河北省衡水中学2024-2025学年高三下学期一模考试数学试题

2024-2025学年度高三年级下学期一模综合素质评价 数学学科 主命题人：张贺 注意：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.共3页，19个题目. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（每小题5分，共40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 已知向量，则在上的投影向量的长度为（ ） A. B. C. 10 D. 20 2. 已知，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数与函数的图象交点个数为（ ） A. B. C. D. 6. 近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（ ） A. 204万元 B. 220万元 C. 304万元 D. 320万元 7. 已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题6分，共18分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得6分，错选得0分，部分选对得部分分） 9. 关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等 C. 常数项为60 D. 有理项共有4项 10. 已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上是单调函数 C. 的图象关于直线对称 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为___________． 13. 如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为________. 14. 如图,一个粒子的起始位置为原点,在第一象限内于两正半轴上运动,第一秒运动到(0,1),而后它接着按图示在轴、轴的垂直方向来回运动,且每秒移动一个单位长度,如图所示,经过秒时移动的位置设为,那么经过2019秒时,这个粒子所处的位置的坐标是______. 四、解答题（本大题有5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题纸的相应位置，否则无分数.） 15. 在中，角、、所对的边分别为、、.从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：①；②；③. （1）求的值； （2）当时，求的面积. 16. 如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图2所示的几何体.已知，且二面角的平面角的正切值为. （1）求证：平面； （2）计算线段的长度； （3）求二面角的余弦值. 17. 焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点A、B （1）求双曲线E的方程； （2）若，求直线AB的斜率； （3）若点B关于原点的对称点C在第三象限，且，求直线AB斜率的取值范围． 18. 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等.一般地，若是一个大于的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式，其中，，，，且，，如，所以在三进制下可写为. （1）将五进制数转化成三进制数. （2）对于任意两个不同的位二进制数，，，记. ①若，求随机变量的分布列与数学期望； ②证明：. 19. 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下:如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”. （1）已知且， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，求证：. （2）已知函数有两个零点，记作，若，证明： 2024-2025学年度高三年级下学期一模综合素质评价 数学学科 主命题人：张贺 注意：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.共3页，19个题目. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（每小题5分，共40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题（每题6分，共18分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得6分，错选得0分，部分选对得部分分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BCD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题有5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题纸的相应位置，否则无分数.） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）因为平面平面，平面平面. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为折叠前后均有，平面.， 所以平面. （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①的分布列为 1 2 3 ； ②证明：∵位二进制数的， ∴根据二进制数中0的个数可得，位二进制数一共有个， ∵，∴的可能取值为. 当时，二进制数，有位取值不同，有位取值相同， 除去，从剩余的位中选择位，二进制数，在这位上数字不同，其余位，两者均在同一位置数字相同， 由于，故共有种情况， ∴， ∴随机变量的分布列为 1 2 3 ∵， ∴ ， ∴. 【19题答案】 【答案】（1）（i）； （ii）证明：要证，即证， 即证， 又， 由拉格朗日中值定理可知，存在， ， . 由题意知，当时，在上单调递增， 则，故， 即，所以命题得证. （2） 函数有两个零点，即方程有两个根，即方程有2个根. 令， 所以在上单调递增，且，即方程有2个根，且这两根即为方程的根， 所以，则，则由，得， 所以，则， 要证，即证， 又，令， 令， 又，所以，故在上单调递增， 所以， 所以，故在上单调递减，所以， 即， 即，所以不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $