河北省承德市第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

河北承德市第二中学 2024--2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（ ） A. 120种 B. 144种 C. 48种 D. 24种 2.曲线y=在点(4,e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. 4e2 B. 2e2 C. e2 D. e2 3.函数在时有极小值0，则（ ） A. 4 B. 6 C. 11 D. 4或11 4.已知是等比数列，，，则公比等于（ ） A. B. C. 2 D. 5.当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 6.某班星期二上午有五节课,下午有三节课,安排的课程有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育,其中数学是上午或下午连续的两节课,其余课程各一节,现将体育课安排在下午的第三节,则不同的安排方案有(　　) A. 120 B. 480 C. 600 D. 720 7.除以15的余数是（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 2 8.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是() A. (－1,2) B. (－∞，－3)∪(6，＋∞) C. (－3,6) D. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9.已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若和都为递增数列，则 10.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　) A. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种 C. 甲、乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 11.已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12.已知数列为等比数列，若，则数列的前6项和为______. 13.若对任意的，且，则实数的取值范围是__________. 14.有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有________种． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分）在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合; （3）系数的绝对值最大的项是第几项. 16.(本小题15分）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本(万元)与成正比(其中x(台)表示产量)，并知当生产20台该产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价与产量x(台)的函数关系为(万元)(其中).记当年销售该产品x台获得的利润(利润＝销售收入－生产成本)为万元. (参考数据：，，) (1)求函数的解析式； (2)当产量x为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？ 17.(本小题15分）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； （3）设求数列的前项和. 18.(本小题17分）已知函数． （1）若，求的极值； （2）若在上最大值为，求实数的值． 19.(本小题17分）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若,证明：． 参考答案： 1.【答案】A 【解析】要完成该事件分为两类； ①当最高位是5，则个位可以是0或2或4三种选择，其它位任意排列，共有种， ②当最高位是4，则个位可以是0或2两种选择，其它位任意排列，共有种， 由分类加法计数原理可知比400000大的偶数的排列方法一共有种． 故选：A． 2.【答案】C 【解析】因为y=,所以y'=. 由导数的几何意义知,曲线y=在点(4,e2)处的切线的斜率k=y'|x=4=e2, 所以切线方程为y-e2=e2(x-4). 令x=0,则y=-e2;令y=0,则x=2. 故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=×2×|-e2|=e2. 3.【答案】C 【解析】因为在时有极小值0，所以 又因为， 所以，两式相加得，则或 所以或，检验当时，， 令，解得或， 所以当时，为单调递减函数； 当或时，为单调递增函数； 所以在处取得极小值，满足题意， 当时，恒成立， 所以在上单调递增，没有极值，舍去；综上，则， 故选：C. 4.【答案】D 【解析】依题意，因为是等比数列，所以，所以，解得. 故选：D. 5.【答案】B 【解析】函数定义域为，对函数求导可得， 因为当时函数取最大值，所以， 代入（1，-2）可得以，即， 所以，所以选择B. 6.【答案】C 【解析】若数学课安排在下午,则只能安排在6,7节,其余5节课全排列,有=120(种)不同的安排方案,若数学课安排在上午,则可以是12,23,34,45,共4种,其余5节课全排列,有4×=4×120=480(种)不同的安排方案,共有120+480=600(种)不同的安排方案. 7.【答案】D 【解析】因为，所以， 根据二项式定理，， 所以即除以15的余数是1，故除以15的余数是2． 故选：D. 8.【答案】B 【解析】∵f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1， ∴f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6， ∵函数f(x)既存在极大值，又存在极小值， ∴导函数f′(x)有两个不相等的变号零点， ∴Δ＝4m2－12(m＋6)>0，即m2－3m－18>0， 解得m<－3或m>6. ∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)，故选B. 9.【答案】BC 【解析】若的公差为，则： A：在等差数列中任意两项得关系式知：， 所以，故，则，A错； B：等差数列的前项和公式， 所以，B对； C：由，即，而，即，C对； D：由题设，又是递增数列，则， 所以，即对，，而的符号无法确定，D错. 故选：BC. 10.【答案】ACD 【解析】甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 则不同的排法有A＝24(种)，故A正确； 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则不同的排法共有 AA＋A＝42(种)，故B不正确； 甲、乙不相邻的排法种数为AA＝72(种)，故C正确； 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有 ＝20(种)，故D正确． 11.【答案】AC 【解析】对于选项A，由题对函数求导得， 令，解得或，则函数在，上单调递增； 令，解得，则函数在上单调递减. 则为函数是极值点，故选项A正确； 对于选项B，因为，，， 所以函数在上有且只有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故选项B错误； 对于选项C，构造函数，且， 则函数是奇函数，是函数的对称中心， 将函数的图象向上移动一个单位得到函数的图象， 所以点是曲线的对称中心，故选项C正确； 对于选项D，令，解得，又， 当切点为时，切线方程为， 当切点为时，切线方程为，故选项D错误. 故选：AC. 12.【答案】 【解析】根据已知条件，的公比为，所以， 所以. 所以数列的前6项和为. 13.【答案】 【解析】对任意的，且，则，所以 ，所以，即，由有意义可知， 令，即，又，则函数在上单调递减，所以在上恒成立，因为，由，所以函数的单调递减区间为，所以，故， 即实数的取值范围为. 14.【答案】15 【解析】方法一　首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球， ①4个球分给1个人，有3种方法． ②4个球分给2个人，又有两种情况，1人3个、1人1个，有A＝6种方法；2人都是2个，有3种分法． ③4个球分给3个人，只有1,1,2这种情况．有3种分法． 按照分类加法计数原理可得一共有3＋6＋3＋3＝15种． 方法二　先给乙1个球，给丙2个球，则题目转化为有7个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，每人至少1个球，可将7个球排成一列，在排除两端的6个空位中，插入隔板即可，共有C＝15种分法． 15.【答案】解：（1）当n为偶数时，二项式系数最大为，此题中n为8，所以二项式系数最大为，在二项展开式中为第项，因为 所以； （2），， 当为整数时为有理项，所以， 则的取值集合为； （3）设第项的系数的绝对值最大， 则，所以，解得， 故系数的绝对值最大的项为第项和第项. 16.【答案】解：(1)依题设： 当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得： ，可得：，∴； ∴ (2)由(1)得， ， ∵∴时，，单调递增， 时，，单调递减， ∴时，取得极大值也是最大值， ， ∴当年产量为50台时，利润最大，最大利润是24.4万元. 17.【答案】解：（1）根据题意，由于，则①； 又有，，成等比数列，则②， 联立①②且， 解得，， 则， 故数列的通项公式为. （2）因为 ， 所以 ， 则； （3）因为， 所以③， ④， 则③-④得， 综上可知. 18.【答案】解：（1）若，则函数，对函数求导得， 令，解得，则函数在上单调递增； 令时，解得，则函数.在上单调递减. 又，所以函数有极大值e，无极小值； （2）对函数求导得， ①当，即时，在上恒成立， 故函数在上单调递增， 函数在上的最大值为，故，满足； ②当，即时，在上恒成立， 故函数在上单调递减， 函数在上的最大值为，故，不满足，舍去； ③当，即时，由，得， 令，解得，则函数在上单调递增； 令，解得，则函数在上单调递减. 故函数的最大值为， 所以，不满足，舍去， 综上所述，． 19.【答案】（1）解：由题可知,,． 若,,令,得,所以在上单调递增,在上单调递减； 若,, 当时,即时,在上恒成立,所以在上单调递增； 当,即或时,令,即,解得, , 当, 或（舍）, 所以在上单调递增,在上单调递减； 当时,,,且, 所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增； （2）证明：若,要证, 即证,即证． 令函数,则． 令,即，因为，所以，即，得，令,同理可得． 所以在上单调递增,在上单调递减,所以, 令函数,则． 当时,；当时,． 所以在上单调递减,在上单调递增,所以． 因为,所以, 即,从而得证． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$