专题14 二次根式的综合（十大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题14 二次根式的综合（十大题型） 重难点题型归纳 【题型01：二次根式的概念】 【题型02：二次根式有意义的条件】 【题型03：判断二次根式的性质化简】 【题型04：同类二次根式的概念】 【题型05：二次根式的混合运算】 【题型06：二次根式的化简求值】 【题型07：二次根式的应用】 【题型08：二次根式中新定义问题】 【题型09：利用分母有理化化简求值】 【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】 【题型01：二次根式的概念】 1．下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的识别，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、，故是二次根式，符合题意； 故选D． 2．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 【题型02：二次根式有意义的条件】 3．要使二次根式有意义，的值不可以取（   ） A．7 B．8 C．16 D．80 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，进行列式计算，即可作答． 【详解】要使二次根式有意义， ∴ ∴ ∴的值不可以取7． 故选：A． 4．已知则，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，一元一次不等式组解法，理解二次根式有意义的条件是解答关键． 根据二次根式有意义的条件求出，进而求出y的值，代入中进行计算求解． 【详解】解：根据二次根式的意义得，， ， 当时，，， ， ∴． 故选：A． 5．在实数范围内有意义，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，即可得到答案．关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：二次根式中的被开方数是非负数， ， ， 故选：B． 6．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式解答即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ． ． 故选：D． 7．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A．， B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：要使代数式有意义，则且， ∴且， 故选：． 8．函数中自变量的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零，是解题的关键． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算． 【详解】解：有题意得：，， 解得：且， 故选：D． 【题型03：判断二次根式的性质化简】 9．实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的化简以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则以及数轴进行化简即可． 【详解】解：由题意可知，，， 故， 故． 故选：D． 10．已知，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 11．把根号外的因式移入根号内，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可． 【详解】解：根据根式的性质可得可得， 因此 故选：B． 12．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，先观察数轴得，再得出，结合二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴ ∴ ， 故选：A 13．要把中根号外的因式移入根号内，下面式子正确的是  （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握根式的性质是解题的关键．根据非负数才能移入根号内或根号外，变成非负数后，变形化简即可． 【详解】解：根据题意，得， 故 ， 故选：D． 14．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键． 先根据数轴的定义得出，，，，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由题意得：，，， ∴ ，， ∴ ． 故选：D． 15．在数轴上表示实数的点如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数和数轴，平方根的性质，化简绝对值，整式的化简求值，根据实数在数轴上的位置，正确化简二次根式和绝对值是解题的关键． 根据实数在数轴上的位置，得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ， ， 故选：C． 【题型04：同类二次根式的概念】 16．下列二次根式中，化简后可以合并的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，化简二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、和是同类二次根式，能合并，符合题意； 故选：D． 17．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，先把二次根式化为最简二次根式后，根据被开方数相同的二次根式就是同类二次根式判断即可． 【详解】解：．，与是同类二次根式，故该选项符合题意； ．，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是同类二次根式，故该选项不符合题意； ．与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 18．已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是最简二次根式且与可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可． 【详解】解：∵是最简二次根式且与可以合并， ∴，解得：， 故选：． 19．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，先把化为，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得． 故选：D． 20．若最简二次根式与可以合并，则a的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式称为同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义，得到被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：二次根式与可以合并， 且， 故选：． 【题型05：二次根式的混合运算】 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可； （2）先利用平方差公式计算二次根式乘法，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．计算： 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘方，乘除运算，再进行加减运算即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的运算法则，正确进行计算； （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先计算完全平方公式，再进行二次根式加减运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 25．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先将原式中的各二次根式化简，再合并即可； （2）原式先进行二次根式的乘法和化简绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再用二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算、涉及绝对值、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用二次根式的乘除法运算法则求解，再加减运算即可； （2）先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂运算，再加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型06：二次根式的化简求值】 28．已知，求下列式子的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件式得出，然后根据完全平方公式变形求值即可求解； （2）将，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键． 29．已知，，求代数式的值； (1)； (2). 【答案】(1)14 (2)15 【分析】（1）先求得，，再利用完全平方公式得到，然后代值求解； （2）利用完全平方公式得到，然后代值求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟记完全平方公式和平方差公式并灵活运用是解答的关键． 30．已知，求下列各式的值； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解；∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形，熟知相关计算法则是解题的关键． 31．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【题型07：二次根式的应用】 32．有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用； （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和的近似数，再根据题意解答． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为和 ， 这两个正方形的边长分别为和， 原长方形木板的面积= ； （2）最多能裁出块这样的木条．理由如下： ，， 块， 块， 块． 从剩余的木块阴影部分中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条． 故答案为：． 33．秦九韶（1208年-1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记为三角形的面积，那么． (1)在中，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，垂足为，求的长； (3)一个三角形的三边长分别为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦－秦九韶公式求三角形的面积． （1）根据题目的指示，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可； （2）由海伦-秦九韶公式求得的面积．再根据，即可求； （3）根据得以得到，再根据面积可以得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的面积为， （2）解： ∴， ∴的面积为， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴，即， 又∵ ∴， 即， ∴． 34．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为______，______． (2)求剩余木料的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义计算即可； （2）利用面积公式进行计算即可； 本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：两个正方形木板的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为： , ． （2）这两个正方形的边长分别为：， ∴剩余木料的面积为． 35．交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得，．（参考数据：）    (1)求肇事汽车的速度； (2)若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速？ 【答案】(1) (2)没有超速，理由见解析 【分析】（1）将，代入公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的结论，根据题意，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）解：∵肇事汽车的速度为 ∴肇事汽车没有超速． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 36．阅读下面的材料，解决下面的问题． 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积． 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积． (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算． （1）把的长代入公式求出，即可得解； （2）把的长代入公式求出，即可得解． 【详解】（1）解：， ． 答：这个三角形的面积等于． 故答案为：． （2）解： ． 答：这个三角形的面积是． 【题型08：二次根式中新定义问题】 37．对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算 如下： ，如，那么 8 12 的运算结果为 ． 【答案】 【分析】按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可． 【详解】8 12＝== 故答案为：． 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键． 38．对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“▲”如下：a▲b＝，如3▲2＝．根据定义，则4▲7＝ ． 【答案】3 【分析】直接利用公式将原式变形求出答案． 【详解】4▲7＝ ＝2﹣3+4 ＝3． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确利用公式计算是解题关键． 【题型09：利用分母有理化化简求值】 39．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 40．我们将、称为一对“对偶式”，因为 所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“-”去掉，于是二次根式除法可以这样解：如，＝＝．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把母中的根号化去或把根号中的分母化去的方法叫做分母有理化．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法， 解答以下问题： （1）通过上述方法，可知　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）； （2）计算下列式子的值：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据材料中的方法可得，，即可得出它们的大小关系； （2）根据材料中的方法计算即可． 【详解】解：（1），， 而， ； 故答案为:    ； （2）原式＝ ＝． 【点睛】本题考查了无理数的相关运算问题，理解并运用材料提供的方法是解题的关键． 41．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简： ； ； ； （2）化简：； （3）已知，，求的值. 【答案】（1）    （2）   （3）62 【分析】（1）分子分母分别乘 即可. （2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并即可. （3）将x，y化简后，对后面算式运用完全平方公式进行变形，代入即可. 【详解】（1） ， ， 故答案为 ， ， （2）原式= （3）， ∴ 【点睛】考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子． 42．阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式， （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式和的有理化因式； （2）先求出，再代入进行分母有理化即可； （3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式为，的有理化因式为， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∴， （3） ． 【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】 43．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义：共轭二次根式的理解和应用，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）由题意得：，化简即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； 44．我们规定用表示-对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”，例如：的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是________和________； (2)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求x的值； (3)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值． 【答案】(1)；. (2) (3)9或 【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入，即可； （2）由题，，数对的一对“对称数对”的一个数对是和，可得，即可得出x的值； （3）将数对的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出a，b，即可知ab． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴数对的一对“对称数对”是和． （2）解：∵数对的一对“对称数对”是和， ∴， ∴. （3）解：∵数对的一对“对称数对”是和， ∴或 ∴或 ∴或. 【点睛】本题考查了学生对新定义的理解及根式的计算，要正确的理解新定义是解题的关键． 45．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得： ， ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值． (3)化简：． 【答案】(1)， (2)11或29 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）利用完全平方公式可得，由此即可得； （2）利用完全平方公式可得，从而可得，，再根据均为正整数求解即可得； （3）设，其中均为正整数，先求出，，再根据均为正整数可求出的值，然后利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】（1）解：， ∵（均为整数）， ∴（均为整数）， ∴，， 故答案为：，． （2）解：， ∵（均为正整数）， ∴（均为正整数）， ∴，， ∴当时，， 当时，， 综上，的值为11或29． （3）解：设，其中均为正整数， ∵， ∴， ∴，， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴． 46．阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 (1)化简； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 【答案】(1) (2)①3，；② 【分析】本题考查分母有理化，与无理数整数部分有关的计算： （1）根据分母有理化进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再根据无理数的估算方法，确定的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：； （2）①， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：3，； ②∵，， ∴． 47．阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1) ， ； (2)求的最小值； (3)比较大小： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质将化为，然后通过无理数的大小估算及不等式的性质确定的符号，最后通过化简绝对值即可得出答案； （2）利用完全平方公式将化为，然后利用的非负性及不等式的性质即可得出答案； （3）利用完全平方公式可得，即，然后由不等式的性质可得，，于是可得答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ； ； 故答案为：，； （2）解： ， ， ， 即：， 的最小值为； （3）解： ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，利用二次根式的性质化简，化简绝对值，无理数的大小估算，不等式的性质，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握完全平方公式及不等式的性质是解题的关键． 48．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，则四边形的面积的最小值为 ． 【答案】(1)2； (2)当时，有最小值，为11 (3)25 【分析】本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可；当时，先将变形为，再根据公式计算即可； （2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为2； 当时，，， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为：2；； （2）解：∵， ∴， 而， 当时，即时，等号成立， ∴，即， ∴当时，有最小值，为11． （3）解：设， ∵与同高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为25， 故答案为：25． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二次根式的综合（十大题型） 重难点题型归纳 【题型01：二次根式的概念】 【题型02：二次根式有意义的条件】 【题型03：判断二次根式的性质化简】 【题型04：同类二次根式的概念】 【题型05：二次根式的混合运算】 【题型06：二次根式的化简求值】 【题型07：二次根式的应用】 【题型08：二次根式中新定义问题】 【题型09：利用分母有理化化简求值】 【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】 【题型01：二次根式的概念】 1．下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 2．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型02：二次根式有意义的条件】 3．要使二次根式有意义，的值不可以取（   ） A．7 B．8 C．16 D．80 4．已知则，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 5．在实数范围内有意义，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 6．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A．， B． C． D．且 8．函数中自变量的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．且 【题型03：判断二次根式的性质化简】 9．实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 10．已知，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 11．把根号外的因式移入根号内，其结果是（    ） A． B． C． D． 12．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（    ） A． B． C．1 D． 13．要把中根号外的因式移入根号内，下面式子正确的是  （ ） A． B． C． D． 14．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 15．在数轴上表示实数的点如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【题型04：同类二次根式的概念】 16．下列二次根式中，化简后可以合并的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 17．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 18．已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．若最简二次根式与可以合并，则a的值为（    ） A．0 B． C． D． 【题型05：二次根式的混合运算】 21．计算： (1)； (2)． 22．计算： 23．计算： (1)； (2)． 24．计算： (1)； (2)． 25．计算： (1) (2) 26．计算： (1)； (2)． 27．计算： (1)； (2)． 【题型06：二次根式的化简求值】 28．已知，求下列式子的值： (1)； (2) 29．已知，，求代数式的值； (1)； (2). 30．已知，求下列各式的值； (1)； (2)． 31．先化简，再求值：，其中 【题型07：二次根式的应用】 32．有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：) 33．秦九韶（1208年-1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记为三角形的面积，那么． (1)在中，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，垂足为，求的长； (3)一个三角形的三边长分别为，求的值． 34．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为______，______． (2)求剩余木料的面积． 35．交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得，．（参考数据：）    (1)求肇事汽车的速度； (2)若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速？ 36．阅读下面的材料，解决下面的问题． 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积． 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积． (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． 【题型08：二次根式中新定义问题】 37．对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算 如下： ，如，那么 8 12 的运算结果为 ． 38．对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“▲”如下：a▲b＝，如3▲2＝．根据定义，则4▲7＝ ． 【题型09：利用分母有理化化简求值】 39．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 40．我们将、称为一对“对偶式”，因为 所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“-”去掉，于是二次根式除法可以这样解：如，＝＝．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把母中的根号化去或把根号中的分母化去的方法叫做分母有理化．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法， 解答以下问题： （1）通过上述方法，可知　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）； （2）计算下列式子的值：． 41．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简： ； ； ； （2）化简：； （3）已知，，求的值. 42．阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】 43．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 44．我们规定用表示-对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”，例如：的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是________和________； (2)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求x的值； (3)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值． 45．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得： ， ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值． (3)化简：． 46．阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 (1)化简； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 47．阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1) ， ； (2)求的最小值； (3)比较大小： ． 48．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，则四边形的面积的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$