精品解析：甘肃省金昌市金川高级中学2025届高三第二次模拟考试数学试题

金昌市金川高级中学2025届第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号､姓名､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若轴上存在一点，使得直线的斜率之积为，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列中，，公差为函数的最小正周期，则之和为（ ） A. B. C. D. 5. 某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（ ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中. A. 依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B. 依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C. 有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D. 是否接受去外地长时间出差与性别无关 6. 已知随机变量的分布列如下： X 1 2 3 0.4 则数学期望（ ） A. 0.8 B. 1.4 C. D. 2 7. 如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B. 若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为 C. 若在区间上单调递增，则的取值范围为 D. 若在区间上只有一个零点，则的取值范围为 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等比数列的公比为，前项积为前项和为则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则数列的前项和为 10. 如图，正方体的棱长为是线段上的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积为 D. 以点为球心，为半径的球的表面积的最小值为 11. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的上顶点，过点的直线交椭圆于两点，则下列结论正确的有（ ） A. 为等边三角形 B. 直线的斜率之积为 C. D. 当直线的斜率不存在时，直线的斜率之积与当直线斜率为0时，直线的斜率之积互为相反数 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 13. 的展开式中的系数为______．（用数字作答） 14. 已知函数，写出一个“的图象关于直线对称，且在上单调”的充分不必要条件：__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. （1）求角B的大小； （2）若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值. 16. 如图，在多面体中，底面为菱形，平面，，且为棱的中点，为棱上的动点. （1）求二面角的正弦值； （2）是否存在点使得平面？若存在，求的值；否则，请说明理由. 17. 人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据： 外向型 内向型 男性 45 15 女性 20 10 （1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为，求的数学期望． （2）对表格中的数据，依据的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由． 附：参考公式：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 已知函数的导函数记为，为自然对数的底数，约为2.718. （1）判断函数的零点个数； （2）设是函数的一个零点，是函数的一个极值点，证明：. 19. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2. （1）已知为上任意一点，求的最小值； （2）已知动直线与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于.设点. （i）求点的轨迹方程； （ii）若对于一般情形，曲线方程为，动直线方程为，请直接写出点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金昌市金川高级中学2025届第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号､姓名､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法、除法运算，结合模长公式求解即可. 【详解】由题意得，， 解得， 因此. 故选：C. 3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若轴上存在一点，使得直线的斜率之积为，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出、点坐标，设，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】因为双曲线，所以，解得， 因此， 设，则，所以，解得，即. 故选：A. 4. 已知等差数列中，，公差为函数的最小正周期，则之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由辅助角公式化简，确定函数周期，再结合等差数列下标和性质即可求求解. 【详解】函数 ， 由题意得等差数列的公差，因此. 故选：A. 5. 某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（ ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中. A. 依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B. 依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C. 有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D. 是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【解析】 【分析】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可. 【详解】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 6. 已知随机变量的分布列如下： X 1 2 3 0.4 则数学期望（ ） A. 0.8 B. 1.4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率之和为1得到方程，求出，利用期望公式得到答案. 【详解】由题意，，所以， 所以. 故选：D. 7. 如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象的对称性，及具体点函数值符号，逐个判断即可. 【详解】由图可知，函数图象关于轴对称，因此为偶函数， 对于B，的定义域为，且，奇函数； 对于D，的定义域为，，奇函数； 因此排除选项B，D这两个奇函数； 由图象知，若取一个很小的正数，比如， 对于A：，函数值为正数，因此排除A. 对于C: 的定义域为， ，，综上只有C符合， 故选：C. 8. 已知，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B. 若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为 C. 若在区间上单调递增，则的取值范围为 D. 若在区间上只有一个零点，则的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数平移法则，可判断AB，由可判断C，由可判断D. 【详解】对于选项A，若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，故选项A错误； 对于选项B，，则，解得， 又因为，故当时，取得最小值，最小值为，故选项B错误； 对于选项C，若在区间上单调递增，则有， 解得，又， 所以，所以的取值范围为，故选项C错误； 对于选项D，若在区间上只有一个零点，则有， 解得，故选项D正确. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等比数列的公比为，前项积为前项和为则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则数列的前项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式、下标和的性质及等差、等比数列前项和公式逐个判断即可. 【详解】若，则，由，可得，故A错误； ，故B正确； 对于C，由选项条件可得，，解得或，故C错误； 因为，所以，所以，所以数列的前项和为，故D正确. 故选：BD 10. 如图，正方体的棱长为是线段上的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积为 D. 以点为球心，为半径的球的表面积的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据的形状，可判定当为中点时，最小，求此时的值，可判断A的真假；转化成平面上两点之间，线段最短，结合解三角形的知识可判断B的真假；举特例，可判断C的真假；利用点到直线上点的距离，垂线段最短，确定球的半径的最小值，求表面积可判断D的真假. 【详解】对于选项A，显然为等边三角形，其边长为的最小值为边上的高，易求得高为，故选项A正确； 对于选项B，如图， 将等边三角形绕边旋转到与平面共面， 显然，故选项B正确； 对于选项C，当点与点重合时，，故选项C错误； 对于选项D，显然当为的中点时，球的半径最小，此时球的半径为，因此该球的表面积的最小值为，故选项D错误. 故选：AB 11. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的上顶点，过点的直线交椭圆于两点，则下列结论正确的有（ ） A. 为等边三角形 B. 直线的斜率之积为 C. D. 当直线的斜率不存在时，直线的斜率之积与当直线斜率为0时，直线的斜率之积互为相反数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质，，可判定 A；根据椭圆的标准方程和斜率公式，可得判定B；设，得到，结合二次函数的性质，可得判定C；对于D，由斜率公式代入计算即可判断. 【详解】因为椭圆的离心率为，所以，即，则， 又因为，，所以为等边三角形，故A正确； 对于选项B，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程，得，整理可得，因此，所以， 化简可得，，因此随着的变化而变化，故B错误； 对于选项C，设，因为，，，则， 所以 ， 又因为，且，所以， 所以成立，故C正确； 对于选项D，当直线的斜率不存在，即时，，当直线的斜率为0时，设，所以，故选项D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，通过，，结合有两个变号零点，讨论求解. 【详解】由题意，得， 若，则，此时函数在上单调递减，不可能存在两个极值点，舍去， 若，则由题意，得关于的方程在上有两个不相等的实数根， 所以，解得， 故实数的取值范围为.， 故答案为： 13. 的展开式中的系数为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】结合二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则当时，有， 当时，有， 则的展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 已知函数，写出一个“的图象关于直线对称，且在上单调”的充分不必要条件：__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】通过正弦型函数对称轴整体代入法及周期构造不等式求解即可. 【详解】由题意，得，解得， 又在上单调，所以， 即，解得， 当时，，当时，，此时在上单调递减，符合题意； 当时，，当时，，此时在上单调递减，符合题意； 当时，当时，，，此时在上不单调，不符合题意； 同理可继续验证，其中符合题意. 因此“的图象关于直线对称，且在上单调”的充要条件为“”. 故答案为：（答案不唯一） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. （1）求角B的大小； （2）若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可； （2）根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 由得， 所以，即. 因为，所以.又， 所以.因为，所以. 【小问2详解】 由， 得， 所以，在中，由余弦定理得， 所以， 从而，当且仅当取等号. 则， 当且仅当取等号，则长的最大值为3. 16. 如图，在多面体中，底面为菱形，平面，，且为棱的中点，为棱上的动点. （1）求二面角的正弦值； （2）是否存在点使得平面？若存在，求的值；否则，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，作平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得. （2）利用（1）中信息，假定存在符合条件的点，利用空间位置关系的向量证明求解即得. 【小问1详解】 连接交于点，由四边形为菱形，得，过点作平面， 显然直线两两垂直，以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 由平面，得，又，且， 则， ， 设平面，平面的法向量分别为， 则，取，得， 则，取，得， 设二面角的大小为，则， 因此，所以二面角的正弦值为. 【小问2详解】 存在符合题意，且.理由如下： 令，而，棱的中点， 则，，， 若平面，而平面的法向量，则，即， 因此，解得，即，则， 所以在点使得平面，. 17. 人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据： 外向型 内向型 男性 45 15 女性 20 10 （1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为，求的数学期望． （2）对表格中的数据，依据的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由． 附：参考公式：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） （2）结论不一致，理由如下： 零假设为：这两种性格特征与人的性别无关联． 由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知 依据的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致， 原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化． 【解析】 【分析】（1）法一：根据独立事件乘法公式，结合数学期望公式进行求解即可；法二：根据二项分布的定义和数学期望公式进行求解即可. （2）根据所给的公式进行运算求解即可. 【小问1详解】 由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为，外向型女生在所有女生中占比为， 故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是． 法一：的所有可能取值为0，1，2，3． 则， ， 所以． 法二：从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为； 从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型的人数记为， 则， 所以， 所以． 【小问2详解】 略. 18. 已知函数的导函数记为，为自然对数的底数，约为2.718. （1）判断函数的零点个数； （2）设是函数的一个零点，是函数的一个极值点，证明：. 【答案】（1）1 （2） 证明：由（1）可知，函数有唯一零点，且. 下面判断函数的极值点情况， ， 令， 则， 当时，， 在区间上单调递增， 当时，， 在区间上单调递增. 综上，当时，在区间上单调递增， ， 令， 令，解得. ， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又， . 又， 使得， 即， 且当时，， 当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数存在唯一的极值点， 且. 综上，. 【解析】 【分析】（1）求导，确定函数的单调区间，结合零点存在性定理可判断； （2）由（1）知，对于通过二次求导，确定的单调性，进而可确定极值点，即可比较. 【小问1详解】 ， 令，解得. 当时，， 当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 令， 当时，可令，则， 易知当时，， 当时，， . ， ，即在区间上无零点， 又， ， 使得， 即在区间上有一个零点， 函数的零点个数为1. 【小问2详解】 略 19. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2. （1）已知为上任意一点，求的最小值； （2）已知动直线与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于.设点. （i）求点的轨迹方程； （ii）若对于一般情形，曲线方程为，动直线方程为，请直接写出点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合渐近线方程求得双曲线方程，设，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解； （2）（i）（ii）联立方程，利用韦达定理求点的坐标，进而求点的坐标，并结合得到一组关系式分析求解. 【小问1详解】 设双曲线的方程为，其上焦点坐标为， 一条渐近线方程为，则，解得， 所以的方程为. 设，则，要使最小，由题意知. 则 ， ①当，即时，在内单调递增， 可知当时，； ②当，即时，在内单调递减，在内单调递增， 可知当时，； 综上所述：. 【小问2详解】 （i）联立得，， 由题意知， 则，解得， 且，即， 所以直线的方程为， 令得，；令得，，即， 因为，即， 可得， 所以点的轨迹方程是，方程表示去除上下顶点的双曲线. （ii）联立得，， 由题意知， 则，解得， 且，即， 所以直线的方程为， 令得，；令得，，即， 因为，即， 可得，即， 点的轨迹方程是. 【点睛】方法点睛：与点相关问题的解法 解决与点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $