精品解析：江苏省2025年中职职教高考文化统考数学试题

江苏省2025年中职职教高考文化统考 数学 试卷 注意事项： 1．本卷分为试卷和答题卡两部分，考生必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效． 2．作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试卷和答题卡的指定位置． 3．考试结束时，须将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1. 下列对象不能组成集合的是（ ） A. 乖巧听话的孩子 B. 中国古代四大发明 C. 小于30的正整数 D. 26个小写英文字母 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中元素的特征，即可求解. 【详解】集合中的元素具有确定性、互异性、无序性． 对于A：“乖巧听话”没有明确的、客观的界定标准，不满足元素的确定性，所以不能组成集合，所以A符合题意； 对于B：“中国古代四大发明”(造纸术、印刷术、火药、指南针)是明确的、确定的，可以组成集合，所以B不符合题意； 对于C：“小于30的正整数”，这些数是明确可确定的，能组成集合，所以C不符合题意； 对于D：“26个小写英文字母”是确定的，也能组成集合，所以D不符合题意. 故选：A. 2. 已知复数为实数，则复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数概念，结合共轭复数的定义，即可求解. 【详解】由题意知复数为实数， 所以虚部，即， 所以复数， 则复数的共轭复数是. 故选：D. 3. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】已知，则， 又，所以. 故选：． 4. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充要条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，比如，不能推出． 当成立，那么一定有成立，即由“”能推出“”； 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选：B． 5. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式计算求解即可. 【详解】因为， 所以 ， 故选：B. 6. 已知，则的值是（ ） A. 15 B. 21 C. 30 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数性质，求，再根据组合数公式求解即可. 【详解】根据组合数性质，因为，则． 所以， 可得. 故选：． 7. 已知圆锥的侧面积为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的底面半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥母线长为，底面半径为，由圆锥侧面展开图的圆心角为得出与的关系，再由侧面积为即可求解. 【详解】设圆锥母线长为，底面半径为．圆锥侧面展开图圆心角为即， 其弧长等于底面圆周长，有，得． 又圆锥侧面积，将代入可得，解得. 故选：C. 8. 已知平行四边形，点在对角线上，，且，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的几何性质和向量运算性质，即可求出. 【详解】在平行四边形中，对角线， 又， ， 已知，则. 故选：C. 9. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】的最小值即焦点到渐近线的距离，根据双曲线方程求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式计算即可得出结果. 【详解】对于双曲线， 这里，则， 右焦点，渐近线方程为. 最小值即焦点到渐近线的距离， 取渐近线，即， 则到该渐近线的距离， 所以最小值为. 故选：B. 10. 若实数满足，其中，则的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】令，结合题意将变形成，利用均值不等式即可得解. 【详解】实数满足，其中， 令，则， 已知， 将变形为， 展开可得：， 对于，有， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值是5， 故选：. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 函数的最小正周期是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦型函数的周期性，即可求解. 【详解】根据正弦型函数的周期性可知，函数的最小正周期为． 故答案为：. 12. 若数列的前项和为，则_____． 【答案】27 【解析】 【分析】根据数列前项和与通项的关系，分析求解即可. 【详解】由数列前项和与通项的关系可得： ， 因为， 所以， 所以． 故答案为：. 13. 以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆圆心坐标，再根据抛物线的焦点坐标写出标准方程即可． 【详解】由圆的一般方程为，所以圆心为，所以抛物线的焦点为， 故抛物线的焦点在轴负半轴，开口向左， 设抛物线的标准方程为，且， 所以，所以抛物线标准方程为． 故答案为：. 14. 已知分别是正方体的边上的点，若，则异面直线与所成的角等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面几何证得，再利用平行线的传递性得到，从而得到为异面直线与所成的角（或其补角），再证得是等边三角形，从而得解. 【详解】连接， 因为在正方体中，，又， 所以，故， 因为在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，则， 所以，则为异面直线与所成的角（或其补角）， 在正方体中，为其面对角线，易得， 所以是等边三角形，所以，即异面直线与所成的角为. 故答案为：. 15. 已知函数若关于的方程恰有3个不同的解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】函数解析式作出图像结合题意即可得解. 【详解】 如图所示，根据题意作出图像， 令，显然是单调函数， 则方程变为， 有图可知，当时，方程有三个解，即方程有三个解， 所以的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知直线经过点． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入直线方程求实数的值； （2）利用对数函数的单调性解不等式即可得解. 【小问1详解】 因为直线经过点， 将点代入直线方程中， 可得，即， 解得． 【小问2详解】 由（1）知， 则可化为． 因为对数函数在上单调递增， 当时， 有，解得． 综上可知，不等式的解集为． 17. 已知函数在区间上的最大值为9，最小值为2. （1）求实数的值； （2）设函数，试判断函数的奇偶性. 【答案】（1） （2）奇函数 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的单调性得到关于的方程组，解之即可得解； （2）结合（1）中结论，利用奇函数的判定方法，结合指数的运算法则即可判断. 【小问1详解】 因为，所以函数在上单调递增， 则在上的最小值为，最大值为， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 是奇函数，理由如下： 由（1）知， 则，其定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. 18. 随着科技的不断进步，人形机器人被广泛应用于诸多领域．某企业购买了4台人形机器人从事某条流水线上的4项工作．假定4台机器人分别为甲、乙、丙、丁，4项工作按流程依次为．给每台机器人随机分配1项工作，且每项工作仅由1台机器人完成．求下列事件的概率： （1）甲恰好分配到D项工作； （2）乙和丙分配到的工作不相邻； （3）甲没有分配到G项工作，且丁没有分配到D项工作． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据排列数的应用求出基本事件总数，再求出事件A包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式(其中是基本事件总数，是事件A包含的基本事件数)计算概率； （2）根据题意，结合排列数的应用，利用捆绑法先求出乙和丙分配到的工作相邻的事件数，继而求得乙和丙分配到的工作不相邻的事件数，结合古典概率计算公式，即可求解； （3）根据题意，结合排列数的应用，先求得甲分配到项工作或丁分配到项工作的事件数，继而求得甲没有分配到G项工作，且丁没有分配到D项工作的事件数，结合古典概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，4台机器人分配4项工作，总的分配方法数为种， 若甲恰好分配到项工作，那么剩下3台机器人分配剩下3项工作，方法数为种， 根据古典概型概率公式，甲恰好分配到D项工作的概率； 【小问2详解】 由题意，先求出乙和丙分配到的工作相邻的事件数．把乙和丙看作一个整体(捆绑法)， 与甲、丁全排列，有种排法，同时乙和丙之间有种排法， 所以乙和丙分配到的工作相邻的情况共有种； 那么乙和丙分配到的工作不相邻的事件数为种， 根据古典概型概率公式，乙和丙分配到的工作不相邻的概率为； 【小问3详解】 由题意，甲分配到项工作共有种； 丁分配到项工作有种； 甲分配到项工作且丁分配到项工作，有种； 所以甲分配到项工作或丁分配到项工作的事件数为种． 所以甲没有分配到项工作，且丁没有分配到项工作的情况数为种． 根据古典概型概率公式，甲没有分配到G项工作，且丁没有分配到D项工作的概率为． 19. 在中，角对应的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的面积和边上的高． 【答案】（1） （2）的面积为边上的高为 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理，对式子化简解得角C； （2）首先利用余弦定理解得a，进而求得的面积和边上的高. 【小问1详解】 在中，， 所以 已知， 则． 由正弦定理(为外接圆半径)， 可得． 将其代入上式可得，化简得， 即，移项得． 根据余弦定理，把代入可得． 因为，所以． 【小问2详解】 已知， 由余弦定理，可得， 即，整理为，因式分解得， 解得或(边长不能为负舍去)． 可得． 设边上的高为，因为，又， 即，解得． 20. 江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： （1）当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ （2）当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 【答案】（1）75元 （2）65元；72000元 【解析】 【分析】（1）我们可以根据票价和游客数的变化关系来计算当游客数为1000人时的票价． （2）需要先建立收益与票价的函数关系，再通过函数性质求出最大收益以及对应的票价. 【小问1详解】 当天的游客数为1000人时，当天的票价设为元． 所以，解得， 即当天的游客数为1000人时，当天的票价应为75元． 【小问2详解】 设票价为元，利润为元．票价相对于50元的提高量为元， 票价每提高5元，游客数减少100人， 因此游客数减少量为人， 游客数为人． 收益为票价乘以游客数：， 维护成本为游客数的5倍：成本， 利润收益减去成本： 一成本， 这是一个关于的二次函数，开口向下，其最大值出现在顶点处．顶点的横坐标为：元， 计算最大利润： 此时，游客数人． 即当天的票价应为65元时，最大收益为72000元． 21. 在斜三棱柱中，底面，四边形为正方形. （1）求证：平面平面； （2）设，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定、面面垂直的判定证明即可； （2）根据等体积法以及棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 连接， 因为底面，所以， 因为为斜三棱柱，所以为平行四边形，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，， 所以， 所以， 则的体积为. 22. 已知等差数列的首项且满足. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前项和. （3）若数列满足，且.证明：数列是等比数列，并求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的通项公式即可得解. （）根据，利用求和公式的定义列出式子即可得解. （）根据递推关系得出，构造辅助数列，结合等比数列的定义及求和公式与等差数列的求和公式即可得解. 【小问1详解】 依题意，设等差数列的首项，公差为，因为， 则， 所以. 【小问2详解】 由（1）得 ， 所以， 【小问3详解】 因为，所以， 令， 则， 又，所以， 则数列为首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 所以 ， 23. 已知椭圆的长轴长为4，且右准线方程为． （1）求椭圆的标准方程和离心率； （2）设为椭圆的上顶点，、为椭圆上异于点的任意两点，以线段为直径的圆恒过点．证明：直径过定点，并求定点坐标． 【答案】（1）， （2）证明见解析，定点 【解析】 【分析】（1）由椭圆准线方程列出式子解得，进而得到椭圆方程和离心率； （2）分情况设出直线方程，联立椭圆方程，根据向量的垂直坐标表示结合韦达定理求出直线，即可得出直线过定点. 【小问1详解】 已知椭圆的长轴长为4，即，所以． 其右准线方程，其中，解得，， 即离心率，椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 已知，设， 当直线斜率存在时，设直线的方程为． 联立直线与椭圆方程，得：， 展开并整理得． 由韦达定理可得． 因为，以为直径的圆恒过点， 所以，则． 将代入上式得：， 整理得， 把代入上式： ， ， ， 即，因式分解得， 因为异于点，所以，解得． 所以直线的方程为，恒过定点． 当直线斜率不存在时，设直线方程为， 由可得，又， 联立求解发现无解，这种情况不成立． 综上，直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省2025年中职职教高考文化统考 数学 试卷 注意事项： 1．本卷分为试卷和答题卡两部分，考生必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效． 2．作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试卷和答题卡的指定位置． 3．考试结束时，须将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1. 下列对象不能组成集合的是（ ） A. 乖巧听话的孩子 B. 中国古代四大发明 C. 小于30的正整数 D. 26个小写英文字母 2. 已知复数为实数，则复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 5. 已知，则的值是（ ） A B. C. D. 6. 已知，则的值是（ ） A. 15 B. 21 C. 30 D. 42 7. 已知圆锥的侧面积为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的底面半径是（ ） A B. C. D. 8. 已知平行四边形，点在对角线上，，且，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 9. 已知双曲线右焦点为，点在双曲线的渐近线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 10. 若实数满足，其中，则的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 25 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 函数的最小正周期是_____． 12. 若数列的前项和为，则_____． 13. 以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程是_____． 14. 已知分别是正方体的边上的点，若，则异面直线与所成的角等于_____. 15. 已知函数若关于方程恰有3个不同的解，则的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知直线经过点． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式． 17. 已知函数在区间上的最大值为9，最小值为2. （1）求实数的值； （2）设函数，试判断函数的奇偶性. 18. 随着科技的不断进步，人形机器人被广泛应用于诸多领域．某企业购买了4台人形机器人从事某条流水线上的4项工作．假定4台机器人分别为甲、乙、丙、丁，4项工作按流程依次为．给每台机器人随机分配1项工作，且每项工作仅由1台机器人完成．求下列事件的概率： （1）甲恰好分配到D项工作； （2）乙和丙分配到的工作不相邻； （3）甲没有分配到G项工作，且丁没有分配到D项工作． 19. 在中，角对应的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的面积和边上的高． 20. 江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： （1）当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ （2）当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 21. 在斜三棱柱中，底面，四边形为正方形. （1）求证：平面平面； （2）设，求四棱锥的体积. 22. 已知等差数列的首项且满足. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前项和. （3）若数列满足，且.证明：数列是等比数列，并求数列的前项和. 23. 已知椭圆的长轴长为4，且右准线方程为． （1）求椭圆标准方程和离心率； （2）设为椭圆的上顶点，、为椭圆上异于点的任意两点，以线段为直径的圆恒过点．证明：直径过定点，并求定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$