（思维导图+知识梳理＋考点精讲）第八单元 找次品--五年级下册数学单元讲练测（原卷版＋解析版）人教版

人教版五年级数学下册同步精讲 第八单元 找次品 内容导航 · 思维导图 1 · 知识梳理 2 · 考点精讲 5 思维导图 知识梳理 一、基本概念与问题模型 1.定义 在 个外观相同的物品中，通过天平称量，用最少次数找出唯一一个质量不同（可能更轻或更重）的“次品”。 2.核心思想 优化策略：通过合理分组，每次称量尽可能排除更多可能性（天平有3种状态：平衡、左倾、右倾，对应排除2/3的物品）。 逻辑推理：根据称量结果逆向推导次品位置，需考虑最不利情况（即每次称量后剩余物品数最多的情况）。 二、核心策略与分组方法 1. 最优分组原则（三分法） 物品数 推荐分组方式 称量次数 分组逻辑 示例分析 (1,1,1) 1 直接均分3组，每组1个 称任意两盒，平衡则次品为第三盒；不平衡则轻/重者为次品。 8 (3,3,2) 2 尽量均分3组，多的一份与少的一份相差1 第1次称3 vs 3：平衡→次品在2个中（再称1次）；不平衡→次品在轻/重组3个中（再称1次）。 9 (3,3,3) 2 标准三分法（3的幂次） 第1次称3 vs 3：平衡→次品在第三组3个中，再称1次即可锁定。 10 (3,3,4) 3 非3的幂次分组（差量≤1） 第1次称3 vs 3：平衡→次品在4个中（分1,1,2再称）；不平衡→次品在3个中（再称1次）。 27 (9,9,9) 3 每次排除2/3，递归分组 每次将物品均分3组，3次称量覆盖27个物品（）。 关键规则：若物品数非3的倍数，按 分组（ 或 ），使多的一份与少的一份相差1。 2. 称量步骤详解 （1）第一次称量：将物品均分3组（尽量数量相等），称量其中两组。 平衡：次品在未称的第三组。 不平衡：次品在较轻或较重组（需提前已知次品更轻或更重，若未知需后续判断方向）。 （2）递归缩小范围：对包含次品的组重复分组称量，直至剩余1个物品即为次品。 三、数学规律与最少次数公式 1. 最少称量次数规律 物品数量范围 最少称量次数 公式推导 示例 1 ，覆盖3个物品 3个物品→1次称量。 2 ，覆盖4~9个物品 8个物品→2次称量。 3 ，覆盖10~27个物品 27个物品→3次称量。 4 ，覆盖28~81个物品 81个物品→4次称量。 通用公式 满足 每次称量将范围缩小至1/3，次最多覆盖个物品 ：因 ，故 。 2. 三分法原理（最优性证明） 天平每次称量提供3种结果（左重、右重、平衡），对应将物品分为3组，最大化排除不确定性（每次排除2/3），因此三分法是理论最优策略。 四、题型分类与解题模板 题型1：已知次品轻重（方向确定） 解题模板： 均分3组：将物品按 分组（差量≤1）。 首次称量：称两组数量相同的物品，锁定次品所在组（平衡→第三组；不平衡→轻/重组）。 递归操作：对可疑组重复步骤1~2，直至找到次品。 示例（8个零件，次品更轻）： 第1次分(3,3,2)，称3 vs 3： 平衡→次品在2个中，再称1次（1 vs 1）即可确定。 不平衡→次品在轻的3个中，再分(1,1,1)，称1次确定。 总次数：2次。 题型2：次品轻重未知（方向不确定） 解题模板： 首次称量：分3组称量（如2,2,2），记录天平倾斜方向（如左组轻、右组重）。 二次称量：调换部分物品位置（如从左组移1个到右组，加入1个已知正品），观察天平变化： 若倾斜方向改变→次品在调换的物品中，且可判断轻重。 若倾斜方向不变→次品在未调换的物品中。 示例（6瓶药，次品轻重未知）： 第1次称2 vs 2： 平衡→次品在未称2瓶，再称1次即可（需与正品对比判断轻重）。 不平衡→标记左轻右重，第2次将左组1瓶与右组1瓶调换，称新组合： 若平衡→次品是左组剩余1瓶（轻）或右组剩余1瓶（重），再称1次确定。 总次数：2~3次（需根据具体操作判断）。 五、易错点与避坑指南 易错情景 错误原因 正确操作 分组时未优先均分3组 误将物品分成2组（如8→4,4） 必须分成3组（如8→3,3,2），使每次称量排除2/3的可能性，避免次数增加（4,4分组需3次，3,3,2分组仅需2次）。 忽略“最不利情况” 仅考虑运气好的情况（如1次找到） 必须按“最坏情况”计算次数（如8个物品，若第一次称量3 vs 3不平衡，需处理3个物品，再称1次，共2次）。 次品轻重未知时未标记方向 混淆轻重组，导致后续无法判断 首次称量后用箭头记录倾斜方向（如“左组＜右组”），二次称量通过位置调换锁定次品并判断轻重。 考点精讲 考点一：基础找次品问题（3件物品） 有3块外形完全相同的手表,其中1块是劣质产品(可能轻,也可能重),怎样才能用天平很快地把它找出来? 1.有3袋糖果，其中两袋每袋1千克，另一袋不是1千克，但不知道比1千克重还是轻，你能用天平找出来吗？写出简要过程． 考点二：多件物品找次品（4件及以上，分3分策略） （1）物品数为3的倍数 中医是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病案到中药馆买中药9服，每服药共计重200g。但由于药师的疏忽，其中一服中药少放了一味药，用天平至少称( )次，才能保证找到这服中药。 1．1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？ 2．有18盒外观完全一样的巧克力豆，其中17盒质量完全相同，有一盒轻一些，如果用天平称，至少称( )次可以保证找出轻一些的这一盒巧克力豆。 3．有24袋糖果，其中有23袋质量相等，另有1袋质量不足，轻一些。如果用天平称，至少称（    ）次能保证找出这袋轻一些的糖果。 A．2 B．3 C．4 D．5 （2）物品数非3的倍数 有50个5角的硬币，其中有一枚是假币，它的质量比真币轻，如果用天平称，至少( )次才能找出这个假币。 1．分一分。 利用天平（没有砝码）找次品时，下列数量的物品分成3份应怎样分？ 2．有11个零件，其中10个质量相同，另外1个略轻一些是次品，用天平称，至少称( )次可以保证把次品找出来。 3．有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 4．有8瓶同样的钙片，其中1瓶被吃了3片。要找出这瓶比较轻的钙片，如果用天平称，下面（    ）种分法比较合理。 A． B． C． D． 考点三：单已知/未知次品轻重的差异问题 （1）已知次品轻重 一箱橙子有15袋，其中有14袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，至少称（    ）次能保证找出这袋橙子来。（质量不足的这袋为次品）（请补全图表示称的过程） 1．有6个乒乓球①②③④⑤⑥，其中有五个正品和一个次品，正品都一样重，但不知道次品比正品轻还是重，有一台没有砝码的天平，称了三次，结果如图，据此可以确定次品是( )，它比正品( )（填“重”或者“轻”）。 2．阿凡提生产了9个机器零件，其中8个质量合格，但不知道不合格零件比合格零件轻还是重。如果用天平称，至少称( )次能保证找出这个不合格的零件来。 3．一箱饮料有20瓶，其中一瓶稍微轻一些，另外19瓶质量相同，至少称（    ）次就一定能找出轻的这一瓶。你能补全图来表示出全过程吗？ （2）未知次品轻重 有9袋白糖，其中8袋每袋500克，另1袋不是500克，但不知道比500克重还是轻，用天平称，至少（    ）次就能保证把它找出来。 A．2 B．3 C．4 D．5 1．桌上有8个球，编号分别是①至⑧，其中有7个球一样重，另外一个球轻一些。为了找出轻球，晶晶用天平称了两次，结果如下图。由此，可以知道轻球是（    ）。 A．⑧ B．⑥ C．④ D．② 2．百味盐为先，福建“闽盐”牌生态海盐是有名的老字号海盐。有4袋海盐，其中3袋质量都是500g，另有1袋质量不是500g，但不知道是比500g轻还是比500g重。如果用天平称，至少需要称（    ）次才能知道这袋海盐是比500g重还是轻。 A．1 B．2 C．3 D．4 考点四：规律探究（物品数与最少称量次数的关系） （1）正向应用 用天平找次品时；所测物品数目与测试的次数有以下关系．（只含一个次品，已知次品比正品重或轻．） （1）要保证6次能测出次品，待测物品可能是多少？ （2）从上表你能发现什么规律？为什么？ 1．用天平秤找次品时，所测物品的数量与测量的次数有一定的规律，详见下表． 所测物品的数量 (只有一个次品) 测量的次数 2～3 4～9 10～27 28～81 82～243 …… 1 2 3 4 5 …… (1)那么6次能测出次品的所测物品的数量可能是多少个？ (2)你能从中发现什么规律吗？ 2．一批银币中只有一枚是假币，假币较轻，用天平最少称4次才能确保找出假币，这些银币至少有( )枚，最多有( )枚。 （2）逆向应用 下面几堆玻璃球中各有一个是次品（重一些），若用天平称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球可能有（    ）个。 A．8 B．15 C．28 1．有一箱乒乓球（外观完全相同），其中里面含有一个较重的次品球，如果称5次才能找出这个次品球，这个箱子中最少有多少个乒乓球？最多呢？ 考点五：砝码称物问题 一架天平，有75克、10克的砝码各一个，要把450克的盐分成140克、150克、160克共三份，至少要用天平称几次？如何称？ 1．有1，2，4，5，7克的砝码各一个，丢失了其中一个砝码，结果天平无法称出10克的重量（砝码必须放在天平的一边），丢失的砝码重( )克。 2．小芳和小丽合买了一袋500克的果糖。小芳只要150克。她们准备用一台天平来分，但天平只有一个100克的砝码。如果限你两次就要把糖分好，应该怎样分？ 3．一台天平，只有5克和30克两个砝码，把300克盐分成3等份，最少称几次？写出称法。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版五年级数学下册同步精讲 第八单元 找次品 内容导航 · 思维导图 1 · 知识梳理 2 · 考点精讲 5 思维导图 知识梳理 一、基本概念与问题模型 1.定义 在 个外观相同的物品中，通过天平称量，用最少次数找出唯一一个质量不同（可能更轻或更重）的“次品”。 2.核心思想 优化策略：通过合理分组，每次称量尽可能排除更多可能性（天平有3种状态：平衡、左倾、右倾，对应排除2/3的物品）。 逻辑推理：根据称量结果逆向推导次品位置，需考虑最不利情况（即每次称量后剩余物品数最多的情况）。 二、核心策略与分组方法 1. 最优分组原则（三分法） 物品数 推荐分组方式 称量次数 分组逻辑 示例分析 (1,1,1) 1 直接均分3组，每组1个 称任意两盒，平衡则次品为第三盒；不平衡则轻/重者为次品。 8 (3,3,2) 2 尽量均分3组，多的一份与少的一份相差1 第1次称3 vs 3：平衡→次品在2个中（再称1次）；不平衡→次品在轻/重组3个中（再称1次）。 9 (3,3,3) 2 标准三分法（3的幂次） 第1次称3 vs 3：平衡→次品在第三组3个中，再称1次即可锁定。 10 (3,3,4) 3 非3的幂次分组（差量≤1） 第1次称3 vs 3：平衡→次品在4个中（分1,1,2再称）；不平衡→次品在3个中（再称1次）。 27 (9,9,9) 3 每次排除2/3，递归分组 每次将物品均分3组，3次称量覆盖27个物品（）。 关键规则：若物品数非3的倍数，按 分组（ 或 ），使多的一份与少的一份相差1。 2. 称量步骤详解 （1）第一次称量：将物品均分3组（尽量数量相等），称量其中两组。 平衡：次品在未称的第三组。 不平衡：次品在较轻或较重组（需提前已知次品更轻或更重，若未知需后续判断方向）。 （2）递归缩小范围：对包含次品的组重复分组称量，直至剩余1个物品即为次品。 三、数学规律与最少次数公式 1. 最少称量次数规律 物品数量范围 最少称量次数 公式推导 示例 1 ，覆盖3个物品 3个物品→1次称量。 2 ，覆盖4~9个物品 8个物品→2次称量。 3 ，覆盖10~27个物品 27个物品→3次称量。 4 ，覆盖28~81个物品 81个物品→4次称量。 通用公式 满足 每次称量将范围缩小至1/3，次最多覆盖个物品 ：因 ，故 。 2. 三分法原理（最优性证明） 天平每次称量提供3种结果（左重、右重、平衡），对应将物品分为3组，最大化排除不确定性（每次排除2/3），因此三分法是理论最优策略。 四、题型分类与解题模板 题型1：已知次品轻重（方向确定） 解题模板： 均分3组：将物品按 分组（差量≤1）。 首次称量：称两组数量相同的物品，锁定次品所在组（平衡→第三组；不平衡→轻/重组）。 递归操作：对可疑组重复步骤1~2，直至找到次品。 示例（8个零件，次品更轻）： 第1次分(3,3,2)，称3 vs 3： 平衡→次品在2个中，再称1次（1 vs 1）即可确定。 不平衡→次品在轻的3个中，再分(1,1,1)，称1次确定。 总次数：2次。 题型2：次品轻重未知（方向不确定） 解题模板： 首次称量：分3组称量（如2,2,2），记录天平倾斜方向（如左组轻、右组重）。 二次称量：调换部分物品位置（如从左组移1个到右组，加入1个已知正品），观察天平变化： 若倾斜方向改变→次品在调换的物品中，且可判断轻重。 若倾斜方向不变→次品在未调换的物品中。 示例（6瓶药，次品轻重未知）： 第1次称2 vs 2： 平衡→次品在未称2瓶，再称1次即可（需与正品对比判断轻重）。 不平衡→标记左轻右重，第2次将左组1瓶与右组1瓶调换，称新组合： 若平衡→次品是左组剩余1瓶（轻）或右组剩余1瓶（重），再称1次确定。 总次数：2~3次（需根据具体操作判断）。 五、易错点与避坑指南 易错情景 错误原因 正确操作 分组时未优先均分3组 误将物品分成2组（如8→4,4） 必须分成3组（如8→3,3,2），使每次称量排除2/3的可能性，避免次数增加（4,4分组需3次，3,3,2分组仅需2次）。 忽略“最不利情况” 仅考虑运气好的情况（如1次找到） 必须按“最坏情况”计算次数（如8个物品，若第一次称量3 vs 3不平衡，需处理3个物品，再称1次，共2次）。 次品轻重未知时未标记方向 混淆轻重组，导致后续无法判断 首次称量后用箭头记录倾斜方向（如“左组＜右组”），二次称量通过位置调换锁定次品并判断轻重。 考点精讲 考点一：基础找次品问题（3件物品） 有3块外形完全相同的手表,其中1块是劣质产品(可能轻,也可能重),怎样才能用天平很快地把它找出来? 【答案】用天平找次品：在天平的两边各放一块手表，如果平衡，说明第三块手表是次品；如果不平衡，选择其中的一块与第三块手表称，如果平衡，次品是另一块，如果不平衡，次品是称过两次的那块手表。 【分析】根据题意，可以选两块手表进行称重，如果平衡，说明第三块是次品，如果不平衡，则接下去选择两块中的一块继续与另一块手表称重，依次进行即可。 【解析】答：在天平的两边各放一块手表，如果平衡，说明第三块手表是次品；如果不平衡，选择其中的一块与第三块手表称，如果平衡，次品是另一块，如果不平衡，次品是称过两次的那块手表。 1.有3袋糖果，其中两袋每袋1千克，另一袋不是1千克，但不知道比1千克重还是轻，你能用天平找出来吗？写出简要过程． 【答案】能 【解析】能用天平找出来．将三袋糖果编号为甲、乙、丙；将甲、乙放在天平的两端，若天平平衡，则说明丙袋不是1千克；若天平不平衡，把较重的那一袋取下，并把丙袋放上去，若天平平衡，则说明刚才取下的那一袋不是1千克，若天平不平衡，则刚才未取下的那一袋不是1千克. 考点二：多件物品找次品（4件及以上，分3分策略） （1）物品数为3的倍数 中医是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病案到中药馆买中药9服，每服药共计重200g。但由于药师的疏忽，其中一服中药少放了一味药，用天平至少称( )次，才能保证找到这服中药。 【答案】2 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【解析】买中药9服，其中一服中药少放了一味药，比其它略轻。先分成(3，3，3)三份。 第一次称重：天平两边各放3服药，若天平平衡，则少一味药的那服中药在剩下的3服药中；若天平不平衡，则少一味药的那服中药在较轻的3服药中； 第二次称重：将含有少一味药的那服中药的那3服药，天平两边各放1服，若天平不平衡，则少一味药的那服中药就是较轻的那个；则若天平平衡，则剩下的那1服就是少一味药的那服中药。 买中药9服，每服药共计重200g。但由于药师的疏忽，其中一服中药少放了一味药，用天平至少称2次，才能保证找到这服中药。 1．1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？ 【答案】3次；作图见解析 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解析】 3次； 【总结】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 2．有18盒外观完全一样的巧克力豆，其中17盒质量完全相同，有一盒轻一些，如果用天平称，至少称( )次可以保证找出轻一些的这一盒巧克力豆。 【答案】3 【分析】把18盒巧克力豆，平均分成3组：6，6，6，第一次称前两组，会出现两种情况：一是平衡，则次品在第三组，再把第三组6盒平均分成3组：2，2，2，第二次称前两组，平衡则在轻的那一组，第三次称即可找到次品，若不平衡，次品在轻的那一组，第三次称即可找到次品；二是不平衡，次品在轻的那一组，再把6盒平均分成3组：2，2，2，第二次称前两组，平衡则在轻的那一组，第三次称即可找到次品，若不平衡，次品在轻的那一组，第三次称即可找到次品，综上，如果用天平称，至少称3次可以保证找出轻一些的这一盒巧克力豆。 【解析】根据分析可得，如果用天平称，至少称3次可以保证找出轻一些的这一盒巧克力豆。 【总结】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的规律。 3．有24袋糖果，其中有23袋质量相等，另有1袋质量不足，轻一些。如果用天平称，至少称（    ）次能保证找出这袋轻一些的糖果。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，本题和找次品是同类型的题目，解题的关键是利用天平平衡原理来逐步进行排除，从而达到缩小范围的目的。 【解析】将24份糖果平均分成3份，每份8袋。 第一次把其中的两份8袋放在天平上称一称，如天平平衡，则这些称的糖果中没有轻的一袋，如天平不平衡，拿出轻一些的那8袋，继续称；          第二次把有1袋质量不足的8袋糖果分成3袋、3袋和2袋，把其中的两份3袋放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的2袋里有1袋质量不足，如天平不平衡，则拿出轻一些的那3袋继续称； 第三次根据最不利原则，假设轻一些的在那3袋中，把其中2袋放在天平上称一称，天平平衡，则没有称的1袋是质量不足的，天平不平衡，则轻一些的1袋是质量不足的。在上述描述中，找出那袋轻的糖果的规律为：2～3个物品，至少称1次；4～9个物品，至少称2次；10～27个物品，至少称3次；28～81个物品，至少称4次。 24在10～27这个范围内，至少称3次能保证找出这袋轻一些的糖果。 故答案为：B （2）物品数非3的倍数 有50个5角的硬币，其中有一枚是假币，它的质量比真币轻，如果用天平称，至少( )次才能找出这个假币。 【答案】4 【分析】把50个硬币平均分成3组：16个，17个，17个，第一次称，天平两端各放17枚，如果天平不平衡，假币在较轻的17枚中，如果天平平衡，假币在没放上天平的16枚中；第2次把含有假币的17枚(或16枚)硬币分为6、6、5(或6、5、5)枚三组，把枚数相同的两组分别放天平两端，如果天平不平衡，假币在较轻的一端，如果天平平衡，假币在没放上天平的一组中；第3次把含有假币的6枚(或5枚)硬币分为2、2、2(或2、2、1)枚三组，天平两端各放2枚，如果天平不平衡，则假币在较轻的两枚中，如果天平平衡，则假币在没放上天平的2枚(或1枚)中；第4次把含有假币的2枚硬币分别放在天平的两端，较轻的一枚就是假币。 【解析】有50个5角的硬币，其中有一枚是假币，它的质量比真币轻，如果用天平称，至少4次才能找出这个假币。 【总结】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的解答方法。 1．分一分。 利用天平（没有砝码）找次品时，下列数量的物品分成3份应怎样分？ 【答案】6，6，5；10，10，11；17，17，18 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解析】将17尽可能平均分成3份， 17÷3＝5……2 17＝5＋6＋6 17可以分成6、6、5； 将31尽可能平均分成3份， 31÷3＝10……1 31＝10＋10＋11 31可以分成10、10、11； 将52尽可能平均分成3份， 52÷3＝17……1 52＝17＋17＋18 52可以分成17、17、18。 【总结】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 2．有11个零件，其中10个质量相同，另外1个略轻一些是次品，用天平称，至少称( )次可以保证把次品找出来。 【答案】3 【分析】把11个零件分成3份，分别为5、5、1，将两个5放在天平两端，分两种情况进行分析；当天平不平衡时，将5分为2、2、1，将两个2放在天平两端，利用与上一步相同的方法分析，直到找到次品为止，据此解答即可。 【解析】第一次称量：把11个零件分成3份，分别为5、5、1，将两个5的放在天平两端，会有两种情况出现： 情况一：左右平衡，则次品就是余下的那一个； 情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上翘的一边的5个中，继续称量。 第二次称量：将5个零件分为2、2、1，将两个2放在天平两端，会有两种情况出现： 情况一：左右平衡，则次品是余下的那一个； 情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上翘的一边的2个中，继续称量。 第三次称量：将2个零件分别放在天平两旁，则次品在托盘上翘的一端。 综上可知，至少称3次可以保证把次品找出来。 【总结】本题考查了找次品的应用，解答此题的关键是：将11个零件进行合理分组，进而逐步找出次品。 3．有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 【答案】4次 【分析】将61盒分成20盒、20盒、21盒，称量同是20盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。若轻的一盒在20盒这份，将20盒分成7盒、7盒、6盒，称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；同理若轻的一盒在21盒这份，将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。以此类推直到找出次品为止，就能知道至少称量几次能找出轻的一盒。 【解析】第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，找到轻的一盒在哪份里面； 第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，找到轻的一盒在哪份里面；或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面； 第三次称量：找到6盒或者7盒里轻的一盒； 第四次称量：找到2盒或者3盒里轻的一盒。 答：至少称量4次能找出轻的一盒。 【总结】本题考查运用优化策略找次品问题，找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证所称量的次数最少。 4．有8瓶同样的钙片，其中1瓶被吃了3片。要找出这瓶比较轻的钙片，如果用天平称，下面（    ）种分法比较合理。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。 【解析】把8瓶钙片分成三份，分别是：3瓶、3瓶、2瓶；先把两份3瓶的分别放在天平的两边，如果平衡，就把剩下的两瓶分别放在天平的两边，即可找出轻一些的那瓶来。如果不平衡，看哪边轻，把稍轻的那边的3瓶，取2瓶分别放在天平的两边，若平衡就是没往天平上放的那一瓶，若不平衡，哪边轻哪边就是那瓶轻的，所以至少要称2次，才能保证找出那瓶轻一些的钙片。 故答案为：D 【总结】本题考查了找次品，找次品时，第一次分组尽量将样品分成数量相等或数量相近的3份。 考点三：单已知/未知次品轻重的差异问题 （1）已知次品轻重 一箱橙子有15袋，其中有14袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，至少称（    ）次能保证找出这袋橙子来。（质量不足的这袋为次品）（请补全图表示称的过程） 【答案】见解析 【分析】先将 15 袋平均分成 3 份，每份 5 袋，在天平两端各放 5 袋， 若天平平衡，则次品在“没上称”的那 5 袋中；若不平衡，则次品在“较轻”的那 5 袋中。 再将这 5 袋分成 2、2、1 三份，在天平两端各放 2 袋，若天平平衡，则次品就是“剩下”的那 1 袋；若不平衡，则次品在“较轻”的那 2 袋中。 最后把这 2 袋中的 1 袋对 1 袋称，若天平不平衡，轻的一方就是次品；若天平平衡，未上称的那一袋就是次品。 【解析】一箱橙子有15袋，其中有14袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，至少称3次能保证找出这袋橙子来。 1．有6个乒乓球①②③④⑤⑥，其中有五个正品和一个次品，正品都一样重，但不知道次品比正品轻还是重，有一台没有砝码的天平，称了三次，结果如图，据此可以确定次品是( )，它比正品( )（填“重”或者“轻”）。 【答案】 ② 轻 【分析】根据第三次称的情况，天平左边放③④，右边放⑤⑥，天平平衡，可以确定③④⑤⑥中没有次品，那么次品只能是①或②； 再根据第一次称的情况，天平左边放①②，右边放③④，天平不平衡，左边翘起，说明①②轻，可以确定次品更轻； 最后看第二次称的情况，天平左边放①③，右边放②④，天平不平衡，右边翘起，则②④轻，说明次品在②④之中，那么次品只能为②。 【解析】6个乒乓球①②③④⑤⑥，其中有五个正品和一个次品，正品都一样重，但不知道次品比正品轻还是重，有一台没有砝码的天平，称了三次，结果如图，据此可以确定次品是②，它比正品轻。 2．阿凡提生产了9个机器零件，其中8个质量合格，但不知道不合格零件比合格零件轻还是重。如果用天平称，至少称( )次能保证找出这个不合格的零件来。 【答案】3/三 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【解析】将9个零件平均分成3份，每份3个，任选其中的两份先称重，出现两种情况： 情况一：分成3组，每组3个，如果第一次测量的两组不平衡，说明次品在这其中，剩下一组是正品组的，那么进行第二次测量：①拿下轻的一组和正品组比，平衡的话，说明次品在重的那组，也说明了次品比正品重。②拿下轻的那组和正品比，不平衡的话，说明次品就在轻的这一组，也说明了次品比正品轻。找出次品所在的一组后，进行第三次测量，3个里面找出次品，只需要1次就够了。 情况二：第一次，如果天平平衡，说明不一样重的在剩下的3个零件里，把剩下的3个平均分成3份，每份1个，第二次称，任意选两份放在天平两边，又分两种情况：①天平平衡，说明剩下的1个是不一样的，共需称2次；②天平不平衡，还需要拿下一个再称一次，才能确定哪个质量不同，共需称3次。 综上，如果用天平称，至少称3次能保证找出这个不合格的零件来。 【总结】本题考查找次品问题，因为质量不同的零件不知道是轻还是重，需要多次称重才能确定次品在哪一份里，需分情况讨论。 3．一箱饮料有20瓶，其中一瓶稍微轻一些，另外19瓶质量相同，至少称（    ）次就一定能找出轻的这一瓶。你能补全图来表示出全过程吗？ 【答案】3；图见解析 【分析】根据找次品的方法，结合给出的图示可得：一箱饮料有20瓶，其中一瓶质量较轻，另外19瓶质量相同，首先将其分成三份（7、7、6），接下来先将7、7这两组放在天平的两边，有两种情况：①天平平衡：②天平不平衡。若天平平衡，可得质量较轻的那瓶在6瓶的那组，接下来将其继续分组（2、2、2）进行判断，若不平衡取出天平较高的一端的那一组，分组（2、2、3）继续寻找，直至找到次品，据此完成图示即可。 【解析】由分析可知： 一箱饮料有20瓶，其中一瓶稍微轻一些，另外19瓶质量相同，至少称3次就一定能找出轻的这一瓶。图如下所示： （2）未知次品轻重 有9袋白糖，其中8袋每袋500克，另1袋不是500克，但不知道比500克重还是轻，用天平称，至少（    ）次就能保证把它找出来。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】用天平找次品时，如果待测物品有3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差最少，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少；依此解答。 【解析】先将这9袋白糖分成（3袋＋ 3袋＋3袋）三组，取（3袋＋ 3袋）这两组分别放入天平称量，即可找出有次品的一组。 若天平平衡，则可确定次品在未取的3袋白糖组中；再将剩下的3袋分成（1袋＋1袋＋1袋），取（1袋＋1袋）放在天平的两端，若天平平衡，则次品就是剩余的那袋；若天平不平衡，正品就是剩余的1袋，将有可能是次品的两袋分别与正品的1袋称量，即可找出次品。 若天平不平衡，则剩余的3袋就是正品，则将其他两组的3袋分别与正品中的3袋放天平的两边，此时即可找出次品组；再将次品组的3袋分成2袋＋1袋，并取其中的2袋、正品中的2袋分别放天平的两边，如果天平平衡，则剩下的1袋就是次品；如果天平不平衡，则将次品分成1袋＋1袋，并分别与正品的1袋进行称量，即可找出次品。由此可知，用天平称，至少3次就能保证把它找出来。 故答案为：B 1．桌上有8个球，编号分别是①至⑧，其中有7个球一样重，另外一个球轻一些。为了找出轻球，晶晶用天平称了两次，结果如下图。由此，可以知道轻球是（    ）。 A．⑧ B．⑥ C．④ D．② 【答案】B 【分析】根据图可知，①＋②＝③＋④，②＋⑤＝⑦＋⑧，由此即可知道①、②、③、④、⑤、⑦、⑧这7个球的重量相同，由此即可判断出轻球是剩余的那个。 【解析】由分析可知： ①、②、③、④、⑤、⑦、⑧这7个球的重量相同，所以轻球是⑥ 故答案为：B 2．百味盐为先，福建“闽盐”牌生态海盐是有名的老字号海盐。有4袋海盐，其中3袋质量都是500g，另有1袋质量不是500g，但不知道是比500g轻还是比500g重。如果用天平称，至少需要称（    ）次才能知道这袋海盐是比500g重还是轻。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解析】把4袋海盐分成1、1、2三组，编号分别为①②③④。先称①和②，有以下两种可能：一样重，则次品就是③或④，再用①与③称，若平衡，次品就是④，若不平衡，次品就是③；不一样重，则次品就是①或②，再用③与①称，若平衡，次品就是②，若不平衡，次品就是①。两种可能，都需2次。 故答案为：B 【总结】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 考点四：规律探究（物品数与最少称量次数的关系） （1）正向应用 用天平找次品时；所测物品数目与测试的次数有以下关系．（只含一个次品，已知次品比正品重或轻．） （1）要保证6次能测出次品，待测物品可能是多少？ （2）从上表你能发现什么规律？为什么？ 【答案】（1）数量是在244～729之间．（2）需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间 【分析】（1）观察表格中的每一组数据中的第二个数字可得，3，需要1次；9＝3×3，需要2次；27＝3×3×3，需要3次；81＝3×3×3×3需要4次，…据此可得需要6次测出的次品，数量在3×3×3×3×3＋1＝244和3×3×3×3×3×3＝729之间，据此即可解答； （2）由上述分析可得，需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间。 【解析】（1）根据题干分析可得： 3×3×3×3×3＋1＝244 3×3×3×3×3×3＝729， 所以需要称量6次的待测物品的数量是在244～729之间； （2）由上述分析可得，需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间。 所以答案是（1）数量是在244～729之间．（2）需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间。 1．用天平秤找次品时，所测物品的数量与测量的次数有一定的规律，详见下表． 所测物品的数量 (只有一个次品) 测量的次数 2～3 4～9 10～27 28～81 82～243 …… 1 2 3 4 5 …… (1)那么6次能测出次品的所测物品的数量可能是多少个？ (2)你能从中发现什么规律吗？ 【答案】(1)244～729 (2)由分析可得，需要称量n次，所测物品的数量为3n－1＋1～3n. 【解析】略 2．一批银币中只有一枚是假币，假币较轻，用天平最少称4次才能确保找出假币，这些银币至少有( )枚，最多有( )枚。 【答案】 28 81 【分析】根据天平平衡原理，可知： 根据表格中的规律，可得称n次时，能判断研究对象的个数最多为（3n）个，最少为（3n－1＋1）个，据此求出n为4时，这些银币最多有多少个，最少有多少个，据此解答。 【解析】根据分析可知， 最少：33＋1 ＝27＋1 ＝28（个） 最多：34＝81（个） 一批银币中只有一枚是假币，假币较轻，用天平最少称4次才能确保找出假币，这些银币至少有28枚，最多有81枚。 （2）逆向应用 下面几堆玻璃球中各有一个是次品（重一些），若用天平称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球可能有（    ）个。 A．8 B．15 C．28 【答案】B 【分析】找次品的方法：把待称的物品分成三份，能够平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一分只相差1，据此逐项解答。 【解析】A．把8个球分成3、3、2三组，把两个3个一组的放在天平上称，如平衡，则次品在2个的一组中，把这2个球分成1、1，放在天平上称，下沉的是次品，需称2次。如不平衡，刚把下沉的一组3个球分成1、1、1，任意两个放在天平上称，如平衡，没称的是次品，如不平衡，下沉的是资料品，需称2次。不符合题意。 B．把15平均分成5、5、5三组，任意称两个5，如果平衡，就从剩下的5个中找，如果不平衡，次品就在下沉的那组5中，就再把5分成2、2、1，称两个2，如果平衡，次品就在1中，如果不平衡，再就在下沉的2中，分1、1，可找出次品。即至少称3次。符合题意。 C．将28个球分成（9、9、10），称（9、9），只考虑最不利的情况，平衡，次品在10个中；将10个分成（3、3、4），称（3、3），平衡，次品在4个中；将4个分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2个中；再称一次即可确定次品，共4次。不符合题意。 故答案为：B 1．有一箱乒乓球（外观完全相同），其中里面含有一个较重的次品球，如果称5次才能找出这个次品球，这个箱子中最少有多少个乒乓球？最多呢？ 【答案】最少有82个，最多243个 【分析】根据找次品的规律，当物品个数最多在3n时，至少需要n次即可找到次品。所以如果5次才能找到次品，则物品的个数应大于34＝81（个），小于或等于35＝243（个）。 【解析】34＝81（个） 81+1＝82（个） 35＝243（个） 即：81＜乒乓球的个数≤243 答：这个箱子中最少有82个乒乓球，最多243个。 考点五：砝码称物问题 一架天平，有75克、10克的砝码各一个，要把450克的盐分成140克、150克、160克共三份，至少要用天平称几次？如何称？ 【答案】三次，过程见解析 【分析】要使称量的次数少，尽量多用75克的砝码，少用10克的砝码，同时把称出的盐的质量，当作砝码使用；据此解答即可。 【解析】第一次，用75克的砝码称出75克盐； 第二次，用75克的砝码和称出75克盐；直接称出75＋75＝150（克）盐一份； 第三次，再用10克的砝码和称出150克盐，直接称出160克盐一份； 剩下的就是140克不用称了。 答：至少要用天平称三次。 1．有1，2，4，5，7克的砝码各一个，丢失了其中一个砝码，结果天平无法称出10克的重量（砝码必须放在天平的一边），丢失的砝码重( )克。 【答案】1 【分析】1、2、4、5、7克的砝码各1个，有两种方法可以称出10克的物品：1克＋4克＋5克或者1克＋2克＋7克；据此判断解答即可。 【解析】10＝1＋4＋5＝1＋2＋7 都用到1克的砝码，所以丢失的砝码重1克。 2．小芳和小丽合买了一袋500克的果糖。小芳只要150克。她们准备用一台天平来分，但天平只有一个100克的砝码。如果限你两次就要把糖分好，应该怎样分？ 【答案】第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果； 第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为150克。 【分析】由题可知，小芳和小丽合买了一袋500克的果糖，小芳只要150克，但天平只有一个100克的砝码，又限制分糖次数为两次。先将500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果；然后在天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，最后在100克砝码那边加糖，使天平平衡。据此即可解答。 【解析】第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果； 第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为250－100＝150（克）。 【总结】此题考查的是对解决实际问题的能力，理解分两次，利用天平两边平衡，100克的砝码是解题的关键。 3．一台天平，只有5克和30克两个砝码，把300克盐分成3等份，最少称几次？写出称法。 【答案】3次；称法见解析 【分析】先用300除以3计算出每份的质量为300÷3＝100（克），第一次将两个砝码都放在天平一边，另一边放盐称出35克盐；计算出还需要称的质量为100－35＝65（克），第二次天平一边放30克砝码和35克盐，另一边称出65克盐；第三次天平一边直接放100克盐，另一边再称出100克盐，剩下的也是100克盐；据此解答。 【解析】每份的质量：300÷3＝100（克） 第一次：砝码称盐，天平一边放5克和30克的砝码，另一边称出35克盐。 100－35＝65（克） 第二次：砝码加盐再称盐，天平一边放30克砝码和35克盐，另一边称出65克盐。 第三次：盐称盐，天平一边放已称出的100克盐，另一边称出100克盐，剩下100克盐。 答：最少称3次。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$