第二章 直线和圆的方程章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程章末检测 （满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 分数_________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 2．直线l：与圆O：相交于A，B两点，当时m的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆：相交于两点，其中点为圆心，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（ ） A． B． C． D．3 6．已知圆，直线，则下列错误的是（ ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 7．若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 8．我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线的方程为，圆C的方程为．则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过点 B．直线的方向向量与向量共线 C．若直线与C有公共点，则 D．当时，则直线与圆C所交弦长为 10．在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 11．若，满足且的点构成的区域记为.满足且的点构成的区域记为，则（    ） A．的面积为16 B．的周长为 C．的面积为 D．的周长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 13．以下四种表述正确的是 填写正确表述的序号 ①点在圆的内部，则的取值范围是 ②圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 ③曲线与曲线恰有三条公切线，则 ④直线恒过定点 14．已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 16.（本小题15分） 已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点. (1)求的轨迹方程; (2)当时，求的方程及的面积. 17.（本小题15分） 已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 18.（本小题17分） 平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 19.（本小题17分） 在平面直角坐标系中，设点，若点满足（），其中为定点，则称点是点关于点的 “相关点”． (1)已知，，当时，求点关于点的 “相关点”的坐标． (2)已知点，，若点是点关于点的 “相关点”，且，求的值． (3)已知圆：，点，点是圆上的动点，点是点关于点的 “相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程章末检测解析版 （满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 分数_________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】易知圆的圆心为，半径为 ， 设圆心到直线l的距离为d，由弦长公式可得，， 所以圆心到直线的距离， 解得或，又，所以， 故选：C 2．直线l：与圆O：相交于A，B两点，当时m的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【详解】依题意，，解得，而， 则，，于是点到直线的距离， 因此，而，所以. 故选：A 3．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点，则直线的方程为， （注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是）， 化简可得：， 所以圆心到直线的距离为： 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C. 4．已知直线与圆：相交于两点，其中点为圆心，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】化为，所以的圆心为，半径为2. ，其中为圆心到直线的距离. 因为，所以，因为，所以. 故选：B 5．已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由曲线，得，则， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）.    设直线：，因为，所以， 所以表示点到直线的距离为， 即只有2个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离，解得， 结合选项发现只有B选项符合题意. 故选：B 6．已知圆，直线，则下列错误的是（ ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 【答案】B 【详解】对于A项，整理直线 可得出， 解方程组可得，直线过定点. 圆的圆心为，半径为， 则， 所以点在圆内，即直线过圆内一定点， 所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切.故A正确； 对于B项，当时，直线化为. 此时有圆心到直线的距离，且， 因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，因为， 所以直线l与直线垂直.故C正确； 对于D项，要使圆C与圆恰有三条公切线，则应满足两圆外切. 圆可化为， 圆心为，半径为. 因为两圆外切，所以有， 即， 整理可得，化简可得，解得.故D项正确. 故选：B 7．若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】因点的坐标满足，则点在圆上， 因直线过的圆心， 则点关于直线对称的点必然在圆上， 联立，得， 因圆与圆仅有唯一公共点， 因此点关于直线对称的点只能是点， 设直线与线段交于点， 因，， 则由垂径定理可得，， 则在中，， 因此. 故选：C 8．我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    已知， 因为动点符合， 所以动点到定点的距离不大于定点到定点的距离的倍， 即动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍， 所以， 所以1， 即， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部， 令，即， 令直线的方程为， 要求的最大值，即为求当直线与圆相交或相切时的最大值， 又点到直线的距离为， 平移直线与圆相切时，点到直线的距离等于圆的半径， 即，即，解得或， 当直线与圆相交时，点到直线的距离大于等于0小于1， 即 ，即，即，解得， 综上所述，可得，即， 所以，即， 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线的方程为，圆C的方程为．则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过点 B．直线的方向向量与向量共线 C．若直线与C有公共点，则 D．当时，则直线与圆C所交弦长为 【答案】ACD 【详解】当时，，则直线恒过定点，故A正确； 直线的方向向量为，若与共线，则，得， 故只有当时才与共线，故B错误； 若直线与C有公共点，且圆的半径， 则圆心到直线的距离， 解得或，故C正确； 当时，圆心到直线的距离， 因圆的半径，则弦长为，故D正确. 故选：ACD 10．在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，， ，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD    11．若，满足且的点构成的区域记为.满足且的点构成的区域记为，则（    ） A．的面积为16 B．的周长为 C．的面积为 D．的周长为 【答案】AB 【详解】由得， 所以或或，表示两条相交直线和一个圆， 由，当，方程为； 以代替x方程不变，曲线关于y轴对称；以代替y方程不变，曲线关于x轴对称； 以、代替x、y方程不变，曲线关于原点对称； 所以曲线既是轴对称图形也是中心对称图形； 所以方程的曲线围成的封闭图形是一个 以、、、为顶点的正方形． 满足且即， 则或； 所以满足且的点构成的区域如图1阴影部分. 其的面积为， 的周长为，故AB正确； 满足且即， 则或； 所以满足且的点构成的区域如图2阴影部分. 其的面积为， 的周长为，故CD错误； 故选：AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 13．以下四种表述正确的是 填写正确表述的序号 ①点在圆的内部，则的取值范围是 ②圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 ③曲线与曲线恰有三条公切线，则 ④直线恒过定点 【答案】①②③ 【详解】对于，因为点在圆的内部， 所以，解得：，即的取值范围是，故正确； 对于，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又因为，所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故正确； 对于，曲线即， 则圆心，半径为，曲线即， 则圆心，半径为，两圆的圆心距为， 因为圆：与圆：有三条公切线， 则两圆属于外切的位置关系，所以，解得，故正确； 对于，直线即， 由，解得 所以直线过定点，故错误． 故答案为：． 14．已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条. 【答案】8 【详解】方法一：直线可化为 ， 由可得，即直线过定点， 因为，所以点在圆内， 当点为直线被圆截得的弦的中点时，弦长最短， 点到圆心的距离， 所以直线被圆截得的最短弦长为， 最长的弦为直径，长度为10，所以弦长的取值范围是. 由圆的对称性可知弦长为7，8，9的直线各两条， 弦长为6，10的直线各一条， 所以截得的弦中长度为整数的直线共有8条. 方法二：方程法. 圆的圆心到直线的距离， 故弦长为， 要使弦长为整数，令（为平方数）， 整理得，令， 整理得（*）， ， 解得，即， 则，即， 当或100时，，方程（*）各有一解， 当时，，方程（*）各有两个不同的解， 即方程（*）共有8个不同的解，因此符合题意的直线有8条. 故答案为：8. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 16.（本小题15分） 已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点. (1)求的轨迹方程; (2)当时，求的方程及的面积. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）圆的方程可化为，所以圆心为，半径为， 则线段的中点，， 因点为线段的中点，则， 则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 则该圆的方程为，经检验符合题意， 所以的轨迹方程是. （2）由于，故在线段的垂直平分线上， 又在圆上，所以， 因为直线的斜率为，所以的斜率为， 故的方程为，即， 又，点到的距离为， 所以， 则，故的面积为.    17.（本小题15分） 已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）当时，由，得到，当时，由，得到， 又，得到，整理得到， 当时，，满足，所以点的轨迹的方程为. （2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，且， 又， 因为以线段为直径的圆经过坐标原点，则，得到， 所以，即，整理得到， 又原点到直线的距离为，此时直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由， 得到，只有一个交点，不合题意， 综上，直线与圆相切. （ⅱ）因为，由（ⅰ）可得， 又，得到， 所以面积为， 令，则，所以， 当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以面积的最小值为. 18.（本小题17分） 平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）化成标准方程：，圆心为，半径为2， 设， 则，几何意义为到的距离， 其最大值为圆心到的距离加上半径，即：， ，几何意义为到的距离， 其最小值为圆心到的距离减去半径，即：， 所以的最大值为， 即的最大值为； （2）由，即与的距离， 设过点的直线方程为：，因为过圆心，可得：， 即方程为， 由题意，若的最小值为1，即到的距离为1， 可得：， 平方化简可得：， 解得：或，即， 所以直线方程为：或. 19.（本小题17分） 在平面直角坐标系中，设点，若点满足（），其中为定点，则称点是点关于点的 “相关点”． (1)已知，，当时，求点关于点的 “相关点”的坐标． (2)已知点，，若点是点关于点的 “相关点”，且，求的值． (3)已知圆：，点，点是圆上的动点，点是点关于点的 “相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知，，，，，则，所以点坐标为 （2）因为，，点是点关于点的 “相关点”， 所以，， 则，即 因为，所以，，，则，两边平方得，，，解得 （3）设，因为在圆：上，所以 点是点关于点的 “相关点”，则，， 所以，即 设，则，可得 因为，所以，整理得 因为点的轨迹与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足. 连不等式前面可化为. 两边同时平方可得，展开得. 可得. 当时，，即，即，恒成立，所以. 当时，，即，解得或，结合，所以. 综上，不等式的解集为. 连不等式后边可化为. 两边同时平方可得，展开得. 移项可得， 当时，可得，解得. 当时， 可得，即，无解. 因为不等式的解集为，不等式的解集为，所以原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$