2025年中考数学考前冲刺几何探究题专项复习

2025年中考数学考前冲刺 几何探究题专项复习 1．完成下面推理过程． 已知：，分别交、于E、F，平分，平分． 探究：与是否平行． 解：∵（已知） ∴（____________） ∵平分，平分（____________） ∴，（____________） ∴， ∴（____________）． 2．综合与探究： 已知直线，点A是a上的动点，点B在a上（点A不与点B重合），点C、D在b上，且点C在点D左侧，的平分线相交于点E． (1)如图1所示，若点A在点B的左侧，，过点E作，求的度数； (2)如图2所示，若点A在点B的左侧，，则___________（用含、的式子表示）； (3)如图3所示，若点A在点B的右侧，，求的度数（用含的式子表示）． 3．【实践活动】如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）与的大小关系是：_____；（填“”“”或“”） （2）若，求的度数； 若是的平分线，求的度数； 【拓展探究】 （3）如图，若，且，若，求的度数． 4．综合与实践 【探究发现】 （1）小明家有一款可折叠的护眼台灯如图1，是灯头，，是支架，是底座，连接部分可分别绕连接点B，E，D旋转，当旋转至时，图2是其平面示意图，小明发现，请证明小明的发现． 【拓展延伸】 （2）保持，当旋转到如图3所示位置时，判断，，之间的数量关系，并证明． 【学以致用】 （3）如图4，，，和的平分线相交于点P，求的度数． 5．在数学实践活动中，某数学兴趣小组的同学共同探究平行线的作用． (1)如图1，直线，为，之间一点，连接，，判断与，的数量关系，并说明理由． (2)如图2，在的内部有一点，连接，，求证：． (3)如图3，是的平分线，是的平分线，与交于点，若，，直接写出的大小． 6．如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． (1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若恰好平分，请你猜想此时是否平分，并简述理由； (2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，请猜想与是否相等，并简述理由； (3)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，设，试用含的式子表示的度数，并说明当的值逐渐增大时，的度数会发生怎样的变化； (4)如图③，将两个同样的含角的直角三角板中锐角的顶点叠放在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 7．综合与探究 问题情境：将一副直角三角板和按如图1摆放在直线上，直角边和均在直线上，且两个直角三角板位于直线的同侧．已知，，． 解决问题：（1）图1中，__________°． （2）如图2，若平分，求的度数． 实践探究：（3）若直角三角板以每秒的速度旋转，当旋转至射线上时，停止运动．设旋转时间为t s，在旋转的过程中，当时，求t的值． 8．【探究】将两个三角板的两个直角顶点O重合在一起，放置成如图1所示的位置，请回答下面的问题． （1）如果重叠在一起则________． （2）若将绕点O旋转，使重叠在一起的，________． （3）图1中与满足的数量关系是________，根据是________． 【拓展】在图1所示的位置上，继续将绕点O旋转，得到如图2所示的位置，请回答下面的问题． （4）如果，则________．（用含x的式子表示） （5）此时图2中与始终满足的数量关系是________． （6）【结论】由上述的探究过程可知，三角板绕重合点O旋转．不论旋转到任何位置时，与始终满足的数量关系是________． 9．【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“字形”，可得结论：；请说明理由． 【简单应用】 （2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图，分别平分，， 若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图， 直线平分的外角，平分的外角， 若，，猜想的度数为：________； 【拓展延伸】 （4）在图中，若设，，，，直接写出与，之间的数量关系为：______（用，表示）． 10．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 11．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． (1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由． (2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． (4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明． 12．【问题情境】 小明所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔． 【操作探究】 （1）图1中的第_____个图形经过折叠不能围成无盖正方体纸盒（填序号）． （2）小圣所在的综合实践小组把折叠成9个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体． ①请计算出这个几何体的表面积和体积； ②要保持从上面看到的平面图形不变，最多可以拿走小正方体的个数是_____． 13．【分析探究】（1）已知：如图1，，求证：． （2）如图2，，平分，平分．若，求的度数． （3）如图3，平分平分平分平分平分平分若，则度数为________（用含x的代数式表示）． 14．【问题背景】 如图，已知点为线段的中点，点在线段上（不与点、重合）． 【初步探究】 （1）如图1，若，，则线段的长为______； （2）如图1，若，，求的长； 【拓展提升】 （3）如图2，若、点为的中点，，求线段的长． 15．综合与探究 问题情境 已知长方形纸片，点在边上，点在边上，将沿翻折到，射线与交于点．点在边上，将沿EM翻折到，射线与交于点． 初步探究 （1）现将长方形纸片按照图1所示的方式折叠，此时点F与点G重合，直接写出以E为顶点的两对相等的角，并求的度数； 深入探究 （2）若将长方形纸片按照图2所示的方式折叠，此时点F在点G的左侧，且，，请你分别求出与的度数． 类比拓展 （3）若将长方形纸片按照图3所示的方式折叠，此时点F在点G的右侧，且，请你直接写出的度数（用含的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学考前冲刺几何探究题专项复习》参考答案 1．两直线平行，内错角相等；已知；；；角平分线的定义；；；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，由平行线的性质可得，结合角平分线的定义得出，即可得解． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分，平分（已知） ∴，（角平分线的定义） ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 2．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线． （1）根据、分别是，的平分线，得出，，再由平行线的性质得出，同理可得出，再由即可得出结论； （2）过点E作，同（1）的证明过程完全相同； （3）过点向右作，根据、分别是，的平分线可知，，再由可知，根据可知，故，再由可得结论． 【详解】（1）解：、分别是，的平分线， ，， ∵， ， ∵， ∴， ， ； （2）解：过点E作， 、分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：过点向右作， ，分别是、的平分线， ，， ∵， 又∵， ∴， ， ． 3．（）；（）；； （3）． 【分析】本题考查了同角的余角相等，角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据同角的余角相等即可求解； （）由角度和差即可求解； 由角平分线定义得，再通过角度和差即可求解； （）由角度和差即可求解． 【详解】解：（）因为， 所以， 所以， 故答案为：； （）因为， 所以， 所以； 因为是的平分线，， 所以， 所以； （3）因为，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 4．（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线性质的应用，解题关键是通过作辅助线构造平行线，利用平行线性质找出角之间的关系，结合已知条件进行推导求解． （1）过点E作，利用平行线性质先得到，再由，推出，进而得到，最后通过等量代换证明结论． （2）作，依据得出 ，利用平行线性质得到， ，再结合周角为，即，从而证明 ． （3）先由得 ，根据角平分线性质得到， ，利用（1）论建立与的关系，再将用和表示并化简，进而求出的度数． 【详解】解：（1）证明：如图1，过点E作，    ∴，     ∵， ∴，    　 ∴， ∴．     （2）     证明：作． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）∵， ∴，     ∵和的平分线相交于点P， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，即， ， = ． 5．(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的含义； （1）如图，过点作，可得，再结合平行线的性质进一步解答即可； （2）如图，过点作，过点作，则，再结合平行线的性质进一步解答即可； （3）由（2）的结论可得：，，再结合角平分线的定义进一步解答即可； 【详解】（1）解： 理由：如图，过点作． ∵， ， ，． ， ； （2）证明：如图，过点作，过点作，则， ，，． ， ， ． ， ． （3）解：由（2）可得，． 是的平分线，是的平分线， ，， ， ． 6．(1)平分，见解析 (2)，见解析 (3)，当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小 (4)或，见解析 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，等角的余角相等，熟练掌握图形中角的运算是解题的关键． （1）由，平分得，进而得，据此可得出结论； （2）由得，，然后根据同角的余角相等可得出结论； （3）由得，据此可得，进而可得当的值逐渐增大时，的度数的变化情况； （4）①当在的内部时，由得，据此可得与的关系； ②当在的外部时，由可得出与的关系． 【详解】（1）解：平分，理由如下： 依题意得：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：，理由如下： 依题意得：， ∴，， ∴． （3）解：依题意得：， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小． （4）解：或，理由如下： 依题意得：， ①当在的内部时，如图： ， ∴； ②当在的外部时，如图： ． 7．（1）；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查套三角板中角度的计算．熟练掌握三角板的角的特征，角平分线定义，角的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据即得； （2）由角平分线定义求出，根据即得； （3）分在内外两种情况，写出每种情况的，的表达式，根据列方程解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ： 故答案为：； （2）∵平分， ∴， ∴， （3）∵，， 当，， ∵， ∴， 解得，； 当时，，， ∴， 解得． 故或． 8．（1）；（2）；（3），同角的余角相等；（4）；（5）；（6） 【分析】本题主要考查角的计算、用代数式表示角的度数，此题以旋转变换为方法，注重角的计算及其规律的探究，抓住旋转过 程中始终不变的角是解题的关键． （1）利用得到的度数； （2）根据余角的定义求出的度数，由得到的度数； （3）根据同角的余角相等可得与； （4）首先表示出，然后求出，即可得到答案； （5）根据等式的性质可得与； （6）运用周角，求出的度数，即可解决问题． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）∵， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴（同角的余角相等）； （4）∵， ∴ ； （5）∵， ∴，即； （6）∵， ∴， ∴， ∴由上述的探究过程可知，三角板绕重合点O旋转．不论旋转到任何位置时，与始终满足的数量关系是：． 9．【问题背景】（）理由见解析； 【简单应用】（）； 【问题探究】（）； 【拓展延伸】（）． 【分析】【问题背景】（）根据三角形内角和定理即可证明； 【简单应用】（）由分别平分，，则，，由（）得：，求出即可求解； 【问题探究】（）平分的外角，平分的外角，得，，则，，由，，推出，即可解决问题； 【拓展延伸】（）由（）可知：，，，则，然后代入求值即可； 本题考查了三角形内角和，三角形的内、外角的定义，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【问题背景】（）证明：在中，， 在 中，， ∵， ∴； 【简单应用】（）如图2， ∵分别平分，， ∴，， 由（）得：， 得， ∴， ∵，， ∴； 【问题探究】（）理由：如图， ∵直线平分的外角，平分的外角， ∴，， ∴，， ∵， ∴由（）得：，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 【拓展延伸】（）由（）可知：，，， ∴，， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 10．（1）60；（2）的度数不会发生变化，始终为，理由见解析；（3）或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义求解即可； （3）分两种情况讨论：①当在的内部；②当在的外部，根据角平分线的定义表示出，再根据列方程分别求解即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 故答案为：60． （2）的度数不发生变化，理由如下： 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 所以的度数不会发生变化，始终为． （3）为或，分析如下： 射线绕点O按顺时针方向旋转，分两种情况： ①如图析1，当在的内部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得，； 所以； ②如图析2，当在的外部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得， 所以， 综上所述，所以为或． 11．(1)，理由见解析 (2)仍成立，理由见解析 (3)210海里 (4)，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论； （2）延长到，使，连接，证明，再证明，则结论可求； （3）连接，延长、交于点，利用已知条件得到：四边形中：，且，符合（2）具备的条件，则． （4）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，    在和中， ， ， ，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接，   ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：连接，延长、交于点，如图3，   ，， ， ，， 在四边形中：，且， 四边形符合（2）中的条件， 结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． （4）解：结论：． 理由：如图4，在延长线上取一点，使得，连接，   ，， ，即 在和中， ， ， ，， ∵点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足（1）中的结论， 即， ∴ 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 12．（1）②；（2）①这个几何体的表面积为，体积为；②4． 【分析】本题考查简单组合体，正方体的表面展开图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求动手操作可得结论； （2）①几何体有9个小正方体组成，由此可得结论；②根据要求作出判断即可． 【详解】（1）解：通过动手操作可知第图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒， 第②个图形经过折叠不能围成无盖正方体纸盒； （2）①正方体纸盒的棱长为， 正方体纸盒的单面面积为， 这个几何体露出的面数为， 这个几何体的表面积为， 这个几何体的体积为； ②要保持从上面看到的平面图形不变，最多可以拿走小正方体的个数是4， 故答案为：4． 13．（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、四边形内角和定理及角平分线的性质等知识点， （1）过点B作，则，根据平行线的性质得，据此结合图形可得出结论； （2）根据角平分线的定义得，再由（1）的结论得，然后根据四边形的内角和等于得，进而即可得解； （3）根据（1）的结论可知，据此可得，再由（2）可知，据此得，……，以此类推可得出的度数； 熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵平分平分， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵四边形的内角和等于， ∴，即， ∴， ∵， ∴； （3）∵平分平分， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 由（2）可知，， 又∵， ∴， ∴， 同理， ，以此类推， ∴， 故答案为：． 14．（1）1；（2）6；（3）24 【分析】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段中点的定义可得，再由得，进而可得答案； （3）根据线段中点的定义可得，，再根据，得到，求出即可． 【详解】解：（1）∵点D是的中点，，， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， 即的长为6； （3）∵点D是的中点， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：线段的长为24． 15．（1），，；（2），；（3） 【分析】本题考查折叠，角的和差，根据折叠得到角相等是解题的关键． （1）由折叠可得，，根据即可得到； （2）由折叠可得，，代入中可求出，进而得到，，根据即可求解； （3）由折叠可得，，根据，得到，进而根据即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可得，， ∵， ∴， 即． （2）∵，， ∴由折叠可得， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． （3）由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$