四川省自贡市沿滩区自贡职业技术学校2024-2025学年高三下学期5月期中考试数学试题

自贡职业技术学校高三期中考试数学试卷 2024至2025学年 第 二 学期 学科 数 学 班级 学号 姓名 本试卷共三个大题，26个小题，满分150分，答题时间120分钟。 一 二 21 22 23 24 25 26 总分 命题人：李亮 审题人：陈安全 1、 选择题（共15小题，每小题4分，共60分。） 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 3．已知 表示两条不同的直线，表示一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若//n，n⊆ ,则// B．若⟂n，n⊆ ,则⟂ C．若//n，n// ,则// D．若n，n⟂ ,则⟂ 4．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5. 明朝朱载堉发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同。若已知应钟、大吕、夹钟、仲吕的波长成等比数列，且应钟和仲吕的波长分别为a,b，则大吕和夹钟的波长之积为（ ） A．a+b B．ab C． D． 6．椭圆的长轴长为（ ） A．6 B．8 C．10 D． 7．若，则N的值是（ ） A．－2 B．2 C．0 D．1 8．∆ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且A＝，b=2,c=3,则∆ABC的面积为（ ） A．3 B． C．2 D． 9．复数 ＝（ ） A．1 B．－1 C．i D．－i 10．与双曲线共渐近线且过点（3，-4）的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 11.已知的部分图像如下图所示，则函数的部分图像是（ ） 1 12.设则“a＜1”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知向量，则＝（ ） A．（0，3） B．（1，4） C．（－1，4） D．（－1，3） 14.设是四象限的角,其终边上的一个点是P(,y),且sin=,则cos=（） A. B. C. D. 15.已知函数f（x）（x）满足f（x）=f（2-x），若函数y=||与y=f（x）图像交点为（），（）....，（），则++...+=（ ） A.0 B.n C.2n D.4n 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 16. cos=_____________． 17．在的展开式中，的系数为，则实数=_____________． 18．已知函数（x∈R）为奇函数，=2+3.若＝2，则＝ .第19题图 A D C B 19．如图，平面四边形ABCD中,∠C＝∠D＝90°,∠B为 锐角，|AD|＝3，|BC|＝5,则•＝_____________．第20题图 D C B A 20．如图，平行四边形ABCD中,∠A＝30°,|AB|＝10，|BC|＝4, 若将它恰好卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的高为______ 或 ______． 三、解答题（共6小题，21题10分，其余题各12分，共70分） 21.有编号为，，...，的6名同学，进行米赛跑，得到下面的成绩： 编号 成绩（s） 其中成绩在秒内的同学记为优秀. （1）从上述6名同学中，随机抽取1名，求这名同学成绩优秀的概率； （2）设成绩在12秒以内的同学的成绩为特优，现从成绩优秀的同学中抽取2名，若成绩特优的人数为X，试求随机变量X的概率分布列和数学期望. 22．设数列的前n项和为,已知 （1）求数列的通项公式； （2）若数列,求数列的前n项和. 23． 在△ABC中，A，B，C所对的三边分别为a,b,c,已知. (1)求角A; (2)若△ABC的面积为，且,求b+c的值. 24．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，PA⏊平面ABCD，E是PB的中点．B E D C A P （1）求证: PD //平面ACE； （2）若二面角E－AC－B为45°，求四棱锥P－ABCD的体积． 25．已知圆O: 与直线：y=3相交于点A、B． （1）求点A、B的坐标； （2）设是直线上、圆O外的任意一点，过点作圆O的切线，切点为． 求证：经过两点的直线必过定点，并求出该定点的坐标． 26．已知函数在区间上有最大值1和最小值． （1）求函数的解析式； （2）设函数，若等式在区间上恒成立，求实数的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学学科参考答案与评分标准 诊断题（三） 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分） 1－5 BCDCD 6－10 BDBDC 11－15 ABCAB 1. B【解析】由交集概念可知，A∩B= . 2. C【解析】由分母不为0可得2x-1≠0，则x≠ ，用区间表示为 . 3. D【解析】若//n，n ，则//或m所以A选项错误； 若⟂n，n ，则m与可以成任意角，所以B选项错误； 若//n，n// ，则// 或m，所以C选项错误； 若n，n⟂ ，则⟂，所以D选项错误. 4.D【解析】由不等式得，解得．故选D. 5.B【解析】由等比数列性质可知，若m+n=q+p，则am+an=ap+aq,，设应钟波长为a1，则大吕、夹钟、仲吕的波长分别为a2、a3、a4，则大吕和夹钟的波长之积a2a3=a1a4=ab，故选B. 6.B【解析】椭圆的焦点在y轴上，可得a=4，即有2a=8，故选B. 7.D【解析】由20=1可得N=1,故选D 8.B【解析】由△ABC的面积可知，S=,故选B. 9.D 【解析】 因为＝＝＝＝－i，故选D. 10.C【解析】由所求双曲线与双曲线共渐近线，可设所求双曲线方程为，由双曲线过点（3，-4），则，解得，所以所求双曲线方程为，故选C. 11.B【解析】首先将y=f（x）的图像向右平移一个单位，得到y=f（x－1）的图像，再将y=f（x－1）关于y轴对称，得到y=f（-x-1）的图像，故选A 12.B【解析】充分性：若a=-1，则显然a＜1，但不成立，充分性不得证；必要性：若，则，所以a（a-1）＜0，所以0＜a＜1，所以a＜1，必要性得证，所以a＜1是的必要不充分条件，故选B. 13.C【解析】根据向量的加法运算可知，选C 14.B【解析】， 所以 ，解得，，根据三角函数的定义，我们知道 所以 。故选B. 15.B【解析】因为f（x）=f（2-x）,所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称.又y=|x2-2 x-3|=|（x-1）2-4|的图象关于直线x=1对称,所以两函数图象的交点关于直线x=1对称.当m为偶数时，x1+x2+...xn=；当m为奇数时，x1+x2+...xn=，故选B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. . 17..【解析】由通项公式得知，解得．故答案为-1. 18. 4 .【解析】因为f（x）（x∈R）为奇函数，所以f(-x)=-f(x),又因为g（6）=2，所以2f（-6）+3=2，即f（-6）=，所以g（6）=2f（6）+3=-2f（-6）+3=4，故答案为4 19. －10.【解析】因为=++ ，所以•=(++ )•=•+•+ •=3×5-52=-10，故答案为-10. 20.2或5.【解析】作DE⊥AB于点E，当圆柱以AB围成的圆为底面时，容易知道高为DE，因为∠A=30°，AB=10，BC=4，得高DE=2，表面积为10×2=20，当以BC围成的圆为底面时，设此时高为h，根据表面积相等可得4h=20，可解得h=5.故答案为2或5 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 21、解：（1）∵6名同学中成绩在13秒以内的有4名同学 ∴随机抽取一名同学为优秀的概率为： ∴.......................................4分 （2） ∵优秀的同学有4名，其中特优的有2名 ∴X的取值有0，1，2 P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)== ∴随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P .................................8分 ∴随机变量X的数学期望:E(X)=0×+1×+2×=1...................................................10分 22.解：⑴由Sn+1-2Sn=1得Sn+1=2Sn+1∴Sn+1+1=2（Sn+1） ∴ 又S1+1=1+1＝2 ∴数列{Sn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列 ∴Sn+1＝2×2n-1=2n ∴Sn=2n-1............................................4分 ∴.............6分 方法二：∵…………① ∴2）…………② 1 -②得：2） 即：2）， 又∴ ∴ ∴是以的等比数列 ∴ (2) 由题可知Tn=1×20+2×21+3×22+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1 ① 由①×2得2Tn= 1×21+2×22+…………….+(n-1)×2n-1+n×2n ② 由①－②得－Tn=（ 1+21+22+…………….+2n-1）－n×2n ＝ ∴Tn=n•2n-2n+1...................................................................................12分 23.解：（1）∵ ∴由正弦定理得：,即： ∴ ………………………3分 ∵0＜A＜π ∴A= ………………………5分 （2）∵ ∴bc=3 …………………………7分 ∵ ∴即：………9分 ∴ ∴b+c= ………………………………………………12分 24.解：（1） 证明:如图，连接BD交AC于点F，N M F B E D C A P 连接EF.......................................1分 四边形ABCD是正方形，∴BF＝DF，又E为PB的中点, ∴PD//EF,又PD ⊈平面ACE，EF⊆平面ACE ∴PD //平面ACE................................................5分 （2）如图，分别取AB、AF的中点M、N，连接EM、EN、MN.....................6分 ∵PA⏊平面ABCD，AC⊆平面ABCD， ∴AC⏊PA，又EM为中位线，∴EM//PA， ∴AC⏊EM, 又MN为中位线，∴MN//BF， 四边形ABCD是正方形， ∴BF⏊AC，∴AC⏊MN， 又EM∩MN＝M，EM、MN⊆平面EMN∴AC⏊平面EMN，又EN⊆平面EMN ∴AC⏊NE ∴∠ENM为二面角E－AC－B的平面角为45°.............................10分 易得∆EMN为等腰直角三角形，∴高AP=2EM=2MN=BF＝BD＝×＝3， ∴＝sh＝×＝36........................................12分 25.解：（1）由 解得 或 ∴A（－4，3），B（4，3）..................................................3分 （2） ∵是直线上、圆O外的任意一点， ∴设（m，3）,其中m∈（－∞，－4）⋃（4，+∞）， ∵为圆O的切线，切点为M、N，∴∠PMO＝∠PNO＝90°， ∴四点P、M、O、N共圆，且直径为PO，又 O（0，0） ∴该圆方程为：x（x-m）+y（y-3）=0,即x2-mx+y2-3y=0......①................7分 又 圆O方程为............................................................② ②－①得 mx+(3y-25)=0...............................③ ∵点M、N满足①、② ∴点M、N满足③ 即③为直线MN的方程 ∵m∈（－∞,－4）⋃（4，+∞） ∴ x=0, ∴ 3y-25=0 ∴y= 即直线MN过定点（0，）...............................................12分 26.【答案】(1) (2) 【详解】（1）.......1分 抛物线的图像开口向上,对称轴为直线, 函数在区间上为减函数,在区间上是增函数, , , ；....................................5分 （2） , 又, 在区间上恒成立，又， 在上恒成立，..........................9分 设， 在上恒成立．且在上为减函数， －2，－2， 的取值范围为．..............12分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$