2.3 正弦定理、余弦定理（教案）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（语文版2021·拓展模块一）

课 题 2.3 正弦定理、余弦定理 课 型 新授课 课 时 3 授课班级 授课时间 授课教师 教材分析 教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，语文教育出版社出版，高中二年级拓展模块（一）第二章； 教材内容：包括和角公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、正弦型函数、生产、生活中三角计算及应用实例； 地位与作用：本章我们所要学习的内容之一就是，怎样利用，α ，β 的三角函数值去计算α+β 和 α-β 的三角函数值. 为了解决这类问题，教材证明了α+β 的余弦与 α ，β 的正弦、余弦之间的关系式.接着，教材推导了倍角公式，并研究了正弦型函数的性质. 上述知识在日常生活和生产实践中都有着广泛的应用，于是教材在给出三角形中的正弦定理和余弦定理之后，又呈现了一些三角计算相关的应用. 学情分析 1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高； 2.通过和角公式、二倍角公式学习，本节课将进一步学习正弦定理、余弦定理内容； 3.职业高考学生在初中学业水平中处于中下游，因此教学中需从实际生活实例出发，加强前后知识的衔接性、串联性，通过和角公式、二倍角公式学习，本节课将进一步学习正弦定理、余弦定理内容. 学习目标 1.理解解三角形的概念； 2.学生运用自主探讨、合作学习，理解余弦定理的概念，理解并掌握余弦定理公式的推导方法，识记余弦定理公式及其变形形式，掌握在解三角形中余弦定理的应用，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力； 3.通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质 学习重难点 1. 理解解三角形、余弦定理的概念； 2. 理解并掌握余弦定理公式的推导方法； 3. 掌握在解三角形中余弦定理的应用 教学方法 讲授法、谈话法、谈论法 课前准备 教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案； 学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本； 教学媒体 教学课件PPT、多媒体展板 教学过程 第一课时 教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图 活动一： 创设情境 生成问题 问题提出 如图所示，河的两岸有A，B两地，由于不能直接测 量两地之间的距离，我们选取测量点C，并测得 ∠АВС=75°, ∠АСВ= 45°, ВС=1000 m.利用这些测量数据，能否计算出A，B两地之间的距离呢？ 思考并尝试利用初中所学知识解 通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容 活动二： 调动思维 探究新知 1.正弦定理的推导 如图所示，在任意△ABC中，设AB边上的高为CD， 根据锐角三角函数的定义，有 所以 CD=bsinA=asinB. 即 同理，有 试一试 在钝角三角形中，推导上述结论. 抽象概括 这样，我们就得到了正弦定理: 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即 进一步可证明: (其 中，R表示△ABC外接圆的半径). 我们仅以锐角三角形为例证明此结论，请同学们一 起完成下面的证明过程: 如图所示，⊙0是锐角△ABC的外接圆，过点B作直 径，交⊙0于A',并设直径为2R. 因为A与A'是同弧上的圆周角，∠A'CB是直径所对 的圆周角， 所以 A= ，∠A'CB= . 在Rt△ABC中，sinA'= ， 所以sinA= ， 即 . 同理，可得 ，. 于是. 想一想 在任意△ABC中，三条边的比a:b:c等于什么？ 在图中，由于CD=bsinA=asinB,所以 工具箱 在初中，我们学过的三角形面积公式: . 分组讨论，识记余弦定理公式 通过讨论，理解余弦定理公式的推导方法，识记余弦定理 讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化； 活动三： 巩固练习 素质提升 例 1 在△ABC中，角A,B,C对应约边分别为a,b,c. 已知B=60°,C=15°, ,求b，c和S_ABc的值. 分析: 已知B和C，可求出A，再根据正弦定理以及 三角形面积公式可求得b，c和S△ABC的值. 解: ∵ A+B+C=180°, ∴ A=180°-B-C=180°-60°-15°=105°. ∵ ， ∴ ， . ∴ 工具箱 在△ABC中，三个内角有如下关系: A+B+C=180°. 这个等式称为三角形内角和定理. 例2 在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c. 已知a=，b=，A=45°，求B 和C. 分析: 由已知条件a，b, A,根据正弦定理，可求出 sinB.由于0°＜B＜180°,对于0＜sinB＜1的每一个值，都有两个B值和它对应，因此，求解这类问题时，需要分情况讨论，防止漏掉钝角三角形这种情况. 解： ∵ ， ∴ . ∵ B是△ABC的内角，∴0°＜B＜180°. ∴ B1=60°,B2=120°,都符合题意. 当B1=60°时，C1=180°-A-B1=180°-45°-60°=75°； 当B2=120°时，C2=180°-A-B2=180°-45°-120°=15°. 议一议 根据例1和例2的求解这程可知，利用正弦定理求解三角形的未知元素主要有下面两种情形: (1) 已知 ，求三角形的其他元素； (2) 已知 ，求三角形的其他元素. 学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解 通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误 第二课时 活动四： 调动思维 探究新知 2. 余弦定理的推导 余弦定理同样是揭示任意三角形中边与角数量关系的一个重要结论. 设△ABC是任意三角形，如图所示，建立平面直角坐标系，则点B的坐标为(ccosA，csinA),点C的坐标为(b,0). 根据两点间的距离公式，得 ， 等式两边平方，得 ， ∴ . 即 . 同理，可以证明： ， . 抽象概括 这样，我们就得到了余弦定理: 在一个三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的2倍.即 试一试 试用同样的方法证明其他二式. 余弦定理中的三个等式还可以分别变形为 分组讨论，识记余弦定理公式 通过讨论，理解识记余弦定理公式 讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化； 活动五： 巩固练习 素质提升 例 3 在△ABC中，角A，B,C所对应的边分别为a，b,c.已知a=8.b=,C=45°,求c． 解 由余弦定理，得 =32， ∴c=. 例 4 在△ABC中，角A，B,C所对应的边分别为a， b, c.已知a=3, c=,A=120°,求b和C. 分析:已知a, c, A，求C和b，是用正弦定理求解的 典型问题，但在求C时需要讨论解的个数.这类问题也可以用余弦定理求解，但在用余弦定理时，应根据已知元素选用适当的公式代入计算. 解: 由余弦定理，得 ∵ a=3, c=,A=120°, ∴ ， 即 ． ∴ ， 即 b1=, b2=2（舍去）， ∵ b=c=, ∴ B=C=30°. ∴ B=，C=30°. 工具箱 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为 . 试一试 试利用正弦定理求解例4. 学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解 通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误 第三课时 活动二： 调动思维 探究新知 3. 正弦定理、余弦定理的应用 例5判断下列三角形的类型. (1) a=4，b=5，c=6；(2) a=+1，b=，c=2. 分析:根据三条边的长度确定最大角，再利用余弦定 理求出最大角的余弦值，根据余弦值可判断三角形的类型. 解:(1)显然三个角中C最大. ∵ ， ∴ C为锐角，即△ABC为锐角三角形. (2)显然三个角中A最大. ∵ ， ∴ A为钝角，即△ABC为钝角三角形. 想一想 已知三角形的三条边，如何判断它的形状？ 例6 在△ABC中，已知sinA=2cosBsinC,判断△ABC 的形状. 分析: 判断三角形的形状时，可以把所给的关系式 转换为只含角或只含边的式子，再进行分析和判断. 解法1: 在△ABC中，A+B+C=π， ∴ A=π-(B+C). ∵ sinA=2cosBsinC, ∴ sin[π-(B+C)]=2cosBsinC. 即 sin(B+C)=2cosBsinC, ∴ sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC, 整理，得sinBcosC-cosBsinC=0. 又∵B,C是△ABC的内角， -π＜В-С＜π, ∴ B-C=0,即B=C. ∴ △ABC是等腰三角形. 解法2: 由已知sin A=2cos Bsin C,得 . 由正弦定理及余弦余理，得 ， 整理，得b2=c2，即b=c. ∴△ABC是等腰三角形. 例7 如图所示，A，B两点间有小山和小河，为求AB的长度，需选择一点C，使AC可直接丈量，且点B和点C之间可通视， 再在AC上取一点D，使点B和点D之间可通视，现测得AC=180m，CD=60m，C= 45°，∠ADB=60°，求AB的长. 分析: 在△BCD中，利用正弦定理可求得BD的长度，从而在ABD中，就可以根据余弦定理求出AB的长. 解: C=45°，∠ADB=60°，∠CBD=60-45°-15°. 在△BCD中， ∵ ， ∴ (m). 在△ABD中， AB2=AD2+BD2-2AD·BD cos∠ADB =1202+()2×120×(60+60)cos 60° =21 600 (m2). ∴ АВ=60 (m). 答: AB的长为60m. 活动三： 巩固练习 素质提升 例1如图所示，设 A，B两点在河的两岸，测量者 在与 A同侧的河岸边选取测点C，测得 AC的距离是 50 m，∠BAC=51°，∠ACB= 75°，求 A，B两点间的距离（精确到0.1 m) . 解 ∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=54°， 由正弦定理可得， 所以． 例2 如图所示，一艘货轮从 A地出发，沿北偏东 75°的方向航行 105 nmile后到达海岛B，再沿北偏东30°的方向航行88 nmile后到达海岛C. 如果该货轮从 A地出发直接到达海岛C，应沿什么方向航行，需要航行的距离是多少（结果保留一位小数）？ 解　在△ABC中， ∠ABC=180°−（75°−30°）=135°， 由余弦定理，得 ≈178.4(n mile). 由正弦定理，得， 即 . 所以∠CAB≈20.5°或∠CAB≈159.5°（舍去），而75°−20.5°=54.5°， 因此，如果该货轮从A地出发直接到达海岛C，应沿北偏东54.5°的方向大约航行178.4 n mile． 学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解 通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误 活动四： 课堂小结作业布置 （1） 课堂小结 （2） 作业布置 完成课本中P37 ——练习2./3./4. 活动五： 板书设计 2.3正弦定理、余弦定理 1、 正弦定理公式、三角形面积公式 练习 小结 二、余弦定理公式 练习 作业 三、应用 活动六： 教学反思 （留白） 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$