专题8 解答题几何图形全等三角形与平行四边形题型对位训练-【冲刺名校】（南通专用）2025年中考数学二轮三轮复习题型对位训练（解析版+原卷版）

专题8 解答题几何图形全等三角形与平行四边形题型对位训练（原卷版） 专题诠释： 本专题对位南通市中考数学解答题中的几何图形全等三角形和平行四边形部分。南通地区解答题这类题型难度不大但很有特点。但学生在这个题型要想获得满分也不容易。本专题就是希望孩子通过训练，确保这个题型取得满分。 类型一 全等三角形的判定与性质 1．（2024•南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB． 2．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC． 求证：∠1＝∠2． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°． ∵∠DOB＝∠EOC， ∴∠B＝∠C．……第一步 又OA＝OA，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO．……第二步 ∴∠1＝∠2．……第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第 　 　 步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 3．（2024•海门区一模）如图，P是△ABC内一点，PB＝PC，∠ABP＝∠ACP．求证：∠APB＝∠APC． 小虎的证明过程如下： 证明：在△ABP和△ACP中， ∵PB＝PC，∠ABP＝∠ACP，AP＝AP， ∴△ABP≌△ACP．…第一步 ∴∠APB＝∠APC．…第二步 （1）小虎同学的证明过程中，第 　 　 步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 4．（2024•南通一模）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数． 5．（2024•启东市一模）如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC． （1）求证：AB＝DE； （2）若∠A＝25°，∠E＝35°，求∠ECD的度数． 6．（2024•海安市二模）如图，点P是∠AOB内一射线OC上一点，点M、N分别是边OA、OB上的点，连接PM，PN且PM＝PN，∠PMO＝∠PNO．求证：OC是∠AOB的平分线． 小星的解答如下： 证明：在△POM和△PON中， ∵PM＝PN，∠PMO＝∠PNO，OP＝OP， ∴△POM≌△PON……第一步 ∴∠POM＝∠PON……第二步 ∴OC是∠AOB的平分线．……第三步 （1）小星的解答从第 　一　 步开始出现错误； （2）请写出你认为正确的证明过程． 7．（2024•南通二模）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE． （1）求证：BC＝EF； （2）若AD＝14，CF＝6，求CD的长． 8．（2024•南通模拟）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边作等边△ACD．等边△BCE，连接AE、BD分别交CD、CE于M、N两点． （1）求证：AE＝BD； （2）判断直线MN与AB的位置关系； （3）若AB＝10，当点C在AB上运动时，是否存在一个位置使MN的长最大？若存在请求出此时AC的长以及MN的长．若不存在请说明理由． 类型二 平行四边形的判定与性质 9．（2024•启东市二模）如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF， （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形． 10．（2025•海门区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为边AB、BC的中点，连接AE，DE，过点C作CF∥AE交DE的延长线于点F，连接BF． （1）求证：四边形AEFC是平行四边形； （2）若tan∠CAB＝3，DE＝1，求BF的长． 类型三 菱形的判定 11．（2024•海门区二模）小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 小明是这样想的： 第一步：由DE＝DF，DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°，可证明△DEA≌△DFC，得AE＝CF； 第二步：连接BD（如图2），交AC于点O，可证得 OB＝OD，OE＝OF，进而可得四边形BFDE是平行四边形； 第三步：由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形，可得四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 类型四 平行四边形的作图与证明 12．（2024•通州区二模）【阅读材料】 老师的问题：如图，在▱ABCD中，点E在BC上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得四边形AECF是平行四边形． 小明的作法： （1）连接AC，BD，相交于点O； （2）连接EO并延长，交AD于点F； （3）连接CF．四边形AECF即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 13．（2024•海门区校级模拟）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N； ②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′； ③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′； ④过点N′作射线DN′交BC于点E． 若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 　　 ． 14．（2022•南通）【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，AE∥BF． 求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上． 小明的作法： （1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D； （2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C； （3）连接CD． 四边形ABCD就是所求作的菱形． 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形． 15．（2024•永安市二模）如图，已知矩形ABCD． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，使点E、F分别在AD、BC边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．） （2）若AD＝8，AB＝4，求菱形BEDF的周长． 16．（2024•崇川区三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA，BO平分∠ABC． （1）过点A作AD∥BC，交射线BO于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接CD．求证：四边形ABCD是菱形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 解答题几何图形全等三角形与平行四边形题型对位训练 专题诠释： 本专题对位南通市中考数学解答题中的几何图形全等三角形和平行四边形部分。南通地区解答题这类题型难度不大但很有特点。但学生在这个题型要想获得满分也不容易。本专题就是希望孩子通过训练，确保这个题型取得满分。 类型一 全等三角形的判定与性质 1．（2024•南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB． 【分析】证明△ADE≌△CFE（SAS），得出∠ADE＝∠CFE，得到CF∥AB． 【详解】证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠ADE＝∠CFE， ∴CF∥AB． 【点睛】本题考查了平行线的判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC． 求证：∠1＝∠2． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°． ∵∠DOB＝∠EOC， ∴∠B＝∠C．……第一步 又OA＝OA，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO．……第二步 ∴∠1＝∠2．……第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第 　二　 步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理判断； （2）证明△DOB≌△EOC，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，再证明Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠1＝∠2． 【详解】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， 在△DOB和△EOC中， ， ∴△DOB≌△EOC（AAS）， ∴OD＝OE， 在Rt△ADO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠1＝∠2， 方法二：∵OD＝OE，∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠1＝∠2． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 3．（2024•海门区一模）如图，P是△ABC内一点，PB＝PC，∠ABP＝∠ACP．求证：∠APB＝∠APC． 小虎的证明过程如下： 证明：在△ABP和△ACP中， ∵PB＝PC，∠ABP＝∠ACP，AP＝AP， ∴△ABP≌△ACP．…第一步 ∴∠APB＝∠APC．…第二步 （1）小虎同学的证明过程中，第 　一　 步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 【分析】（1）由全等三角形的判定方法可得出结论； （2）证明△ABP≌△ACP（SSS），得出∠APB＝∠APC． 【详解】解：（1）全等的判定方法用错了， 故答案为：一； （2）∵PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB． ∵∠ABP＝∠ACP， ∴∠ABP+∠PBC＝∠ACP+∠PCB． 即∠ABC＝∠ACB． ∴AB＝AC， 在△ABP和△ACP中， ， ∴△ABP≌△ACP（SSS）， ∴∠APB＝∠APC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 4．（2024•南通一模）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数． 【分析】（1）由平行线的性质得∠A＝∠FDE，根据等式的性质可得AC＝DE，再由SAS证明△ABC≌△DFE即可； （2）先根据三角形的外角可得∠DOC＝74°，由平行线的性质可得∠B＝∠DOC，最后由全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵AB∥DF， ∴∠A＝∠EDF， ∵AD＝CE， ∴AD+CD＝CE+CD， 即AC＝DE， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（SAS）； （2）解：∵∠BCF＝54°，∠DFC＝20°， ∴∠DOC＝∠BCF+∠DFC＝54°+20°＝74°， ∵AB∥DF， ∴∠B＝∠DOC＝74°， ∵△ABC≌△DFE， ∴∠DFE＝∠B＝74°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 5．（2024•启东市一模）如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC． （1）求证：AB＝DE； （2）若∠A＝25°，∠E＝35°，求∠ECD的度数． 【分析】（1）由∠BCE＝∠ACD，得∠ACB＝∠DCE，而CA＝CD，BC＝EC，即可根据“SAS”证明△ACB≌△DCE，则AB＝DE； （2）由全等三角形的性质得∠A＝∠D＝25°，而∠E＝35°，则∠ECD＝180°﹣∠D﹣∠E＝120°． 【详解】（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE， ∴∠ACB＝∠DCE， 在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB＝DE． （2）解：由（1）得△ACB≌△DCE， ∴∠A＝∠D＝25°， ∵∠E＝35°， ∴∠ECD＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣25°﹣35°＝120°， ∴∠ECD的度数是120°． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠ACB＝∠DCE，进而证明△ACB≌△DCE是解题的关键． 6．（2024•海安市二模）如图，点P是∠AOB内一射线OC上一点，点M、N分别是边OA、OB上的点，连接PM，PN且PM＝PN，∠PMO＝∠PNO．求证：OC是∠AOB的平分线． 小星的解答如下： 证明：在△POM和△PON中， ∵PM＝PN，∠PMO＝∠PNO，OP＝OP， ∴△POM≌△PON……第一步 ∴∠POM＝∠PON……第二步 ∴OC是∠AOB的平分线．……第三步 （1）小星的解答从第 　一　 步开始出现错误； （2）请写出你认为正确的证明过程． 【分析】（1）根据题意即可进行判断； （2）过点P作PD⊥OA，PE⊥OB于点D，E，证明△PMD≌△PNE（AAS），利用角平分线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：小星的解答从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）证明：过点P作PD⊥OA，PE⊥OB于点D，E， ∴∠PDM＝∠PEN＝90°， 在△POM和△PON中， ∵∠PMO＝∠PNO， ∴∠PDM＝∠PNE， 在△PMD和△PNE中， ， ∴△PMD≌△PNE（AAS）， ∴PD＝PE， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OC是∠AOB的平分线． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握三角形全等的判断方法是解题的关键． 7．（2024•南通二模）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE． （1）求证：BC＝EF； （2）若AD＝14，CF＝6，求CD的长． 【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠A＝∠D，∠BCA＝∠EFD，然后利用AAS证明△ABC≌△EDF，从而利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据已知易得：AF+CD＝8，然后利用全等三角形的性质可得AC＝DF，从而利用等式的性质可得AF＝CD＝4，即可解答． 【详解】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵BC∥EF， ∴∠BCA＝∠EFD， ∵AB＝DE， ∴△ABC≌△EDF（AAS）， ∴BC＝EF； （2）解：∵AD＝14，CF＝6， ∴AF+CD＝AD﹣CF＝14﹣6＝8， ∵△ABC≌△EDF， ∴AC＝DF， ∴AC﹣CF＝DF﹣CF， ∴AF＝CD＝4， ∴CD的长为4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（2024•南通模拟）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边作等边△ACD．等边△BCE，连接AE、BD分别交CD、CE于M、N两点． （1）求证：AE＝BD； （2）判断直线MN与AB的位置关系； （3）若AB＝10，当点C在AB上运动时，是否存在一个位置使MN的长最大？若存在请求出此时AC的长以及MN的长．若不存在请说明理由． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得DC＝AC，EC＝BC，∠DCB＝∠ACE＝120°，然后利用“边角边”证明△DCB和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等求出∠NBC＝∠MEC，再求出∠NCB＝∠MCE＝60°，然后利用“角边角”证明△NCB和△MCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CN＝CM，从而求出△CMN是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠NMC＝∠ACD＝60°，然后利用内错角相等，两直线平行即可证明； （3）设AC＝x，MN＝y，根据平行线分线段成比例定理可得，再表示出EC、CN、EN，整理得到y、x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）证明：∵△ACD和△BCE均为等边三角形， ∴DC＝AC，EC＝BC，且∠DCB＝∠ACE＝120°， ∵在△DCB和△ACE中， ， ∴△DCB≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD； （2）MN∥AB． 理由如下：由（1）可知△DCB≌△ACE， ∴∠NBC＝∠MEC， 又∵∠MCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠NCB＝∠MCE＝60°， ∵在△NCB和△MCE中， ， ∴△NCB≌△MCE（ASA）， ∴CN＝CM， 又∵∠MCE＝60°， ∴△CMN是等边三角形， ∴∠NMC＝∠ACD＝60°， ∴MN∥AB； （3）设AC＝x，MN＝y， ∵MN∥AB， ∴， 又∵CB＝EC＝10﹣x，CN＝y，EN＝10﹣x﹣y， ∴， 整理得，yx2+x， 配方得y（x﹣5）2+2.5（0＜x＜10）， ∴当x＝5cm时，线段MN有最大值2.5cm． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，准确识图，找出全等三角形的条件是解题关键． 类型二 平行四边形的判定与性质 9．（2024•启东市二模）如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF， （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形． 【分析】（1）根据SAS即可证明； （2）只要证明AB∥CD，AB＝CD即可解决问题． 【详解】证明：（1）∵AE∥DF， ∴∠AEF＝∠DFE， ∴∠AEB＝∠DFC， ∵AE＝FD，BE＝CF， ∴△AEB≌△DFC（SAS）． （2）连接AC、BD． ∵△AEB≌△DFC， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF， ∴AB∥DC， ∴四边形ABDC是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．（2025•海门区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为边AB、BC的中点，连接AE，DE，过点C作CF∥AE交DE的延长线于点F，连接BF． （1）求证：四边形AEFC是平行四边形； （2）若tan∠CAB＝3，DE＝1，求BF的长． 【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，得DE∥AC，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得DE∥AC，AC＝2DE＝2，再由平行四边形的性质得EF＝AC＝2，进而由锐角三角函数定义得BC＝3AC＝6，然后由勾股定理求出BF的长即可． 【详解】（1）证明：∵点D，E分别为边AB、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∵CF∥AE， ∴四边形AEFC是平行四边形； （2）解：由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形AEFC是平行四边形， ∴DE∥AC，AC＝2DE＝2，EF＝AC＝2， ∴∠BED＝∠ACB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴tan∠CAB3， ∴BC＝3AC＝6， ∵点E为边BC的中点， ∴BEBC＝3， ∵∠BEF＝180°﹣∠BED＝90°， ∴BF， 即BF的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 类型三 菱形的判定 11．（2024•海门区二模）小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 小明是这样想的： 第一步：由DE＝DF，DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°，可证明△DEA≌△DFC，得AE＝CF； 第二步：连接BD（如图2），交AC于点O，可证得 OB＝OD，OE＝OF，进而可得四边形BFDE是平行四边形； 第三步：由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形，可得四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 【分析】第一步由SSA证明△DEA≌△DFC是错误的；由DE＝DF，得∠DEO＝∠DFO，得∠DEA＝∠DFC，得△DEA≌△DFC（AAS），得AE＝CF，连接BD（如图2），交AC于点O，得四边形BFDE是平行四边形，即可得四边形BFDE是菱形． 【详解】解：第一步由SSA证明△DEA≌△DFC是错误的； 证明：由DE＝DF， 得∠DEO＝∠DFO， 得∠DEA＝∠DFC， 由DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°， 得△DEA≌△DFC（AAS）， 得AE＝CF， 连接BD（如图2），交AC于点O， 可证得 OB＝OD，OE＝OF， 得四边形BFDE是平行四边形； 由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形， 得四边形BFDE是菱形． 【点睛】本题主要考查了正方形中特殊四边形的证明，解题关键是全等三角形的证明． 类型四 平行四边形的作图与证明 12．（2024•通州区二模）【阅读材料】 老师的问题：如图，在▱ABCD中，点E在BC上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得四边形AECF是平行四边形． 小明的作法： （1）连接AC，BD，相交于点O； （2）连接EO并延长，交AD于点F； （3）连接CF．四边形AECF即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，AF∥CE，得∠AFO＝∠CEO，进而证明△AOF≌△COE（AAS），得到OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】解：小明的作图方法正确， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AF∥CE， ∴∠AFO＝∠CEO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质． 13．（2024•海门区校级模拟）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N； ②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′； ③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′； ④过点N′作射线DN′交BC于点E． 若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 　　 ． 【分析】由作图知∠A＝∠BDE，由平行线的性质得到DE∥AC，证得△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：由作图知，∠A＝∠BDE， ∴DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， △BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1， ∴△BDE的面积：△BAC的面积＝（）2， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的性质和判定，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 14．（2022•南通）【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，AE∥BF． 求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上． 小明的作法： （1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D； （2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C； （3）连接CD． 四边形ABCD就是所求作的菱形． 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形． 【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】证明：由作图可知AD＝AB＝BC， ∵AE∥BF， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．（2024•永安市二模）如图，已知矩形ABCD． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，使点E、F分别在AD、BC边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．） （2）若AD＝8，AB＝4，求菱形BEDF的周长． 【分析】（1）作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF，根据线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定可知，菱形BEDF即为所求，即可得出答案． （2）根据矩形的性质可得∠A＝90°，设BE＝DE＝DF＝BF＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE2＝AB2+AE2，代入求出x的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF， 则菱形BEDF即为所求． 证明：设EF与BD交于点O， ∵直线EF为线段BD的垂直平分线， ∴OB＝OD，BE＝DE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO， ∴△DOE≌△BOF（AAS）， ∴DE＝BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BE＝DE， ∴四边形BEDF是菱形． （2）解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°， 设BE＝DE＝DF＝BF＝x， 则AE＝AD﹣DE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE2＝AB2+AE2， 即x2＝42+（8﹣x）2， 解得x＝5， ∴菱形BEDF的周长为4×5＝20． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、菱形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的性质是解答本题的关键． 16．（2024•崇川区三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA，BO平分∠ABC． （1）过点A作AD∥BC，交射线BO于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接CD．求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）利用内错角相等两直线平行解决问题即可； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵∠BAC＝∠BCA， ∴BA＝BC， ∵BO平分∠ABC， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵AD∥CB， ∴∠OAD＝∠OCB， ∵∠AOD＝∠COB， ∴△AOD≌△COB（ASA）， ∴AD＝CB， ∵AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$