专题1 南通中考填空压轴题10种常考题型训练-【冲刺名校】（南通专用）2025年中考数学三轮复习题型对位训练预测（解析版+原卷版）

专题1 中考填空压轴题常考题型训练 【题型预览】 类型一 一元二次方程整体思想求值或配方法求最值 类型二 一元一次不等式（组）求参数范围 类型三 动点问题与函数图象信息 类型四 含参一次函数求参数范围 类型五 一次函数与几何综合 类型六 反比例函数与几何综合 类型七 一次函数与反比例函数综合 类型八 几何最值问题 类型九 四边形综合题与图形变换 类型十 圆综合性题 类型十一 二次函数的图像和性质及其综合运用 【好题精炼】 类型一 一元二次方程整体思想求值或配方法求最值 1．（2020•南通）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　 ． 2．（2024•连云区一模）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则的值为 　 　 ． 3．（2024•通州区二模）已知实数a，b满足a2+ab+b2＝1，若p＝ab+2a+2b，则p的最小值为 　 　 ． 类型二 一元一次不等式（组）求参数范围 4．（2024•启东市一模）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 　 ． 5．（2025•九龙坡区模拟）若关于x的不等式组有且只有5个整数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和是　 　 ． 6．（2025•绵竹市模拟）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是 　 　 ． 类型三 动点问题与函数图象信息 7．（2024•海门区校级模拟）如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C→A→D运动至终点D．设点P的运动路程为x，△BCP的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为 　 ． 8．（2025•西城区校级模拟）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，点D从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，线段DE的长度y（cm）随运动时间x（s）的变化关系的图象，当a＜x＜2a时，x的值可能为 　 　 ． 9．（2025•宿城区校级一模）如图1，在矩形ABCD中，CD＝5，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F．设BE＝x，CF＝y，点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图象如图2所示，则该函数图象的顶点P的纵坐标n的值为　 ． 10．（2025•昆山市模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，点D、E分别为AC，BA的中点，点P从A点向D点运动，点Q在DE上，且DQ＝DP，连接CQ，过点Q作QF⊥CQ交AB与点F，设点P运动的路程为x，△CQF的面积为y，则y与x之间关系为　 ． 类型四 含参一次函数求参数范围 11．（2023•南通）已知一次函数y＝x﹣k，若对于x＜3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于2k，则k的取值范围是 　 ． 12．（2025•娄底模拟）如图，长为8的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段AB的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时，b＝　 ． 13．（2025•宿城区校级一模）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点P（x，y），若|x|≤1且|y|≤1，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数y＝kx+2k（k为常数，且k≠0）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 　 　 ． 14．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象经过点（1，2），当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，则n的取值范围是 　 　 ． 类型五 一次函数与几何综合 15．（2024•南通）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 　　 ． 16．（2024•海门区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线AB上一动点，连接OP．将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，以OB，OQ为一组邻边构造平行四边形BOQH．连接OH，则线段OH的最小值为 　 . 类型六 反比例函数与几何综合 17．（2022•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y（k≠0）图象上的三点．若S△ABC＝2，则k的值为 　 ． 18．（2024•崇川区三模）已知P为双曲线上任意一点，过点P作PB⊥x轴，PA⊥y轴且C（0，﹣4），D（6，0），则四边形ABCD的面积的最小值为 　 ． 19．（2024•通州区二模）如图，△AOB的边AB∥x轴，点C在OB上，反比例函数y（k＞0）的图象经过A，C两点．若△AOB的面积为5，且OC＝2BC，则k的值为 　 　 ． 20．（2024•海门区一模）如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点．若△ABO的面积为，则的值为 　 ． 21．（2016•温州）如图，点A，B在反比例函数y（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是　 ． 22．（2024•南通二模）如图，▱AOBC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴的负半轴上，点E为边BC的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则m与n的关系为 　 　 . 23．（2024•海门区二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数 与（x＜0）的图象上．若，且，则k的值为 　 ． 24．（2025•南通模拟）对于反比函数，称，为反比例函数图象的两个“焦点”，若点P为反比例函数图象上的任意一点，则恒有．如图，已知点A为反比例函数在第三象限的图象上的一个动点，点M，N为反比例函数的两个焦点，若AB平分∠MAN，过点M作AB的垂线，垂足为B，连接OB，MN，则OB的长为 　 ． 类型七 一次函数与反比例函数综合 25．（2020•南通）将双曲线y向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝　 ． 26．（2025•南通模拟）如图，一次函数y＝2x与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣4，0）为圆心，2为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为3，则k的值为 　 ． 27．（2024•安徽模拟）如图，直线AB交双曲线于A，B两点，交x轴于点C，且AB＝3BC，连接OA．若，则k的值为 　 ． 类型八 几何最值问题 28．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是 　 ． 29．（2024•启东市二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），P是第一象限内任意一点，连接PO，PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，若点P到x轴的距离为1，则m+n的最小值为　90　 ． 30．（2021•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为 　 ． 31．（2024•南通二模）如图，在四边形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足为点M，连接CM，若AM＝3，则CM+AD的最小值为 　 ． 32．（2024•启东市一模）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则△PMN面积的最大值等于 　 ． 33．（2024•海安市一模）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为 　 ． 34．如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB＝10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为　 ． 35．（2024•定海区三模）如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连结AF、ME，若AB＝6，，则AF+ME的最小值是 　 ． 36．（2024•深圳模拟）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 　 ． 类型九 四边形综合题与图形变换 37．（2024•海安市二模）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为 　 ． 38．（2024•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 　 ． 39．（2022•南通）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG，则△OEM的周长为 　 ． 40．（2024•启东市二模）已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 　 ． 41．（2024•淮安模拟）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE＝AB，将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，连接AF．当AF的长最小时，tan∠CDE的值为 　 ． 类型十 圆综合性题 42．（2021•南通）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE∥AB，交于点E，连接BE，则的值为 　 ． 43．（2024•崇川区三模）如图，已知半圆O的直径为MN，点A在半径OM上，B为的中点，点C在弧BN上，以AB、BC为邻边作矩形ABCD，边CD交MN于点E，连接DO，并延长DO交AB于点P，若BP＝2AP，则的值为 　 ． 类型十一 二次函数的图像和性质及其综合运用 44．（2025•清江浦区一模）如图，我们规定形如y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数y＝|x2﹣4x+3|的图象，根据图像，给出以下结论：①图象关于直线x＝2对称；②关于x的不等式|x2﹣4x+3|＞0的解是x＜1或x＞3；③当k＜1时，关于x的方程|x2﹣4x+3|＝k有四个实数解；④当x＜1时函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的y值随x值的增大而减小．其中正确的是　 　 （填出所有正确结论的序号）． 46．（2025•城阳区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，下列结论中正确的是　 .（只填写序号） ①abc＜0；②a+b+c＞0；③﹣3a＜b＜﹣2a； ④关于x的不等式的解集为0＜x＜2． 47．（2025•拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 　 ． 48．（2025•昆山市模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 中考填空压轴题常考题型训练 【题型预览】 类型一 一元二次方程整体思想求值或配方法求最值 类型二 一元一次不等式（组）求参数范围 类型三 动点问题与函数图象信息 类型四 含参一次函数求参数范围 类型五 一次函数与几何综合 类型六 反比例函数与几何综合 类型七 一次函数与反比例函数综合 类型八 几何最值问题 类型九 四边形综合题与图形变换 类型十 圆综合性题 类型十一 二次函数的图像和性质及其综合运用 【好题精炼】 类型一 一元二次方程整体思想求值或配方法求最值 1．（2020•南通）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　2028　 ． 【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2020，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020， 则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2 ＝x12﹣4x1+2（x1+x2） ＝2020+2×4 ＝2020+8 ＝2028， 故答案为：2028． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 2．（2024•连云区一模）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则的值为 　5　 ． 【分析】先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出a+b＝5，a2＝5a+2，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根， ∴a+b＝5，a2﹣5a﹣2＝0，即：a2＝5a+2， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，x1•x2．也考查了一元二次方程的解． 3．（2024•通州区二模）已知实数a，b满足a2+ab+b2＝1，若p＝ab+2a+2b，则p的最小值为 　﹣2　 ． 【分析】根据完全平方公式求解． 【解答】解：∵a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝1， ∴ab＝（a+b）2﹣1， ∵p＝ab+2a+2b ＝（a+b）2+2（a+b）+1﹣2 ＝（a+b+1）2﹣2≥﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 类型二 一元一次不等式（组）求参数范围 4．（2024•启东市一模）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 　a≤2　 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：由x﹣a＜0得：x＜a， 由x得：x≥2， ∵不等式组无解， ∴a≤2， 故答案为：a≤2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5．（2025•九龙坡区模拟）若关于x的不等式组有且只有5个整数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和是　8　 ． 【分析】先通过解该一元一次不等式组和分式方程确定a的所有整数值，再计算、求和． 【解答】解：解不等式组， 得﹣3≤x， ∵它有且只有5个整数解， 即它的整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1， ∴12， 解得2＜a≤5， 解分式方程，得y， ∵关于y的分式方程有解， ∴2≠0， ∴a≠4， ∴所有满足条件的整数a为：3，5， ∴所有满足条件的整数a的和是：3+5＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法以及分式方程的解法是正确解答的关键． 6．（2025•绵竹市模拟）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是 　a≥2　 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【解答】解：由，得：x＜2， 由2x+a＞3x，得：x＜a， ∵不等式组的解集为x＜2， ∴a≥2， 故答案为：a≥2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 类型三 动点问题与函数图象信息 7．（2024•海门区校级模拟）如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C→A→D运动至终点D．设点P的运动路程为x，△BCP的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为 　22　 ． 【分析】由图象上点（12，48）知CA＝12，且点P在点A时，△BCP的面积为48，连接BD交AC于点M，则可求出BM和BD，利用勾股定理求出AD，得到a． 【解答】解：如图1，连接BD交AC于点M， 由图2知，AC＝12，且CP＝12时，△BCP的面积为48， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，且AM＝6，BM＝MD， ∴， ∴BM＝8， ∴DM＝8， ∴AD＝10， ∴a＝CA+AD＝12+10＝22． 故答案为：22． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式、菱形的对角线互相垂直平分的性质、勾股定理和函数图象，要求学生学会由函数图象找出对应的信息，理解（12，48）的几何意义时关键． 8．（2025•西城区校级模拟）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，点D从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，线段DE的长度y（cm）随运动时间x（s）的变化关系的图象，当a＜x＜2a时，x的值可能为 　6（答案不唯一）　 ． 【分析】由图②可知△ABC为等腰直角三角形，当D运动到C时，DE最长为，此时运动时间为a s，则AC＝a，根据勾股定理得a＝5，所以当a＜x＜2a时，a的值可能为6（答案不唯一）． 【解答】解：由图②可知△ABC为等腰直角三角形， 当D运动到C时，DE最长为，此时运动时间为a s，则AC＝a， ∴根据勾股定理得a＝5， ∴当a＜x＜2a时，a的值可能为6（答案不唯一）． 故答案为：6（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 9．（2025•宿城区校级一模）如图1，在矩形ABCD中，CD＝5，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F．设BE＝x，CF＝y，点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图象如图2所示，则该函数图象的顶点P的纵坐标n的值为　　 ． 【分析】先由矩形性质得到AB＝CD＝5，∠B＝∠ECF＝90°，进而证的∠AEB＝∠CFE，证明△AEB∽△EFC得到，即，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：由图象知BC＝4， ∴CE＝BC﹣BE＝4﹣x． ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠CEF＝90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝5，∠B＝∠ECF＝90°， ∴∠CEF+∠CFE＝90°， ∴∠AEB＝∠CFE， ∴△AEB∽△EFC， ∴，即， 整理得， ∴点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△AEB∽△EFC是解答的关键． 10．（2025•昆山市模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，点D、E分别为AC，BA的中点，点P从A点向D点运动，点Q在DE上，且DQ＝DP，连接CQ，过点Q作QF⊥CQ交AB与点F，设点P运动的路程为x，△CQF的面积为y，则y与x之间关系为　　 ． 【分析】过点F作FN⊥BC于点N，延长NF交DE的延长线于点M，利用矩形的判定与性质可得MN＝CD＝4，设ME＝MF＝m，利用相似三角形的判定与性质求得m，进而求得NF，MF的长，利用S△CQF＝S梯形CDEB﹣S△CDQ﹣S△QEF﹣S△BCF求得y与x之间关系，再利用二次函数的性质和x的取值范围解答即可得出结论． 【解答】解：在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，点D、E分别为AC，BA的中点，如图，过点F作FN⊥BC于点N，延长NF交DE的延长线于点M， ∴，DE∥BC， ∴MN⊥DE， ∴四边形CDMN为矩形， ∴． ∵AC＝BC＝8，∠ACB＝90°， ∴∠B＝45°． ∵FN⊥BC， ∴∠NFB＝45°， ∴∠EFM＝∠NFB＝45°． ∴△MEF为等腰直角三角形， ∴ME＝MF． 设ME＝MF＝m， 由题意得：PA＝x，则DP＝4﹣x， ∵DQ＝DP， ∴DQ＝4﹣x， ∴QE＝DE﹣DQ＝4﹣（4﹣x）＝x． ∵QF⊥CQ， ∴∠DQC+∠MQF＝90°， ∵∠DQC+∠DCQ＝90°， ∴∠DCQ＝∠MQF． ∵∠CDQ＝∠QMF＝90°， ∴△DCQ∽△MQF， ∴， ∴， 解得：m＝4﹣x， ∴MF＝4﹣x． ∴FN＝MN﹣MF＝x． ∵S△CQF＝S梯形CDEB﹣S△CDQ﹣S△QEF﹣S△BCF， ∴ ， 由题意：x的取值范围为：0≤x≤4， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，函数关系式，等腰直角三角形，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，作出正确的辅助线是解答本题的关键． 类型四 含参一次函数求参数范围 11．（2023•南通）已知一次函数y＝x﹣k，若对于x＜3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于2k，则k的取值范围是 　k≥1　 ． 【分析】根据题意一次函数的性质和题意，可以得到3﹣k≤2k，然后求解即可． 【解答】解：∵一次函数y＝x﹣k， ∴y随x的增大而增大， ∵对于x＜3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于2k， ∴3﹣k≤2k， 解得k≥1， 故答案为：k≥1． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 12．（2025•娄底模拟）如图，长为8的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段AB的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时，b＝　±2　 ． 【分析】首先根据直角三角形斜边中线性质确定点C的运动轨迹，得到点C的运动轨迹是以原点O（0，0）为圆心，半径r ＝ 4的圆，再利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径这一性质来求解b的值 【解答】解：∵∠AOB ＝ 90°，C是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，已知AB ＝ 8，则OCAB ＝ 4． ∴点C的运动轨迹是以原点O（0，0）为圆心，半径r ＝ 4的圆， 设直线l与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，作OD⊥直线l于点D， 当直线l与圆只有1个交点时，直线l与圆相切，此时圆心（0，0）到直线l的距离等于圆的半径， ∴OD＝OC＝4， 在直线yx+b中，令x＝0，则y＝b，令y＝0，则求得x＝﹣2b， ∴OM＝|2b|，ON＝|b|， ∴OM＝2ON， ∵∠OND＝MNO，∠ODN＝∠MON＝90°， ∴△OND∽△MNO， ∴， ∴ND2， ∵ON2＝OD2+ND2， ∴ON2， ∴|b|＝2， ∴b． 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，得到直线与圆位置关系是解题的关键． 13．（2025•宿城区校级一模）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点P（x，y），若|x|≤1且|y|≤1，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数y＝kx+2k（k为常数，且k≠0）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 　﹣1≤k≤1且k≠0　 ． 【分析】依据题意可得，平面内“轴近点”点P（x，y）所在的区域为以原点（0，0）为中心、边长为2的正方形内部（含边界），从而可确定当一次函数图象过点A或点B时，为k取值的临界点，进而可得k的取值范围． 【解答】解：由题意可得平面内“轴近点”点P（x，y）所在的区域为以原点（0，0）为中心、边长为2的正方形内部（含边界）， 如图所示， 观察图象可知，A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），一次函数y＝kx+2k（k为常数）过定点（﹣2，0）． 又∵当y＝kx+2k过点A时，可得1＝﹣k+2k，解得k＝1；当y＝kx+2k过点B时，可得﹣1＝﹣k+2k，解得k＝﹣1， 综上可得k的取值范围为：﹣1≤k≤1且k≠0． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，准确理解新定义并找出k值临界点是解题关键． 14．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象经过点（1，2），当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，则n的取值范围是 　n≥2　 ． 【分析】先利用待定系数法求得函数y＝x+b的解析式，然后计算x＝3时，y＝4，再把点（3，4）代入函数中得到n＝2，则利用一次函数的性质可判断当n≥2时满足条件． 【解答】解：∵函数y＝x+b的图象经过点（1，2）， ∴2＝1+b，解得b＝1， ∴y＝x+1， 当x＝3时，y＝x+1＝4， 把（3，4）代入函数得，4，解得n＝2， ∵当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+1的值， ∴n≥2． 故答案为：n≥2． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键． 类型五 一次函数与几何综合 15．（2024•南通）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 　　 ． 【分析】将点（1，0）代入直线y＝kx+b，将b用k表示出来，利用待定系数法求出AB所在直线的函数关系式，求出它们的交点坐标；根据三角形面积公式求出远离原点部分的面积，从而求出k的值即可． 【解答】解：如图，设AB与直线y＝kx+b交于点P． 设AB所在直线的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）． 将坐标A（3，0）和B（0，3）分别代入y＝k1x+b1， 得， 解得， ∴AB所在直线的函数关系式为y＝﹣x+3． 将点（1，0）代入y＝kx+b， 得k+b＝0， 解得b＝﹣k， ∴直线y＝kx+b为y＝kx﹣k． ， 解得， ∴P（，）， ∵SRt△AOB3×3， ∴远离原点部分的面积为， ∴（3﹣1）， ∴k． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数关系、求出交点坐标、掌握三角形的面积公式是解题的关键． 16．（2024•海门区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线AB上一动点，连接OP．将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，以OB，OQ为一组邻边构造平行四边形BOQH．连接OH，则线段OH的最小值为 　　 . 【分析】“瓜豆模型”主要用于解决动点问题，在这个模型中，有两个动点，一个动点（母点）的运动轨迹是确定的，另一个动点（子点）的运动轨迹与母点的运动轨迹相关，且子点的运 动轨迹是由母点的运动轨迹所确定的．本题母点为点P，在直线y＝2x+8上移动，OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，所以点Q运动轨迹也是一条直线，然后根据A，B两点确定 点Q运动轨迹的两点可得出该解析式和点H坐标，最后再根据勾股定理和一元二次方程的知识点求出OH最小值即可． 【解答】解∵∠POQ 始终为90°， 当点P移动到B点的位置时，点Q坐标为（0，4）， 当点P移动到A点的位置时，点Q坐标为（8，0）， 设点M坐标为（0，4），设点N坐标为（8，0）， 连接MN，设该直线的解析式为：y＝kx+b， 代入点M、点N，得：， 解得， ∴， 设， ∴由平行四边形的性质可得：H（a﹣4，a+4）， ∴ ， ∴当时，OH的值最小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解直角三角形、平行四边形的性质，掌握“瓜豆模型”找到点Q的运动轨迹是一条直线是解题关键． 类型六 反比例函数与几何综合 17．（2022•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y（k≠0）图象上的三点．若S△ABC＝2，则k的值为 　　 ． 【分析】连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，由B、C点的坐标可知B、C关于原点对称，则BO＝CO，即可求得S△AOB＝1，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，即可得出|6n+2m|•|3m﹣m|＝1，求得m2，由于k＝6m2，即可求得k． 【解答】解：如图，连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E， ∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y（k≠0）图象上的三点． ∴k＝6m2＝6mn， ∴n＝m， ∴B（3m，2m），C（﹣3m，﹣2m）， ∴B、C关于原点对称， ∴BO＝CO， ∵S△ABC＝2， ∴S△AOB＝1， ∵S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB， ∴|6m+2m|•|3m﹣m|＝1， ∴m2， ∵k＝6， ∴k， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，求得△AOB的面积为1是解题的关键． 18．（2024•崇川区三模）已知P为双曲线上任意一点，过点P作PB⊥x轴，PA⊥y轴且C（0，﹣4），D（6，0），则四边形ABCD的面积的最小值为 　27　 ． 【分析】先设P（x，），再求出AC，DB，根据四边形ABCD的面积AC•BD2x+15，然后再用“不等式的性质”解答即可． 【解答】解：设P（x，），则AC4，DB＝6﹣x， 四边形ABCD的面积SAC•BD（4）（6﹣x）2x+15， ∵x＜0， ∴﹣x＞0， ∴2x≥212， 当2x时，2x有最小值12，此时x＝﹣3， ∴四边形ABCD的面积的最小值为12+15＝27． 故答案为：27． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，本题借用考查四边形面积的最小值来考查反比例函数图象的应用，综合能力较强． 19．（2024•通州区二模）如图，△AOB的边AB∥x轴，点C在OB上，反比例函数y（k＞0）的图象经过A，C两点．若△AOB的面积为5，且OC＝2BC，则k的值为 　8　 ． 【分析】作CE⊥x轴，BF⊥x轴，设点C（m，），利用相似可得B（，），A（，），利用△AOB的面积为5，建立方程求出k值即可． 【解答】解：如图，作CE⊥x轴，BF⊥x轴， ∵CE∥BF， ∴△OEC∽△OFB， ∵OC＝2BC， ∴， ∴BFCE， 设点C（m，），则B（，），A（，）， ∴AB＝（）m， ∵△AOB的面积为5， ∴， 解得：k＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数k值几何意义，熟练掌握k值几何意义是关键． 20．（2024•海门区一模）如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点．若△ABO的面积为，则的值为 　　 ． 【分析】根据条件和k值的几何意义得到S△AOB＝S梯形ABCD，代入坐标整理得到x2y1﹣x1y2＝9，依据x1y1•x2y2＝36，转化为x1y2•x2y1＝36，可求出x2y1＝12，将所求代数式化简后代入数据即可得到结果． 【解答】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为D、C， 根据反比例函数k值的几何意义可得： S△AOB＝S梯形ABCD， ∴（y1+y2）（x2﹣x1）， 整理得：x2y1﹣x1y2＝9， ∵x1y1•x2y2＝36， ∴x1y2•x2y1＝36， ∴（x2y1﹣9）x2y1＝36， 解得x2y1＝12， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是关键． 21．（2016•温州）如图，点A，B在反比例函数y（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是　　 ． 【分析】过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，由△BCE的面积是△ADE的面积的2倍以及E是AB的中点即可得出S△ABC＝2S△ABD，结合CD＝k即可得出点A、B的坐标，再根据AB＝2AC、AF＝AC+BD即可求出AB、AF的长度，根据勾股定理即可算出k的值，此题得解． 【解答】解：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示． ∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点， ∴S△ABC＝2S△BCE，S△ABD＝2S△ADE， ∴S△ABC＝2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均为BF， ∴AC＝2BD， 又∵OC•AC＝OD•BD， ∴OD＝2OC． ∵CD＝k， ∴点A的坐标为（，3），点B的坐标为（，）， ∴AC＝3，BD， ∴AB＝2AC＝6，AF＝AC+BD， ∴CD＝k． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键． 22．（2024•南通二模）如图，▱AOBC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴的负半轴上，点E为边BC的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则m与n的关系为 　2n+m＝0　 . 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，设点A（a，），则C（，），B（，0），由中点坐标公式可得E坐标，则有n，整理即可得到m、n的关系式． 【解答】解：设点A（a，）， ∵▱AOBC的顶点B在x轴的负半轴上， ∴C（，）， ∴AC＝a， ∴B（，0）， ∵点E为边BC的中点， ∴E（，）， ∵点E在反比例函数y图象上， ∴n， 整理得：2n+m＝0． 故答案为：2n+m＝0． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 23．（2024•海门区二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数 与（x＜0）的图象上．若，且，则k的值为 　　 ． 【分析】作DM⊥x轴于点M，CF⊥y轴于点F，由AD/AB＝1/2，设AD＝a，AB＝2a，证明∠ADM＝∠OAB得tan∠ADM＝tan∠OAB，则，即DM＝3AM，进而得AM＝√，DM，证明△DMA∽△AOB得，则OA＝2DM，OB＝2AM，OM＝OA﹣AM，从而得点D，根据点D在反比例函数（x＜0）的图象上得，由此解出a＝2，则AM，DM，OB，证明△ADM和△CBF全等得CF＝AM，BF＝DM，则OF＝BF﹣OB，从而得点C，将点C坐标代入反比例函数之中即可求出k的值． 【解答】解：作DM⊥x轴于点M，CF⊥y轴于点F，如图所示： ∵， ∴设AD＝a，AB＝2a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝CB＝a，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∵∠ADM+∠DAM＝90°，∠DAM+∠OAB＝90°， ∴∠ADM＝∠OAB， ∴tan∠ADM＝tan∠OAB， 即， ∴DM＝3AM， 在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM2+DM2＝AD2， 即AM2+（3AM）2＝a2， ∴AM， ∴DM， ∵∠ADM＝∠OAB，∠DMA＝∠AOB＝90°， ∴△DMA∽△AOB， ∴， ∴OA＝2DM，OB＝2AM， ∴OM＝OA﹣AM， ∴点D， ∵点D在反比例函数（x＜0）的图象上， ∴， 解得：a1＝2，a2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴AM，DM，OB， ∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBF＝90°， ∴∠OAB＝∠CBF， 又∵∠ADM＝∠OAB， ∴∠ADM＝∠CBF， 在△ADM和△CBF中， ， ∴△ADM≌△CBF（AAS）， ∴CF＝AM，BF＝DM， ∴OF＝BF﹣OB， ∴点C， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 24．（2025•南通模拟）对于反比函数，称，为反比例函数图象的两个“焦点”，若点P为反比例函数图象上的任意一点，则恒有．如图，已知点A为反比例函数在第三象限的图象上的一个动点，点M，N为反比例函数的两个焦点，若AB平分∠MAN，过点M作AB的垂线，垂足为B，连接OB，MN，则OB的长为 　4　 ． 【分析】依据题意，延长AN，MB相交于点H．由AB平分∠MAN，且BM⊥AB，可得AH＝AM，再由利用“焦点”的结论，得|AM﹣AN|＝2k＝8，结合点O，B分别为MN，MH的中点，可得OB，进而可以判断得解． 【解答】解：如图，延长AN，MB相交于点H．∵AB平分∠MAN，且BM⊥AB， ∴AH＝AM，点B为HM的中点．利用“焦点”的结论，得 |AM﹣AN|＝2k＝8． ∵点O，B分别为MN，MH的中点， ∴OB． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 类型七 一次函数与反比例函数综合 25．（2020•南通）将双曲线y向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝　﹣3　 ． 【分析】由于一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案． 【解答】解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的， 因此将双曲线y向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的， 平移前，这两个点的坐标为（a﹣1，），（，b+2）， ∴a﹣1， ∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键． 26．（2025•南通模拟）如图，一次函数y＝2x与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣4，0）为圆心，2为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为3，则k的值为 　　 ． 【分析】连接BP，根据中位线定理可得BP长的最大值为2×3＝6，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴与D，设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣4）＝t+4，即BD＝﹣2t，根据勾股定理可得BC2＝CD2+BD2，列出方程求出点B的坐标，代入反比例函数解析式即可求解． 【解答】解：连接BP，由对称性得：OA＝OB， 而Q是AP的中点， ∴ ∵OQ的长的最大值为3，则BP长的最大值为2×3＝6， 如图所示： 当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴与D， ∵CP＝2， ∴BC＝4，B在直线y＝2x上， 设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣4）＝t+4，即BD＝﹣2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2， 代入数据得：42＝（t+4）2+（﹣2t）2， 整理得：5t2+8t＝0， 解得：t1＝0（舍去），或， ∴， ∵B在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数综合题，考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的中位线的性质，圆的基本性质等，综合性比较强，难度较大． 27．（2024•安徽模拟）如图，直线AB交双曲线于A，B两点，交x轴于点C，且AB＝3BC，连接OA．若，则k的值为 　3　 ． 【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则BE∥AD，得到，利用反比例函数系数k的几何意义得到S△OAD＝S△OBEk，设A点坐标为（，a），即可得到B点坐标为（，），利用S△OAB＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE＝S梯形ABED，得到（aa）•（），于是可计算出k＝3． 【解答】解：连接OB，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则BE∥AD， ∴，S△OAD＝S△OBEk， 设A点坐标为（，a）， ∵AB＝3BC， ∴AC＝4BC，， ∴， ∴B点坐标为（，）， ∵， ∴S△OAB， ∵S△OAB＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE＝S梯形ABED， ∴，即（aa）•（）， ∴•a•， ∴k＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线分线段成比例定理，反比例函数系数k的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，由S△OAB＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE＝S梯形ABED得到关于k的方程是解题的关键． 类型八 几何最值问题 28．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是 　　 ． 【分析】设AC，BD的交点为O，AB，BC，CD，DA的中点分别是P，Q，R，S，连接PQ，QR，RS，SP，OQ，OS，QS，先证AD+BC＝2（OS+OQ），由此得当OS+OQ为最小时，AD+BC为最小，再根据“两点之间线段最短”得：OQ+OS≥QS，再证四边形PQRS为矩形，且PQ＝2，SP＝3，据此由勾股定理可求出，进而可得AD+BC的最小值． 【解答】解：过点C作CE∥BD，使CE＝BD＝6，连接DE，AE，如图所示： ∴四边形BCED为平行四边形， ∴BC＝DE， ∴AD+BC＝AD+DE， ∵AC⊥BD，CE∥BD， ∴CE⊥AC， 在Rt△ACE中，AE， 根据“两点之间线段最短”得：AD+DE≥AE，即AD+DE， ∴AD+BC， ∴AD+BC的最小值是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了线段的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，理解线段的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解答此题的关键，正确地作出辅助线，构造平行四边形是解决问题的难点． 29．（2024•启东市二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），P是第一象限内任意一点，连接PO，PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，若点P到x轴的距离为1，则m+n的最小值为　90　 ． 【分析】由题意可作出以OA为直径的⊙M，根据已知条件及圆的相关知识可得答案． 【解答】解：如图，在平面直角坐标系中作出以OA为直径的⊙M， 设直线y＝1与⊙M相切于点P，则MP垂直于直线y＝1， 根据三角形内角和定理可知，要使得m+n取得最小值，则需∠OPA取得最大值． ∵点P到x轴的距离为1，而PM为半径， ∴PM＝1， ∵点A的坐标为（2，0）， ∴OM＝1， ∴∠OPA为以OA为直径的圆的一个圆周角， ∴∠OPA＝90°． 在直线y＝1上任取一点不同于点P的一点P'，连接OP'，交⊙M于点Q，连接AQ， 则∠AQO＝90°＞∠AP'O， ∴∠OPA＞∠AP'O， ∴∠OPA的最大值为90°， ∴m+n的最小值为90． 故答案为：90． 【点睛】本题考查了坐标与图形的相关性质，明确圆的相关性质、三角形的内角和及外角性质等知识点是解题的关键． 30．（2021•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为 　　 ． 【分析】由m﹣n2+4＝0可得3n2﹣9＝3m+3，根据点到坐标原点的距离可求解． 【解答】解：∵m﹣n2+4＝0， ∴n2﹣4＝m， ∴3n2﹣9＝3m+3， ∵P（m，3n2﹣9）， ∴P点到原点的距离为， ∴点P到原点O的距离的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理，两点间的距离，求解3n2﹣9＝3m+3是解题的关键． 质、勾股定理、矩形的判定，通过作垂线将所求线段转化成直角三角形的边或边的一部分是本题关键． 31．（2024•南通二模）如图，在四边形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足为点M，连接CM，若AM＝3，则CM+AD的最小值为 　　 ． 【分析】过D作AM的平行线，过A作BD的平行线，两平行线交于点E，即AM∥DE，AE∥MD，证明四边形AMDE是矩形推出CM+AD＝CM+ME；连接CE，则当点M与CE、BD的交点重合时，CM+ME最小，从而CM+AD最小，且最小值为线段CE的长；在Rt△EFC中，由勾股定理求出CE的长即可得出结果． 【解答】解：如图，过D作AM的平行线，过A作BD的平行线，两平行线交于点E，即AM∥DE，AE∥MD， ∴四边形AMDE是平行四边形； ∵AM⊥BD， ∴∠AMD＝90°， ∴四边形AMDE是矩形， ∴DE⊥BD，AM＝DE＝3，AD＝ME， ∴CM+AD＝CM+ME； 连接CE， 则当点M与CE、BD的交点重合时，CM+ME最小，从而CM+AD最小，且最小值为线段CE的长； 过C作CF∥BD，交ED延长线于点F，则∠DBC＝∠BCF＝∠BDF＝90°， ∴四边形BCFD是矩形， ∴CF＝BD＝4，∠F＝90°，DF＝BC＝2， ∴EF＝DE+DF＝5； 在Rt△EFC中，由勾股定理得， ， ∴CM+AD最小值为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形EFC是解题的关键． 32．（2024•启东市一模）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则△PMN面积的最大值等于 　　 ． 【分析】连接CM，根据三角形面积可得S△ABM+S△BCM，S△CPN，再由S四边形ABCDAC•BD和完全平方公式可得答案． 【解答】解：连接CM， ∵点M是BD的中点， ∴S△ABM，S△BCM， ∴S△ABM+S△BCM， ∵点M是BD的中点， ∴S△CPM＝S△MPD+S△MCD， ∵点N是AC的中点， ∴S△CPN，S△CMN， ∴S△PMN＝S△CPM﹣S△CPN﹣S△CMN （S△ABM+S△BCM） S四边形ABCD， ∵AC⊥BD， ∴S四边形ABCDAC•BD， ∵AC+BD＝10， ∴AC2+BD2+4AC•BD﹣2AC•BD≥4AC•BD，即AC2+BD2+2AC•BD≥4AC•BD， ∴4AC•BD≤（AC+BD）2， ∴AC•BD25， ∴S四边形ABCDAC•BD， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是三角形面积公式、三角形中线的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 33．（2024•海安市一模）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为 　　 ． 【分析】延长BC到点H，使CH＝CD，连接EH，AH，结合平行四边形的性质利用SAS证明△CDF≌△HCE，根据全等三角形的性质得出CF＝HE，进而求出AE+CF的最小值为AH，过点A作AG⊥BC于点G，解直角三角形求解即可． 【解答】解：如图，延长BC到点H，使CH＝CD，连接EH，AH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AD∥BC， ∴∠D＝∠ECH， 在△CDF和△HCE中， ， ∴△CDF≌△HCE（SAS）， ∴CF＝HE， ∴AE+CF＝AE+HE， 当A、E、H不共线时，AE+HE＞AH， 当A、E、H共线时，AE+HE＝AH， ∴AE+HE的最小值为AH， 即AE+CF的最小值为AH， 过点A作AG⊥BC于点G， ∴∠AGB＝∠AGH＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BAG＝30°， ∴BGAB＝2， ∴AG2， ∵CD＝CH＝4， ∴BH＝BC+CH＝9， ∴BH＝BC﹣BG＝7， ∴AH， 即AE+CF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 34．如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB＝10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为　3　 ． 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值． 【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N， ∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N， ∴MN＝ME， ∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值． ∵三角形ABC的面积为15，AB＝10， ∴10•CE＝15， ∴CE＝3． 即CM+MN的最小值为3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 35．（2024•定海区三模）如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连结AF、ME，若AB＝6，，则AF+ME的最小值是 　　 ． 【分析】取AD的中点P，连接FP，MP，CP，且CP交BD于点H，证明四边形MEFP为平行四边形，得出ME＝PF，由正方形的性质得出AF＝CF，则可得出CF+FP≥CP，由勾股定理求出PC的长，则可得出答案． 【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝6， ∴BD＝6， ∴OD＝3， 取AD的中点P，连接FP，MP，CP，且CP交BD于点H， ∵M为AO的中点， ∴MP∥OD，MPOD， ∵EF， ∴EF＝MP， ∴四边形MEFP为平行四边形， ∴ME＝PF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴A，C关于BD对称， ∴AF＝CF， ∵AF+ME＝CF+FP≥CP， 即F与H重合时，AF+ME最小，最小值为PC的长， ∵PD＝3，CD＝6， ∴PC， ∴AF+ME的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键． 36．（2024•深圳模拟）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 　2　 ． 【分析】以OA为对称轴作等边△AMN，由“SAS”可证△ANC≌△AMB，可得∠AMB＝∠ANC＝60°，由直角三角形的性质可求∠AEN＝30°，EOON＝6，则点C在EN上移动，当OC'⊥EN时，OC'有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△AMN，延长CN交x轴于E， ∵△ABC是等边三角形，△AMN是等边三角形， ∴AM＝AN，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠AMN＝60°＝∠ANM， ∴∠BAM＝∠CAN， ∴△ANC≌△AMB（SAS）， ∴∠AMB＝∠ANC＝60°， ∴∠ENO＝60°， ∵AO＝4，∠AMB＝60°，AO⊥BO， ∴MO＝NO， ∵∠ENO＝60°，∠EON＝90°， ∴∠AEN＝30°，EOON＝4， ∴点C在EN上移动， ∴当OC'⊥EN时，OC'有最小值， 此时，OC'EO＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，确定点C的运动轨迹是解题的关键． 类型九 四边形综合题与图形变换 37．（2024•海安市二模）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为 　　 ． 【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值． 【解答】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G， 由已知可得， GE∥BF，CE＝EF， ∴△CEG∽△CFB， ∴， ∵BC＝3， ∴CG， ∴GB， ∵l3∥l4， ∴∠α＝∠GAB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4， ∴∠ABG＝90°， ∴tan∠BAG， ∴tanα的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 38．（2024•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 　3　 ． 【分析】过点G作GH⊥AC于点H，证明△ABC是等腰直角三角形，△AGH是等腰直角三角形，证明△DGH≌△DEC（AAS），得GH＝DC，DH＝CE，设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，得2a+b＝5，a2+b2＝（）2，求出a的值，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°，ABAC＝5， ∵GH⊥AC， ∴△AGH是等腰直角三角形， ∴AH＝HG，AGAH， ∵四边形DEFG是正方形， ∴DG＝DE，∠GDE＝90°， ∴∠GDH＝90°﹣∠EDC＝90°﹣∠DGH＝∠DEC， 在△DGH和△DEC中， ， ∴△DGH≌△DEC（AAS）， ∴GH＝DC，DH＝CE， ∴AH＝HG＝DC， 设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b， ∵正方形DEFG的边长为， ∴DE， ∵AC＝AH+DH+DC，DC2+CE2＝DE2， ∴2a+b＝5，a2+b2＝（）2， 将b＝5﹣2a代入a2+b2＝（）2整理得：a2﹣4a+4＝0， 解得a1＝a2＝2， ∴AH＝a＝2， ∴AGAH＝2， ∴BG＝AB﹣AG＝523， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，代入法解二元二次方程，解一元二次方程，解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 39．（2022•南通）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG，则△OEM的周长为 　3+3　 ． 【分析】如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H．解直角三角形求出AG，BG，利用相似三角形的性质求出EG，DE，再证明FH＝BC，推出BM＝MF，求出MF，BD可得结论． 【解答】解：如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝3，∠A＝∠ADC＝90°， ∵tan∠ABG， ∴AG，DG＝2， ∴BG2， ∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE， ∴△BAG∽△DEG， ∴，∠ABG＝∠EDG， ∴， ∴DE，EG， ∴BE＝BG+EG＝2， ∵∠ADH＝∠FHD＝90°， ∴AD∥FH， ∴∠EDG＝∠DFH， ∴∠ABG＝∠DFH， ∵BG＝DF＝2，∠A＝∠FHD＝90°， ∴△BAG≌△FHD（AAS）， ∴AB＝FH， ∵AB＝BC， ∴FH＝BC， ∵∠C＝∠FHM＝90°， ∴FH∥CB， ∴1， ∴FM＝BM， ∵EF＝DE+DF2， ∴BF4， ∵∠BEF＝90°，BM＝MF， ∴EMBF＝2， ∵BO＝OD，BM＝MF， ∴OMDF， ∵OEBD6＝3， ∴△OEM的周长＝323+3， 解法二：辅助线相同． 证明△BAG≌△FHD，推出AB＝HF＝3， 再证明△FHM≌△BCM，推出CM＝HM， 求出BD，DF，BF，利用直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，可得结论． 故答案为：3+3． 【点睛】本题考查正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 40．（2024•启东市二模）已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 　2或　 ． 【分析】过点E作EF⊥AD于F，则四边形ABEF是矩形，得出AB＝EF＝2，AF＝BE，由折叠的性质得出CE＝C'E，CN＝C'N，∠EC'N＝∠C＝90°，证明△EC'F∽△C'ND，得出，则，由，得出，则，得出C'D＝BE，设BE＝x，则C'D＝AF＝x，C'F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，则，求出DN＝x（2﹣x），，由CN+DN＝CD＝2，即可得出结果； 【解答】解：过点E作于F，如图所示： 则四边形ABEF是矩形， ∴AB＝EF＝2，AF＝BE， 由折叠的性质得：CE＝C'E，CN＝C'N，∠EC'N＝∠C＝90°， ∴∠NC'D+∠EC'F＝90°， ∵∠C′ND+∠NC′D＝90°， ∴∠EC'F＝∠C'ND， ∵∠D＝∠EFC'， ∴△EC'F∽△C'ND， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴C'D＝BE， 设BE＝x，则C'D＝AF＝x，C'F＝4﹣2x，CE＝4﹣x， ∴， ∴DN＝x（2﹣x），， ∴CN+DN＝x（2﹣x）CD＝2， 解得：x＝2或， ∴BE＝2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、一元二次方程的解法，三角形面积的计算等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 41．（2024•淮安模拟）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE＝AB，将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，连接AF．当AF的长最小时，tan∠CDE的值为 　1　 ． 【分析】通过证明△ABF∽△OBE，可得AFOE，则当点E在AC上时，OE有最小值为2，即AF的最小值为22，由等腰直角三角形的性质和锐角函数的性质可求解． 【解答】解：如图，连接AC，BD，交于点O，连接OE，BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AO＝BO，∠ABO＝45°，AC⊥BD， ∴ABBO＝2， ∴BO＝AO， ∵将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF， ∴BE＝EF，∠BEF＝90°， ∴BFBE，∠FBE＝45°， ∴∠FBE＝∠ABO， ∴∠ABF＝∠OBE， 又∵， ∴△ABF∽△OBE， ∴， ∴AFOE， ∵AB＝AE＝2， ∴当点E在AC上时，OE有最小值为2， ∴AF的最小值为22， 此时，如图，过点E作EH⊥CD于H， ∵∠ACD＝45°， ∴△CEH是等腰直角三角形， ∵CE＝22， ∴EH＝CH＝2， ∴DH， ∴tan∠CDE1， 方法二：连接EC，AC， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF， ∴BE＝EF，∠BEF＝90°＝∠ABC， ∴∠AEF＝∠CBE， 又∵AB＝AE＝BC， ∴△AEF≌△CBE（SAS）， ∴AF＝EC， ∴当点E在AC上时，AF有最小值， 此时，如图，过点E作EH⊥CD于H， ∵∠ACD＝45°， ∴△CEH是等腰直角三角形， ∵CE＝22， ∴EH＝CH＝2， ∴DH， ∴tan∠CDE1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，证明三角形相似是解题的关键． 类型十 圆综合性题 42．（2021•南通）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE∥AB，交于点E，连接BE，则的值为 　　 ． 【分析】通过点A作CE的垂线交EC延长线于F，连AE，由AC＝BC，∠ACB＝90°，得∠CAB＝45°，设AF＝x，则CF＝x，求出AB＝AE，在Rt△AFE中用勾股定理求出EF，得CE，再证四边形FAGE为矩形，得AF＝EG＝x，EF＝AG，在Rt△BEG中用勾股定理求出BE，即得． 【解答】解：如图，过点A作CE的垂线交EC延长线于F， 过E作EG⊥AB交AB于G，连AE， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝45°， ∵CE∥AB， ∴∠FAB＝90°， ∴∠FAC＝45°， ∴△AFC为等腰直角三角形， 设AF＝x，则CF＝x， ∴AC， ∴AB， ∵AE、AB均为⊙的半径， ∴AE＝2x， ∴EF， ∴CE， ∵∠F＝∠FAB＝∠AGE＝90°， ∴四边形FAGE为矩形， ∴AF＝EG＝x，EF＝AG， ∴BG＝AB﹣AG＝（2）x， ∴BE， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是圆综合性题，考查了平行线的性质，勾股定理等腰直角三角形的知识。 43．（2024•崇川区三模）如图，已知半圆O的直径为MN，点A在半径OM上，B为的中点，点C在弧BN上，以AB、BC为邻边作矩形ABCD，边CD交MN于点E，连接DO，并延长DO交AB于点P，若BP＝2AP，则的值为 　　 ． 【分析】先证明OH为BC的垂直平分线，OG是AD的垂直平分线，OF为AP的垂直平分线，设AF＝FP＝2x，BP＝2AP＝4x．再利用射影定理得BO2＝BF•BA，故BOx，OFx，再计算即可． 【解答】解：过O作OH⊥BC，HO延长线交AD于G， 过O作OF⊥AB，FO延长线交CD于P，连OB、OC． ∵OB＝OC， ∴OH为BC的垂直平分线． ∵矩形ABCD， ∴OG是AD的垂直平分线， ∴OA＝OD． ∴∠OAD＝∠ODA． ∵∠OAD+∠PAO＝∠ODA+APO＝90°． ∴∠OAP＝∠OPA， ∴OA＝OP， ∴OF为AP的垂直平分线， 设AF＝FP＝2x， ∴BP＝2AP＝4x． ∵B为的中点， ∴BO⊥AO， ∵∠ABO＝∠ABO，∠OFB＝∠BOA＝90°， ∴△BFO～△BOA， ∴BO2＝BF•BA， ∴BOx， ∴OFx， ∴BC＝2BH＝2OF＝2x， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，综合运用这些知识是解题关键． 类型十一 二次函数的图像和性质及其综合运用 44．（2025•清江浦区一模）如图，我们规定形如y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数y＝|x2﹣4x+3|的图象，根据图像，给出以下结论：①图象关于直线x＝2对称；②关于x的不等式|x2﹣4x+3|＞0的解是x＜1或x＞3；③当k＜1时，关于x的方程|x2﹣4x+3|＝k有四个实数解；④当x＜1时函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的y值随x值的增大而减小．其中正确的是　①　 （填出所有正确结论的序号）． 【分析】由图象可知，图象关于直线x2对称，关于x的不等式|x2﹣4x+3|＞0的解是x≠1且x≠3；结合图象可得，当0＜k＜1时，函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与直线y＝k有四个交点，当k＝0时，函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与直线y＝k有两个交点，当k＜0时，函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与直线y＝k没有交点，即当0＜k＜1时，关于x的方程|x2﹣4x+3|＝k有四个实数解；由题意知，并不一定是当x＜1时函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的y值随x值的增大而减小，即可得出答案． 【解答】解：由图象可知，图象关于直线x2对称， 故①正确； 由图象可知，关于x的不等式|x2﹣4x+3|＞0的解是x≠1且x≠3， 故②不正确； 将x＝2代入y＝|x2﹣4x+3|，得y＝1， ∴当0＜k＜1时，函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与直线y＝k有四个交点，当k＝0时，函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与直线y＝k有两个交点，当k＜0时，函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与直线y＝k没有交点， ∴当0＜k＜1时，关于x的方程|x2﹣4x+3|＝k有四个实数解，当k＝0时，关于x的方程|x2﹣4x+3|＝k有两个实数解，当k＜0时，关于x的方程|x2﹣4x+3|＝k没有实数解， 故③不正确； 当x＜1时函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的y值随x值的变化情况取决于函数在x＜1时的增减性，并不一定是当x＜1时函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的y值随x值的增大而减小， 故④不正确． 故答案为：①． 【点睛】本题考查二次函数与不等式（组）、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 45．（2025•临安区一模）已知二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点A（x1，0），B（x2，0），且3＜AB＜4，则n的取值范围是　　 ． 【分析】由题意可得Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n+1）＞0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣n+1，可得，AB＝|x1﹣x2|，则34，求出n的取值范围即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n+1）＞0， ∴． ∵A（x1，0），B（x2，0）， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣n+1， ∴AB＝|x1﹣x2|． ∵3＜AB＜4， ∴34， 解得， ∴n的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 46．（2025•城阳区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，下列结论中正确的是　①③④　 .（只填写序号） ①abc＜0； ②a+b+c＞0； ③﹣3a＜b＜﹣2a； ④关于x的不等式的解集为0＜x＜2． 【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，b＜0，c＞0， ∴abc＜0， ∴①正确． ∵当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴②错误． ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1， ∴1， ∵a＞0， ∴2a＜﹣b＜3a， ∴﹣3a＜b＜﹣2a， ∴③正确． 如图： 设y1＝ax2+bx+c，y2x+c， 由图知，y1＜y2时，0＜x＜2， 故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 47．（2025•拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 　k1＜k2　 ． 【分析】利用二次函数的性质判断即可． 【解答】解：二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数）的图象开口向上，对称轴为直线xm， ∵点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上， ∴点B（m+3，k2）到对称轴的距离较大， ∴k1＜k2， 故答案为：k1＜k2． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 48．（2025•昆山市模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为　　 ． 【分析】把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得c＝﹣2，故抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，连接BM，过A作AH⊥BM于H，交抛物线对称轴直线于P′，设直线交x轴于N，求出B（2，0），，，MN＝3，可得，，即得，从而，由垂线段最短可知，当P与P′重合时，最小，最小值为AH的长度，根据面积法求出，故的最小值为，解题的关键掌握胡不归问题的解决方法． 【解答】解：把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得：0＝1+1+c， 解得c＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2， ∵， ∴抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 如图，连接BM，过A作AH⊥BM于H，交抛物线对称轴直线于P′，设直线交x轴于N， 令y＝0得0＝x2﹣x﹣2， 解得x＝﹣1或x＝2， ∴B（2，0）， ∴， ∵将顶点向下平移个单位长度得到点M， ∴，MN＝3， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当P与P′重合时，最小，最小值为AH的长度， ∵2S△ABM＝AB•MN＝BM•AH， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，正确进行计算是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$