2.1 和角公式（教案）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（语文版2021·拓展模块一）

课 题 2.1 和角公式 课 型 新授课 课 时 2 授课班级 授课时间 授课教师 教材分析 教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，语文出版社出版，高中二年级拓展模块（一）第二章； 教材内容：包括和角公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、正弦型函数、生产、生活中的三角计算及应用举例； 地位与作用：本章我们所要学习的内容之一就是，怎样利用，α ，β 的三角函数值去计算α+β 和 α-β 的三角函数值. 为了解决这类问题，教材证明了α+β 的余弦与 α ，β 的正弦、余弦之间的关系式.接着，教材推导了倍角公式，并研究了正弦型函数的性质. 上述知识在日常生活和生产实践中都有着广泛的应用，于是教材在给出三角形中的正弦定理和余弦定理之后，又呈现了一些三角计算相关的应用. 学情分析 1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高； 2.通过基础模块上册三角函数学习，本节课将进一步学习两角和与差的余弦公式内容； 3.职业高考学生在初中学业水平中处于中下游，因此教学中需从实际生活实例出发，加强前后知识的衔接性、串联性，基础模块上册三角函数学习，本节课将进一步学习两角和与差的余弦公式内容. 学习目标 1.理解、记忆两角差的余弦公式； 2.学生运用自主探讨、合作学习，理解两角差的余弦公式的推导方法，利用两角差的余弦公式的推导两角和的余弦公式，强调公式中角的任意性，公式的结构特征，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力； 3.通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质 学习重难点 1. 理解、记忆两角差的余弦公式； 2. 理解两角差的余弦公式的推导方法； 3. 利用两角差的余弦公式的推导两角和的余弦公式 教学方法 讲授法、谈话法、谈论法 课前准备 教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案； 学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本； 教学媒体 教学课件PPT、多媒体展板 教学过程 第一课时 教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图 活动一： 创设情境 生成问题 问题提出 如图所示，如果我们想利用两块直角三角形钢板焊 接成一块三角形钢板，在已知两个直角三角形钢板三边长度的前提下，能否利用这些数据，求出新焊接成的三角形钢板中的角α+β 的三角函数值呢？即已知角α，β 的三角函数值，如何求角α+β 的三角函数值，就是我们这一节要学习的内容. 思考并尝试利用初中所学知识解 通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容 活动二： 调动思维 探究新知 1.和角公式的推导 议一议 当 α=30°,β=60°时，等式cos(α+β)=cosα+cosβ 成立吗？ 一般来说，有cos(α+β)≠cosα + cosβ,那么 α+β 与 α，β 的三角函数之间到底存在什么关系呢？下面我们就来共同探讨这个问题. 工具箱 根据三角函数的定义，角 α 的终边与单位圆的交点A的坐标为(cosα,sin α). 如图所示，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O.以 Ox为始边作角α，-β 和α+β,它们的终边与单位圆0 的交点分别为A，B，D,则A， B, D的坐标分别为 A(cos α,sin β )， B(cos(-β),sin(-β)) D(cos(α+β),sin(α+β)). 工具箱 已知A(x1,y1), B(x2,y2),则两点A，B 之间的距离公式为. 由点间的距离公式，得 . 学习小贴士 在图中，根据两个三角形全等的条件，可以判 定△AOB≌△COD, 所以有|AB|＝|CD|. 因为|AB|＝|CD|,所以有 . 于是，我们得到 这就是两角和的余弦公式，简记为Cα+β. 这个公式给出了任意角α，β 的正弦值、余弦值与其和角α+β 的余弦值之间的关系，它可以解决引例中的问题. 试一试 如果用 -β 代换公式中的角 β ，你会得到什么结果？请将得到的结果写出来. 想一想 试利两角和的余弦公式，求证: 这个等式说明:正弦函数与余弦函数之间可以相互转换.因此，有,这为我们推导两角和的正弦公式提供了有利的工具. 于是，我们得到 这就是两角和的正弦公式，简记为Sα+β. 这个公式给出了任意角α，β 的正弦值、余弦值与其和角 α+β 的正弦值之间的关系. 试一试 如果用-β 代换公式中的角 β，你会得到什么结果？ 请将得到的结果写出来. 下面，我们来推导两角和的正切公式. 工具箱 三角函数基本关系式：. 根据三角函数基本关系式以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 为了使结果只含 tanα 和 tanβ,分子和分母同时除以cosαcosβ (cosαcosβ≠0), . 于是，我们得到 这就是两角和的正切公式，简记为Tα+β. 这个公式给出了角 α，β 的正切值与其和角 α+β 的正切值之间的关系，但其中α，β 的取值应使分母不为零. 试一试 如果用 -β 代换公式中的角，你会得到什么结果？ 请将得到的结果写出来. 分组讨论，识记两角差的余弦公式 理解“特别提示”的内容 通过讨论，理解两角差的余弦公式，掌握两角差的余弦公式运用 讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化； 活动三： 巩固练习 素质提升 例 1 利用和角公式，求下列三角函数值， (1) cos105°； (2) sin75°； (3) tan15°. 分析: 显然，105°=45°+60°,75°=30°+45°, 15°=60°-45°,因此可以利用相应的和角公式求解. 解（1） cos105° =cos(60°+45°)  =cos60°cos45°-sin60°sin45° （2） sin75°=sin(30°+45°) =sin30°cos45°+cos30°sin45° （3） tan15°=tan(60°-45°) 例 2 已知，且，求 和的值. 分析:求的值涉及的三角的数有cosα, ，sinα, ；求的值涉及的三角数有，cosα,,sinα 因此需要先求出 sinα的值. 工具箱 当角 α 的终边在第一、二象限或角 α 的终边在y 轴的正半轴上时，有0＜sinα＜1. 解 因为，且，所以 ∴， ∴ 想一想 如何求的值？ 例3 求下列各式的值. (1) cos40°cos 20°-sin 40°sin 20°； (2) sin 59°cos 14°-cos 59°sin 14°； (3) . 分析:和角公式把 α+β 的三角函数式转化成了α，β 的三角函数式.反之，如果从右向左使用公式，我们就可以将上述三角函数式化简、求值. 解:(1) cos40°cos 20°-sin 40°sin 20° =cos(40°+20°)=cos60°=； (2) sin 59°cos 14°-cos 59°sin 14° =sin( 59°-14°)=sin 45° =； (3) 想一想 如何利用和角公式化? 学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解 通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误 第二课时 活动四： 调动思维 探究新知 2.和角公式的应用 例4 利用和角公式，将cos x+sin x化为一个三角函数的形式. 分析: 解决本题的关键是把cos x和 sin x前的系 数化成同一个特殊角的正弦值和余弦值或它们的相同倍数后，再求解. 解:cos x+sin x = = 学习小贴士 这个例题将含有正弦、余弦两个函数的表达式化成 了只含一个三角函数的式子，体现了数学中的化归思想. 试一试 试利用两角和的余弦公式解答本题. 议一议 下面是将形如的三角函数化为 一个三角函数的形式，请同学们完成填空，然后结合例4的解答过程归纳出一般规律. ∵ ， ∴可以作为同一个角θ的正弦 (或余弦)值和余弦（正弦）值. 因此， =（ sinωx+ cosωx） =（cosθ sinωx+ cosωx） =sin(ωx+ ). 其中， 试一试 根据上面的结论，请将化为一 个三角函数的形式. 例5 已知 α，β 均为锐角，且 ，求cosβ 以及角 β 的值， 分析: 解决本题的关键是角的变形转化，即 （α+β）-α=β. 工具箱 三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1. 解:∵ ，α 为锐角， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴cosβ=cos[(α+β)－β] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =， ∵β 为锐角，∴. 学习小贴士 已知角(α+β)和角β 表示未知的角，是三角变换中的一个重要方法. 例6在△ABC中，已知 sinA=2sinBcosC,试判断ABC 的形状. 工具箱 诱导公式:sin(π-α)=sinα. 分析: ∵在ABC中，A+B+C=π，∴A=π-(B+C),∴本 题中的已知条件sin A=2sinBcosC就转化为sin[π-(B+C)]=2sinBcosC,然后利用和角公式求解. 解:∵在ABC中，A+B+C=π，∴A=π-(B+C). 由已知，sinA=2sinBcosC, ∴sin[-(B+C)]=2sinBcosC. 即sin(B+C)=2sinBcosC. ∴ sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC. 整理得sinBcosC-cosBsinC=0. 即sin(B-C)=0, ∵ -π＜B-C＜π, ∴B-C=0,B=C. 即△ABC是等腰三角形. 分组讨论，识记两角和的余弦公式 通过讨论，理解两角和的余弦公式，掌握两角和的余弦公式应用 讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化； 活动五： 巩固练习 素质提升 例 1 已知，均为锐角，，，求 的值． 解 因为，， 所以， 因为，均为锐角， 所以，因此 例 2 已知，，且，均为第四 象限角，求下列各式的值： (1)； (2)． 分析（1）先根据同角三角函数的平方关系及，所 在象限求出，，进而求出； （2）利用第一问的结论求出. 解 （1）因为，均为第四象限角，所以 ，， 所以 （2） 由第一问知：，， 所以. 学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解 通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误 活动四： 课堂小结作业布置 （1） 课堂小结 （2） 作业布置 完成课本中P20 ——练习1./2./3. 活动五： 板书设计 2.1和角公式 1、 两角和、两角差的余弦公式 练习 小结 二、两角和、两角差的正弦公式 练习 作业 三、两角和、两角差的正切公式 活动六： 教学反思 （留白） 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$