专题03 万有引力与宇宙航行（考题猜想）-2024-2025学年高一物理下学期期末考点大串讲（人教版2019）

专题03 万有引力与宇宙航行 考点1　开普勒定律的应用 考点2 万有引力和重力的关系 考点3　万有引力定律的应用 考向1　天体的质量和密度的估算 考向2　行星(或卫星)运行参数的确定 考向3 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 考向4 宇宙速度的理解和计算 考点4 卫星或天体的追及和相遇问题 考点5 卫星变轨问题 考点6　双星及多星模型 考点1　开普勒定律的应用 对开普勒定律的三点理解 (1)开普勒定律除了适用于行星绕太阳的运动,同样适用于月球(人造卫星)绕地球的运动等天体系统。行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 ⑵由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 ⑶开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 1.(2024广东一模)如图所示为太阳系主要天体的分布示意图,下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是(　　) A.所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动 B. 地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等 C.所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等 D.地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆,且这两个椭圆必定有公共的焦点 答案 D 解析 八大行星均在椭圆轨道上运动,太阳处于椭圆其中一个焦点上,故A错误;同一行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等,故B错误;开普勒第三定律的内容为=k(k为常量),故C错误;D项表达了开普勒第一定律(轨道定律)的内容,故D正确。 开普勒定律的适用范围 (1)开普勒第二定律及其引出的推论,不仅适用于绕太阳运转的所有行星,也适用于以行星为中心的卫星,还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。但需要注意的是,不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。 (2)开普勒第三定律不仅适用于太阳系,它对具有中心天体的引力系统(如行星-卫星系统)和双星系统[=,L为双星中心的距离]都成立。 2.假如某天地球加速绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为 （ 为加速前地球绕太阳做圆周运动时与太阳间的距离），地球的公转周期变为8年，则在该轨道上地球到太阳的最远距离为( ) A. B. C. D. 答案C 解析 假设在该轨道上地球到太阳的最远距离为 ，则其半长轴 ，根据开普勒第三定律，可得 ，其中地球做圆周运动时的周期 年，做椭圆运动时的周期 年，代入可得 。 3.(2025安徽合肥阶段练习)(多选)如图所示,“天问一号”探测器在M点制动后,成功进入近火点为N的椭圆轨道,探测器在椭圆轨道上环绕数圈后,在N点再次制动后顺利进入近火圆轨道。已知探测器在近火圆轨道上的周期为T,椭圆轨道的长轴为火星半径的3倍,忽略火星的自转,则(　　) A 探测器在椭圆轨道上M、N两点的加速度大小之比为1∶2 B 探测器在椭圆轨道上M、N两点的速度大小之比为1∶2 C 探测器在椭圆轨道上的周期为T D 探测器在椭圆轨道上的周期为T 答案 BC 解析 设火星半径为R,则rM=2R,rN=R,由牛顿第二定律有maM=,maN=,得aM=,aN=,则aM∶aN=1∶4,故A错误;由开普勒第二定律知rNvN=rMvM,则vM∶vN= 1∶2,故B正确;椭圆的半长轴为a=1.5R,由开普勒第三定律有==,则T椭=T,故C正确,D错误。 4.我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第52、53颗北斗导航卫星。发射过程中，北斗52星的某一运行轨道为椭圆轨道，周期为 ，如图所示，则( ) A. 卫星绕地球飞行的轨道是个椭圆，地球处于椭圆的中心 B. 卫星在 的过程中，速率逐渐变大 C. 卫星在 过程所用的时间小于 D. 在 点卫星速度有最大值 答案C 解析 由开普勒第一定律可知，卫星绕地球飞行的轨道是个椭圆，地球处于椭圆的一个焦点上，故 错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在相等的时间内扫过的面积相等，卫星在 的过程中，卫星与地球的距离增大，速率逐渐变小，在 点卫星速度有最小值，故 、 错误；卫星在 的过程所用的时间是半个周期，由于这段运动过程中速率逐渐变小， 、 的路程相等，所以卫星在 过程所用的时间小于 过程所用的时间，则卫星在 过程所用的时间小于 ，故 正确。 考点2 万有引力和重力的关系 1.重力为地球引力的分力 如图甲所示，设地球的质量为 、半径为 ， 处物体的质量为 ，则物体受到地球吸引力为 ，方向指向地心 ，由万有引力公式得 。 图中 为物体随地球自转做圆周运动的向心力， 就是物体的重力 ，故一般情况 。 甲 2.重力和万有引力的大小关系 （1）重力与纬度的关系如图乙所示。 乙 ①在赤道： ， ，故 ，由于 最大，则 最小。 ②在两极：由于 ，故 最大。 ③在地面上其他位置， ，向心力 ，随着纬度的增大而减小，重力逐渐增大，直到等于地球对物体的万有引力。 （2）重力、重力加速度与高度的关系。 由于地球的自转角速度很小，所以一般情况下可忽略自转的影响。 ①在地球表面： ， ， 为常数。 ②在距地面 处： ， ，高度 越大，重力越小，重力加速度 越小。 5.如图所示， 、 是质量均为 的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上。如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体， 、 两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A. 、 所受地球引力大小相等 B. 、 做圆周运动的向心力大小相等 C. 、 做圆周运动的线速度大小相等 D. 、 两质点的重力大小相等 答案A 解析 设地球质量为 ，半径为 ， 、 两质点所受地球引力都是 ， 正确； 、 都随地球一起转动，其角速度一样大，但 的轨道半径大于 的轨道半径，根据 ， 可得， ， ， 、 错误；万有引力的一个分力提供物体所受的重力，另外一个分力提供向心力，可得在赤道处重力最小，随着纬度的增加，向心力在减小，重力在增大，可得重力在两极处最大， 错误。 6.设地球自转周期为 ，质量为 ，引力常量为 ，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为 。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为( ) A. B. C. D. 答案A 解析 在赤道上有 ，可得 ，在南极有 ，联立可得 ，故 正确， 、 、 错误。 7.(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M,引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是(　　) A.在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0=G B.在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1=G C.在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2=G D.在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3=G 答案 AC 解析 在北极地面称量时,物体不随地球自转,万有引力等于重力,则有F0=G,故A正确;在赤道地面称量时,万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力,则有F1<G,故B错误;在北极上空高出地面h处称量时,万有引力等于重力,则有F2=G,故C正确;在赤道上空高出地面h处称量时,万有引力大于重力,则弹簧测力计读数F3<G,故D错误。 8.(2025江苏南通开学考)如图所示为一半径为R、质量为M均匀分布的球体，从中挖去直径为R的球体,虚线过两球的球心，一质点分别位于图中的1、2、3点时，受到的万有引力分别为F1、F2、F3，则有(　　) A F1<F2=F3 B F1<F2<F3 C F1=F2=F3 D F1=F2<F3 答案 D 解析 设球体的密度为ρ,挖去小球体前的质量为M=ρ·πR3,被挖去的小球体质量为M′=ρ·π() 3=M,根据万有引力定律可得F1=-=,F3=-=,采用填补法,可知剩余部分在位置“2”的万有引力大小等于挖掉的部分在位置“2”的万有引力大小,即F2==,则有F1=F2<F3。 考点3　万有引力定律的应用 1．解答人造地球卫星运行问题的策略 (1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 (2)两种关系 ①万有引力提供向心力：G＝ma＝m＝mω2r＝m2r。 ②重力等于万有引力：＝mg(R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度)。 2．天体质量和密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 质 量 的 计 算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ 密 度 的 计 算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 3．行星(或卫星)运行参数的确定 四字结论：越高越慢 G＝ 4．人造卫星运行轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，其中一种同步卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。 考向1　天体的质量和密度的估算 1.利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg,得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 2.利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=mr,得M=。 (2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=,故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。 9.在中国航天领域迅猛发展的当下，发射卫星进一步探测火星及其周边的小行星带，能为我国深空探测打下基础。若测得某小行星表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度大小的 ，小行星的半径为地球半径的 ，地球和小行星均视为质量分布均匀的球体，则地球的密度与该小行星的密度之比为( ) A. B. C. D. 答案C 解析 由万有引力提供向心力可知 ， ， ，解得 ，某小行星表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度大小的 ，小行星的半径为地球半径的 ，则地球的密度与该小行星的密度之比为 。 10.航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求: (1)月球表面的自由落体加速度大小g月; (2)月球的质量M； (3)月球的密度ρ。 答案 (1)　(2)　(3) 解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动,有h=g月t2, 月球表面的自由落体加速度大小g月=。 (2)不考虑月球自转的影响,有G=mg月,得月球的质量M=。 (3)月球的密度ρ===。 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 11.(2025福建漳州一模)“嫦娥七号”探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆，登陆月球前假设探测器绕月球做周期为T1的匀速圆周运动，轨道半径可认为等于月球半径。月球绕地球做周期为T2的匀速圆周运动,其轨道半径为月球半径的k倍。引力常量为G,则(　　) A.根据题中所给信息可求出地球的质量 B. 根据题中所给信息可求出月球的质量 C. 周期T1和T2满足= D. 地球质量与月球质量之比= 答案 D 解析 月球绕地球近似做圆周运动,有G=m月() 2kR月,解得m地=,由于不知道月球的半径,故不能求出地球的质量,故A错误;探测器绕月球表面运动时有G=m() 2R月,解得m月=,同样不能求出月球的质量,但可知=,故B错误, D正确;开普勒第三定律是相对于同一个中心天体的,不同的中心天体该表达式不适用,故C错误。 [变式] 根据题中的信息能否求出地球和月球密度? 答案 见解析 解析 由上知m地=,V地=π, 则ρ地==, 由于未知,故不能求地球密度。 m月=,V月=π,则ρ月==,故能求出月球密度。 考向2　行星(或卫星)运行参数的确定 12.(2024湖南长沙期末)若地球自转在逐渐变慢，地球的质量与半径不变，则未来发射的地球同步卫星与现在的相比(　　) A. 离地面高度变小 B.角速度变大 C. 线速度变大 D.向心加速度变小 答案 D 解析 若地球自转在逐渐变慢,则地球的自转周期增大,未来人类发射的同步卫星周期也将增大,由=mr得卫星的轨道半径r=,则同步卫星离地面高度变大,故A错误;由=mω2r得ω=,r变大,ω减小,故B错误;由=m得v=,r变大,v减小,故C错误;由=man解得an=,r变大,an减小,故D正确。 13.我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高，极大丰富了我国自主对地观测数据源，为现代农业、防灾减灾、环境监测等领域提供了可靠稳定的卫星数据支持。系列卫星中的高分三号的轨道高度约为 ，高分四号的轨道为高度约 的地球同步轨道。若将卫星的运动均看作是绕地球的匀速圆周运动，则( ) A. 高分三号的运行周期大于 B. 高分三号的向心加速度大于 C. 高分四号的运行角速度大于地球自转的角速度 D. 高分三号的运行速度大于高分四号的运行速度 答案D 解析 根据万有引力提供向心力可知 ，解得 ，因此轨道半径越高，周期就越大，故高分三号的运行周期小于高分四号的，即小于 ，故 错误；贴着地球表面运行的人造卫星，有 ，设高分三号的向心加速度为 ，则 ，因为 ，所以 ，即高分三号的向心加速度小于 ，故 错误；高分四号处在地球同步轨道上，因此其运行角速度等于地球自转角速度，故 错误；根据万有引力提供向心力可知 ，解得 ，可知半径越大，速度越小，故高分三号的运行速度大于高分四号的运行速度，故 正确。 14. （多选）如图所示，地球半径为 ，甲、乙两颗人造卫星绕地球做圆周运动，甲离地面的高度为 ，乙离地面的高度为 。下列说法正确的是( ) A. 甲、乙做圆周运动的速率之比 B. 甲、乙做圆周运动的速率之比 C. 甲、乙做圆周运动的周期之比 D. 甲、乙做圆周运动的周期之比 答案AC 解析 选 。根据万有引力提供向心力可知 ，解得 ，故 ， 正确， 错误；又因为 ，则 ，故 , 正确， 错误。 考向3 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上物体 图示 向心力 万有引力 万有 引力 万有引力的 一个分力 轨道 半径 r同>r近=r物 角速度 ω近=,ω同=ω物=, 有ω近>ω同=ω物 线速度 v近=,v同=ω同(R+h)=, v物=ω物R,有v近>v同>v物 向心 加速度 a近=R=,a同=(R+h)= ,a物=R,有a近>a同>a物 注意 事项 忌用“越高越慢”结论比较地面上的物体和地球卫星的运动参量,因为“越高越慢”的结论适用于万有引力全部充当向心力使卫星做匀速圆周运动的情形,而地面上的物体随地球转动,充当向心力的仅是万有引力的一个分力。同样的,若地球卫星是在地球引力和其他星体或飞行器引力共同作用下的匀速圆周运动,此结论也不能直接套用 15.量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的 倍，静止卫星的轨道半径是地球半径的 倍，图中 点是地球赤道上一点。下列说法正确的是( ) A. 静止卫星与量子卫星的运行周期之比为 B. 静止卫星与 点的速度之比为 C. 静止卫星与量子卫星的速度之比为 D. 量子卫星与 点的速度之比为 答案AB 解析 选 。根据 可知 ，故静止卫星与量子卫星的运行周期之比为 ，故 正确；赤道上 点周期与静止卫星周期相同，根据 可知静止卫星与 点的速度之比为 ，故 正确；根据 可知 ，故静止卫星与量子卫星的速度之比为 ，故 错误；综上所述可知 ，则 ，则量子卫星与 点的速度之比为 ，故 错误。 16.如图所示， 为放在赤道上相对于地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动， 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径）， 为地球的同步卫星。下列关于 、 、 的说法正确的是( ) A. 卫星转动的线速度大于 B. 、 、 做匀速圆周运动的向心加速度的大小关系为 C. 、 、 做匀速圆周运动的周期关系为 D. 在 、 中， 的线速度较大 答案CD 解析 选 。 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有 ,解得 ,又由 可得 ，与第一宇宙速度大小相同，即 ，故 错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以 ，根据 ，可知 的向心加速度大于 的向心加速度，根据 得 的向心加速度大于 的向心加速度，即 ，故 错误；卫星 为地球同步卫星，所以 ，根据 ，得 的周期大于 的周期，即 ,故 正确；在 、 中，根据 可知 的线速度比 的线速度大，故 正确。 17. (2024甘肃兰州期中)(多选)四颗地球人造卫星a、b、c、d的排列位置如图所示，其中，a是静止在地球赤道上还未发射的卫星，b是近地轨道卫星，c是地球静止卫星，d是高空探测卫星,四颗卫星相比较(　　) A.a的向心加速度最大 B.b的线速度最大 C.c相对于b静止 D. d的运动周期可能是30 h 答案 BD 解析 同步卫星的周期与地球自转周期相同,角速度相同,则知a与c的角速度相同,由an=ω2r知c的向心加速度比a的大,又根据G=man,可知anb>anc>and,即b的向心加速度最大,故A错误;对于a、c卫星,根据v=ωr可知c的线速度大于a的线速度,对于b、c、d三颗卫星,由=m得v=,卫星的半径越大,线速度越小,所以b的线速度最大,故B正确;b是近地轨道卫星,c是地球静止卫星,c相对于地面静止,近地轨道卫星相对于地面运动,所以c相对于b运动,故C错误;卫星的半径越大,周期越大,所以d的运动周期大于c的周期24 h,故D正确。 考向4 宇宙速度的理解和计算 1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。 方法二：由mg＝m得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。 注意：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度。 2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 18. 我国执行火星探测任务的“天问一号”探测器成功实现环绕火星运动。如图所示， 为“天问一号”探测器， 到火星表面的高度为 ，环绕周期为 ， 为静止在火星赤道表面的物体， 到火星中心的距离为 ，火星自转周期为 。已知引力常量为 ，则( ) A. 火星的质量 B. 火星的第一宇宙速度大小 C. 与 的向心加速度大小之比 D. 与 的线速度大小之比 答案D 解析 选 。“天问一号”探测器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 ，解得 ，故 错误；根据线速度与周期的关系可得 运动的线速度 ，火星的第一宇宙速度为火星的近地卫星的线速度，而不是火星赤道表面的物体的线速度，故 错误；根据向心加速度的计算公式 , ，得 与 的向心加速度大小之比 ，故 错误；根据线速度与周期的关系得 ， ，所以 与 的线速度大小之比 ，故 正确。 19．经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。若太阳演变成一个黑洞后的密度为ρ、半径为R，设光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，引力常量为G，则ρR2的最小值是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　设太阳演变成一个黑洞后的质量为M，对于太阳表面一个质量为m的物体，根据万有引力提供向心力，有G＝m，可得太阳的第一宇宙速度为v＝，第二宇宙速度大于等于光速，又第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，则c≤v，又根据太阳演变成一个黑洞后的质量M＝ρ·πR3，联立解得ρR2≥，故B正确。 20. “嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步。已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为 ，飞行周期为 ，月球的半径为 ，引力常量为 。 （1） 求“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小。 （2） 求月球的质量。 （3） 若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度为多大？ 答案 解析⑴根据匀速圆周运动规律可得“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小 。 ⑵设月球的质量为 ，“嫦娥一号”的质量为 ，根据万有引力提供向心力得 解得 。 ⑶若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，设其质量为 ，线速度大小为 ，根据万有引力提供向心力有 解得 。 考点4 卫星或天体的追及和相遇问题 1．问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图乙时刻，地球和行星相距最远。 2．解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数。 3．卫星或天体相距最近或相距最远的条件 角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1,2,3，…)(同向)，或ω1t＋ω2t＝2nπ(n＝1,2,3，…)(反向) 相距最远 ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(同向)，或ω1t′＋ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(反向) 圈数关系 相距最近 －＝n(n＝1,2,3，…)(同向)，或＋＝n(n＝1,2,3，…)(反向) 相距最远 －＝n－(n＝1,2,3，…)(同向)，或＋＝n－(n＝1,2,3，…)(反向) 21.赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度，赤道上一观测者发现，该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为 。已知地球自转周期为 ，地球半径为 ，地球表面的重力加速 度为 ，由此可知该卫星绕地球运动的周期 和离地面的高度 为( ) A. B. C. D. 答案AC 解析 设卫星的周期为 ，则有 ,解得 ,由万有引力提供向心力有 ,又在地表处有 ,联立解得 ，故选 。 22. (2024福建泉州模拟)2023年11月3日发生木星冲日现象,木星冲日是指木星、地球和太阳几乎排列成一线,地球位于太阳与木星之间。此时木星被太阳照亮的一面完全朝向地球,所以明亮而易于观察。地球和木星绕太阳公转的方向相同,轨迹都可近似为圆,地球一年绕太阳一周,木星11.84年绕太阳一周。则(图中其他行星轨道省略未画出)(　　) A 在相同时间内,木星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等 B 木星的运行速度比地球的运行速度大 C 木星冲日现象时间间隔约为12年 D 下一次出现木星冲日现象是在2024年 答案 D 解析 对同一行星而言,它与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相等,故A错误;由G=m可得v=,故木星的运行速度比地球的小,故B错误;下一次木星冲日时有(ω地-ω木)·t=2π,其中ω地=,ω木=,解得t≈1.1年,则下一次出现木星冲日现象是在2024年,故C错误,D正确。 [变式] (1)再过大约多少年,地球和木星相距最远? (2)假设地球和木星绕太阳公转的方向相反,木星冲日现象的时间间隔约为多少年? 答案 (1)0.55年　(2)0.92年 解析 (1)相距最远有(-) t=π,解得t≈0.55年。 (2)若公转方向相反,则有(+) t=2π,解得t≈0.92年。 23.小明站在地球赤道上某点，每经过 时间，卫星 经过头顶上空一次。已知地球的自转周期为 ，卫星 轨道平面与赤道平面重合，且运动方向与地球自转方向相同，则 卫星的运动周期为( ) A. B. C. D. 答案B 解析 选 。由题意可知，每经过一段时间，卫星 比地球多转一圈；设卫星 的运动周期为 ，则 ,解得 ,故选 。 24.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表： 行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 则相邻两次“冲日”时间间隔约为(　　) A．火星365天 B．火星800天 C．天王星365天 D．天王星800天 答案　B 解析　据开普勒第三定律：＝，解得T＝T地， 设相邻两次“冲日”时间间隔为t， 则2π＝t， 解得t＝＝， 由表格中的数据得t火＝≈800天，A错，B对； t天＝≈369天，C、D错。 考点5 卫星变轨问题 1.变轨问题概述 （1）稳定运行 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即 。 （2）变轨运行 当卫星由于某种原因，其速度 突然变化时， 和 不再相等，会出现以下两种情况： ①当 时，卫星做近心运动； ②当 时，卫星做离心运动。 2.两种常见形式 （1）渐变 由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。 ①关键要点：轨道半径 减小（近心运动）。 这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径 将减小。 ②各个物理参量的变化：当轨道半径 减小时，卫星线速度 、角速度 、向心加速度 增大，周期 减小。 （2）突变 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道。 发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为 ，在 点第一次点火加速，在短时间内将速率由 增加到 ，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点 时的速率为 ，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由 增加到 ，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。 25.某卫星轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ相切于 、 两点，如图所示。停泊轨道Ⅰ距地面约 ，卫星沿轨道Ⅰ过 点的速度、加速度分别为 、 ；卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过 点的速度、加速度分别为 、 ，过 点的速度、加速度分别为 、 ；同步轨道Ⅲ距地面约 ，卫星沿轨道Ⅲ过 点的速度、加速度分别为 、 。关于该卫星，下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 答案C 解析 卫星无论沿轨道Ⅰ过 点还是沿转移椭圆轨道Ⅱ过 点，受到的万有引力相同，根据 可知加速度 ，但是卫星过 点由轨道Ⅰ到转移椭圆轨道Ⅱ需要加速，所以 ，故 错误；卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过 点受到的万有引力大于过 点受到的万有引力，根据 可知 ，卫星由轨道Ⅱ上的 点运动到轨道Ⅱ上的 点的过程中做减速运动，则 ，故 错误；同理可得，卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过 点的加速度等于沿轨道Ⅲ过 点的加速度，即 ，卫星由转移椭圆轨道Ⅱ经 点到轨道Ⅲ需要加速，故 ，故 正确；根据 可知 ，由 可知 ，又有 ，所以 ，故 错误。 “越高越慢”的三种表现形式 (1)单一椭圆轨道(图甲),表现为开普勒第二定律。即行星在椭圆轨道运动过程中,在离太阳位置越远时,速度越小。 (2)同一中心天体的多个环绕天体运动比较(图乙)。 (3)既有圆轨道又有椭圆轨道(图丙),表现为开普勒第三定律。通俗理解为,平均高度越高,运动一周时间越长,就是越慢。 26.北京时间2024年4月26日神舟十八号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十八号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　) A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可 B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可 C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 答案　D 解析　卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。 27.我国发射的天问一号探测器在被火星“捕获”进入环火星椭圆轨道Ⅰ后，再次实施近火星轨道调整，进入椭圆轨道Ⅱ，探测器运行过程简化如图，则下列说法正确的是( ) A. 探测器在 点加速才能被火星“捕获”进入环火星椭圆轨道Ⅰ B. 探测器在轨道Ⅰ上正常运行时经过 点的速度大于经过 点的速度 C. 探测器在轨道Ⅰ上正常运行时经过 点的加速度等于在轨道Ⅱ上正常运行时经过 点的加速度 D. 探测器在轨道Ⅰ上的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期 答案BC 解析 选 。探测器在 点变轨是由高轨道到低轨道，因此需要减速才能被火星“捕获”进入环火星椭圆轨道Ⅰ， 错误；在轨道Ⅰ上， 点是远火点， 点是近火点，则探测器在轨道Ⅰ上正常运行时经过 点的速度大于经过 点的速度， 正确；根据 ,解得 ,可知探测器在轨道Ⅰ上经过 点的加速度等于轨道Ⅱ上经过 点的加速度， 正确；根据 ，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，可知探测器在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期， 错误。 28.(2025福建三明三模)(多选)2024年5月3日，嫦娥六号探测器在中国文昌航天发射场成功发射。如图所示，“嫦娥六号”准确进入地月转移轨道后，先沿椭圆轨道b运动，经多次变轨后沿近月圆轨道a做匀速圆周运动,则(　　) A “嫦娥六号”应在M点点火加速,经地月转移轨道运动到N点 B“嫦娥六号”沿椭圆轨道b运动的周期比沿圆轨道a运动的周期小 C “嫦娥六号”在椭圆轨道b上N点的加速度大于在圆轨道a上N点的加速度 D“嫦娥六号”沿椭圆轨道b运动时,在远月点P的速度小于在圆轨道a上的N点的速度 答案 AD 解析 “嫦娥六号”应在M点点火加速做离心运动进入地月转移轨道,A正确;“嫦娥六号”沿椭圆轨道b运动的轨道半长轴大于沿圆轨道a运动的半径,由开普勒第三定律知周期关系为Tb>Ta,B错误;由G=ma得a=,则“嫦娥六号”在椭圆轨道b上N点的加速度等于在圆轨道a上N点的加速度,C错误;“嫦娥六号”沿椭圆轨道b运动时,在远月点P的速度小于过P点的圆轨道的速度,在圆轨道a上N点的速度大于过P点的圆轨道的速度,所以在椭圆轨道b远月点P的速度小于在圆轨道a上的N点的速度,D正确。 [变式] (1)嫦娥六号在b轨道上从近月点N到远月点P的过程,机械能如何变化?从b轨道进入a轨道,机械能如何变化? (2)若已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径约是月球半径的4倍,地心到月球球心的距离为r,不考虑地球、月球自转,假定地球、月球静止不动,用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器,探测器在地球表面附近脱离火箭,不计空气阻力,则若探测器能运动到距地心多远处,就一定能到达月球。探测器到达月球的速度可不可能为零? 答案 见解析 解析 (1)从近月点N到远月点P的过程,只有月球引力做功,机械能守恒;从b轨道进入a轨道,需要点火减速,外力做负功,机械能减少。 (2)若探测器能运动到地球对探测器的引力等于月球对探测器的引力的位置,就一定能到达月球,由=,r1+r2=r,解得r1=0.9r。探测器先减速后加速运动,到达月球的速度不可能为零。 考点6　双星及多星模型 1.双星模型(模型图见“探寻规律”图) (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即=m1r1,=m2r2。 (2)两星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。 (3)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。 (4)两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=。 (5)双星的运动周期T=2π。 (6)双星的总质量m1+m2=。 [讨论] (1)当m1=m2时,r1=r2=,ω=。 (2)当m1≪m2时,r1≈L,r2≈0,ω=,这正是我们已熟知的行星绕恒星的运转模型。 2.多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同。 常见 的三 星模型 +=man ×cos 30°×2=man 常见 的四 星模型 ×cos 45°×2+=man ×cos 30°×2+=man 29.(2024安徽芜湖阶段检测)人类首次发现的引力波来源于距地球之外 13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。如图所示,设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径,两个黑洞的总质量为M,两个黑洞中心间的距离为L,则(　　) A两黑洞的运动周期均为2π B黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度 C 两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大 D 黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量 答案 A 解析 由万有引力提供向心力有=mAω2RA=mBω2RB,其中RA+RB=L,联立解得ω=,则T==2π,A正确,C错误;由vA=ωRA,vB=ωRB,RA>RB,可知vA>vB,B错误;根据以上分析可知=,而RA>RB,故mA<mB,D错误。 [变式] (1)若经过一段时间,两黑洞的间距变为原来的p倍，运行周期变为原来的q倍，两黑洞可视为质量均匀分布的球体，试求。 (2)设想将黑洞A上的矿藏不断地搬运到黑洞B上，假设经过长时间搬运后，两黑洞仍可以看作均匀球体且之间的距离保持不变，则两黑洞之间的引力如何变化？两黑洞运动的周期如何变化? 答案 (1)1　(2)减小　不变 解析 (1)由G=mARA=mBRB,RA+RB=L,联立得=, 整理得=, 间距减小为原来的p倍,运行周期变为原来的 q倍,则有=,解得=1。 (2)两黑洞间的万有引力F=, 搬运过程mA减小,mB增大,由数学知识知mA和mB的和不变时,两者越接近乘积越大,所以当它们的质量之差逐渐增大时,它们之间的万有引力将减小。 系统的周期T=2π, 由于质量和不变,间距不变,所以周期不变。 (1)用类比法快速解决双星问题。 ①开普勒第三定律=k对双星系统仍然适用,这里的a即为双星中心间的距离,k与双星总质量有关。所以[例3]选项C中总质量M一定,则不变,L越大,T越大,ω越小;[变式](1)中,不变,故=1;[变式](2)中周期不变。 ②若mA≪mB,则可将此双星系统看作是A绕中心天体B的匀速圆周运动模型,直接根据卫星运行的周期公式即可确定[例3]选项A正确。 (2)等效双星模型。 具有与双星模型相同受力和运动特点的情形均可等效为双星模型处理。例如:小球A和B用细线连接,可在光滑水平杆上无摩擦滑动,装置绕竖直轴转动且两球与杆相对静止时(如图),两球的运动可等效为双星模型;两个异种电荷仅在库仑力作用下,绕连线上的一点做匀速圆周运动的情形,也是等效双星模型。 30.在银河系中，双星的数量非常多，估计不少于单星。研究双星，对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义。如图所示的是由 、 两颗恒星组成的双星系统， 、 绕连线上一点 做圆周运动，测得 、 两颗恒星间的距离为 ，恒星 的周期为 ，其中一颗恒星做圆周运动的向心加速度是另一颗恒星的2倍，则( ) A. 恒星 的周期为 B. 恒星 的向心加速度是恒星 的2倍 C. 、 两颗恒星质量之比为 D. 、 两颗恒星质量之和为 答案CD 解析 双星系统中周期相等，恒星 的周期为 ， 错误；根据 ，恒星 的运动半径大，可知恒星 的向心加速度是恒星 的2倍， 错误；由 选项分析可知，恒星 的运动半径是恒星 运动半径的2倍，又根据 ，可得 ， 正确；由 ，得 ， 正确。 31. 如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为 的圆轨道上运行，若三颗恒星的质量均为 ，引力常量为 ，则( ) A. 甲星所受合外力为 B. 乙星所受合外力为 C. 甲星和丙星的线速度相同 D. 甲星和丙星的加速度相同 答案A 解析 选 。运动的甲与丙都是在其余两颗星的引力作用下围绕乙做圆周运动的，所受合力 ， 正确；乙星在甲与丙的作用下保持静止，合力为零， 错误；甲与丙二者的连线始终通过圆心时才能保证合力充当向心力，故二者在任意时刻都处于同一直径的端点，即角速度相同，线速度与加速度的大小相等、方向相反， 、 错误。 32. 太空中存在一些离其他恒星很远的、由四颗星体组成的四星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。现有这样一种稳定运行的正三角形四星系统，四颗星分别位于某一正三角形三个顶点和其几何中心上。四颗星的质量均为 ，正三角形的边长为 ，引力常量为 ，则下列说法正确的是( ) A. 位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小无关 B. 该四星系统做圆周运动的半径为 C. 每个位于顶点处的星体所受向心力大小为 D. 该四星系统的运动周期为 答案D 解析 选 。该四星系统做圆周运动的半径 ， 错误；每个位于顶点处的星体所受向心力大小 ， 错误；根据牛顿第二定律得 ，解得 ，位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小有关， 错误；根据牛顿第二定律得 ，解得 ， 正确。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 万有引力与宇宙航行 考点1　开普勒定律的应用 考点2 万有引力和重力的关系 考点3　万有引力定律的应用 考向1　天体的质量和密度的估算 考向2　行星(或卫星)运行参数的确定 考向3 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 考向4 宇宙速度的理解和计算 考点4 卫星或天体的追及和相遇问题 考点5 卫星变轨问题 考点6　双星及多星模型 考点1　开普勒定律的应用 对开普勒定律的三点理解 (1)开普勒定律除了适用于行星绕太阳的运动,同样适用于月球(人造卫星)绕地球的运动等天体系统。行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 ⑵由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 ⑶开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 1.(2024广东一模)如图所示为太阳系主要天体的分布示意图,下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是(　　) A.所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动 B. 地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等 C.所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等 D.地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆,且这两个椭圆必定有公共的焦点 开普勒定律的适用范围 (1)开普勒第二定律及其引出的推论,不仅适用于绕太阳运转的所有行星,也适用于以行星为中心的卫星,还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。但需要注意的是,不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。 (2)开普勒第三定律不仅适用于太阳系,它对具有中心天体的引力系统(如行星-卫星系统)和双星系统[=,L为双星中心的距离]都成立。 2.假如某天地球加速绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为 （ 为加速前地球绕太阳做圆周运动时与太阳间的距离），地球的公转周期变为8年，则在该轨道上地球到太阳的最远距离为( ) A. B. C. D. 3.(2025安徽合肥阶段练习)(多选)如图所示,“天问一号”探测器在M点制动后,成功进入近火点为N的椭圆轨道,探测器在椭圆轨道上环绕数圈后,在N点再次制动后顺利进入近火圆轨道。已知探测器在近火圆轨道上的周期为T,椭圆轨道的长轴为火星半径的3倍,忽略火星的自转,则(　　) A 探测器在椭圆轨道上M、N两点的加速度大小之比为1∶2 B 探测器在椭圆轨道上M、N两点的速度大小之比为1∶2 C 探测器在椭圆轨道上的周期为T D 探测器在椭圆轨道上的周期为T 4.我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第52、53颗北斗导航卫星。发射过程中，北斗52星的某一运行轨道为椭圆轨道，周期为 ，如图所示，则( ) A. 卫星绕地球飞行的轨道是个椭圆，地球处于椭圆的中心 B. 卫星在 的过程中，速率逐渐变大 C. 卫星在 过程所用的时间小于 D. 在 点卫星速度有最大值 考点2 万有引力和重力的关系 1.重力为地球引力的分力 如图甲所示，设地球的质量为 、半径为 ， 处物体的质量为 ，则物体受到地球吸引力为 ，方向指向地心 ，由万有引力公式得 。 图中 为物体随地球自转做圆周运动的向心力， 就是物体的重力 ，故一般情况 。 甲 2.重力和万有引力的大小关系 （1）重力与纬度的关系如图乙所示。 乙 ①在赤道： ， ，故 ，由于 最大，则 最小。 ②在两极：由于 ，故 最大。 ③在地面上其他位置， ，向心力 ，随着纬度的增大而减小，重力逐渐增大，直到等于地球对物体的万有引力。 （2）重力、重力加速度与高度的关系。 由于地球的自转角速度很小，所以一般情况下可忽略自转的影响。 ①在地球表面： ， ， 为常数。 ②在距地面 处： ， ，高度 越大，重力越小，重力加速度 越小。 5.如图所示， 、 是质量均为 的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上。如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体， 、 两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A. 、 所受地球引力大小相等 B. 、 做圆周运动的向心力大小相等 C. 、 做圆周运动的线速度大小相等 D. 、 两质点的重力大小相等 6.设地球自转周期为 ，质量为 ，引力常量为 ，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为 。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为( ) A. B. C. D. 7.(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M,引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是(　　) A.在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0=G B.在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1=G C.在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2=G D.在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3=G 8.(2025江苏南通开学考)如图所示为一半径为R、质量为M均匀分布的球体，从中挖去直径为R的球体,虚线过两球的球心，一质点分别位于图中的1、2、3点时，受到的万有引力分别为F1、F2、F3，则有(　　) A F1<F2=F3 B F1<F2<F3 C F1=F2=F3 D F1=F2<F3 考点3　万有引力定律的应用 1．解答人造地球卫星运行问题的策略 (1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 (2)两种关系 ①万有引力提供向心力：G＝ma＝m＝mω2r＝m2r。 ②重力等于万有引力：＝mg(R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度)。 2．天体质量和密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 质 量 的 计 算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ 密 度 的 计 算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 3．行星(或卫星)运行参数的确定 四字结论：越高越慢 G＝ 4．人造卫星运行轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，其中一种同步卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。 考向1　天体的质量和密度的估算 1.利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg,得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 2.利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=mr,得M=。 (2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=,故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。 9.在中国航天领域迅猛发展的当下，发射卫星进一步探测火星及其周边的小行星带，能为我国深空探测打下基础。若测得某小行星表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度大小的 ，小行星的半径为地球半径的 ，地球和小行星均视为质量分布均匀的球体，则地球的密度与该小行星的密度之比为( ) A. B. C. D. 10.航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求: (1)月球表面的自由落体加速度大小g月; (2)月球的质量M； (3)月球的密度ρ。 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 11.(2025福建漳州一模)“嫦娥七号”探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆，登陆月球前假设探测器绕月球做周期为T1的匀速圆周运动，轨道半径可认为等于月球半径。月球绕地球做周期为T2的匀速圆周运动,其轨道半径为月球半径的k倍。引力常量为G,则(　　) A.根据题中所给信息可求出地球的质量 B. 根据题中所给信息可求出月球的质量 C. 周期T1和T2满足= D. 地球质量与月球质量之比= [变式] 根据题中的信息能否求出地球和月球密度? 考向2　行星(或卫星)运行参数的确定 12.(2024湖南长沙期末)若地球自转在逐渐变慢，地球的质量与半径不变，则未来发射的地球同步卫星与现在的相比(　　) A. 离地面高度变小 B.角速度变大 C. 线速度变大 D.向心加速度变小 13.我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高，极大丰富了我国自主对地观测数据源，为现代农业、防灾减灾、环境监测等领域提供了可靠稳定的卫星数据支持。系列卫星中的高分三号的轨道高度约为 ，高分四号的轨道为高度约 的地球同步轨道。若将卫星的运动均看作是绕地球的匀速圆周运动，则( ) A. 高分三号的运行周期大于 B. 高分三号的向心加速度大于 C. 高分四号的运行角速度大于地球自转的角速度 D. 高分三号的运行速度大于高分四号的运行速度 14. （多选）如图所示，地球半径为 ，甲、乙两颗人造卫星绕地球做圆周运动，甲离地面的高度为 ，乙离地面的高度为 。下列说法正确的是( ) A. 甲、乙做圆周运动的速率之比 B. 甲、乙做圆周运动的速率之比 C. 甲、乙做圆周运动的周期之比 D. 甲、乙做圆周运动的周期之比 考向3 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上物体 图示 向心力 万有引力 万有 引力 万有引力的 一个分力 轨道 半径 r同>r近=r物 角速度 ω近=,ω同=ω物=, 有ω近>ω同=ω物 线速度 v近=,v同=ω同(R+h)=, v物=ω物R,有v近>v同>v物 向心 加速度 a近=R=,a同=(R+h)= ,a物=R,有a近>a同>a物 注意 事项 忌用“越高越慢”结论比较地面上的物体和地球卫星的运动参量,因为“越高越慢”的结论适用于万有引力全部充当向心力使卫星做匀速圆周运动的情形,而地面上的物体随地球转动,充当向心力的仅是万有引力的一个分力。同样的,若地球卫星是在地球引力和其他星体或飞行器引力共同作用下的匀速圆周运动,此结论也不能直接套用 15.量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的 倍，静止卫星的轨道半径是地球半径的 倍，图中 点是地球赤道上一点。下列说法正确的是( ) A. 静止卫星与量子卫星的运行周期之比为 B. 静止卫星与 点的速度之比为 C. 静止卫星与量子卫星的速度之比为 D. 量子卫星与 点的速度之比为 16.如图所示， 为放在赤道上相对于地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动， 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径）， 为地球的同步卫星。下列关于 、 、 的说法正确的是( ) A. 卫星转动的线速度大于 B. 、 、 做匀速圆周运动的向心加速度的大小关系为 C. 、 、 做匀速圆周运动的周期关系为 D. 在 、 中， 的线速度较大 17. (2024甘肃兰州期中)(多选)四颗地球人造卫星a、b、c、d的排列位置如图所示，其中，a是静止在地球赤道上还未发射的卫星，b是近地轨道卫星，c是地球静止卫星，d是高空探测卫星,四颗卫星相比较(　　) A.a的向心加速度最大 B.b的线速度最大 C.c相对于b静止 D. d的运动周期可能是30 h 考向4 宇宙速度的理解和计算 1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。 方法二：由mg＝m得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。 注意：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度。 2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 18. 我国执行火星探测任务的“天问一号”探测器成功实现环绕火星运动。如图所示， 为“天问一号”探测器， 到火星表面的高度为 ，环绕周期为 ， 为静止在火星赤道表面的物体， 到火星中心的距离为 ，火星自转周期为 。已知引力常量为 ，则( ) A. 火星的质量 B. 火星的第一宇宙速度大小 C. 与 的向心加速度大小之比 D. 与 的线速度大小之比 19．经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。若太阳演变成一个黑洞后的密度为ρ、半径为R，设光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，引力常量为G，则ρR2的最小值是(　　) A． B． C． D． 20. “嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步。已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为 ，飞行周期为 ，月球的半径为 ，引力常量为 。 （1） 求“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小。 （2） 求月球的质量。 （3） 若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度为多大？ 考点4 卫星或天体的追及和相遇问题 1．问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图乙时刻，地球和行星相距最远。 2．解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数。 3．卫星或天体相距最近或相距最远的条件 角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1,2,3，…)(同向)，或ω1t＋ω2t＝2nπ(n＝1,2,3，…)(反向) 相距最远 ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(同向)，或ω1t′＋ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(反向) 圈数关系 相距最近 －＝n(n＝1,2,3，…)(同向)，或＋＝n(n＝1,2,3，…)(反向) 相距最远 －＝n－(n＝1,2,3，…)(同向)，或＋＝n－(n＝1,2,3，…)(反向) 21.赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度，赤道上一观测者发现，该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为 。已知地球自转周期为 ，地球半径为 ，地球表面的重力加速 度为 ，由此可知该卫星绕地球运动的周期 和离地面的高度 为( ) A. B. C. D. 22. (2024福建泉州模拟)2023年11月3日发生木星冲日现象,木星冲日是指木星、地球和太阳几乎排列成一线,地球位于太阳与木星之间。此时木星被太阳照亮的一面完全朝向地球,所以明亮而易于观察。地球和木星绕太阳公转的方向相同,轨迹都可近似为圆,地球一年绕太阳一周,木星11.84年绕太阳一周。则(图中其他行星轨道省略未画出)(　　) A 在相同时间内,木星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等 B 木星的运行速度比地球的运行速度大 C 木星冲日现象时间间隔约为12年 D 下一次出现木星冲日现象是在2024年 [变式] (1)再过大约多少年,地球和木星相距最远? (2)假设地球和木星绕太阳公转的方向相反,木星冲日现象的时间间隔约为多少年? 23.小明站在地球赤道上某点，每经过 时间，卫星 经过头顶上空一次。已知地球的自转周期为 ，卫星 轨道平面与赤道平面重合，且运动方向与地球自转方向相同，则 卫星的运动周期为( ) A. B. C. D. 24.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表： 行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 则相邻两次“冲日”时间间隔约为(　　) A．火星365天 B．火星800天 C．天王星365天 D．天王星800天 考点5 卫星变轨问题 1.变轨问题概述 （1）稳定运行 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即 。 （2）变轨运行 当卫星由于某种原因，其速度 突然变化时， 和 不再相等，会出现以下两种情况： ①当 时，卫星做近心运动； ②当 时，卫星做离心运动。 2.两种常见形式 （1）渐变 由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。 ①关键要点：轨道半径 减小（近心运动）。 这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径 将减小。 ②各个物理参量的变化：当轨道半径 减小时，卫星线速度 、角速度 、向心加速度 增大，周期 减小。 （2）突变 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道。 发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为 ，在 点第一次点火加速，在短时间内将速率由 增加到 ，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点 时的速率为 ，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由 增加到 ，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。 25.某卫星轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ相切于 、 两点，如图所示。停泊轨道Ⅰ距地面约 ，卫星沿轨道Ⅰ过 点的速度、加速度分别为 、 ；卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过 点的速度、加速度分别为 、 ，过 点的速度、加速度分别为 、 ；同步轨道Ⅲ距地面约 ，卫星沿轨道Ⅲ过 点的速度、加速度分别为 、 。关于该卫星，下列说法正确的是( ) A. B. C. D. “越高越慢”的三种表现形式 (1)单一椭圆轨道(图甲),表现为开普勒第二定律。即行星在椭圆轨道运动过程中,在离太阳位置越远时,速度越小。 (2)同一中心天体的多个环绕天体运动比较(图乙)。 (3)既有圆轨道又有椭圆轨道(图丙),表现为开普勒第三定律。通俗理解为,平均高度越高,运动一周时间越长,就是越慢。 26.北京时间2024年4月26日神舟十八号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十八号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　) A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可 B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可 C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 27.我国发射的天问一号探测器在被火星“捕获”进入环火星椭圆轨道Ⅰ后，再次实施近火星轨道调整，进入椭圆轨道Ⅱ，探测器运行过程简化如图，则下列说法正确的是( ) A. 探测器在 点加速才能被火星“捕获”进入环火星椭圆轨道Ⅰ B. 探测器在轨道Ⅰ上正常运行时经过 点的速度大于经过 点的速度 C. 探测器在轨道Ⅰ上正常运行时经过 点的加速度等于在轨道Ⅱ上正常运行时经过 点的加速度 D. 探测器在轨道Ⅰ上的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期 28.(2025福建三明三模)(多选)2024年5月3日，嫦娥六号探测器在中国文昌航天发射场成功发射。如图所示，“嫦娥六号”准确进入地月转移轨道后，先沿椭圆轨道b运动，经多次变轨后沿近月圆轨道a做匀速圆周运动,则(　　) A “嫦娥六号”应在M点点火加速,经地月转移轨道运动到N点 B“嫦娥六号”沿椭圆轨道b运动的周期比沿圆轨道a运动的周期小 C “嫦娥六号”在椭圆轨道b上N点的加速度大于在圆轨道a上N点的加速度 D“嫦娥六号”沿椭圆轨道b运动时,在远月点P的速度小于在圆轨道a上的N点的速度 [变式] (1)嫦娥六号在b轨道上从近月点N到远月点P的过程,机械能如何变化?从b轨道进入a轨道,机械能如何变化? (2)若已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径约是月球半径的4倍,地心到月球球心的距离为r,不考虑地球、月球自转,假定地球、月球静止不动,用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器,探测器在地球表面附近脱离火箭,不计空气阻力,则若探测器能运动到距地心多远处,就一定能到达月球。探测器到达月球的速度可不可能为零? 考点6　双星及多星模型 1.双星模型(模型图见“探寻规律”图) (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即=m1r1,=m2r2。 (2)两星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。 (3)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。 (4)两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=。 (5)双星的运动周期T=2π。 (6)双星的总质量m1+m2=。 [讨论] (1)当m1=m2时,r1=r2=,ω=。 (2)当m1≪m2时,r1≈L,r2≈0,ω=,这正是我们已熟知的行星绕恒星的运转模型。 2.多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同。 常见 的三 星模型 +=man ×cos 30°×2=man 常见 的四 星模型 ×cos 45°×2+=man ×cos 30°×2+=man 29.(2024安徽芜湖阶段检测)人类首次发现的引力波来源于距地球之外 13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。如图所示,设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径,两个黑洞的总质量为M,两个黑洞中心间的距离为L,则(　　) A两黑洞的运动周期均为2π B黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度 C 两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大 D 黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量 [变式] (1)若经过一段时间,两黑洞的间距变为原来的p倍，运行周期变为原来的q倍，两黑洞可视为质量均匀分布的球体，试求。 (2)设想将黑洞A上的矿藏不断地搬运到黑洞B上，假设经过长时间搬运后，两黑洞仍可以看作均匀球体且之间的距离保持不变，则两黑洞之间的引力如何变化？两黑洞运动的周期如何变化? (1)用类比法快速解决双星问题。 ①开普勒第三定律=k对双星系统仍然适用,这里的a即为双星中心间的距离,k与双星总质量有关。所以[例3]选项C中总质量M一定,则不变,L越大,T越大,ω越小;[变式](1)中,不变,故=1;[变式](2)中周期不变。 ②若mA≪mB,则可将此双星系统看作是A绕中心天体B的匀速圆周运动模型,直接根据卫星运行的周期公式即可确定[例3]选项A正确。 (2)等效双星模型。 具有与双星模型相同受力和运动特点的情形均可等效为双星模型处理。例如:小球A和B用细线连接,可在光滑水平杆上无摩擦滑动,装置绕竖直轴转动且两球与杆相对静止时(如图),两球的运动可等效为双星模型;两个异种电荷仅在库仑力作用下,绕连线上的一点做匀速圆周运动的情形,也是等效双星模型。 30.在银河系中，双星的数量非常多，估计不少于单星。研究双星，对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义。如图所示的是由 、 两颗恒星组成的双星系统， 、 绕连线上一点 做圆周运动，测得 、 两颗恒星间的距离为 ，恒星 的周期为 ，其中一颗恒星做圆周运动的向心加速度是另一颗恒星的2倍，则( ) A. 恒星 的周期为 B. 恒星 的向心加速度是恒星 的2倍 C. 、 两颗恒星质量之比为 D. 、 两颗恒星质量之和为 31. 如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为 的圆轨道上运行，若三颗恒星的质量均为 ，引力常量为 ，则( ) A. 甲星所受合外力为 B. 乙星所受合外力为 C. 甲星和丙星的线速度相同 D. 甲星和丙星的加速度相同 32. 太空中存在一些离其他恒星很远的、由四颗星体组成的四星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。现有这样一种稳定运行的正三角形四星系统，四颗星分别位于某一正三角形三个顶点和其几何中心上。四颗星的质量均为 ，正三角形的边长为 ，引力常量为 ，则下列说法正确的是( ) A. 位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小无关 B. 该四星系统做圆周运动的半径为 C. 每个位于顶点处的星体所受向心力大小为 D. 该四星系统的运动周期为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$