专题02 平面向量范围与最值问题（4大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题02 平面向量范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：定义法 题型二：坐标法 题型三：基底法 题型四：几何意义法 【知识点梳理】 平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2、坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3、几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【典型例题】 题型一：定义法 【例1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）在中，M是上靠近点B的四等分点，若的面积为，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1-1】（24-25高一下·天津静海·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【变式1-2】（24-25高一下·江西赣州·期中）若向量，满足，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 题型二：坐标法 【例2】（24-25高一下·安徽·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数的最小值是（    ） A． B． C．4 D．5 【变式2-1】（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（   ） A． B． C． D．0 【变式2-3】（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，点D是边的中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型三：基底法 【例3】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为 ． 【变式3-3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为 题型四：几何意义法 【例4】（24-25高一下·浙江·期中）已知，且与夹角为，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为（   ） A．-8 B．-4 C．-2 D．2 【变式4-1】（24-25高一下·河南南阳·期中）已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知是两个不共线的向量，若对任意的，的最小值为，的最小值为，若，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C． D． 【强化训练】 1．（多选题）（24-25高一下·浙江台州·期中）已知向量，的夹角为，，，，则（   ） A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为 C．的最小值为 D．取得最小值时， 2．（多选题）（23-24高一下·四川·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 3．（多选题）（24-25高一下·江苏徐州·期中）如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．的最大值为5 D．若，则当三点共线时， 4．（多选题）（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图所示，线段是的弦，其中，，点D为上任意一点，则以下结论正确的是（   ）    A． B．的最大值是78 C．当时， D． 5．（多选题）（24-25高一下·湖北·期中）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（   ） A．当点在线段上移动时， B．满足的点有且只有一个 C．满足的点有两个 D．最大值为3 6．（多选题）（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为2，动点P在以AB为直径的半圆弧上（正方形ABCD内部，含边界），则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为2 C．若，则的最大值为 D．若Q为图中半圆内（含边界）的动点，则的取值范围为 7．（多选题）（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 8．（多选题）（24-25高一下·四川遂宁·期中）平行四边形中，，，.动点满足，，下列选项中正确的有（    ） A．时，的取值范围是 B．时，存在使得 C．时，动点纵坐标取值范围的长为 D．且最大时，在上的投影向量为 9．（24-25高一下·上海杨浦·期中）若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为 ． 10．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为 . 11．（24-25高一下·上海普陀·期中）如图，在等腰梯形中，，，为线段上的一个动点． (1)若，，，求的值； (2)若，为线段上一点，且，求实数的值； (3)设，，求的取值范围． 12．（24-25高一下·甘肃天水·阶段练习）如图，在中，，点为和的交点，设． (1)若，求的值； (2)若在上，，且，求的取值范围． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：定义法 题型二：坐标法 题型三：基底法 题型四：几何意义法 【知识点梳理】 平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2、坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3、几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【典型例题】 题型一：定义法 【例1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）在中，M是上靠近点B的四等分点，若的面积为，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【解析】 如图，∵ ，∴ ，设在中，所对的边为， 因为，的面积为，所以，即， 所以 ， （当且仅当时取“=”）. 故选：C 【变式1-1】（24-25高一下·天津静海·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【解析】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 【变式1-2】（24-25高一下·江西赣州·期中）若向量，满足，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，所以， 又，所以，解得， 当且仅当，且，方向相反时取等号，所以的最小值为. 故选：C. 题型二：坐标法 【例2】（24-25高一下·安徽·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数的最小值是（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解析】∵ 是两个互相垂直的单位向量， ∴ 可令 ， 因为向量满足，，所以. 所以. 所以，当 时等号成立. 故选：B 【变式2-1】（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】如图，以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则有 ，，，设，则 ， 当，时，上式最小值为. 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，点D是边的中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为D为的中点， 所以， 所以 不妨以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，， 设，则， 所以，.即：的最小值为. 故选：D. 题型三：基底法 【例3】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值. 故选：C 【变式3-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题， 因为，，所以， 因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值， 所以，解得， 又因为与的夹角为锐角，所以，故； 因为， 又有， 将模长代入， 设，即原式， 因为，所以. 因此，的最大值为. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】取的中点，作，垂足为， 则， 因为该梯形的面积为，且，， 则，即， 可得， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 【变式3-3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为 【答案】 / / 【解析】易知， 所以有. 所以，， 当且仅当同向时，等号成立， 此时取最大值3，取最大值为； 所以，， 当且仅当反向时，等号成立， 此时取最小值1，取最小值为. 故答案为：；. 题型四：几何意义法 【例4】（24-25高一下·浙江·期中）已知，且与夹角为，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为（   ） A．-8 B．-4 C．-2 D．2 【答案】B 【解析】由平面向量的平行四边形法则可得， 所以， 所以， 所以， 所以，当过时，可取得最小值， 又，又， 可得，取等号，此时， 此时与共线反向，此时最小，最小值为. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·河南南阳·期中）已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解析】因为，即为的中点，又，所以为的中点， 又正三角形的边长为，所以， 依题意，， 所以， 所以当时取得最小值， 如图，此时点在的位置，连接，则， 又，，所以， 所以， 所以. 故选：D 【变式4-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知是两个不共线的向量，若对任意的，的最小值为，的最小值为，若，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的夹角为，. 取得最小值（可通过几何意义理解，的最小值就是在垂直于方向上的投影长度）， 已知的最小值为，所以. 同理，取得最小值，已知的最小值为，所以. 由向量数量积公式. 将与相乘可得：. 将与相除可得： ，即. 设，则，整理得，即. 因式分解得，解得或（舍去）. 因为，且，所以. 故选：A． 【变式4-3】（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得取最大同时在上投影最大，则取得最大值， 如图，当 分别是最大的正三角形底边的端点， B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值， 则此时取得最大值，最大值为； 由，取最大同时在上投影最小，则取得最小值， 当分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时， ，此时达到最小值， 所以的最大值与最小值的和为. 故选：C 【强化训练】 1．（多选题）（24-25高一下·浙江台州·期中）已知向量，的夹角为，，，，则（   ） A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为 C．的最小值为 D．取得最小值时， 【答案】ABD 【解析】由条件可得，， 则在方向上的投影向量的模为，故A正确； 因， 则在方向上的投影向量的模为，故B正确； 由，其为开口朝上的一元二次函数， 故当时其有最小值，则的最小值为，故C错误； 由C选项可知，取得最小值时， 则，则，故D正确. 故选：ABD 2．（多选题）（23-24高一下·四川·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 【答案】BCD 【解析】由题意可知，正八边形每条边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于A，，故A错误； 对于B，，则以为邻边的正方形对角线长是的倍， 可得，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C正确； 对于D，设的夹角为，则， 其中为定值，只需最大即可，， 延长交延长线于，当在线段上运动时，最大， 易知为等腰直角三角形，且， 则在中，， 在等腰三角形中，， 则， 综上，BCD正确. 故选：BCD. 3．（多选题）（24-25高一下·江苏徐州·期中）如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．的最大值为5 D．若，则当三点共线时， 【答案】ACD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，由A知，， ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 所以， 当时，的最大值为5，故C正确； 对于D，当三点共线时，， ，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 4．（多选题）（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图所示，线段是的弦，其中，，点D为上任意一点，则以下结论正确的是（   ）    A． B．的最大值是78 C．当时， D． 【答案】AD 【解析】点D为上一动点，可知当点A，C，D三点共线的时候，的值最大是，故选A； ，故选D； 当时，即，此时，点D在上有两个位置，如图所示，故不止一个答案，所以，排除C选项． 对于B选项，如图1所示，建立平面直角坐标系，则点D坐标设为，A点坐标是，B点坐标是， 则，，， 所以，当，即时，取得最大值72，因此B不正确； 故选：AD. 5．（多选题）（24-25高一下·湖北·期中）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（   ） A．当点在线段上移动时， B．满足的点有且只有一个 C．满足的点有两个 D．最大值为3 【答案】ACD 【解析】建立如图所示的平面坐标系，设菱形的边长为1，，则 ， 所以， 由，得， 所以，所以， ①当点在上时，，且， 所以，故A正确； ②当点在(不含点)上时，则， 所以，化简， 所以， 因为，所以，即； ③当点在(不含点)上时，则，且， 所以，即，所以； ④当点在(不含点)上时，则， 所以，化简， 所以， 因为，所以，所以； 对于B，由①知，当时，，此时点与点重合； 由④可知当时，，，此时点在的中点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，故B错误； 对于C，由②知，当时，，，此时点在的中点； 由③知，当时，，，此时点在点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，故C正确； 对于D，由①②③④可得，当，，即点为点时，取到最大值3，故D正确. 故选：ACD. 6．（多选题）（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为2，动点P在以AB为直径的半圆弧上（正方形ABCD内部，含边界），则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为2 C．若，则的最大值为 D．若Q为图中半圆内（含边界）的动点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】在边长为2的正方形ABCD，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 对于A，，则，A正确； 以AB为直径的半圆为， 由动点P在以AB为直径的半圆上，设， 对于B，， ，，的最大值为4，B错误； 对于C，，而， 则，， 又，则当时，，C正确； 对于D，取的中点，， 而，因此，D正确. 故选：ACD 7．（多选题）（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】对于A，设，因为则， ， 由共线，得解得，所以，故A正确； 对于B，由得， 所以 所以，故B不正确； 对于C，由知是的中点，所以，，又，所以，所以，，故C正确； 对于D，设的三边分别为，依题意得，由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以，由，得或，当时， ，故D不正确. 故选：AC. 8．（多选题）（24-25高一下·四川遂宁·期中）平行四边形中，，，.动点满足，，下列选项中正确的有（    ） A．时，的取值范围是 B．时，存在使得 C．时，动点纵坐标取值范围的长为 D．且最大时，在上的投影向量为 【答案】AB 【解析】对于A，若，则在线段上（含端点）， 所以的取值范围是，故A正确； 在平行四边形中，作，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，则，， 所以，则， 对于C，，则，所以， 由， 得到，又因为动点形成的轨迹为， 所以动点形成的轨迹的长为，故C错误； 对于B，若，则，所以，， 所以令，解得，符合题意， 所以时，存在使得，故B正确； 对于D，过点作，若，则在上，又因为最大，所以与重合，作. 则在上的投影向量为，由， 则在上的投影向量为，故D错误. 故选：AB. 9．（24-25高一下·上海杨浦·期中）若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，则，， 不妨设，设， 则，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：． 10．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为 . 【答案】12 【解析】由已知可得，， 所以. 由已知可知，，， 所以，. 故答案为：. 11．（24-25高一下·上海普陀·期中）如图，在等腰梯形中，，，为线段上的一个动点． (1)若，，，求的值； (2)若，为线段上一点，且，求实数的值； (3)设，，求的取值范围． 【解析】（1）因为在等腰梯形中，所以为锐角， 又，所以， 在中，，，由余弦定理可得， 所以； （2）因为，所以，所以， 又因为为线段上一点，所以，又， 所以，解得； （3）因为为线段上的一个动点，所以存在实数，使， ， 又，所以，所以， 由，因为，可得， 所以， 因为，所以. 所以的取值范围为． 12．（24-25高一下·甘肃天水·阶段练习）如图，在中，，点为和的交点，设． (1)若，求的值； (2)若在上，，且，求的取值范围． 【解析】（1）由题意，因为，所以. 设， 则，即, ，即， 所以，解得，所以， 所以. （2）由（1）可知，所以. 设，与的夹角为，其中， 则 ， 而， 因为，所以, 即， 因为，所以， 解得. 因为，所以，即，解得. 所以的取值范围是. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$