3.1 认识分式 同步练习 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学8年级下第3.1认识分式 一．选择题（共10小题） 1．下列说法正确的是（　　） A．如果A，B是整式，那么就叫做分式 B．只要分式的分子为零，则分式的值就为零 C．只要分式的分母为零，则分式必无意义 D．不是分式，而是整式 2．在中，分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．要使分式有意义，则a取值范围应是（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．任意实数 4．对于分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（　　） A．时，分式的值为0 B．分式值为0 C．分式无意义 D．当时，分式的值为0 5．把分式中的a、b都扩大2倍，则分式的值是（　　） A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．不变 6．如果把分式中的x和y都扩大10倍，则分式的值（　　） A．扩大20倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小10倍 7．若使分式的值为0，则x的取值为（　　） A．1或﹣1 B．﹣3或1 C．﹣3 D．﹣3或﹣1 8．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 9．不改变分式的值，将下列各分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果不正确的为（　　） A． B． C． D． 10．小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m千米/时，放学回家时，原路返回，通常的速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为____千米/时（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．已知，则　 　 ． 12．要使分式有意义，则a　 　 ，要使该分式值为0，则a＝　 　 ． 13．已知，则代数式的值为　 　 ． 14．已知：|a﹣1|+|b﹣2|＝0， 　 　 ． 15．已知x2﹣3x+1＝0，则代数式的值是　 　 ． 16．已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的值之和为 　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．先约分，再求值：，其中a＝2，b． 18．已知x＝1时，分式无意义；x＝4时，分式的值为0，求a+b的值． 19．对分式的变形，甲同学的做法是：a﹣b；乙同学的做法是：a﹣b．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确，并说明理由． 20．若不论x取何实数，分式总有意义，求m的取值范围． 21．设m＞n＞0，m2+n2＝4mn，求的值． 22．已知（a≠b），求的值． 23．阅读理解：对于任意正实数a，b， ∵， ∴， ∴， ∴当a＝b时，a+b有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： （1）若m＞0，只有当m＝　 　 时，有最小值； （2）若m＞0，求m为何值时，有最小值，并求出这个最小值． 24．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是 　 　 （填写序号即可）； （2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值 　 　 ； （3）在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果 　 　 ． m2﹣n2；m2+2mn+n2；m﹣n． 25．阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值． 解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）， ∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中x+y+z≠0，求的值． 北师大版数学8年级下第3.1认识分式 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A D B C D D C 一．选择题（共10小题） 1．下列说法正确的是（　　） A．如果A，B是整式，那么就叫做分式 B．只要分式的分子为零，则分式的值就为零 C．只要分式的分母为零，则分式必无意义 D．不是分式，而是整式 【分析】A、D根据分式的定义进行判断； B、分式的值为零时，分子等于零，且分母不为零； C、分式有意义，分母不为零． 【解答】解：A、当B是常数时，就不是分式，故本选项错误； B、当分母等于零时，即使分子等于零，该分式也没有意义，故本选项错误； C、分式的分母等于零，则该分式无意义，故本选项正确； D、因为该分母中含有字母，所以是分式，故本选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为零的条件以及分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 2．在中，分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【解答】解：式子中都含有字母是分式，共有2个分式． 故选：A． 【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数． 3．要使分式有意义，则a取值范围应是（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．任意实数 【分析】要使分式有意义，则分母不为0，解得a的取值范围即可． 【解答】解：∵a2≥0， ∴a2+1＞0， 故分式分母不为0， 故a取值为任意数， 故选：D． 【点评】本题考查了分式有意义的条件和一个数的平方一定是非负数等知识点． 4．对于分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（　　） A．时，分式的值为0 B．分式值为0 C．分式无意义 D．当时，分式的值为0 【分析】当x＝﹣a时，分子x+a＝0，再保证分式有意义可得a，进而可得答案． 【解答】解：当x＝﹣a时，x+a＝0， ∵3x﹣1≠0， 解得：x， ∴a． 故选：A． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，以及分式的值为零，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 5．把分式中的a、b都扩大2倍，则分式的值是（　　） A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．不变 【分析】根据题意进行变形，发现实质上是分子、分母同时扩大2倍，根据分式的基本性质即可判断． 【解答】解：根据题意，得 把分式中的a、b都扩大2倍，得， 根据分式的基本性质，则分式的值不变． 故选：D． 【点评】此题考查了分式的基本性质． 6．如果把分式中的x和y都扩大10倍，则分式的值（　　） A．扩大20倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小10倍 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【解答】解：， 故选：B． 【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 7．若使分式的值为0，则x的取值为（　　） A．1或﹣1 B．﹣3或1 C．﹣3 D．﹣3或﹣1 【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 【解答】解：由分子x2+2x﹣3＝0，即（x+3）（x﹣1）＝0， 解得：x＝﹣3或1． 而x＝﹣3时，分母＝9﹣1＝8≠0； x＝1时分母＝1﹣1＝0，分式没有意义， 故选：C． 【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义． 8．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的基本性质对各选项进行判断． 【解答】解：A、，不成立； B、，可见分子、分母没有相同的因式，不能进行约分，不成立； C、a﹣b，不成立； D、成立． 故选：D． 【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质． 9．不改变分式的值，将下列各分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果不正确的为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质把分式的分子和分母同乘以6可对A进行判断；根据分式的基本性质把分式的分子和分母同乘以10可对B进行判断；根据分式的基本性质把分式的分子和分母同乘以8可对C进行判断；根据分式的基本性质把分式的分子和分母同乘以2可对A进行判断． 【解答】解：A、，所以A选项的计算正确； B、，所以B选项的计算正确； C、，所以C选项的计算正确； D、，所以D选项的计算不正确． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以一个不为0的数（或式子），分式的值不变． 10．小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m千米/时，放学回家时，原路返回，通常的速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为____千米/时（　　） A． B． C． D． 【分析】设从家到学校的单程为1，那么总路程为2，根据平均速度，列分式并化简即可得出答案． 【解答】解：设上学路程为1，则往返总路程为2，上坡时间为，下坡时间为， 则平均速度（千米/时）． 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式以及平均数的求法，用到的知识点是平均速度，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 二．填空题（共6小题） 11．已知，则　　 ． 【分析】根据，可得b＝3a，代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴b＝3a， ∴ ， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的值，根据条件得到用a表示b的代数式是解题的关键． 12．要使分式有意义，则a　　 ，要使该分式值为0，则a＝　﹣2　 ． 【分析】分母为零时，分式无意义；当分子为零，且分母不为零时，分式的值为零． 【解答】解：当2a﹣3≠0，即a时，分式有意义； 当a+2＝0，且2a﹣3≠0，即a＝﹣2时，该分式值为0． 故答案为：、﹣2． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件、分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 13．已知，则代数式的值为　4　 ． 【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，得出关系式，所求式子变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：解法一： ∵3，即x﹣y＝﹣3xy， 则原式4． 解法二：将原式的分子和分母同时除以xy， 4 故答案为：4． 【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 14．已知：|a﹣1|+|b﹣2|＝0， 　　 ． 【分析】根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式求解即可． 【解答】解：由题意得，a﹣1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴原式... ＝1... ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知绝对值的非负性是解题的关键． 15．已知x2﹣3x+1＝0，则代数式的值是　7　 ． 【分析】两边都除以x得出x﹣30，求出x3，把x2转化计算即可． 【解答】解：x2﹣3x+1＝0， 两边都除以x得：x﹣30， 即x3， 所以x2 ＝（x）2﹣2•x• ＝32﹣2 ＝7． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，解此题的关键是能求出x的值和把x2转化成（x）2﹣2•x•． 16．已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的值之和为 　﹣4　 ． 【分析】将分式化成一个整式加上一个真分式的形式，求出满足条件的x的值，最后求和即可． 【解答】解：原式， ∵代数式的值为整数， ∴x+1＝±1，±2， ∴x＝0，﹣2，1，﹣3． ∴0+（﹣2）+1+（﹣3）＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了分式的整数值，考核学生的计算能力，将分式变形是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．先约分，再求值：，其中a＝2，b． 【分析】直接利用分式的性质化简，进而把已知数据代入得出答案． 【解答】解：原式 ， 当a＝2，b时， 原式 ＝3． 【点评】此题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键． 18．已知x＝1时，分式无意义；x＝4时，分式的值为0，求a+b的值． 【分析】根据分式有意义的条件，以及分式值是0的条件求得a、b的值，则代数式的值即可求得． 【解答】解：根据题意得：1﹣a＝0， 解得：a＝1； ∵x＝4时，分式的值为0， ∴4+2b＝0 解得：b＝﹣2． 则a+b＝﹣1． 【点评】考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 19．对分式的变形，甲同学的做法是：a﹣b；乙同学的做法是：a﹣b．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确，并说明理由． 【分析】甲：可用分式的基本性质，将分式的分子与分母同除以（a+b）； 乙：（a﹣b）是否为0不能确定，所以不能用分式的基本性质． 【解答】解：甲同学的解法是正确的，乙同学的解法是错误的， 理由：分式中已经隐含了a+b≠0， ∴可用分式的基本性质，将分式的分子与分母同除以（a+b） ∴甲同学的解法是正确的； （a﹣b）是否为0不能确定， ∴不能用分式的基本性质，将分式的分子与分母同除以（a﹣b）； ∴乙同学的解法是错误的． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．这一性质的应用，应用性质时注意不等于0的整式是解题关键． 20．若不论x取何实数，分式总有意义，求m的取值范围． 【分析】先读懂题意，知分式有意义的条件是分母永远不为0，得出方程x2+4x+m＝0，求出方程无解的条件即可． 【解答】解：设x2+4x+m＝0， Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×m＝16﹣4m＜0， m＞4， 即当m＞4时，方程x2+4x+m＝0无解， 即此时不论x取何实数，分式总有意义， 所以m的取值范围是m＞4． 【点评】本题考查了分式有意义的条件和根的判别式的应用，能读懂题意是解此题的关键． 21．设m＞n＞0，m2+n2＝4mn，求的值． 【分析】由m2+n2＝（m+n）2﹣2mn求得m+n．然后根据代数式的变形得到m﹣n；最后对所求的代数式进行变形，然后通过代入法进行求值． 【解答】解：∵m2+n2＝4mn， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝6mn， ∵m＞n＞0， ∴m+n． ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝6mn﹣4mn＝2mn， ∴m﹣n， ∴2． 【点评】本题考查了代数式求值．此题对代数式进行变形时，需要熟记完全平方公式和平方差公式． 22．已知（a≠b），求的值． 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵， ∴， 则原式． 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．阅读理解：对于任意正实数a，b， ∵， ∴， ∴， ∴当a＝b时，a+b有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： （1）若m＞0，只有当m＝　　 时，有最小值； （2）若m＞0，求m为何值时，有最小值，并求出这个最小值． 【分析】（1）若m＞0，当m时，有最小值2； （2）同理，当2m时，有最小值2；从而得出答案． 【解答】解：（1）当m时，则m2＝3， 解得m＝±， ∵m＞0， ∴m， ∴当m时，有最小值． 故答案为：； （2）当2m时，则m2＝6， 解得m＝±， ∵m＞0， ∴m， ∴有最小值4． 【点评】本题是一个阅读材料题，考查了配方法的应用，反比例函数的性质，是中考压轴题，难度较大． 24．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是 　②　 （填写序号即可）； （2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值 　4　 ； （3）在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果 　或　 ． m2﹣n2；m2+2mn+n2；m﹣n． 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义判断即可； （2）分a＝4、a＝5两种情况，根据“和谐分式”的定义判断； （3）根据“和谐分式”的定义判断． 【解答】解：（1）①，分式的分子或分母都不可以因式分解，分式不是“和谐分式”； ②，分式的分母可以因式分解，这个分式不可约分，分式是“和谐分式”； ③，分式可以约分，分式不是“和谐分式”； ④，分式可以约分，分式不是“和谐分式”； 故答案为：②； （2）当a＝4时，，分式是“和谐分式”； 当a＝5时，，分式不是“和谐分式”； ∴a的值是4， 故答案为：4； （3）m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），m2+2mn+n2＝（m+n）2， ∴m2﹣n2不能作分子或分母， ∴构造的“和谐分式”是：或， 故答案为：或． 【点评】本题考查的是分式的约分、“和谐分式”的定义，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 25．阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值． 解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）， ∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中x+y+z≠0，求的值． 【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式． 【解答】解：设k， 则：， （1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z）， ∵x+y+z≠0， ∴k＝2， ∴原式． 【点评】本题主要考查分式的基本性质，重点是设“k”法． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/8 10:42:22；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$