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点坐标． 29．如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，且，与反比例函数的图像交于点，，且． (1)求一次函数的解析式； (2)点在轴负半轴上，当的面积为4时，求点的坐标． 30．如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4． (1)k的值为_____，点B的坐标为_____． (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积． (3)过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标． 31．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值． 32．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)结合图象请直接写出不等式的解集； (3)若点P在y轴上，且的面积为12，请直接写出点P的坐标． 33．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为） (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标． 【题型6：反比例函数应用】 34．如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 35．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 36．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分． (1)求图中点A的坐标和段的表达式； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 37．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 38．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，求近视眼镜的度数减少了多少度． 39．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中，为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第 分钟时学生的注意力更集中． (2)一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请通过计算说明． 40．某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 41．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） (1)求y关于x的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 42．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧处挂了一个约的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．    (1)请问当物体保持不动时，弹簧秤的示数y（单位：N）与弹簧秤到中点O的距离x（单位：）满足怎样的函数关系？请写出y关于x的函数表达式． (2)左侧所挂物体的质量与位置不变，保持木杆处于水平状态下，移动弹簧秤到什么位置时，最省力（弹簧秤的示数最小）？并求出此时弹簧秤的示数为多少， 43．已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$