第四章因式分解单元复习试卷A　2024—2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下第四章因式分解单元复习试卷A 一．选择题（共10小题） 1．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（　　） A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 B．x2+y2＝（x+y）2 C．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 D． 2．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　） A．a2﹣1 B．a2+a C．（a+2）2﹣2（a+2）+1 D．a2+a﹣2 3．已知a、b、c为△ABC三边，满足a3+ab2﹣a2b﹣b3＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（　　） A．2x B．4x C．﹣4x D．4x4 5．下列各式能运用公式法进行因式分解的有（　　）个 （1）﹣a2+b2（2）16m2﹣25n2（3）9p2﹣24pq+16q2（4）（a+b）2+a+b． A．4 B．3 C．2 D．1 6．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式正确的是（　　） A．（a﹣2）（m2+m）B．m（a﹣2）（m+1） C．m（a﹣2）（m﹣1）D．（2﹣a）（m2+m） 7．已知实数m满足m2﹣m﹣1＝0，则2m3﹣3m2﹣m+9＝（　　） A．7 B．8 C．10 D．9 8．若m2＝n+2024，n2＝m+2024（m和n不相等），那么式子m3﹣2mn+n3的值为（　　） A．2024 B．﹣2024 C．2022 D．﹣2023 9．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，2，x2+1，a，x+1，分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱化 B．爱物化 C．我爱数学 D．物化数学 10．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　） A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11 二．填空题（共6小题） 11．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝　 　 ． 12．已知x、y满足，则x2﹣y2的值为　 　 ． 13．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝　 　 ． 14．若代数式x2+2（1﹣k）x+9是一个完全平方式，则k＝　 　 ． 15．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值为　 　 ． 16．（2x﹣3）（3x+1）是多项式6x2﹣7x﹣m因式分解的结果．则m的值是 　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．分解因式：（1）4m2﹣9n2；（2）﹣3ma3+6ma2﹣12ma；（3）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）； （4）m4﹣16n4；（5）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2；（6）4xy﹣（x2+4y2）． 18．利用分解因式说明：257﹣512能被60整除． 19．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　 　 ，共应用了 　 　 次； （2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2023，则需应用上述方法 　 　 次，结果是 　 　 ； （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）． 20．对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目： （1）已知：A＝2x2y+8y，B＝8xy，且A＞B，试判断y的符号； （2）已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2+c2﹣b2和2ac的大小． 21．数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组讲行因式分解．例如： a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b）+（a﹣b）×1＝（a﹣b）（a+b+1），请解决以下问题： （1）将多项式m2﹣9n2因式分解：m2﹣9n2＝　 　 ； （2）将多项式m2﹣9n2+m﹣3n因式分解； （3）△ABC的三边a，b，c满足ac﹣bc+a2﹣b2＝0，判断△ABC的形状，并说明理由． 22．下面是小字同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项），我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解：x2+4x+3． 解：原式＝x2+x+3x+3……第一步 ＝（x2+x）+（3x+3）……第二步 ＝x（x+1）+3（x+1）……第三步 ＝（x+1）（x+3）．……第四步 任务：（1）上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了 　 　 进行因式分解： A．提公因式法B．平方差公式C．完全平方公式D．整式乘法 （2）请类比材料中的例题分析，将多项式 x2﹣6x+5 因式分解． 23．阅读材料：形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用．（1）用配方法因式分解：a2+6a+8． 解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4） （2）用配方法求代数式a2+6a+8的最小值．解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1 ∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2﹣1≥﹣1，∴a2+6a+8的最小值为﹣1． 解决问题：（1）若代数式x2﹣10x+k是完全平方式，则常数k的值为 　 　 ； （2）因式分解：a2﹣12a+32＝　 　 ；（3）用配方法求代数式4x2+4x+5的最小值； （4）若实数a，b满足a2﹣5a﹣b+7＝0，则a+b的最小值为 　 　 ． 24．已知实数a，b，c，m，n满足，．（1）求证：b2﹣12ac为非负数； （2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 25．【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】（1）用十字相乘法分解因式：x2+3x﹣10； （2）用十字相乘法分解因式：5x2﹣13x﹣6； 【拓展提升】（3）结合本题知识，分解因式：6（x+y）2﹣7（x+y）﹣20． 北师大版数学8年级下第四章因式分解单元复习试卷A 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A A C B B C B 一．选择题（共10小题） 1．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（　　） A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 B．x2+y2＝（x+y）2 C．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 D． 【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可． 【解答】解：（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2是乘法运算，则A不符合题意； x2+y2＝（x+y）2中左右两边不相等，则B不符合题意； x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2符合因式分解的定义，则C符合题意； x2+4＝x（x）中等号右边不是整式积的形式，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　） A．a2﹣1 B．a2+a C．（a+2）2﹣2（a+2）+1 D．a2+a﹣2 【分析】根据因式分解的意义求解即可． 【解答】解：A、原式＝（a+1）（a﹣1），故此选项不符合题意； B、原式＝a（a+1），故此选项不符合题意； C、原式＝（a+1）2，故此选项不符合题意； D、原式＝（a﹣1）（a+2），故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题的关键． 3．已知a、b、c为△ABC三边，满足a3+ab2﹣a2b﹣b3＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【分析】首先根据题意可得：∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0．，进而得到a2+b2＝c2，a＝b，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形． 【解答】解：∵a3+ab2﹣a2b﹣b3＝c2（a﹣b）． ∴（a﹣b）（a2+b2）﹣c2（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0． ∴．a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0， ∴a＝b或a2+b2＝c2， ∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 4．将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（　　） A．2x B．4x C．﹣4x D．4x4 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：（A）4x2+2x+1，不是完全平方式，故此选项符合题意； （B）4x2+4x+1＝（2x+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意； （C）4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意； （D）4x4+4x2+1＝（2x2+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 5．下列各式能运用公式法进行因式分解的有（　　）个 （1）﹣a2+b2 （2）16m2﹣25n2 （3）9p2﹣24pq+16q2 （4）（a+b）2+a+b． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】分别利用平方差公式以及完全平方公式分解因式进而得出答案． 【解答】解：（1）﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a），故此选项正确； （2）16m2﹣25n2＝（4m+5n）（4m﹣5n），故此选项正确； （3）9p2﹣24pq+16q2＝（3p﹣4q）2，故此选项正确； （4）（a+b）2+a+b（a+b）2，故此选项正确； 故选：A． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键． 6．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式正确的是（　　） A．（a﹣2）（m2+m） B．m（a﹣2）（m+1） C．m（a﹣2）（m﹣1） D．（2﹣a）（m2+m） 【分析】首先找出公因式m（a﹣2），进而分解因式得出答案． 【解答】解：m2（a﹣2）+m（2﹣a） ＝m2（a﹣2）﹣m（a﹣2） ＝m（a﹣2）（m﹣1）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 7．已知实数m满足m2﹣m﹣1＝0，则2m3﹣3m2﹣m+9＝（　　） A．7 B．8 C．10 D．9 【分析】由题意易得m2﹣m＝1，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵m2﹣m﹣1＝0， ∴m2﹣m＝1， ∴2m3﹣3m2﹣m+9 ＝2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9 ＝2m﹣m2﹣m+9 ＝m﹣m2+9 ＝﹣（m2﹣m）+9 ＝﹣1+9 ＝8； 故选：B． 【点评】本题主要考查因式分解及整体思想，正确进行计算是解题关键． 8．若m2＝n+2024，n2＝m+2024（m和n不相等），那么式子m3﹣2mn+n3的值为（　　） A．2024 B．﹣2024 C．2022 D．﹣2023 【分析】根据已知条件，可以求得m+n＝﹣1，再将其与m2＝n+2024，n2＝m+2024代入原式计算即可． 【解答】解：∵m2＝n+2024，n2＝m+2024， ∴m2﹣n2＝n﹣m， ∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m， ∵m和n不相等， ∴m+n＝﹣1， ∴m3﹣2mn+n3 ＝m（n+2024）﹣2mn+n（m+2024） ＝mn+2024m﹣2mn+mn+2024n ＝2024（m+n） ＝2024×（﹣1） ＝﹣2024， 故选：B． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握其运算方法是解题的关键． 9．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，2，x2+1，a，x+1，分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱化 B．爱物化 C．我爱数学 D．物化数学 【分析】首先应用提取公因式法，把2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）因式分解，然后根据x﹣1，a﹣b，2，x2+1，a，x+1分别对应数，爱，我，化，物，学，判断出结果呈现的密码信息即可． 【解答】解：2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1） ＝（2a﹣2b）（x2﹣1） ＝2（a﹣b）（x﹣1）（x+1）． ∵2，a﹣b，x﹣1，x+1，分别对应我，爱，数，学， ∴结果呈现的密码信息可能是我爱数学． 故选：C． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是要明确因式分解的方法，注意平方差公式的应用． 10．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　） A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11 【分析】由已知得出a﹣c＝4，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，即可得出所求的值． 【解答】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2， ∴a﹣c＝4， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12， ∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝﹣1， 故选：B． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要灵活应用完全平方公式． 二．填空题（共6小题） 11．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝　2020　 ． 【分析】由a2+a﹣1＝0可得：a2+a＝1，等式两边同时乘以a可得：a3+a2＝a，将这两个等式代入问题进行代换即可解决问题． 【解答】解：∵a2+a﹣1＝0， ∴a2+a＝1， ∴a3+a2＝a， 又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020， ∴a3+2a2+2019＝2020， 故答案为：2020． 【点评】本题考查了因式分解的应用，利用等式的性质将条件进行变形并利用整体思想代入求值是解题的关键． 12．已知x、y满足，则x2﹣y2的值为　252　 ． 【分析】根据已知方程组求得（x+y）、（x﹣y）的值；然后利用平方差公式来求代数式的值． 【解答】解：， 由①+②得到：x+y＝2， 由①﹣②得到：x﹣y＝126， 所以x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×126＝252． 故答案为：252． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解．解题时，利用了“整体代入”是数学思想． 13．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝　﹣6　 ． 【分析】利用待定系数法即可解得． 【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得： ， 解得：， ∴， 另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得： ， ∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了待定系数法，二元一次方程组，熟练掌握待定系数法是解题关键． 14．若代数式x2+2（1﹣k）x+9是一个完全平方式，则k＝　﹣2或4　 ． 【分析】根据（a±b）2＝a2±2ab+b2，结合x2+2（1﹣k）x+9，列式计算，即可作答． 【解答】解：∵x2+2（1﹣k）x+9是一个完全平方式， ∴2（1﹣k）x＝±2x×3， 则（1﹣k）＝±3， 解得k＝﹣2或4， 故答案为：﹣2或4 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． 15．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值为　4　 ． 【分析】先把原式进行因式分解，再把m+n＝2代入进行计算即可． 【解答】解：∵m+n＝2， ∴原式＝（m+n）（m﹣n）+4n ＝2（m﹣n）+4n ＝2m﹣2n+4n ＝2（m+n） ＝2×2 ＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，解答此题的关键是利用因式分解的方法把原式化为已知条件的形式，再把m+n＝2代入进行计算． 16．（2x﹣3）（3x+1）是多项式6x2﹣7x﹣m因式分解的结果．则m的值是 　3　 ． 【分析】将已知多项式因式分解的结果化为多项式形式，利用待定系数法求出m的值即可． 【解答】解：根据题意得：（2x﹣3）（3x+1）＝6x2﹣7x﹣m， 整理得：6x2﹣7x﹣3＝6x2﹣7x﹣m， 则m的值为3． 故答案为：3． 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．分解因式： （1）4m2﹣9n2； （2）﹣3ma3+6ma2﹣12ma； （3）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）； （4）m4﹣16n4； （5）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2； （6）4xy﹣（x2+4y2）． 【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）利用提公因式法因式分解即可； （3）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （4）利用平方差公式因式分解即可； （5）利用平方差公式因式分解即可； （6）利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（2m+3n）（2m﹣3n）； （2）原式＝﹣3ma（a2﹣2a+4）； （3）原式＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（a2﹣b2） ＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）； （4）原式＝（m2+4n2）（m2﹣4n2） ＝（m2+4n2）（m+2n）（m﹣2n）； （5）原式＝[3（m+n）+4（m﹣n）][3（m+n）﹣4（m﹣n）] ＝（3m+3n+4m﹣4n）（3m+3n﹣4m+4n） ＝（7m﹣n）（7n﹣m）； （6）原式＝﹣（x2﹣4xy+4y2） ＝﹣（x﹣2y）2． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 18．利用分解因式说明：257﹣512能被60整除． 【分析】运用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再根据约数的概念进行分析． 【解答】解：∵原式＝512（52﹣1）＝24×512＝120×511． ∴257﹣512能被60整除． 【点评】此题考查了因式分解在数的计算中的应用，能够熟练运用提公因式法和平方差公式进行因式分解． 19．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　提公因式法　 ，共应用了 　2　 次； （2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2023，则需应用上述方法 　2023　 次，结果是 　（1+x）2024　 ； （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）． 【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可； （2）根据已知分解因式的方法可以得出答案； （3）由（1）中计算发现规律进而得出答案． 【解答】解：（1）因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次； 故答案为：提公因式法，2； （2）分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+xx（x+1）2013，则需应用上述方法2023次，结果是（1+x）2024； 故答案为：2023，（1+x）2024； （3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n＝（1+x）n+1． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，根据已知得出分解因式的规律是解题关键． 20．对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 请根据以上材料完成下面的题目： （1）已知：A＝2x2y+8y，B＝8xy，且A＞B，试判断y的符号； （2）已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2+c2﹣b2和2ac的大小． 【分析】（1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据三角形三边关系解答即可． 【解答】解：（1）∵A＝2x2y+8y，B＝8xy， ∴A﹣B＝2x2y+8y﹣8xy＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2， ∵A＞B， ∴A﹣B＞0， 即2y（x﹣2）2＞0， ∵（x﹣2）2≥0， ∴y＞0； （2）∵a、b、c为三角形的三边， ∴a＜c+b，a+b＞c， ∴a2+c2﹣b2﹣2ac＝（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c﹣b）（a﹣c+b）＜0， ∴a2+c2﹣b2＜2ac． 【点评】此题考查不等式的性质，关键是根据三角形三边关系和不等式的性质解答． 21．数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组讲行因式分解．例如： a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b）+（a﹣b）×1＝（a﹣b）（a+b+1）， 请解决以下问题： （1）将多项式m2﹣9n2因式分解：m2﹣9n2＝　（m﹣3n）（m+3n）　 ； （2）将多项式m2﹣9n2+m﹣3n因式分解； （3）△ABC的三边a，b，c满足ac﹣bc+a2﹣b2＝0，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）利用公式法进行因式分解即可； （2）利用公式法和提公因式法进行因式分解即可； （3）先利用公式法和提公因式法进行因式分解，可得（a﹣b）（a+b+c）＝0，根据题意，可知a+b+c≠0，因此a﹣b＝0，即a＝b，即可得出结果． 【解答】解：（1）原式＝m2﹣（3n）2 ＝（m﹣3n）（m+3n）， 故答案为：（m﹣3n）（m+3n）； （2）原式＝m2﹣（3n）2+（m﹣3n） ＝（m﹣3n）（m+3n）+（m﹣3n） ＝（m﹣3n）（m+3n+1）； （3）△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵ac﹣bc+a2﹣b2＝0， ∴c（a﹣b）+（a﹣b）（a+b）＝0， ∴（a﹣b）（a+b+c）＝0， ∵a+b+c≠0， ∴a﹣b＝0，即a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 22．下面是小字同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项），我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解：x2+4x+3． 解：原式＝x2+x+3x+3……第一步 ＝（x2+x）+（3x+3）……第二步 ＝x（x+1）+3（x+1）……第三步 ＝（x+1）（x+3）．……第四步 任务： （1）上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了 　A　 进行因式分解： A．提公因式法 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．整式乘法 （2）请类比材料中的例题分析，将多项式 x2﹣6x+5 因式分解． 【分析】（1）根据题干中因式分解的步骤即可求得答案； （2）利用提公因式法及分组分解法因式分解即可． 【解答】解：（1）上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了提公因式法进行因式分解， 故选：A； （2）x2﹣6x+5 ＝x2﹣x﹣5x+5 ＝（x2﹣x）﹣（5x﹣5） ＝x（x﹣1）﹣5（x﹣1） ＝（x﹣1）（x﹣5）． 【点评】本题考查利用提公因式法，分组分解法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 23．阅读材料：形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． （1）用配方法因式分解：a2+6a+8． 解：原式＝a2+6a+9﹣1 ＝（a+3）2﹣1 ＝（a+3﹣1）（a+3+1） ＝（a+2）（a+4） （2）用配方法求代数式a2+6a+8的最小值． 解：原式＝a2+6a+9﹣1 ＝（a+3）2﹣1 ∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2﹣1≥﹣1，∴a2+6a+8的最小值为﹣1． 解决问题： （1）若代数式x2﹣10x+k是完全平方式，则常数k的值为 　25　 ； （2）因式分解：a2﹣12a+32＝　（a﹣4）（a﹣8）　 ； （3）用配方法求代数式4x2+4x+5的最小值； 拓展应用： （4）若实数a，b满足a2﹣5a﹣b+7＝0，则a+b的最小值为 　3　 ． 【分析】（1）根据完全平方公式即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法以及非负数的性质即可求解； （4）根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵（x﹣5）2＝x2﹣10x+25， ∴k＝25， 故答案为：25； （2）a2﹣12a+32 ＝a2﹣12a+36﹣4 ＝（a﹣6）2﹣4 ＝（a﹣6+2）（a﹣6﹣2） ＝（a﹣4）（a﹣8）， 故答案为：（a﹣4）（a﹣8）； （3）4x2+4x+5＝4x2+4x+1+4＝（2x+1）2+4， ∵（2x+1）2≥0， ∴（2x+1）2+4≥4， ∴4x2+4x+5的最小值为4； （4）∵a2﹣5a﹣b+7＝0， ∴a2﹣4a﹣a﹣b+7＝0， ∴a+b＝a2﹣4a+4+3＝（a﹣2）2+3， ∵（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2+3≥3， ∴a+b的最小值为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 24．已知实数a，b，c，m，n满足，． （1）求证：b2﹣12ac为非负数； （2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 【分析】（1）根据题意，可得 b＝a（3m+n），c＝amn，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式＝a2（3m﹣n）2，根据a，m，n是实数，可知a2（3m﹣n）2≥0，即可证b2﹣12ac 为非负数． （2）m，n不可能都为整数．理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可． 【解答】解：（1）证明：∵， ∴b＝a（3m+n），c＝amn， 则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn ＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn ＝a2（9m2﹣6mn+n2） ＝a2（3m﹣n）2， ∵a，m，n是实数， ∴a2（3m﹣n）2≥0， ∴b2﹣12ac 为非负数． （2）m，n不可能都为整数． 理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数， ①当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数， 又∵， ∴b＝a（3m+n）， ∵a为奇数， ∴a（3m+n） 必为偶数，这与b为奇数矛盾； ②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数， 又∵， ∴c＝amn， ∵a为奇数， ∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾； 综上所述，m，n不可能都为整数． 【点评】本题考查的是因式分解的应用和整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 25．【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：x2+3x﹣10； （2）用十字相乘法分解因式：5x2﹣13x﹣6； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：6（x+y）2﹣7（x+y）﹣20． 【分析】（1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）将x+y看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可． 【解答】解：（1）x2+3x﹣10＝（x+5）（x﹣2）； （2）5x2﹣13x﹣6＝（x﹣3）（5x+2）； （3）6（x+y）2﹣7（x+y）﹣20 ＝[2（x+y）﹣5][3（x+y）+4] ＝（2x+2y﹣5）（3x+3y+4）． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/7 22:18:12；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$