数学（江苏盐城专用）-2025年中考终极押题猜想

2025年中考数学终极押题猜想（江苏盐城专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 三角板中角度计算 1 押题猜想二 根据旋转的性质求解 3 押题猜想三 锐角三角函数的应用 5 押题猜想四 解不等式（组） 7 押题猜想五 先化简，再求值 8 押题猜想六 全等三角形 9 押题猜想七 数据分析 11 押题猜想八 圆的性质 14 押题猜想九 二元一次方程组的应用 17 押题猜想十 函数的应用 19 押题猜想十一 几何图形的综合应用 23 押题猜想一 三角板中角度计算 限时：3min （改编）把一块含45°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1=120o，则的度数为（   ） A． B．165o C． D． 押题解读 江苏盐城中考常通过三角板角度计算考查学生对基础几何知识的掌握。此类题难度中等偏低，多以选择题或填空题形式出现，内容围绕30°-60°-90°、45°-45°-90°等特殊三角板的角度和、差、倍关系展开。题目通常直接给出图形或文字描述，要求计算特定角度值或判断角度关系，旨在考查学生对角度基本概念的理解和简单运算能力，符合盐城中考注重基础、区分度适中的命题特点。 1．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，，点在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．将一块直尺与一块三角尺如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，有两条边与直线相交，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将一副直角三角板平放在桌面上，点F在上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 押题猜想二 根据旋转的性质求解 限时：5min 如图，在中，．将绕点A按逆时针方向旋转后得，与相交于点F．当时， ． 押题解读 旋转性质是盐城中考几何题的重要考点，难度中等，常以解答题或填空题形式出现。题目通过设置旋转中心、角度和方向，要求学生分析旋转后图形的坐标、角度或形状变化。此类题考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，符合盐城中考对几何变换的实际应用要求。 1．如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 3．如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为 ． 4．菱形绕点旋转得到菱形，点在上，交于点．若，则的长为 ． 5．如图，在等腰直角三角形中，，是直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点的位置随点的位置变化而变化，连接．若，，则的面积为 ． 押题猜想三 锐角三角函数的应用 限时：5min （改编）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的最短距离为 （结果精确到0.1）（参考数据：，，） 押题解读 锐角三角函数的应用题在盐城中考中占比较大，难度中等偏上，多以应用题形式出现。题目常结合坡度、高度测量等实际问题，要求学生利用正弦、余弦、正切等三角函数建立数学模型并求解。此类题强调数学与生活的联系，考查学生综合运用知识解决实际问题的能力，符合盐城中考注重应用能力的命题方向。 1．如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点100米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为80米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度 米．（结果精确到0.1米，参考数据：． 2．如图，坡角为的斜坡上有一棵大树（垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为 ．    3．如图，湖的旁边有一建筑物，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点处测得建筑物最高点的仰角为，然后沿方向前进12米到达处，又测得点的仰角为．请你帮助该小组同学，计算建筑物的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据）    （新情景）4．如图所示是消防员救援时攀爬云梯的场景．已知，，，，点A关于点C的仰角为，则楼的高度为 ．（结果保留整数．参考数据：，，） 5．小致为了测量楼房的高度，他从楼底的B处沿着斜坡行走，达到坡顶D处．已知斜坡的坡角为，小致的身高是，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为，则楼房的高度为 m．（计算结果精确到，参考数据：，，．） 押题猜想四 解不等式（组） 限时：6min 解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 押题解读 解不等式（组）是盐城中考代数题的重点之一，难度中等，多以解答题或填空题形式考查。题目通常直接给出一元一次不等式或不等式组，要求学生熟练运用不等式性质求解，并在数轴上表示解集。此类题旨在考查学生的运算能力和逻辑思维，符合盐城中考对代数基础知识的全面覆盖要求。 1．解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 2．解不等式：，并在如图所示的数轴上表示出其解集． 3．解不等式组：； 4．解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 5．解不等式组：，并在数轴上表示解集． 押题猜想五 先化简，再求值 限时：6min （改编）先化简，再求值：，其中x=5． 押题解读 “先化简，再求值”是盐城中考代数题的常见题型，难度中等，多以解答题形式出现。题目给出代数式和特定数值，要求学生先通过合并同类项、因式分解等方法化简，再代入求值。此类题侧重考查代数运算能力和化简技巧，符合盐城中考对代数基础操作的重视。 1．已知，求代数式的值． 2．先化简，再求值：，其中． 3．已知实数是的根，求的值． 4．先化简，再求值：，其中，． 5．已知，求代数式的值． 押题猜想六 全等三角形 限时：10min （改编）已知如图，在中，，点是上一点，； (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，求证：； 押题解读 全等三角形是盐城中考几何证明题的核心内容，难度中等偏上，多以解答题形式出现。题目常通过SSS、SAS、ASA等判定定理，结合图形翻折、旋转等情境，要求学生证明三角形全等或求解边长、角度。此类题考查逻辑推理能力和几何直观，符合盐城中考对几何证明能力的高标准要求。 1．如图，直线，连接，作的平分线，交于点C． (1)求证：． (2)圆圆说：“以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，则四边形为菱形．”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形为菱形的点D的方法． 2．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 3．如图，在 中，，D 是 边的中点． (1)用无刻度的直尺和圆规在边上作点E， 使（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接 并延长至点F， 使，连接， 求证：． 4．如图，，，，垂足分别为D，E． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长． 5．如图，已知， 且点B，C，D 在同一直线上．请仅用无刻度的直尺按下列要 求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出，使 (2)在图2中，在直线的上方作出，使 押题猜想七 数据分析 限时：8min （改编）某中学组织七、八年级学生开展“安全”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 分 9分 9分 八年级 8.8分 9分 分 (1)根据以上信息填空： ， ； (2)把条形统计图补充完整； (3)若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由． 押题解读 数据分析题在盐城中考中逐渐增多，难度中等，多以解答题或填空题形式出现。题目常结合统计图表（如条形图、扇形图）或实际调查数据，要求学生计算平均数、中位数、众数等统计量，或分析数据趋势。此类题考查数据处理能力和统计观念，符合盐城中考对数学应用能力的考查趋势。 1．年蛇年“春节”期间，海南景区人头攒动，热闹非凡．某市旅游和文化广电体育局随机抽取若干名选择来某滨海度假区的游客进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问卷（节选） 在下列游玩项目中，你最喜欢的是（　　）（单选） A．峡谷逐浪行    B．云端跳伞秀    C．民俗寻根游    D．沙滩嬉水乐 根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： (1)本次调查活动采用的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)本次参加抽样调查的游客最喜欢的旅游景点的众数落在___________组（填A、B、C、D）； (3)据不完全统计，蛇年春节期间，省内外游客约万人次畅游畅游该滨海度假区，请估算选择沙滩嬉水乐的游客约___________万人次． (4)李老师在以上四种项目中随机抽取一种游玩，恰好抽到民俗寻根游概率为___________； (5)请为提升家乡旅游的知名度提一条合理的建议． 2．某中学开展主题为“赋能成长，智慧点亮学途”的黑板报评比活动，学校请七位评委给各班的主题黑板报进行评分（十分制），现截取七年级部分班级的评分（单位：分）如下表： 七年级主题黑板报评比评分统计表 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 评委7 1班 9 9 8 8 6 7 9 2班 8 8 9 8 7 9 7 3班 8 7 8 7 6 7 6 (1)计算各班的平均分． (2)你觉得哪个班的主题黑板报获得评委认可度更高？根据所学统计与方差相关知识作出合理的选择，并说明理由． (3)假如你是评委，针对各班黑板报的设计，提出一条合理化建议． 参考公式：（代表平均数） （新情景）3．3月5日，基于的江苏首个区域卫生领域智慧服务“宁宁”将正式上线!市民可通过“南京卫生12320”微信公众号获得24小时全天候、精准、快速的咨询服务．某公司为评估智慧客服“宁宁”和人工客服解决问题的效率，记录了一周内每天处理客户咨询的数量，数据如下： 周一 周二 用三 周四 周五 周六 周日 智慧客服宁宁 25 30 28 35 32 26 34 人工客服 9 17 10 20 10 19 13 (1)分别计算智慧客服宁宁和人工客服这两组数据的平均数和中位数； (2)智慧客服宁宁的数据的方差为，人工客服的数据的方差为，比较两者方差的大小： （填“”或“”或“”）； (3)根据以上数据，对智慧客服宁宁和人工客服的工作数量进行评价（至少两条）． 4．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了四组，制成了不完整的统计图分组：． (1)组的人数为 人； (2)七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？ (3)从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义． （新情景）5．春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)此次共调查了_______人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_______； (2)该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_______类（填A，B，C或D）； (3)将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，求抽取到的两张卡片内容一致的概率为_______； (4)从你的角度，写一条对人工智能的看法． 押题猜想八 圆的性质 限时：12min （改编）如图， 在中， ， 是的平分线，的平分线 交 于点 ，点在上，以点为圆心的长为半径的圆经过点，交于点，交 于点． (1)求证： 为的切线． (2)当， 时，求的半径．   押题解读 圆的性质是盐城中考几何题的高频考点，难度中等偏上，多以解答题或填空题形式出现。题目常涉及圆周角定理、垂径定理、切线性质等知识点，结合弧长、扇形面积计算或图形折叠、动点问题。此类题考查学生对圆的性质的综合运用能力，符合盐城中考对几何深度理解的要求。 1．如图，是的直径，C、D是上两点，平分，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 2．如图，是的内接三角形，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积．（结果保留准确值） 3．如图，四边形内接于，是的直径，延长至点，连接，使． (1)求证：． (2)试判断：是不是的切线？若是，请证明；若不是，请说明理由． 4．如图，锐角为的内接三角形，，将沿所在直线翻折，得到，与交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 5．如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 押题猜想九 二元一次方程组的应用 限时：12min （改编）．某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用A，B两种型号的货车运送．已知每台A型货车的单次最高载货量比每台B型货车的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的货车一次性运送货物，A型货车共载货，B型货车共载货． (1)每台A型货车和B型货车的单次最高载货量分别是多少？ (2)该公司决定使用台A型货车（）和台B型货车载货，在每台货车都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的，值； ②若A型货车运费为40元／次，B型货车运费为30元／次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的货车各多少台？ 押题解读 二元一次方程组的应用题在盐城中考中经常出现，难度中等，多以解答题形式出现。题目常设置行程问题、工程问题、销售问题等实际情境，要求学生列方程组并求解。此类题强调数学建模能力，符合盐城中考对方程思想与实际应用结合的考查方向。 1．为响应“要在学生中弘扬劳动精神”的号召，某校劳动基地准备投入一笔资金用于购进甲、乙两种劳动工具．已知购进甲种劳动工具20件和乙种劳动工具10件共需1400元，甲种劳动工具的单价是乙种劳动工具单价的3倍． (1)求甲、乙两种劳动工具的单价各是多少元． (2)该劳动基地计划购进甲、乙两种劳动工具共60件，投入资金不超过2400元．设购进乙种劳动工具件，若，则有几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少？ 2．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题）    （新情景）3．目前，我国国产电影《哪吒之魔童闹海》累计票房已超过150亿元．某影院商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．该商家若购进40个种娃娃和50个种娃娃，则一共需要800元：若购进20个种娃娃和60个种娃娃，则一共需要680元．该商家将种娃娃的售价定为每个15元，种娃娃的售价定为每个10元． (1)、两种娃娃每个的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进、两种娃娃共200个，总花费不超过1760元，该商家如何进货能在这200个娃娃全部售完时获利最大？最大利润是多少元？ （江苏盐城热考点）4． 背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元． 素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品一律按商品价格的8折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求款徽章和款徽章的销售单价各是多少元？ 任务2 小艾计划在促销期间购买、两款徽章共40枚，其中款徽章枚， 若在线下商店购买，共需要______元； 若在线上淘宝店购买，共需要_______元．（均用含的代数式表示） 任务3 请你帮小艾算一算，在任务2的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种则买方式更合算？ （古代问题）5．《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 押题猜想十 函数的应用 限时：15min （改编）已知抛物线的顶点为点P，抛物线关于直线l：对称的抛物线记为，点Q为抛物线为的顶点，改变n的值，点Q的位置会发生变化，在变化过程中，发现当时，点Q恰好落在x轴上． (1)则点P的坐标为 ， ； (2)求抛物线的解析式； (3)如果抛物线与相交于点，，且． ①直接写出n的取值范围： ； ②求四边形的面积S（用含n的式子表示）； 押题解读 函数应用题是盐城中考压轴题的常见类型，难度较高，多以解答题形式出现。题目常结合一次函数、反比例函数或二次函数的图像与性质，解决最值问题、方案选择等实际问题。此类题考查学生对函数概念的理解和综合运用能力，符合盐城中考对高阶思维能力的考查要求。 1.如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围． 2．[问题提出] 如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）． [问题探究] （1）如图1，当点从点运动到点时， ①用含的代数式表示的长：_____； ②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象： 0 1 2 3 4 0 1．5 2 表中的值为_____，的值为_____； （2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式； [问题解决] （3）若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积． 3．【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图，等腰直角的直角顶点的坐标为，，两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值． 4．问题情境：如图，中，点D为上一个动点，连接，过点D作，交于点E，若，探究线段与线段的关系． 小明根据学习函数的经验，设的长为，线段，，的长分别为，，，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了x与，，的几组值，如下表： 0 1 2 3 4 5 2.89 3.06 3.52 4.16 4.93 5.77 5 2.64 1.65 1.04 0.51 0 0 1.74 1.89 m 0.82 0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） 可测出，m的值为______；（保留一位小数） (2)在如图的平面直角坐标系中，小明已经描绘出，关于x的函数图象，请描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出关于x的函数图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题： ①图中，关于x的函数图象交于点M，可测出点M的横坐标为______，请说出点M的几何意义及此时的度数； ②当为等腰三角形时，的长为______． （新定义）5．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 押题猜想十一 几何图形的综合应用 限时：15min 综合与探究 问题情境：学习完特殊的平行四边形和相似三角形有关知识后，老师组织了一节富有创意的数学活动课，引导同学们从图形变换的角度展开深度探究． 创新小组以矩形边的旋转变换为研究对象，并观察由此产生的几何性质． 如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转（）得到线段，过点作，交直线于点． 猜想证明： 小组内同学探究思路遵循特殊到一般的探究： （1）当时，四边形的形状最特殊，此时形状为________； （2）如图2，当时，连接，猜想，和之间的数量关系，并说明理由； 综合应用： （3）在旋转过程中，当直线经过边的中点时，与直线交于点，直接写出的长． 押题解读 几何图形的综合应用题是盐城中考的难点与亮点，难度较高，多以压轴题形式出现。题目常融合三角形、四边形、圆等知识点，结合动态图形、翻折、旋转等变换，要求学生综合运用几何性质解决问题。此类题考查逻辑推理、空间想象和创新能力，符合盐城中考对几何综合能力的高水平要求。 1．关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在中，，，，在直线下方取一点，连接，使得． 【基础回顾】 （1）如图1，过点作于点，求证：； 【灵活运用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，作的平分线交边于点，当时，求线段的长； 【综合探究】 （3）在射线上取一点，当时，试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2．已知点，分别在矩形的边，上，以为折痕，将四边形翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，，． (1)如图，当点在上，与交于点时， 若点为的中点，求的长； 若与全等，求和的长； (2)如图，的对应边恰好经过点，过点作于点，交于点，连接，若，求的长． 3．在中，，，是边上一动点（不与点重合），在射线上取点，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． 【初步感知】 （1）如图，当点和点重合时，求的长； 【深入探究】 （2）如图，当点落在的延长线上时，求的长； 【拓展延伸】 （3）是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的两倍？若存在，请求出的长；若不存在，说明理由． 4．定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． (1)下面的图形中是“字平行四边形”的有：_________； A．正方形      B．矩形        C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形       E．有一个角是的平行四边形 (2)在“字平行四边形”中，，，则_________． (3)如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值； (4)如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值．                                 5．在中，，，是边上一点，连接． (1)如图1，是延长线上一点，与垂直，求证：； (2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：； (3)如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得，，对应点分别是，为上任意一点，为的中点，连接，若，，最大值为，最小值为，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学终极押题猜想（江苏盐城专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 三角板中角度计算 1 押题猜想二 根据旋转的性质求解 6 押题猜想三 锐角三角函数的应用 14 押题猜想四 解不等式（组） 20 押题猜想五 先化简，再求值 23 押题猜想六 全等三角形 26 押题猜想七 数据分析 34 押题猜想八 圆的性质 42 押题猜想九 二元一次方程组的应用 53 押题猜想十 函数的应用 60 押题猜想十一 几何图形的综合应用 76 押题猜想一 三角板中角度计算 限时：3min （改编）把一块含45°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1=120o，则的度数为（   ） A． B．165o C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∵∠1=120o， ∴∠2=165o， 故选：B． 押题解读 江苏盐城中考常通过三角板角度计算考查学生对基础几何知识的掌握。此类题难度中等偏低，多以选择题或填空题形式出现，内容围绕30°-60°-90°、45°-45°-90°等特殊三角板的角度和、差、倍关系展开。题目通常直接给出图形或文字描述，要求计算特定角度值或判断角度关系，旨在考查学生对角度基本概念的理解和简单运算能力，符合盐城中考注重基础、区分度适中的命题特点。 1．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，，点在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据平行线的性质，外角的性质解题即可． 【详解】解：如图：设与相交于点G， ， ， ∵， ， 故选：A． 2．如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角板的特征、角度的计算等知识点，作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 如图：过A作，则，利用平行线的性质得出，进而利用三角板的特征求出，最后利用平行线的性质即可． 【详解】解：如图：过A作，则， ， ， ， ∵，直线， ∴ ， 故选C． 3．将一块直尺与一块三角尺如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，熟练掌握平行线的性质，三角形的外角定理是解题的关键． 由直尺两边平行可得，再由三角形的外角定理可得，即可求解． 【详解】解：如图： 由直尺两边平行可得， ∵， ∴ 故选：A． 4．如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，有两条边与直线相交，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，先求出，由外角的性质求出，然后由对顶角相等可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 5．如图，将一副直角三角板平放在桌面上，点F在上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角板中的角度计算．根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A 押题猜想二 根据旋转的性质求解 限时：5min 如图，在中，．将绕点A按逆时针方向旋转后得，与相交于点F．当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，平行线的性质，由三角形内角和定理得，由旋转的性质得，，进而根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转得，，， ， ， ， 由旋转的性质得， ， ， ， ． 故答案为：． 押题解读 旋转性质是盐城中考几何题的重要考点，难度中等，常以解答题或填空题形式出现。题目通过设置旋转中心、角度和方向，要求学生分析旋转后图形的坐标、角度或形状变化。此类题考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，符合盐城中考对几何变换的实际应用要求。 1．如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】过作交延长线于，证明，得出，设，则，则，证明，得出，根据，得出，即，求出k的值，即可得出答案即可． 【详解】解析：如图：过作交延长线于， 根据旋转可知：， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 设，则，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：或（舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，勾股定理，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键．过点作轴的垂线，求出点的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，． 在中，． 故答案为：． 3．如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】当与点重合时，点与等边三角形的点重合，当点开始运动时，，故点在线段上运动，根据垂线段最短原理，当时，有最小值，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】当与点重合时，点与等边三角形的点重合， 绕点顺时针方向旋转得到， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形，点与点重合时，即为， ，， ， ，， 点在直线上运动， 根据垂线段最短，当时，有最小值，如图，当旋转到时，垂足为，过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用直角的判定和直角三角形的性质是解题的关键． 4．菱形绕点旋转得到菱形，点在上，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，，相似三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，过点作，交于点，得到，继而得到，得出，求出，由旋转得到，，由得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：菱形绕点旋转得到菱形， ，， ， ， 如图，过点作，交于点， 菱形中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转可知， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在等腰直角三角形中，，是直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点的位置随点的位置变化而变化，连接．若，，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】构造正方形，连接与交于点P，连接．根据正方形的性质和旋转的性质可推出，，证明，得到，推出点在直线上，在中，根据勾股定理求出，分两种情况：当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，根据勾股定理和三角形的面积公式求解即可． 【详解】如图1，构造正方形，连接与交于点P，连接． ，，， 由旋转可得：，， ， ， ，即， 又， ， ， 点在直线上， 在中，，则， 分以下两种情况：①如图2，当点在的延长线上时，， 此时点与点重合． 的面积为； ②如图3，当点在的延长线上时，， ， ， 的面积为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识并分类讨论． 押题猜想三 锐角三角函数的应用 限时：5min （改编）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的最短距离为 （结果精确到0.1）（参考数据：，，） 【答案】38.5 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用三角形内角和定理可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为，则， ，， ， ， 在中，， ． 点A到的最短距离约为38.5． 故答案为：38.5 押题解读 锐角三角函数的应用题在盐城中考中占比较大，难度中等偏上，多以应用题形式出现。题目常结合坡度、高度测量等实际问题，要求学生利用正弦、余弦、正切等三角函数建立数学模型并求解。此类题强调数学与生活的联系，考查学生综合运用知识解决实际问题的能力，符合盐城中考注重应用能力的命题方向。 1．如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点100米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为80米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度 米．（结果精确到0.1米，参考数据：． 【答案】69.3 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的判定与性质，过作于，过作于，而，则四边形是矩形，先解，求出，，得到的长度，再解，得到的长即可解决问题，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键． 【详解】解：如图所示： 过作于，过作于，而， 则四边形是矩形， ，， 由题意可得：米，，，米， （米，（米， （米， （米， （米， 大楼的高度约为69.3米． 故答案为：69.3． 2．如图，坡角为的斜坡上有一棵大树（垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为 ．    【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，过点作，交的延长线于，根据余弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于，    则， 米， 米，米， 在中，， 米， 米， 故答案为：米． 3．如图，湖的旁边有一建筑物，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点处测得建筑物最高点的仰角为，然后沿方向前进12米到达处，又测得点的仰角为．请你帮助该小组同学，计算建筑物的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据）    【答案】16 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， 解得：， （米， 建筑物的高度约为16米， 故答案为：16． （新情景）4．如图所示是消防员救援时攀爬云梯的场景．已知，，，，点A关于点C的仰角为，则楼的高度为 ．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】11 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．把所给线段整理到直角三角形中是解决本题的关键． 延长交于点后，可得直角三角形和矩形，那么．易得，那么根据的正弦值可得的长，加上的长即为的高度． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，四边形是矩形． ∵； ∴． 由题意得：． ， ， ． 答：楼的高度约为． 故答案为：11． 5．小致为了测量楼房的高度，他从楼底的B处沿着斜坡行走，达到坡顶D处．已知斜坡的坡角为，小致的身高是，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为，则楼房的高度为 m．（计算结果精确到，参考数据：，，．） 【答案】26 【分析】作于H，根据余弦的定义求出，根据正弦的定义求出，结合题意计算即可． 【详解】解：作于H， ∵，， ∴，， 由题意得，四边形和四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：楼房的高度约为． 故答案是：26． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 押题猜想四 解不等式（组） 限时：6min 解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， 去分母得， 移项合并得， 解得， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： ． 押题解读 解不等式（组）是盐城中考代数题的重点之一，难度中等，多以解答题或填空题形式考查。题目通常直接给出一元一次不等式或不等式组，要求学生熟练运用不等式性质求解，并在数轴上表示解集。此类题旨在考查学生的运算能力和逻辑思维，符合盐城中考对代数基础知识的全面覆盖要求。 1．解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数，再相加即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∴整数解为：， ∴整数解的和： 2．解不等式：，并在如图所示的数轴上表示出其解集． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，并在数轴上表示解集即可． 【详解】解：去分母，得，     去括号，得， 移项，合并得． 系数化为1，得：． 所以原不等式的解来为：．     在数轴上表示不等式的解集为： 3．解不等式组：； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，乘法公式的应用，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，． 所以不等式组的解集为． 4．解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 【答案】，符合条件的正整数解是1，2，3，4 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，求不等式的正整数解，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再求出其正整数解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴符合条件的正整数解是1，2，3，4． 5．解不等式组：，并在数轴上表示解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 原不等式组的解集为； 不等式组的解集在数轴上的表示如图所示． 押题猜想五 先化简，再求值 限时：6min （改编）先化简，再求值：，其中x=5． 【答案】，23 【分析】本题考查了整式的化简与求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．利用完全平方公式、平方差公式、整式的运算法则化简式子，再代值计算即可求解． 【详解】解： ， 代入x=5，原式=2×5+13=23． 押题解读 “先化简，再求值”是盐城中考代数题的常见题型，难度中等，多以解答题形式出现。题目给出代数式和特定数值，要求学生先通过合并同类项、因式分解等方法化简，再代入求值。此类题侧重考查代数运算能力和化简技巧，符合盐城中考对代数基础操作的重视。 1．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键． 先化简代数式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， ． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． 先进行括号内分式的加法运算和括号外面分式的因式分解，然后利用分式的除法法则进行化简，代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，代入上式， 原式． 3．已知实数是的根，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，由实数是的根，得到，再将整式化简后即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵实数是的根， ∴，即， ∴ ． 4．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据多项式乘以多项式、完全平方公式去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ； 当，时，． 5．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 押题猜想六 全等三角形 限时：10min （改编）已知如图，在中，，点是上一点，； (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求得和，进而得出结果； （2）延长，交的延长线于G，可证得，从而，进而证得，从而得出； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）证明：如图，延长交的延长线于 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵F是的中点 ∴ 在中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ 押题解读 全等三角形是盐城中考几何证明题的核心内容，难度中等偏上，多以解答题形式出现。题目常通过SSS、SAS、ASA等判定定理，结合图形翻折、旋转等情境，要求学生证明三角形全等或求解边长、角度。此类题考查逻辑推理能力和几何直观，符合盐城中考对几何证明能力的高标准要求。 1．如图，直线，连接，作的平分线，交于点C． (1)求证：． (2)圆圆说：“以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，则四边形为菱形．”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形为菱形的点D的方法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义，证明即可． （2）不能证明是菱形，正确做法是：作的平分线，交于点D． 【详解】（1）证明：∵, ∴， ∵的平分线是， ∴， ∴， ∴． （2）证明：小圆的做法，如图所示，不能唯一确定四边形，故无法证明.正确的做法如下： 作的平分线，交于点E，交于点D． ∵, ∴， ∵的平分线与的平分线相交于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线垂直平分线线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角的平分线，菱形的判定，熟练掌握性质是解题的关键． 2．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质． （1）由平行线的性质求得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质求得，利用三角形内角和定理求得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在 中，，D 是 边的中点． (1)用无刻度的直尺和圆规在边上作点E， 使（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接 并延长至点F， 使，连接， 求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的作法及性质，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质． （1）作线段的垂直平分线交于点E，连接即可； （2）根据题意作出图形，证明，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，点E为所求， 由作图得， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵D 是 边的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 4．如图，，，，垂足分别为D，E． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【详解】（1）证明∶ ，， ． 在和中， （2）解∶ ， ． 在中，． ． ． 5．如图，已知， 且点B，C，D 在同一直线上．请仅用无刻度的直尺按下列要 求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出，使 (2)在图2中，在直线的上方作出，使 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，全等三角形和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练利用全等三角形的性质是解题的关键． （1）连接，则即为； （2）延长交于点，即为． 【详解】（1）解：如图，连接，则即为， ， ， ，， ； （2）解：如图，延长交于点，即为， ， ， ． 押题猜想七 数据分析 限时：8min （改编）某中学组织七、八年级学生开展“安全”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 分 9分 9分 八年级 8.8分 9分 分 (1)根据以上信息填空： ， ； (2)把条形统计图补充完整； (3)若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由． 【答案】(1)，9 (2)见解析 (3)原说法不正确；理由见解析． 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）先计算出七年级各等级的人数，利用加权平均的计算方法可求得的值；再求得八年级C等级人数，据此补全图形即可； （2）根据题意补充条形统计图即可求解； （3）根据样本估计总体即可回答 【详解】（1）解：七年级A等级人数人， B等级人数人， C等级人数人， D等级人数人， ∴； 八年级C等级人数人， B等级出现的人数最多，故众数为9分， 故答案为：，9； （2）解：依题意，条形统计图补充如图， （3）解：原说法不正确；理由： 抽取的样本不一定能代表整体人数的情况；且七年级和八年级整体人数未知． 押题解读 数据分析题在盐城中考中逐渐增多，难度中等，多以解答题或填空题形式出现。题目常结合统计图表（如条形图、扇形图）或实际调查数据，要求学生计算平均数、中位数、众数等统计量，或分析数据趋势。此类题考查数据处理能力和统计观念，符合盐城中考对数学应用能力的考查趋势。 1．年蛇年“春节”期间，海南景区人头攒动，热闹非凡．某市旅游和文化广电体育局随机抽取若干名选择来某滨海度假区的游客进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问卷（节选） 在下列游玩项目中，你最喜欢的是（　　）（单选） A．峡谷逐浪行    B．云端跳伞秀    C．民俗寻根游    D．沙滩嬉水乐 根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： (1)本次调查活动采用的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)本次参加抽样调查的游客最喜欢的旅游景点的众数落在___________组（填A、B、C、D）； (3)据不完全统计，蛇年春节期间，省内外游客约万人次畅游畅游该滨海度假区，请估算选择沙滩嬉水乐的游客约___________万人次． (4)李老师在以上四种项目中随机抽取一种游玩，恰好抽到民俗寻根游概率为___________； (5)请为提升家乡旅游的知名度提一条合理的建议． 【答案】(1)抽样调查 (2)D (3) (4) (5)加强景区建设，提高景区服务质量 【分析】（1）根据题意解答即可； （2）根据众数的定义解答即可； （3）用乘选择沙滩嬉水乐的游客所占的百分比即可； （4）根据等可能事件求概率即可； （5）加强景区建设，提高景区服务质量． 【详解】（1）解：本次调查活动采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）解：本次参加抽样调查的游客最喜欢的旅游景点的众数落在D组， 故答案为：D； （3）解：选择沙滩嬉水乐的游客约（万人）， 故答案为：； （4）解：李老师在以上四种项目中随机抽取一种游玩，恰好抽到民俗寻根游概率为， 故答案为：； （5）解：加强景区建设，提高景区服务质量． 【点睛】本题考查了调查方式，众数的定义，用样本估计总体，概率公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．某中学开展主题为“赋能成长，智慧点亮学途”的黑板报评比活动，学校请七位评委给各班的主题黑板报进行评分（十分制），现截取七年级部分班级的评分（单位：分）如下表： 七年级主题黑板报评比评分统计表 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 评委7 1班 9 9 8 8 6 7 9 2班 8 8 9 8 7 9 7 3班 8 7 8 7 6 7 6 (1)计算各班的平均分． (2)你觉得哪个班的主题黑板报获得评委认可度更高？根据所学统计与方差相关知识作出合理的选择，并说明理由． (3)假如你是评委，针对各班黑板报的设计，提出一条合理化建议． 参考公式：（代表平均数） 【答案】(1)1 班，2 班，3 班的平均分分别为 8 分，8 分，7 分 (2)我觉得 2 班的主题黑板报获得评委认可度更高，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平均数，方差的意义，掌握平均数与方差的计算方法是解题的关键． （1）根据平均数的计算公式计算即可； （2）由（1）得，求出1班和2班评分的方差，根据平均数与方差的意义判断即可； （3）根据黑板报的设计提出建议即可． 【详解】（1）解：， ， ， 答： 1 班，2 班，3 班的平均分分别为 8 分，8 分，7 分； （2）解：， 由（1）得，又， ∴我觉得 2 班的主题黑板报获得评委认可度更高． （3） 解：建议：①主题分明，图文并茂，内容丰富； ②字迹工整，排版有序． （新情景）3．3月5日，基于的江苏首个区域卫生领域智慧服务“宁宁”将正式上线!市民可通过“南京卫生12320”微信公众号获得24小时全天候、精准、快速的咨询服务．某公司为评估智慧客服“宁宁”和人工客服解决问题的效率，记录了一周内每天处理客户咨询的数量，数据如下： 周一 周二 用三 周四 周五 周六 周日 智慧客服宁宁 25 30 28 35 32 26 34 人工客服 9 17 10 20 10 19 13 (1)分别计算智慧客服宁宁和人工客服这两组数据的平均数和中位数； (2)智慧客服宁宁的数据的方差为，人工客服的数据的方差为，比较两者方差的大小： （填“”或“”或“”）； (3)根据以上数据，对智慧客服宁宁和人工客服的工作数量进行评价（至少两条）． 【答案】(1)客服宁宁的平均数为30，中位数为30；人工客服的平均数为14，中位数为13 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、平均数、方差的定义和意义． （1）根据平均数和中位数的定义列式求解即可； （2）根据方差的计算公式计算即可； （3）根据平均数、中位数或方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：智慧客服宁宁的平均数为， 将数据重新排列为， ∴其中位数为30， 人工客服的平均数为， 将数据重新排列为， ∴其中位数为13； （2）解：， ， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：智慧客服宁宁的服务效率高于人工客服， ∵智慧客服宁宁服务人数的平均数和中位数均大于人工客服， ∴智慧客服宁宁服务人数多于人工客服． 4．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了四组，制成了不完整的统计图分组：． (1)组的人数为 人； (2)七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？ (3)从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义． 【答案】(1)12 (2)180人 (3)平均数：平均每人每分钟做引体向上8.75个 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图的数据关联求解即可得到答案； （2）由样本中引体向上每分钟不低于10个的人数占比即可估计七年级400人中的情况； （3）选择平均数，由条形统计图求出平均数即可得到答案． 【详解】（1）解：由条形统计图可知组有人，由扇形统计图可知组人数占比， 样本容量为， ∴组的人数为 (人)， 故答案为：； （2）解：由题意可知，样本中引体向上每分钟不低于10个的有两组，共人， 七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有人； （3）解：选择平均数， 成绩的平均数为， 说明平均每人每分钟做引体向上8.75个（答案不唯一）． 【点睛】本题考查统计综合，涉及条形统计图与扇形统计图数据关联、求条形统计图数据、由样本估计总体情况、众数、中位数、平均数的意义等知识，熟记相关统计图及统计量的意义与求法是解决问题的关键． （新情景）5．春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)此次共调查了_______人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_______； (2)该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_______类（填A，B，C或D）； (3)将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，求抽取到的两张卡片内容一致的概率为_______； (4)从你的角度，写一条对人工智能的看法． 【答案】(1)400 ， (2)D (3) (4)是一把双刃剑，有利有弊，要科学合理使用（答案不唯一） 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，求众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以类所占的比例即可得出圆心角度数； （2）求出类的人数，再根据众数的定义求解即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可； （4）从利弊出发，言之有理即可． 【详解】（1）解：此次共调查了人， ∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； 故答案为：400，； （2）解：D类的人数为（人）， ∵， ∴D类的人数最多，即众数为D类，故选D． （3）解：画出树状图如下：   ； 由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种， 抽取到的两张卡片内容一致的概率为； 故答案为：． （4）解：是一把双刃剑，有利有弊，要科学合理使用（答案不唯一）． 押题猜想八 圆的性质 限时：12min （改编）如图， 在中， ， 是的平分线，的平分线 交 于点 ，点在上，以点为圆心的长为半径的圆经过点，交于点，交 于点． (1)求证： 为的切线． (2)当， 时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明，相似三角形的判定与性质等，勾股定理与矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接．利用角平分线的性质和平行线的性质得到，后即可证得是的切线； （2）设的半径为，根据，得到，利用平行线的性质得到，即可解得 ，的半径为； 【详解】（1）证明：连接． ，平分， ，   ， ， 平分， ， ， 又， ， 是的切线； （2）∵，， ， ， 即， 解得， 的半径为； 押题解读 圆的性质是盐城中考几何题的高频考点，难度中等偏上，多以解答题或填空题形式出现。题目常涉及圆周角定理、垂径定理、切线性质等知识点，结合弧长、扇形面积计算或图形折叠、动点问题。此类题考查学生对圆的性质的综合运用能力，符合盐城中考对几何深度理解的要求。 1．如图，是的直径，C、D是上两点，平分，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理得到，角平分线得到，再根据圆周角定理结合平行线的性质，求出，即可得证； （2）三角函数结合勾股定理求出的长，进而得到的长，作，结合平行线的性质，得到，，解，即可． 【详解】（1）解：连接， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，是的内接三角形，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积．（结果保留准确值） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质以及弓形面积的计算，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，证明即可； （2）过点作，垂足为点，根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即， 是半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作，垂足为点 ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 答：图中阴影部分的面积为． 3．如图，四边形内接于，是的直径，延长至点，连接，使． (1)求证：． (2)试判断：是不是的切线？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)是的切线，证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、切线的判定，熟练掌握判定方法是解得本题的关键． （1）利用两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）连接，根据直径得到，可证明，得到，即可证明切线． 【详解】（1）证明：，， ； （2）解：是的切线，证明如下：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 又是的半径， 是的切线． 4．如图，锐角为的内接三角形，，将沿所在直线翻折，得到，与交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合翻折的性质可得出，根据圆周角定理得出，则，然后根据平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质并结合（1）中，可得出，根据等角对等边得出，证明，根据相似三角形的性质可求出，，则可求，设，则，，证明，根据相似三角形的性质得出，可求，即可求出． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用相似三角形求解是解题的关键． 5．如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理和圆周角定理． （1）连结，先根据切线的性质得到，再利用和得到，然后根据对顶角相等得到，从而有结论； （2）先根据圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再证明，利用相似比可求出，在中，设，则，利用勾股定理得到，解方程得到的长，然后根据正切的定义求解． 【详解】（1）证明：连结，如图 ， ∵为的切线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是的直径 半径为5 在中， 在和中 ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴， 在中， 押题猜想九 二元一次方程组的应用 限时：12min （改编）．某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用A，B两种型号的货车运送．已知每台A型货车的单次最高载货量比每台B型货车的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的货车一次性运送货物，A型货车共载货，B型货车共载货． (1)每台A型货车和B型货车的单次最高载货量分别是多少？ (2)该公司决定使用台A型货车（）和台B型货车载货，在每台货车都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的，值； ②若A型货车运费为40元／次，B型货车运费为30元／次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的货车各多少台？ 【答案】(1)每台A型号货车单次最高载货量为，每台B型号货车单次最高载货量为 (2)①或；②该公司应使用4台A型号货车，4台B型号货车 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设每台A型号货车的单次最高载货量为，则B型货车的单次最高载货量为，根据“用相同数量的货车一次性运送货物，A型货车共载货，B型货车共载货”列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，再根据m的取值范围求解即可； ②根据①的结论，分别求出两种方案的总费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设每台A型号货车的单次最高载货量为，则 ， 解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ∴， 答：每台A型号货车单次最高载货量为，每台B型号货车单次最高载货量为； （2）解：∵， ∴， ∵，m、n为整数， ∴或； ②当，时，（元）， 当，时，（元）， ∵， ∴该公司应使用4台A型号货车，4台B型号货车． 押题解读 二元一次方程组的应用题在盐城中考中经常出现，难度中等，多以解答题形式出现。题目常设置行程问题、工程问题、销售问题等实际情境，要求学生列方程组并求解。此类题强调数学建模能力，符合盐城中考对方程思想与实际应用结合的考查方向。 1．为响应“要在学生中弘扬劳动精神”的号召，某校劳动基地准备投入一笔资金用于购进甲、乙两种劳动工具．已知购进甲种劳动工具20件和乙种劳动工具10件共需1400元，甲种劳动工具的单价是乙种劳动工具单价的3倍． (1)求甲、乙两种劳动工具的单价各是多少元． (2)该劳动基地计划购进甲、乙两种劳动工具共60件，投入资金不超过2400元．设购进乙种劳动工具件，若，则有几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少？ 【答案】(1)甲种劳动工具的单价为60元，乙种劳动工具的单价为20元 (2)共有3种购买方案． 方案1：购进甲种劳动工具30件、乙种劳动工具30件； 方案2：购进甲种劳动工具29件、乙种劳动工具31件； 方案3：购进甲种劳动工具28件、乙种劳动工具32件． 方案3需要的资金最少 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，找到等量关系是解答本题的关键． （1）设甲种劳动工具的单价为元，乙种劳动工具的单价为元，根据题意列出方程即可； （2）由题意，得，得到，有3种方案，设投入资金为元，由题意得，即可求得． 【详解】（1）解：设甲种劳动工具的单价为元，乙种劳动工具的单价为元， 由题意，得， 解得， 答：甲种劳动工具的单价为60元，乙种劳动工具的单价为20元； （2）解：由题意，得， 解得， ， ， 又为整数， 可以取30，31，32， 共有3种购买方案， 方案1：购进甲种劳动工具30件、乙种劳动工具30件； 方案2：购进甲种劳动工具29件、乙种劳动工具31件； 方案3：购进甲种劳动工具28件、乙种劳动工具32件， 设投入资金为元，由题意得， 即， ， 随的增大而减小， 当时，， 方案3需要的资金最少． 2．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 【答案】(1)400 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据体积等于水流速度乘以时间，列出算式进行计算即可； （2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，即可作答． 【详解】（1）解：； 故答案为：400； （2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为， 则，    解得， ， ∴嘉琪同学的接水时间为． （新情景）3．目前，我国国产电影《哪吒之魔童闹海》累计票房已超过150亿元．某影院商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．该商家若购进40个种娃娃和50个种娃娃，则一共需要800元：若购进20个种娃娃和60个种娃娃，则一共需要680元．该商家将种娃娃的售价定为每个15元，种娃娃的售价定为每个10元． (1)、两种娃娃每个的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进、两种娃娃共200个，总花费不超过1760元，该商家如何进货能在这200个娃娃全部售完时获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元 (2)购进80个种娃娃，120个种娃娃时获利最大，为640元 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式，获取相关信息列出方程是解题的关键． （1）设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，利用的总价的总价所需总价，列出方程运算即可； （2）设购进个种娃娃，则购进个种娃娃，利用不等式求出的取值范围，设这200个娃娃全部售完时总利润为元，列出利润表达式，在根据的取值分析求解即可． 【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元， 由题意得，，解得， ∴每个A种娃娃的进价为10元，每个B种娃娃的进价为8元； （2）设购进个种娃娃，则购进个种娃娃， 由题意得，，解得，， 设这200个娃娃全部售完时总利润为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，为， 此时，， 答：该商家购进80个种娃娃，120个种娃娃时获利最大，为640元． （江苏盐城热考点）4． 背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元． 素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品一律按商品价格的8折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求款徽章和款徽章的销售单价各是多少元？ 任务2 小艾计划在促销期间购买、两款徽章共40枚，其中款徽章枚， 若在线下商店购买，共需要______元； 若在线上淘宝店购买，共需要_______元．（均用含的代数式表示） 任务3 请你帮小艾算一算，在任务2的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种则买方式更合算？ 【答案】任务1：A种徽章的单价是10元，B种徽章的单价是8元；任务2：；:；任务3： 时，线下购买更便宜；时，线上购买更便宜；时，两种方式一样． 【分析】（1）设A种徽章的单价是元，B种徽章的单价是元，根据买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A种徽章枚，则购买枚B种徽章，根据题意，得线下购买40枚徽章的费用为 ；线上购买40枚徽章的费用为，即可得出答案． （3）当线上费用高时，则，当线上费用低时，则，解不等式，解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设A种徽章的单价是元，B种徽章的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种徽章的单价是10元，B种徽章的单价是8元． （2）解：设购买A种徽章枚，则购买枚B种徽章， 根据题意，线下购买40枚徽章的总费用为（元） ； 线上购买40枚徽章的费用为（元）， 故答案为：；． （3）解：当线上费用高时，则，解不等式，得， 又，故， 故时，线下购买更便宜； 当线上费用低时，则，解不等式，得， 又，故， 故时，线上购买更便宜． 当线上费用线下费用时，则，解不等式，得， 故时，两种方式一样． （古代问题）5．《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【答案】(1) (2)共有7人；物品的价格为53元 【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用． （1）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组； （2）根据总钱数不变列式求解即可得到答案． 【详解】（1） 解：表示的方程是； （2）解：设有人，则物品的价格为钱，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：共有7人；物品的价格为53元． 押题猜想十 函数的应用 限时：15min （改编）已知抛物线的顶点为点P，抛物线关于直线l：对称的抛物线记为，点Q为抛物线为的顶点，改变n的值，点Q的位置会发生变化，在变化过程中，发现当时，点Q恰好落在x轴上． (1)则点P的坐标为 ， ； (2)求抛物线的解析式； (3)如果抛物线与相交于点，，且． ①直接写出n的取值范围： ； ②求四边形的面积S（用含n的式子表示）； 【答案】(1)，； (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、正方形的判定等知识点，理解二次函数的性质以及数形结合思想成为解题的关键． （1）先将抛物线化成顶点式确定顶点，再根据对称性求得，然后根据当时，点Q恰好落在x轴上，列方程求得，进而确定点P的坐标； （2）先根据对称性求得，再根据抛物线、的开口大小相同，开口方向相反，直接写出函数解析式即可； （3）①先说明点，在直线上，再根据函数图象即可解答；②如图：连接交直线l于点M，则，则；令，即，易得，进而得到，再根据轴对称的性质可得四边形是菱形，最后根据菱形的面积公式即可解答。 【详解】（1）解：， ∴顶点， ∵抛物线关于直线l：对称的抛物线记为，点Q为抛物线为的顶点， ∴点Q与点P关于直线l：对称， ∴， ∴， ∵当时，点Q恰好落在x轴上， ∴，解得：， ∴． 故答案为：，． （2）解：由（1）可知抛物线，， ∵点Q与点P关于直线l：对称， ∴， ∵抛物线关于直线l：对称的抛物线记为，点Q为抛物线为的顶点， ∴抛物线、的开口大小相同，开口方向相反， ∴抛物线：． （3）解：①∵抛物线与相交于点，， ∴点，在直线上， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线与有两个不同的交点，即，． ②如图：连接交直线l于点M，则， ∴， ∵抛物线与相交于点，， 令，即， ∴， ∴， 由对称性可得：， ∴四边形是菱形， ∴． 押题解读 函数应用题是盐城中考压轴题的常见类型，难度较高，多以解答题形式出现。题目常结合一次函数、反比例函数或二次函数的图像与性质，解决最值问题、方案选择等实际问题。此类题考查学生对函数概念的理解和综合运用能力，符合盐城中考对高阶思维能力的考查要求。 1.如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)点的坐标为，不等式的解集为或 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点分别代入抛物线和直线的解析式计算即可得； （2）先联立两个函数的解析式即可得点的坐标，再根据不等式表示的是抛物线位于直线的上方，结合函数图象即可得； （3）先求出，抛物线的顶点坐标为，再画出函数图象，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得， 将点代入直线得：， 解得． （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，一次函数的解析式为， 联立，解得或， 所以点的坐标为， 不等式表示的是抛物线位于直线的上方， 则结合函数图象可知，不等式的解集或． （3）解：由题意得：， ∵，， ∴，点之间的水平距离为3， 抛物线化成顶点式为的顶点坐标为， 画出图象如下： 当点与抛物线的顶点重合时，，解得，此时线段与抛物线恰好只有一个公共点， 则由函数图象可知，当时，线段与抛物线没有公共点， 当时，线段与抛物线只有一个公共点， 当时，线段与抛物线有两个公共点， 当时，线段与抛物线恰好只有一个公共点， 当时，线段与抛物线没有公共点， 综上，若线段与抛物线有两个公共点，点的横坐标的取值范围为． 2．[问题提出] 如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）． [问题探究] （1）如图1，当点从点运动到点时， ①用含的代数式表示的长：_____； ②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象： 0 1 2 3 4 0 1．5 2 表中的值为_____，的值为_____； （2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式； [问题解决] （3）若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积． 【答案】（1）①；②；的值为1.5；的值为0；图象见解析；（2）；（3）． 【分析】本题为四边形综合题，涉及到二次函数的图象和性质、函数表达式的求法、函数作图，确定函数表达式是解题的关键． （1）①由即可求解； ②由题意得：即可求解，通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象即可求解； （2）对比（1）②分类讨论利用即可求解； （3）由函数的对称性得：，当时，即，由题意得和时，函数值相等，即可求解． 【详解】(1)① ， ∴， 故答案为：． ②由题意得：， 当， 当， 故答案为：． 通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下： （2）当点运动到线段的延长线上时， ； 故答案 ：． （3）若从上至下存在三个不同位置的点，，时长设为对应的矩形面积均相等， 如图：由函数的对称性得：， 当时，即，     设， 则， 由题意得，和时，函数值相等， 故， 整理得：， 解得：， 则， 即矩形的面积． 【点睛】本题主要考查三角函数、矩形面积、二次函数表达式、函数图像及其性质等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力．点睛片段 3．【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图，等腰直角的直角顶点的坐标为，，两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查阅读理解，解分式方程，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据阅读材料，进行计算，即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据是等腰直角三角形，则，；根据，，等量代换，全等三角形的判定和性质，则，，，最后根据反比例函数的图象和性质，即可． 【详解】解：（1） 解：先两边同乘以，得， 解得：，， 经检验无增根， ∴原方程的解为，； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵点坐标是， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． 4．问题情境：如图，中，点D为上一个动点，连接，过点D作，交于点E，若，探究线段与线段的关系． 小明根据学习函数的经验，设的长为，线段，，的长分别为，，，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了x与，，的几组值，如下表： 0 1 2 3 4 5 2.89 3.06 3.52 4.16 4.93 5.77 5 2.64 1.65 1.04 0.51 0 0 1.74 1.89 m 0.82 0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） 可测出，m的值为______；（保留一位小数） (2)在如图的平面直角坐标系中，小明已经描绘出，关于x的函数图象，请描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出关于x的函数图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题： ①图中，关于x的函数图象交于点M，可测出点M的横坐标为______，请说出点M的几何意义及此时的度数； ②当为等腰三角形时，的长为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；此时，为等腰直角三角形，；② 【分析】（1）根据表格中的数据得出：当时，，即点D与点C重合时，，当时，，即点D与点A重合时，，当时，，，过点E作于点F，证明，得出，求出，根据，得出，求出结果即可； （2）先描点再连线即可得出答案； （3）①根据函数图象得出点M的横坐标，根据此时，得出点M的几何意义即可； ②先证明为钝角，得出为等腰三角形时，，得出，关于x的函数图象的交点的横坐标为的值，根据函数图象求出结果即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当时，，即点D与点C重合时，， 当时，，即点D与点A重合时，， 当时，，， 过点E作于点F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 即． （2）解：关于x的函数图象，如图所示： （3）解：①根据函数图象可知点M的横坐标约为， ∵此时， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； ②∵， ∴为钝角， ∴为等腰三角形时，， ∴，关于x的函数图象的交点的横坐标为的值， 根据函数图象可知，，关于x的函数图象的交点横坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了函数图象中获得信息，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （新定义）5．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 押题猜想十一 几何图形的综合应用 限时：15min 综合与探究 问题情境：学习完特殊的平行四边形和相似三角形有关知识后，老师组织了一节富有创意的数学活动课，引导同学们从图形变换的角度展开深度探究． 创新小组以矩形边的旋转变换为研究对象，并观察由此产生的几何性质． 如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转（）得到线段，过点作，交直线于点． 猜想证明： 小组内同学探究思路遵循特殊到一般的探究： （1）当时，四边形的形状最特殊，此时形状为________； （2）如图2，当时，连接，猜想，和之间的数量关系，并说明理由； 综合应用： （3）在旋转过程中，当直线经过边的中点时，与直线交于点，直接写出的长． 【答案】（1）正方形（2），理由见解析（3）的长为或 【分析】（1）当时，落在边上，易得四边形为正方形； （2）连接, 过点作于点，由旋转的性质得，再证明，可得，再证明是等腰直角三角形，可得，再由三点在同一直线上，可得，在中，,可得，再求解即可； （3）分两种情况：当点在的延长线上时；当点在上时；利用旋转的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，当时，落在边上， 由旋转得：， ， ， 四边形为正方形； 故答案为：正方形； （2）. 理由：如图，连接, 过点作于点. 四边形是矩形， ， 由旋转得， 在和中，, ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 三点在同一直线上， 在中，, ； （3）设 如图，当点在的延长线上时，连接， ， ， ， ， ， ， 由（2）得， ，， ， ， ， ， ， 中，， ， 解得：（舍去）， ； 如图，当点在上时，连接， 同理可得， ， ， 由（2）得， ，， ， ， ， ， ， 中，， ， 解得：（舍去）， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，熟练运用这些知识是关键． 押题解读 几何图形的综合应用题是盐城中考的难点与亮点，难度较高，多以压轴题形式出现。题目常融合三角形、四边形、圆等知识点，结合动态图形、翻折、旋转等变换，要求学生综合运用几何性质解决问题。此类题考查逻辑推理、空间想象和创新能力，符合盐城中考对几何综合能力的高水平要求。 1．关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在中，，，，在直线下方取一点，连接，使得． 【基础回顾】 （1）如图1，过点作于点，求证：； 【灵活运用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，作的平分线交边于点，当时，求线段的长； 【综合探究】 （3）在射线上取一点，当时，试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）是定值， 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可得； （2）延长交延长线于点，连接，过点作于点，利用平分，结合，得出，得出，再证明，利用，求出，设，则，利用，求出，则可求出，利用，求出，则可求出，最后利用勾股定理即可求解； （3）过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点，证明四边形是矩形，得，证明，可得，证明，可得，再证明，求得，则可得，利用即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）延长交延长线于点，连接，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， 得：， 解得：， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，是定值． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角函数，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． 2．已知点，分别在矩形的边，上，以为折痕，将四边形翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，，． (1)如图，当点在上，与交于点时， 若点为的中点，求的长； 若与全等，求和的长； (2)如图，的对应边恰好经过点，过点作于点，交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)；，； (2)． 【分析】（）由折叠性质可知，，，设，则，，再由勾股定理得，即，求出的值即可； 由四边形是矩形，得，所以，则与全等的情况只能为，设，则，，由勾股定理，得，即，求出的值即可，再证明，所以，即，求出，再由折叠性质即可求解； （）连接，，，由点，关于直线对称，则，证明，，设，则，在中，，在中，，求出的值即可． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，，， ∵点为的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理，得，即， 解得 ∴的长为； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴与全等的情况只能为， ∴，， 设，则，， 由勾股定理，得，即， 解得或（舍去）， ∴的长为， ∴，，． ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠性质可知，， ∴， （2）如图，连接，，， ∵点，关于直线对称， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，轴对称性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．在中，，，是边上一动点（不与点重合），在射线上取点，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． 【初步感知】 （1）如图，当点和点重合时，求的长； 【深入探究】 （2）如图，当点落在的延长线上时，求的长； 【拓展延伸】 （3）是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的两倍？若存在，请求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的倍，的长为或． 【分析】（1）根据等边对等角推出后可证，由相似三角形的性质可得，代入，即可得解； （2）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，由三线合一定理可得，再结合勾股定理求出，即可得，推得，再由等腰直角三角形的性质推得，列出方程后求出、，最后结合勾股定理即可得解； （3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设交于点，设，分两种情况讨论：①点，在异侧时；②点，在同侧时． 【详解】解：（1）如图，当点和点重合时， 根据题意得， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （2）如图，当点落在的延长线上时，过点作，垂足为点， 过点作，垂足为点， 设， ， ， 在中， 在中， 在中， ， 根据题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中； （3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 过点作，垂足为点，设交于点， 设， 分两种情况讨论： ①如备用图，点，在异侧时，若， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， 在中， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 在中； ②如备用图，点，在同侧时，若， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， 在中， 在中， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 在中， 综上所述，存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的倍，的长为或． 【点睛】本题考查的知识点是等边对等角、相似三角形的判定与性质、三线合一定理、勾股定理、解直角三角形、一元一次方程的实际应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 4．定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． (1)下面的图形中是“字平行四边形”的有：_________； A．正方形      B．矩形        C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形       E．有一个角是的平行四边形 (2)在“字平行四边形”中，，，则_________． (3)如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值； (4)如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 【答案】(1)C (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据“字平行四边形”的定义逐一判断即可； （2）由平行四边形是“字平行四边形”， ，可得，推出，得到，推出，即可求解； （3）连接，，由在字中，，，可得，，由可得，，则，由大角对大边可得，，若为“字平行四边形”，分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可； （4）过点作于点，过点作于点，两种情况：①当时，②当时，结合相关知识求解即可． 【详解】（1）解：A．正方形的对角线为边长的倍，故不满足； B、矩形的对角线长不等于其中一条边的长，故不满足； C、有一个角是的菱形，有一条对角线的长等于其中一条边的长，故满足； D、有一个角是的平行四边形的对角线，不等于其中一条边的长，故不满足； E．有一个角是的平行四边形，不等于其中一条边的长，故不满足； 故 答 案 为：C； （2）如图，平行四边形是“字平行四边形”， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：连接，， 在字中，，， ，， ， ， ， 由大角对大边可得，，                        若为“字平行四边形”，只能分为以下几种情况 ①当时，， 过点作于点， 可得点为的中点，，， 又， ， ，；             ②当时，， 此时，，矛盾； 综上，若为字平行四边形，； （4）过点作于点，过点作于点， 四边形为矩形， ，，， 四边形为平行四边形， ，， ，， 即． 四边形为字平行四边形， 又，． 有以下两种情况： ①当时， ， 为的中点， ． 在矩形中，， 又， ， ， ， ；                                    ②当时， ， 为的中点， ， 设， 则，，． ， ． ， ， ， ， 由可得． ， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识，并分类讨论． 5．在中，，，是边上一点，连接． (1)如图1，是延长线上一点，与垂直，求证：； (2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：； (3)如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得，，对应点分别是，为上任意一点，为的中点，连接，若，，最大值为，最小值为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）作交的延长线于，证明及，二者结合可证明结论； （3）点运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设上的高是，垂足为，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆，运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环，结合图形找出点的最大值，然后根据垂线段最短可求出的最小值，从而确定和的比值，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：如图1，设的延长线交于， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2， 作交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3， 点运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设上的高是，垂足为，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环， 当在的延长线上时，最大， ，，， 为的中点， ， ， 根据三角形面积可得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一点到圆上的距离的最值问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$