2025年中考数学二轮复习——反比例函数与一次函数综合

2025年中考数学二轮复习 反比例函数与一次函数综合 1．已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点． (1)求和的值，并画出这个反比例函数的图像； (2)根据反比例函数图像，指出当时，的取值范围． 2．如图，过点且与y轴平行的直线与反比例函数和的图像分别交于A、B两点，若P是y轴上任意一点，求的面积． 3．已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)连接，求的面积． 4．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点，一次函数的图像与y轴的交点为C． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)当x取何值时，？ (3)求的面积． 5．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，已知点A的坐标为． (1)求m及k的值； (2)直接写出点的坐标； (3)根据图像直接写出当时，自变量的取值范围． 6．已知反比例函数和一次函数． (1)当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？ (2)若一次函数和反比例函数的图象相交于点， ①求m和k的值． ②根据函数图象回答：当时，x的取值范围是什么？ 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 8．在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． (1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和点坐标： (2)如图2，当，连接时，，求的值； (3)当时，若，求的值． 9．直线与双曲线交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)如图1，点是直线上第一象限内的一点，过点作轴，垂足为点，交双曲线于点，当时，求的值； (3)如图2，已知点是双曲线上一动点，连接，，当时，求点的坐标． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． (1)反比例函数㳖达式为_________，一次函数的表达式为________； (2)求的面积； (3)当时．根据图象直接写出的取值范围． 11．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时的取值范围． 12．本如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设一次函数与轴交于点，点是轴上不同于点的另一点，且．求出点的坐标坐际． (3)若点是轴正半轴上的一点，且，直接写出点的坐标______． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)①直接写出反比例函数的解析式； ②若点，求该一次函数的解析式及的面积． (2)若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于3，请根据图象直接写出的取值范围． 14．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点，分别连接和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学二轮复习——反比例函数与一次函数综合》参考答案 1．(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，理解交点的含义并正确画出函数图形是顺利解题的关键． （1）根据题意，先将代入一次函数，求得，即可求得交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式，即可求得，根据描点法即可画出图像； （2）将，代入反比例函数解析式，即可求得值，当时，观察图像即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，将代入，解得， ∴ 交点坐标为，再代入反比例函数中，解得， ∴ 反比例函数解析式为， 列出几组、的对应值： 描点连线，即可画出函数图像，如图： （2）当时，， 根据图像可知，当时，． 故当时，的取值范围是． 2． 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．如图，连接，，记与x轴的交点为C，依据轴，可得与的面积相等，再根据反比例函数和的图像分别交于A、B两点，即可得到，，而得出的面积为． 【详解】解：如图，连接，，记与x轴的交点为C， ∵轴， ∴与的面积相等， 又∵反比例函数和的图像分别交于A、B两点， ∴，， ∴， ∴的面积为． 3．(1) (2) 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）根据点和点都在反比例函数的图像上即可求出和的值，进而利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）设直线交轴于，交轴于，求出的坐标，利用求解即可． 【详解】（1）解：点和点都在反比例函数的图像上， ， ，， 点坐标为，点坐标为， 把、的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：设直线交轴于，交轴于， 将代入，则， 令，解得： ， ， ． 4．(1)，； (2)或． (3) 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，首先求得反比例函数表达式，继而求得点的坐标，然后由待定系数法即可求得一次函数表达式； （2）观察图象，即可求得当取何值时； （3）首先求得点的坐标，继而求得的面积． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：， 解得：， ∴反比例函数表达式为：； 将代入反比例函数得：， ∴点的坐标为：， 将点与代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数表达式为：； （2）解：如图，当或时，； （3）解：∵点是一次函数与轴的交点， ， ． 5．(1)； (2)； (3)和． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数的解析式以及交点的求法，合理运用数形结合思想是解题的关键． （1）由题意将分别代入一次函数和反比例函数即可解得m及k的值； （2）根据反比例函数的对称性可知两点关于直线对称，可得点坐标； （3）由题意直接根据图象，观察即可求得答案． 【详解】（1）解：将分别代入一次函数与反比例函数， 可得，, 解得：; （2）将两个函数进行联立得：, 解得：或， ∴点坐标为： （3）观察图象，当时，自变量的取值范围是和． 6．(1) (2)①；②或 【分析】本题主要查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）函数的图象有两个不同的交点，可得反比例函数位于二、四象限，即可求解； （2）①把点代入，可得m的值，再把交点坐标代入，可得k的值；②根据题意得到一次函数和反比例函数的图象另一个交点为，然后画出函数图象，即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴一次函数经过二、四象限， ∵反比例函数与一次函数有两个不同交点， ∴反比例函数位于二、四象限， 即； （2）解：①把点代入，得：， ∴一次函数和反比例函数的图象相交于点， 把点代入，得：， ∴； ②∵一次函数和反比例函数的图象相交于点， ∴一次函数和反比例函数的图象另一个交点为， 画出函数图象，如图， 观察图象得：当时，x的取值范围是或． 7．(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)6 (3)或 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法，根据图形直观得出不等式的解集是数形结合数学的实际应用． （1）把代入，可求出反比例函数的关系式，求出点B坐标，进而确定一次函数关系式； （2）先求得点C的坐标，利用即可求解； （3）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案． 【详解】（1）解：把代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入， 得：， ∴． 把，代入，可得， ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图： 令，则， ∴， ∵ ； （3）当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴当时，或． 8．(1)反比例函数解析式为， (2)或 (3)的值为或 【分析】（1）根据题意得到，根据中点坐标的计算得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，根据点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，得到一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，则，如图所示，过点作轴于点，根据，得，可求出直线的解析式为，，根据三角形面积的计算即可求解； （3）根据题意得到，则，，则点，，，设一次函数与轴交点，，直线的解析式为，即，根据两点之间距离的计算得到，，，，由，得到，由此列式求解即可 ． 【详解】（1）解：当时，一次函数解析式为， ∴， ∵点是的中点，且， ∴， 解得，， ∴， 把点代入反比例函数解析式得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为， 把点代入一次函数解析式得，， 解得，， ∴一次函数解析式为， 联立反比例函数、一次函数解析式得，， 解得，， ∴； （2）解：当时，同理，，， ∵点是的中点，且， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上， ∴，， 解得，，， ∴一次函数解析式为：，反比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得，， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴ ， 整理得，， ∴， 解得，或， ∴或， 解得，或； （3）解：当时，一次函数解析式为，把点代入得，， ∴，则， ∴，则点，， ∴， 把点代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴， 解得，， ∴， 当时，，即设一次函数与轴交点， ∴， 同理，， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 当时，， ∴，，如图所示， 当时，， ∴，，如图所示， ∴若，的值为或． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数交点坐标的计算，图形面积的计算方法，相似三角形的性质，解直角三角形的计算等知识是关键． 9．(1)，； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点和分别作轴的垂线，垂足分别为和，得到，推出，求得，再分别求得，，据此求解即可； （3）分点在点的上方和点在点的下方两种情况讨论，分别求得直线的解析式，与双曲线的解析式联立，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴，，解得，； （2）解：∵，， ∴，， 过点和分别作轴的垂线，垂足分别为和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当点在点的上方时， 设与相交于点，再设， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∵， ∴， ∴； 当点在点的下方时， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∵， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求解函数解析式，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10．(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解含义解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练的利用数形结合的思想解题是关键． （1）将A点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）令直线与x轴的交点为M．由，再计算即可； （3）直接利用函数图象解答即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得，． ∴反比例函数的解析式为． 将、两点坐标代入一次函数解析式得， ，解得． ∴一次函数解析式为． 故答案为：；． （2）解：将代入一次函数解析式得， 即点的坐标为． ∴，， 故． （3）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是：或． 11．(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出反比例函数和一次函数的表达式即可； （2）利用图象得出反比例函数图象在一次函数图象上面时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 则反比例函数的表达式为， 将点，代入得， 解得， 则一次函数的表达式为； （2）解：当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围是或． 12．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用． （1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可； （2）先求出，得出，进而求出结论即可； （3）设，根据列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：将代入得 将代入得 将和代入得 解得 故反比例函数和一次函数的解析式分别为和； （2）当时，， ， ，， ， ， 当点P在点C上方时，， 则； 当点P在点C下方时，， 则； 或； （3）设， ，， ，，， ， ， ， 解得：（不合题意舍去）． 13．(1)①；②， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①将点代入反比例函数解析式即可得到答案； ②先用待定系数法求出一次函数解析式，令直线与轴的交点为，将的面积转化为与的面积之和即可； （2）由题意得或，分别代入反比例函数解析式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：①将代入得， ， 反比例函数解析式为； ②将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； 如图，令直线与轴的交点为， 令， ， ， 点的坐标为， ， ； （2）解：由题意得或， ， 当时，， 当时，， 的取值范围是或． 14．(1)， (2)或 (3)4 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键． （1）将点，代入得，，进而可得反比例函数的表达式，点，将，代入即可得出一次函数的表达式； （2）根据一次函数与反比例函数交于点，，结合函数的图象即可得出当时，的取值范围； （3）设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，则点，点，由此可得，，，然后根据可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入，解得 把代入，得到，解得， 反比例函数的表达式为，点， 将，代入， 得，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：一次函数与反比例函数交于点，， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，如图所示： 对于，当时，，当时，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点，， ，， ，， ． 15．(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是 (2) (3)8 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，进而可得反比例函数解析式，然后把代入即可求得m的值，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）数形结合求解即可； （3）求出点C的坐标，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为， 将代入得，，即， 将，代入得，， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围， ∴由图象得：的解集为； （3）解：当时，，即， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，数形结合求不等式的解集等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合，数形结合求不等式的解集是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$