（单元讲义）第七单元 三角形、平行四边形和梯形（知识梳理+典例精讲+培优必刷）-2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本（苏教版）

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（2）三角形高的画法:通常用三角尺画三角形的高。 6、画三角形的高。 把三角尺的一条直角边与三角形指定的底重合,沿着这条底平移三角尺,使三角尺的另一条直角边经过这条底所对的顶点,沿着这条直角边从顶点向底边作垂线,顶点到底边的垂直线段就是三角形的高。 【知识点二】三角形的三边关系和内角和。 1、三角形的三边关系。 在拼成的三角形中，任意两根小棒的长度一定大于第三根小棒的长度。 判断给定的三条线段能否围成三角形，只要计算出其中两条较短的线段的长度和，若它们的和大于第三条线段的长度，就一定能围成三角形。 2、观察发现：三角形的3个角拼在一起形成了一个平角，平角是180°，即3个内角的度数之和是180°。 【知识点三】三角形的分类。 1、三角形按角分类,可以分为三类：3个角都是锐角的三角形是锐角三角形;有一个角是直角的三角形是直角三角形;有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 2、各类三角形之间的联系: 各类三角形之间的联系可以用下图表示，把所有的三角形看作一个整体，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都是这个整体的一部分。 3、等腰三角形和等边三角形: （1）两条边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形中,相等的两边叫作腰,另一条边叫作底。两腰的夹角叫作顶角,底边上的两个角叫作底角,如图。 （2）等腰三角形的底角相等。 （3）等腰三角形是轴对称图形,有1条对称轴,它底边上的高在它的对称轴上。 4、等边三角形及其特征: （1）3条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。 （2）等边三角形的3个角相等，等边三角形是轴对称图形，等边三角形有3条对称轴。 （3）三角形按边分类: 【知识点四】平行四边形和梯形。 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 2、特征: （1）平行四边形有4条边、4个角。 （2）平行四边形的两组对边分别平行。 （3）平行四边形的两组对边分别相等。 3、平行四边形的底和高的认识: 从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段,是平行四边形的高,这条对边是平行四边形的底。 4、梯形:只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 5、认识梯形的底和高 互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。 6、梯形的分类 （1）直角梯形:如果梯形的一条腰和梯形的底互相垂直，那么这条腰就是梯形的高，这样的梯形叫作直角梯形。 （2）等腰梯形:两腰相等的梯形叫作等腰梯形。 【知识点五】多边形的内角和。 1、四边形、五边形、六边形的内角和。 多边形可以分成几个三角形来计算内角和。四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°。 2、探索任意多边形内角和的计算方法。 （1）多边形的内角和可以根据三角形的内角和推算出来。 （2）多边形可以分成几个小三角形，多边形的内角和就是几个180°。由此可得多边形得内角和=（多边形的边数-2）✖180°。 【考点一】三角形的认识 【典例一】聪聪做了灯笼，它的底部如下图。如果想再加一根木条使底部框契更牢固，下面方法中最好的是（    ）。 A． B． C． 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。而四边形具有不稳定性；据此可知，如果想再加一根木条使底部框契更牢固，可以把底部分成两个三角形，更稳定。 【解答】A．底部被分成两个四边形，不稳定； B．底部被分成两个四边形，不稳定； C．底部被分成两个三角形，稳定。 故答案为：C 【点评】解答此题的关键是明确三角形的稳定性，生活中还有很多利用三角形稳定性的例子，比如三角形房架、矩形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂和高压输电线的铁塔等。 【典例二】小亮准备用图钉固定硬纸条做一个三角形。他最少应准备( )根硬纸条，准备( )个图钉。如果其中2根硬纸条分别长3cm和5cm，那么另一根硬纸条最长为( )cm。（填整数） 【分析】至少要用3根硬纸条，因为三角形有3条边。至少要用3颗图钉，因为三角形有3个顶点。三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【解答】由分析得： 小亮准备用图钉固定硬纸条做一个三角形。他最少应准备3根硬纸条，准备3个图钉。 5－3＜第三条边＜3＋5，2＜第三条边＜8，则另一根硬纸条最长为7cm。 【点评】熟练掌握三角形的概念以及三角形的三边关系是解答此题的关键。 【典例三】用一根20分米的彩带，剪成三段后组成一个三角形，一共有几种不同的剪法？可以组成的三角形的三边长分别是多少分米？（长度为整分米数，写出一组即可） 【分析】根据题意可知，三角形三边的长度之和是20分米，再根据三角形三边的关系进行解答。三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此解答。 【解答】9＋2＞9，9－2＜9，因此可以组成的三角形的三边长分别是2分米、9分米、9分米； 8＋3＞9，8－3＜9，因此可以组成的三角形的三边长分别是3分米、8分米、9分米； 8＋4＞8，8－4＜8，因此可以组成的三角形的三边长分别是4分米、8分米、8分米； 7＋4＞9，7－4＜9，因此可以组成的三角形的三边长分别是4分米、7分米、9分米； 6＋5＞9，6－5＜9，因此可以组成的三角形的三边长分别是5分米、6分米、9分米； 7＋5＞8，7－5＜8，因此可以组成的三角形的三边长分别是5分米、7分米、8分米； 6＋6＞8，8－6＜6，因此可以组成的三角形的三边长分别是6分米、6分米、8分米； 6＋7＞7，7－6＜7，因此可以组成的三角形的三边长分别是6分米、7分米、7分米； 答：一共有8种不同的剪法；可以组成的三角形的三边长分别是2分米、9分米、9分米，或3分米、8分米、9分米，或4分米、8分米、8分米，或4分米、7分米、9分米，或5分米、6分米、9分米，或5分米、7分米、8分米，或6分米、6分米、8分米，或6分米、7分米、7分米。 【考点二】三角形的内角和 【典例一】李叔叔不小心把一块三角形玻璃摔成了三块，现在他要到玻璃店去配一块大小、形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（    ）去。 A．①号 B．②号 C．③号 D．①号和②号 【分析】若带①号玻璃去，只知道一个角，根据三角形的内角和定理，可知其余两个角的度数和，却不能确定每个角的度数。若带②号玻璃去，即不知道角的度数，也不知道边长，不能确定这个三角形。若带③号玻璃去，已知两个角的度数，用180°减去这两个角的度数和，即可求出第三个角的度数。且知道一条边的长度和其余两条边的一部分，将这两条边延长后交于一点，即可知道其余两条边的长度。据此解答。 【解答】由分析得： 要到玻璃店去配一块大小、形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③号去。 故答案为：C 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，已知两个角的度数，即可求出第三个角的度数。 【典例二】一个三角形的一个内角是，另外两个内角相等，另外两个内角的度数是( )。 【分析】根据三角形的内角和是180度，用180度减去72度，再除以2就是另外两个内角的度数。 【解答】（180－72）÷2 ＝108÷2 ＝54（度） 故另外两个内角的度数是54度。 【点评】明确三角形的内角度数的和是180°是解本题的关键。 【典例三】一个三角形的两个较小角的度数和是60度。两个较大角的度数和是165度，这个三角形的三个内角分别是多少度？ 【分析】依据三角形的内角和是180°，又已知其中两个角的和，即可求出另一个角，进而求出三个内角的和。 【解答】最大角：180º－60º＝120º 最小角：180º－165º＝15º 中间角：180º－（120º＋15º）＝45º 答：这个三角形的三个内角分别是120º、45º和15º。 【点评】灵活应用三角形的内角和解答实际问题。 【考点三】三角形的分类 【典例一】从下图的格点（如点A、点B）中再选一个点，记作C，使三角形ABC成为直角三角形，可选的点C的位置共有（    ）个。 A．5 B．6 C．7 【分析】在格点中选点组成直角三角形，可以将角A、角B作为三角形的直角，则点C的位置在A点或B点的正下方，还可以找到点A和点B的中点，在点A和点B的中点的正下方找到点C的位置，选点后，再连接点A和点B，看什么情况下组成的三角形是等直角三角形，据此找到点C的位置。 【解答】根据分析，如图所示： 红色的点是点C的位置，可选的点C的位置共有7个。 故答案为：C 【点评】本题主要考查直角三角形的特点，熟练掌握直角三角形的特点是解决本题的关键。 【典例二】仔细看一看，将下面的三角形进行分类。（填序号） ( )是锐角三角形；( )是直角三角形；( )是钝角三角形。 【分析】三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；据此选择即可。 【解答】 （①⑤）是锐角三角形；（②④）是直角三角形；（③⑥）是钝角三角形。 【典例三】已知一个直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，这两个锐角分别是多少。明明家有一块三角形的菜地，菜地的最大角是120度，是最小角的4倍，这块三角形菜地的每个角是多少度？这是一块什么形状的三角形菜地？ 【分析】根据三角形的内角和为180度可知，在直角三角形中两个锐角的和是90度，而一个锐角是另一个锐角的2倍，较小的锐角就是90÷（1＋2）度。用90度减去较小的锐角度数，求出较大的锐角度数。 用菜地最大角的度数除以4，求出最小角的度数。用180度依次减去最大角的度数以及最小角的度数，求出第三个内角的度数。再判断这个三角形菜地的类型。 【解答】180－90＝90（度） 90÷（2＋1） ＝90÷3 ＝30（度） 90－30＝60（度） 120÷4＝30（度） 180－120－30＝30（度） 答：这两个锐角分别是30度和60度。这块三角形菜地的每个角是120度、30度、30度。这是一块钝角三角形菜地菜地。 【点评】掌握三角形的内角和等于180度，及三角形的分类是解题的关键。 【考点四】等腰三角形和等边三角形 【典例一】把一根小棒剪成3段（表示在此剪断），观察下面各种剪法，判断这几种剪法能围成三角形吗？下列说法正确的是（    ） ①        ②      ③      ④   A．4种剪法都可以 B．4种剪法都不行 C．剪法②一定围不成 D．剪法③是三等分的话，可以围成等腰直角三角形 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边。观察各选项中剪成的3段小棒长度，判断能不能围成三角形。①如图：右边2根小棒长度和大于左边1根小棒长度，可以围成三角形。②左右两边2根小棒长度和小于中间小棒长度，一定不能围成三角形。③三等分的话，一定能围成等边三角形。④如图：左边2根小棒的长度和等于右边1根小棒长度，不能围成三角形。 【解答】A．第②、④种剪法不能围成三角形。原说法错误。 B．只有第①、③种剪法能围成三角形。原说法错误。 C．第②种剪法不能围成三角形。剪法②一定围不成说法正确。 D．剪法③是三等分的话，可以围成等边三角形。原说法错误。 故答案为：C 【点评】熟记三角形两边之和大于第三边是解题关键。 【典例二】一个等腰三角形有两边长分别是3厘米和7厘米，那么这个三角形的周长是( )厘米；如果其中一个底角是75°，那么顶角是( )°，按角分这是一个( )三角形。 【分析】根据题意，当3厘米是等腰三角形的腰时，三角形的三边分别长3厘米、3厘米、7厘米，3＋3＜7，不满足三角形的三边关系，所以3厘米不能作为等腰三角形的腰；当7厘米是等腰三角形的腰时，7＋3＞7，满足三角形的三边关系，所以等腰三角形的三边分别长7厘米、7厘米、3厘米，此时三角形的周长为7＋7＋3＝17（厘米）；因为等腰三角形的两底角相等，当一个底角是75°时，另一个底角也为75°，根据三角形的内角和是180°，则三角形的顶角是180°－75°－75°＝30°，大于0°小于90°的角是锐角，按照角的分类这是一个锐角三角形。 【解答】7＋7＋3 ＝14＋3 ＝17（厘米） 180°－75°－75° ＝105°－75° ＝30° 一个等腰三角形有两边长分别是3厘米和7厘米，那么这个三角形的周长是17厘米；如果其中一个底角是75°，那么顶角是30°，按角分这是一个锐角三角形。 【典例三】笑笑用小棒围一个三角形，她已经有两根5厘米的小棒，还需要在下面三种长度的小棒中选一根。 ① 5cm ② 7cm ③ 12cm （1）如果选①，围成的是一个______三角形； （2）如果选②，围成的是一个______三角形； （3）如果选③，会怎样？请解释你的结论。 【分析】（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）至少有两条边相等的三角形叫等腰三角形； （3）三角形的三边关系：两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边；据此解答。 【解答】（1）如果选①，三条边都是5厘米，则围成的是一个等边三角形； （2）如果选②，两条边相等，都是5厘米，则围成的是一个等腰三角形； （3）5＋5＜12，12－5＞5； 答：如果选③，这三条边不符合三角形的三边关系，不能围成一个三角形。 【点评】解答此题的关键是根据三角形的分类以及三边关系进行分析、解答。 【考点五】认识平行四边形 【典例一】根据下面三幅图的摆放规律，照这样摆5个平行四边形，要（    ）根小棒。 A．13 B．15 C．16 D．20 【分析】从图中可看出，摆1个平行四边形用4根小棒，以后每增加1个平行四边形，小棒的根数就增加3，第一个图形可以写成用（1＋3×1）根小棒，第二个图形可以写成用（1＋3×2）根小棒，第3个图形可以写成用（1＋3×3）根小棒，第4个图形可以写成用（1＋4×3）根小棒，第5个图形可以写成用（1＋5×3）根小棒…… 【解答】1＋5×3 ＝1＋15 ＝16（根） 故答案为：C 【点评】找出小棒的摆放规律是解题关键。 【典例二】下面各种小棒各有2根。 (1)挑选其中3根围成一个三角形，这个三角形的边长可能是( )厘米，( )厘米，( )厘米。（写出一组答案即可） (2)要围出平行四边形，最少用( )种不同的小棒。 【分析】（1）根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；从中选出三根小棒即可； （2）要围出平行四边形，需要4根小棒，根据题意，各种小棒各有2根，所以围出平行四边形，需要4÷2＝2种不同的小棒。 【解答】（1）3＋4＞5 所以挑选其中3根围成一个三角形，这个三角形的边长可能是3厘米，4厘米，5厘米。（答案不唯一） （2）4÷2＝2（种） 要围出平行四边形，最少用2种不同的小棒。 【典例三】蚂蚁王国正在进行赛跑。哪只蚂蚁最先从图形的一个顶点跑到它的对边，就是谁赢。看，小选手欢欢和乐乐已经站到自己图形的顶点上了。（如图） （1）怎样跑的路线最短？请你帮它们画一画。 （2）这个比赛公平吗？为什么？ 【分析】（1）从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条垂线的长度最短。据此过顶点作三角形的高，以及过顶点向右边的边作平行四边形的高，这两条高就是最短路线。 （2）过欢欢所在顶点只能画一条高，但是过乐乐所在顶点能画两条高，其中一条高的长度小于欢欢所在图形的高，两只蚂蚁赛跑路程不相等，比赛不公平。 【解答】（1） （2）不公平；乐乐从图形的顶点出发，可以画两种不同长度的高，其中有一条高比欢欢的短。 【点评】本题考查三角形和平行四边形高的画法，过三角形的一个顶点只能画一条高，过平行四边形的一个顶点能画两条高。 【考点六】认识梯形 【典例一】下面说法中正确的是（    ）。 A．由四条线段围成的图形，叫梯形。 B．从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段就是梯形的高。 C．计算器上的OFF按键是开机键。 D．一个三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是90度。 【分析】（1）由四条线段围成的封闭图形是四边形。有一组对边平行的四边形叫做梯形。梯形是四边形的一种，但不是所有的四边形都是梯形。 （2）从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。 （3）计算器上的ON按键是开机键，OFF按键是关机键。 （4）任何一个三角形的内角和都是180°。 【解答】A．由四条线段围成的封闭图形，叫四边形。原说法错误； B．从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段就是梯形的高。原说法正确； C．计算器上的OFF按键是关机键。原说法错误； D．一个三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180度。原说法错误； 故答案为：B。 【点评】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。无论形状、大小，三角形的内角和均为180°。 【典例二】下面不同长度的小棒各有两根。 (1)任选3根小棒，( )能围成一个三角形。（填“一定”或“不一定”） (2)要围成一个平行四边形，最多用( )种不同长度的小棒，最少用( )种不同长度的小棒。 (3)要围成一个梯形，最多用( )种不同长度的小棒，最少用( )种不同长度的小棒。 【分析】（1）如果选6厘米、9厘米、3厘米的小棒，3厘米＋6厘米＝9厘米，根据任意两边之和大于第三边可知，这三根小棒不能围成三角形。6厘米＋7厘米＞9厘米，选6厘米、9厘米、7厘米的三根小棒可以围成三角形；所以任选3根小棒，不一定能围成一个三角形。 （2）平行四边形的对边平行且相等，如果相邻两边长度不相等，最多用2种不同长度的小棒，如果相邻两边长度相等，最少用1种长度的小棒。 （3）梯形的上下底长度是不相等的，如果两条腰的长度不相等，并且腰与底的长度也不相等，则最多用4种不同长度的小棒，如果等腰梯形的腰与一个底的长度相等，则最少用2种不同长度的小棒。 【解答】（1）任选3根小棒，不一定能围成一个三角形。（填“一定”或“不一定”） （2）要围成一个平行四边形，最多用2种不同长度的小棒，最少用1种不同长度的小棒。 （3）要围成一个梯形，最多用4种不同长度的小棒，最少用2种不同长度的小棒。 【典例三】拓展部分。 数学的角度考虑，图中哪一个图形与其它两个不同？请找出这个图形，并说一说你的理由（写出一种即可）。 （1）这个与众不同的图形名称是 。 （2）你下结论的理由是什么？ 【分析】根据所给图示发现，三角形由三条边围成，而平行四边形和梯形都是由四条边围成的，据此解答。 【解答】（1）这个与众不同的图形名称是三角形。 （2）理由：平行四边形和梯形属于四边形，三角形属于三边形。 （答案不唯一） 【点评】本题主要考查平面图形的分类及识别，熟练掌握三角形、平行四边形、梯形的特征是解答本题的关键。 【考点七】多边形的内角和 【典例一】下面是四位同学探索五边形内角和的过程，其中错误的是（    ）。 A． 像这样分，算出3个三角形的内角和 B． 像这样分，算出5个三角形的内角和，再减去360° C． 像这样分，用四边形的内角和加上三角形的内角和 D． 像这样分，算出2个四边形的内角和。 【分析】探索五边形内角和，可以运用我们已经学过的三角形内角和、四边形内角和的知识探索。把五边形分成若干个三角形或若干个三角形和四边形。 【解答】A．可以算出五边形的内角和是：180°×3＝540°； B．分成5个三角形，中间的周角不是五边形的内角，应减去周角度数，可以算出五边形的内角和是：180°×5－360°＝900°－360°＝540°； C．四边形内角和是360°，可以算出五边形内角和是：360°＋180°＝540°； D．分成2个四边形，平均不是五边形内角，应减去平角度数。此种方法不能算出五边形内角和。 故答案为：D 【点评】此题考查了根据三角形内角和求多边形内角和的过程和方法。 【典例二】小明用两个完全一样的梯形（如下图左）拼成了一个平行四边形，这个平行四边形的底是( )cm；小乐剪去了三角形的一个角（如下图右），剩下图形的内角和是( )°。      【分析】将这两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，则两个梯形的腰为公共边，平行四边形的底为原来梯形的上底与下底的和。剪去了三角形的一个角后，剩下的图形是一个四边形，内角和是360°。 【解答】30＋6＝36（cm） 这个平行四边形的底是36cm；剩下图形的内角和是360°。 【点评】将两个梯形拼成一个平行四边形时，可以动手拼一拼，即可得出结论。任何一个四边形，无论形状和大小，内角和都是360°。 一、填空题 1．一个等腰梯形的一条腰长7厘米，它的下底长12厘米，上底是下底的一半，周长是（ ）厘米。 【答案】32 【分析】等腰三角形两腰相等，则另一条腰长也是7厘米。上底是下底的一半，则上底长12÷2＝6厘米，把等腰梯形的4条边，相加即可得周长。 【解答】上底长：12÷2＝6（厘米） 6＋12＋7×2 ＝6＋12＋14 ＝18＋14 ＝32（厘米） 一个等腰梯形的一条腰长7厘米，它的下底长12厘米，上底是下底的一半，周长是（32）厘米。 2．量出下面每个图形底边上的高，填在括号里。 高（ ）厘米    高（ ）厘米    高（ ）厘米 【答案】1 3 2 【分析】根据长度的测量方法，一端从0刻度开始，另一端到达那个刻度就是所指刻度的长度；经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高。梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，直角梯形的高即为垂直于上下底边的腰。 【解答】 3．一个平行四边形，两条邻边分别是12厘米和8厘米，两条高分别是6厘米和9厘米。底边12厘米对应的高是（ ）厘米。 【答案】6 【分析】平行四边形的高和底边是相对应关系，过顶点作底边的垂线即为高，则此时高、底边的一小段和另一条邻边组成一个三角形，三角形斜边最长，则邻边必须大于底边上的高，据此判断当底边是12厘米时，对应的高是多少厘米。 【解答】 如图： 12＞9＞8＞6。 斜边8厘米对应的高是9厘米，底边12厘米对应的高是6厘米。 4．把平行四边形拉成长方形，周长（ ），电动伸缩门利用的是平行四边形的（ ）性。 【答案】不变 不稳定 【分析】周长的认识：封闭图形一周的长度叫做图形的周长；把平行四边形拉成长方形，四条边的长度不变，也就是周长不变；平行四边形具有不稳定性，据此解答。 【解答】根据分析：把平行四边形拉成长方形，周长不变，电动伸缩门利用的是平行四边形的不稳定性。 5．一个等腰三角形，它的一个底角的度数是顶角度数的2倍。这个等腰三角形的底角是（ ）°，顶角是（ ）°。 【答案】72 36 【分析】等腰三角形的两底角相等，根据题意，把三角形的顶角看作1，则三角形的内角和是顶角的（1＋2＋2）倍；再根据三角形的内角和是180°可求出顶角的度数，然后乘2得出底角的度数即可。 【解答】顶角的度数：180°÷（1＋2＋2） ＝180°÷5 ＝36° 底角：36°×2＝72° 因此，这个等腰三角形的底角是72°，顶角是36°。 6．已知等腰三角形的一个内角是40°，如果这个三角形是锐角三角形，那么它的（ ）角是40°；如果这个三角形是钝角三角形，那么它的（ ）角是40°。 【答案】顶 底 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180°，由此可进行计算，如果顶角是40°，那么底角是（180°－40°）÷2＝70°，三个角都是锐角，所以这个等腰三角形是锐角三角形；如果底角是40°，那么底角是180°－40°×2＝100°，它的顶角就是钝角，，所以这个等腰三角形是钝角角三角形；以此答题即可。 【解答】（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 已知等腰三角形的一个内角是40°，如果这个三角形是锐角三角形，那么它的顶角角是40°；如果这个三角形是钝角三角形，那么它的底角是40°。 7．一个等腰三角形，当顶角是（ ）°时，底角是40°，这个三角形按角分是一个（ ）三角形。 【答案】100 钝角 【分析】三角形内角和180°，根据等腰三角形的顶角＝内角和－底角×2，求出顶角；再根据有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，确定的类型。 【解答】180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 100°的角是钝角。 一个等腰三角形，当顶角是100°时，底角是40°，这个三角形按角分是一个钝角三角形。 8．选三根长度为整厘米数的小棒搭三角形，如果先选的两根小棒的长度分别是12厘米和（ ）厘米，那么第三根最长可以选26厘米的小棒，最短可以选（ ）厘米的小棒。 【答案】15 4 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分析题目，三条边的长度都是整厘米数，则第三条边的最大值为其他两边之和减1，据此确定出另一条边，第三条边的最小值为其他两边之差加1，据此解答。 【解答】26＋1－12 ＝27－12 ＝15（厘米） 15－12＋1 ＝3＋1 ＝4（厘米） 选三根长度为整厘米数的小棒搭三角形，如果先选的两根小棒的长度分别是12厘米和15厘米，那么第三根最长可以选26厘米的小棒，最短可以选4厘米的小棒。 9．从三角形的一个顶点到对边的（ ）线段是三角形的高。每条底边有（ ）条对应的高。三角形一共有（ ）条高。 【答案】垂直 1 3 【分析】三角形高是对确定的底而言，同一三角形所选底不同，高亦不同。经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）或者对边的延长线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高（钝角三角形钝角边上的高在其反方向延长线上）；直角三角形一条直角边就是以另一直角边为底的高。 【解答】如图： 从三角形的一个顶点到对边的（垂直）线段是三角形的高。每条底边有（1）条对应的高。三角形一共有（3）条高。 10．海海从家到学校共有三条路可以选择。 海海从家到学校走路线（ ）最近。（填序号） 我们可以用线段的知识解释：在连接两点之间的线中，（ ）最短。也可以用三角形的三边关系解释：（ ）。 【答案】② 线段 三角形两边之和大于第三边 【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，可知从海海家到学校，最近的是路线②。根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，可知路线①和路线③比路线②长，最近的是路线②；据此解答。 【解答】据分析可得： 海海从家到学校走路线②最近。 我们可以用线段的知识解释：在连接两点之间的线中，线段最短。也可以用三角形的三边关系解释：三角形两边之和大于第三边。 二、判断题 11．因为5＋10＞5，所以用5厘米、10厘米、5厘米长的三根小棒能围成一个等腰三角形。（ ） 【答案】× 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。据此解答。 【解答】三根小棒分别长5厘米、10厘米、5厘米，那么较短的两根小棒长度都是5厘米。5＋5＝10（厘米），10厘米＝10厘米，所以这三根小棒无法围成等腰三角形。原题说法错误。 故答案为：× 12．在一个三角形中，若其中一个内角是65°，则另外的两个角可能是65°和60°。（ ） 【答案】× 【分析】三角形的内角和是180°，因此先计算出三个角的度数之和即可进行判断。 【解答】65°＋65°＋60°＝190° 190°＞180° 在一个三角形中，若其中一个内角是65°，则另外的两个角不可能是65°和60°。 故答案为：× 13．一个平行四边形既能分成两个同样的三角形，也能分成两个同样的梯形。（ ） 【答案】√ 【分析】 在平行四边形中画一条线段，将它分成两个图形，能分成两个三角形，如：；也能分成两个梯形，如：；也能分成一个梯形和一个三角形，如：；还能分成两个平行四边形，如：。 【解答】一个平行四边形既能分成两个同样的三角形，也能分成两个同样的梯形，因此原题干的说法是正确的。 故答案为：√ 14．一个直角梯形的两条腰的长度分别是6厘米和8厘米，那么这个梯形的高是6厘米。（ ） 【答案】√ 【分析】根据梯形的特点可知，直角梯形垂直于两个底的腰比另一条腰要短，这条腰也是梯形的高，所以直角梯形的两条腰中较短的一条为这个梯形的高，据此即可解答。 【解答】根据分析可知，一个直角梯形的两条腰的长度分别是6厘米和8厘米，那么这个梯形的高是6厘米，原说法正确。 故答案为：√ 【点评】本题主要考查学生对直角梯形定义和特点的掌握及灵活运用。 15．直角三角形的两条直角边互相垂直，这两条直角边也都是它的高。（ ） 【答案】√ 【分析】根据三角形的高的含义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高；直角三角形的两条直角边互相垂直，这两条直角边也都是它的高。 【解答】根据分析：直角三角形的两条直角边互相垂直，这两条直角边也都是它的高。原题说法正确。 故答案为：√ 三、选择题 16．下边的两条平行线上分别有2个点和3个点，以这些点为顶点，一共可以组成（    ）个三角形。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】三个不在同一条直线上的点，依次连接成封闭图形，得到一个三角形。据此，将所有的三角形列举出来，再统计个数即可。 【解答】以这些点为顶点，可以组成的三角形有：三角形ACD，三角形ADE，三角形BCD，三角形BDE，三角形ACE，三角形BCE，三角形ABC，三角形ABD，三角形ABE。所以，一共可以组成9个三角形。 故答案为：D 17．小明的凳子脚松动了，下面几种加固方法，你觉得（    ）最稳固。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，据此可知，利用三角形的稳定性在板凳腿与板凳面之间加一根斜木条固定，形成一个三角形，比较稳固。 【解答】 A．，加固后形成的是一个四边形，不具有稳定性。 B．，加固后形成的是一个四边形，不具有稳定性。 C．，加固后形，成两个三角形，具有稳定性。 D．，加固后形成的是两个四边形，不具有稳定性。 故答案为：C 18．从两根长4厘米和两根长9厘米的小棒中，选出3根围成一个等腰三角形，这个等腰三角形的周长是（    ）厘米。 A．12 B．17 C．27 D．22 【答案】D 【分析】有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边是腰，剩下的一条边是底边；三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；据此可知有两种情况：①选择4厘米作为腰，则9厘米是底边；②选择9厘米作为腰，则4厘米为底边；再根据三角形的三边关系确定是否两种情况都存在；最后根据三角形的周长等于三条边的长度之和求出周长即可。 【解答】4＋4＝8＜9，不满足三角形的三边关系，所以不能以4厘米为腰； 9＋9＝18＞4，满足三角形的三边关系，所以等腰三角形的腰是9厘米，底边是4厘米； 9＋9＋4 ＝18＋4 ＝22（厘米） 从两根长4厘米和两根长9厘米的小棒中，选出3根围成一个等腰三角形，这个等腰三角形的周长是22厘米。 故答案为：D 19．一个等腰梯形，上底长3厘米，下底长5厘米，一条腰长4厘米。这个等腰梯形的周长是（    ）厘米。 A．15 B．17 C．16 D．12 【答案】C 【分析】等腰梯形的两条腰的长度相等，根据梯形的周长＝上底＋下底＋两条腰，列式解答即可得到答案。 【解答】3＋5＋4×2 ＝3＋5＋8 ＝8＋8 ＝16（厘米） 一个等腰梯形，上底长3厘米，下底长5厘米，一条腰长4厘米。这个等腰梯形的周长是16厘米。 故答案为：C 20．一个平行四边形相邻两条边的长度分别为8厘米，14厘米，其中一条底边上的高是9厘米，这条底边长（    ）。 A．5厘米 B．8厘米 C．9厘米 D．14厘米 【答案】B 【分析】依据在直角三角形中，斜边大于直角边，平行四边形高是9厘米，两条边中只有当14为斜边时，14＞9，则对应的底边为8厘米，据此选择即可。 【解答】8厘米＜9厘米，9厘米＜14厘米。 这条底边长8厘米。 故答案为：B 四、计算题 21．在下图的三角形中，已知∠1＝65°，∠2＝60°，请求出∠4的度数。 【答案】125° 【分析】已知三角形的三个内角和是180°，三个内角有两个已经知道，要求未知的那一个内角，用180°连续减去两个内角的度数即可，据此可求出∠3的度数，又因为∠3和∠4组成一个平角，用180°减去∠3的度数就是∠4的度数。 【解答】∠3＝180°－65°－60°＝115°－60°＝55° ∠4＝180°－55°＝125° 五、操作题 22．按要求画图。 ①把平行四边形绕点A顺时针旋转90°。 ②把最右边的图形补全，使它成为轴对称图形。 ③把三角形向上平移四格后，画出三角形底边上的高。 【答案】①②③见详解 【分析】①根据旋转的特征，平行四边形绕点A顺时针旋转90°，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 ②根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的左边画出图形的关键对称点，连接即可。 ③作平移后的图形的方法：找出构成图形的关键点，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，再依据图形的形状顺次连接各对应点，画出最终的图形，根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可。 【解答】 ①②③见如图： 六、解答题 23．蚂蚁王国正在进行赛跑。哪只蚂蚁最先从图形的一个顶点跑到它的对边，就是谁赢。看，小选手欢欢和乐乐已经站到自己图形的顶点上了。（如图） （1）怎样跑的路线最短？请你帮它们画一画。 （2）这个比赛公平吗？为什么？ 【答案】（1）见详解 （2）不公平；理由见详解 【分析】（1）从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条垂线的长度最短。据此过顶点作三角形的高，以及过顶点向右边的边作平行四边形的高，这两条高就是最短路线。 （2）过欢欢所在顶点只能画一条高，但是过乐乐所在顶点能画两条高，其中一条高的长度小于欢欢所在图形的高，两只蚂蚁赛跑路程不相等，比赛不公平。 【解答】 （1） （2）不公平；乐乐从图形的顶点出发，可以画两种不同长度的高，其中有一条高比欢欢的短。 【点评】本题考查三角形和平行四边形高的画法，过三角形的一个顶点只能画一条高，过平行四边形的一个顶点能画两条高。 24．为了给乐乐做一个三角形的风筝，爸爸准备了三根竹条，竹条的长度分别是65厘米、65厘米、130厘米。 （1）爸爸用这三根竹条首尾相接做风筝框架，能做成吗？为什么？ （2）如果把130厘米长的竹条截掉10厘米，那么这时能做成吗？ 【答案】（1）不能做成；理由见详解 （2）能做成；理由见详解 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。 （1）由题意得，竹条的长度分别是65厘米、65厘米、130厘米，可以用65厘米加上65厘米看它们的和是否大于130厘米即可。 （2）由题意得，把130厘米长的竹条截掉10厘米，这根竹条就变为了120厘米。三根竹条的长度分别是65厘米、65厘米、120厘米，可以用65厘米加上65厘米看它们的和是否大于120厘米即可。 【解答】（1）65＋65＝130（厘米） 130＝130 答：爸爸用这三根竹条首尾相接不能做成风筝框架。 （2）130－10＝120（厘米） 65＋65＝130（厘米） 130＞120 答：如果把130厘米长的竹条截掉10厘米，这时可以做成风筝框架。 25．∠A，∠B，∠C是一个三角形的三个内角。 （1）若∠B＝70°，∠C＝60°，求∠A的度数。 （2）若∠B是直角，∠C＝45°，求∠A的度数。 【答案】（1）∠A＝50° （2）∠A＝45° 【解答】（1）180°－70°－60° ＝110°－60° ＝50° 答：∠A＝50°。 （2）180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° 答：∠A＝45°。 26．用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。每个等腰三角形的周长是16厘米，等腰梯形的周长是28厘米。这个等腰梯形的上底长多少厘米？一条腰长多少厘米？ 【答案】6厘米；5厘米 【分析】如下图，等腰梯形的周长也就是一个等腰三角形的周长加等腰三角形两条底边的长度。用等腰梯形的周长减去一个等腰三角形的周长，即是两条等腰三角形的底边长，再除以2，即可求出等腰三角形的底边长，等腰梯形上底的长度等于等腰三角形底边的长度，据此求出等腰梯形的上底；等腰梯形的腰长与等腰三角形的腰长相等，用等腰三角形的周长减去等边长，再除以2，即可求出它们的腰长。据此作答。 【解答】上底：（28－16）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 腰：（16－6）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 答：这个等腰梯形的上底长6厘米，一条腰长5厘米。 27．一个梯形的上底和下底相差12厘米，若将上底扩大到原来的3倍，这个梯形就变成一个平行四边形，这个梯形的上底是多少厘米？下底是多少厘米？ 【答案】上底6厘米；下底18厘米 【分析】平行四边形对边平行且相等，若将梯形上底扩大到原来的3倍，这个梯形就变成一个平行四边形，说明梯形的下底是上底的3倍。差÷倍数差＝小数，上底和下底相差的12厘米除以（3－1）倍，可以算出上底是几厘米，上底乘3即可算出下底是几厘米。 【解答】12÷（3－1） ＝12÷2 ＝6（厘米） 6×3＝18（厘米） 答：这个梯形的上底是6厘米，下底是18厘米。 28．一个直角梯形的上底是5厘米，一条腰长是12厘米，将上底延长4厘米后，就变成一个正方形。这个直角梯形的周长是多少厘米？ 【答案】35厘米 【分析】上底是5厘米，将上底延长4厘米后，就变成一个正方形，说明下底长是5＋4＝9厘米，高是5＋4＝9厘米。将梯形的四条边相加，可得它的周长。 【解答】高、下底：5＋4＝9（厘米） 5＋9＋9＋12 ＝14＋9＋12 ＝23＋12 ＝35（厘米） 答：这个直角梯形的周长是35厘米。 29．淘气打算从两根8厘米、两根4厘米和两根3厘米的小棒中，任意选取其中的三根，摆一个三角形，请你用自己喜欢的方式列举出四种不同的三角形。 【答案】8厘米、8厘米、4厘米； 8厘米、8厘米、3厘米； 4厘米、4厘米、3厘米； 3厘米、3厘米、4厘米； 【分析】三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此即可解答。 【解答】8厘米＋4厘米＞8厘米，8厘米－4厘米＜8厘米； 8厘米＋3厘米＞8厘米，8厘米－3厘米＜8厘米； 4厘米＋3厘米＞4厘米，4厘米－3厘米＜4厘米； 3厘米＋3厘米＞4厘米，4厘米－3厘米＜3厘米； 答：可以摆出8厘米、8厘米、4厘米；8厘米、8厘米、3厘米；4厘米、4厘米、3厘米；3厘米、3厘米、4厘米四种三角形。 30．根据三角形的内角和是180°，在四边形或五边形内任意取一点，与四边形或五边形的顶点连接，可以得到4个或5个三角形（如图1、图2），由此可以推出四边形或五边形的内角和。 四边形的内角和＝180°×4—360° 五边形的内角和＝180°×5—360° （1）根据上面的方法，把下图的六边形分一分，并写出六边形内角和的计算过程。 （2）观察上面的算式，你认为多边形的内角和可以怎样计算？ 【答案】（1）画图见详解；720° （2）见详解 【分析】 （1）如图：，可以将六边形分割成6个三角形，已知三角形的内角和为180°，用6乘180°，再减去360°，即可求出六边形的内角和。 （2）四边形的内角和＝180°×4—360°，五边形的内角和＝180°×5—360°，六边形的内角和＝180°×6—360°，那么n边形的内角和＝180°×n—360°，据此解答即可。 【解答】（1）如图： 180°×6—360° ＝1080°－360° ＝720° 答：六边形内角和为720°。 （2）四边形的内角和＝180°×4—360° 五边形的内角和＝180°×5—360° 六边形的内角和＝180°×6—360° 所以计算多边形的内角和时，用180°乘多边形的边长的数目，再减去一个360°，即可求出。即n边形的内角和＝180°×n—360° 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年四年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本 第七单元 三角形、平行四边形和梯形 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】认识三角形 1、三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。 生活中的三角形:生活中的三角形无处不在，如大桥的桥柱、斜拉索与桥面可以组成三角形。生活中一些物体的包装盒的面，一些积木的面等都是三角形。 2、三角形的特点。 （1）三角形有3条边、3个角和3个顶点。 （2）三角形的3条边都是线段。 （3）三角形的三条线段要首尾相接地围起来。 3、画三角形时，先确定三角形的三个顶点,然后把其中的每两个点均用线段连接起来即可。 4、三角形的三个顶点不能在同一条直线上,即过同一条直线上的三个点不能画出三角形。 5、三角形的底和高 （1）从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 （2）三角形高的画法:通常用三角尺画三角形的高。 6、画三角形的高。 把三角尺的一条直角边与三角形指定的底重合,沿着这条底平移三角尺,使三角尺的另一条直角边经过这条底所对的顶点,沿着这条直角边从顶点向底边作垂线,顶点到底边的垂直线段就是三角形的高。 【知识点二】三角形的三边关系和内角和。 1、三角形的三边关系。 在拼成的三角形中，任意两根小棒的长度一定大于第三根小棒的长度。 判断给定的三条线段能否围成三角形，只要计算出其中两条较短的线段的长度和，若它们的和大于第三条线段的长度，就一定能围成三角形。 2、观察发现：三角形的3个角拼在一起形成了一个平角，平角是180°，即3个内角的度数之和是180°。 【知识点三】三角形的分类。 1、三角形按角分类,可以分为三类：3个角都是锐角的三角形是锐角三角形;有一个角是直角的三角形是直角三角形;有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 2、各类三角形之间的联系: 各类三角形之间的联系可以用下图表示，把所有的三角形看作一个整体，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都是这个整体的一部分。 3、等腰三角形和等边三角形: （1）两条边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形中,相等的两边叫作腰,另一条边叫作底。两腰的夹角叫作顶角,底边上的两个角叫作底角,如图。 （2）等腰三角形的底角相等。 （3）等腰三角形是轴对称图形,有1条对称轴,它底边上的高在它的对称轴上。 4、等边三角形及其特征: （1）3条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。 （2）等边三角形的3个角相等，等边三角形是轴对称图形，等边三角形有3条对称轴。 （3）三角形按边分类: 【知识点四】平行四边形和梯形。 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 2、特征: （1）平行四边形有4条边、4个角。 （2）平行四边形的两组对边分别平行。 （3）平行四边形的两组对边分别相等。 3、平行四边形的底和高的认识: 从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段,是平行四边形的高,这条对边是平行四边形的底。 4、梯形:只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 5、认识梯形的底和高 互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。 6、梯形的分类 （1）直角梯形:如果梯形的一条腰和梯形的底互相垂直，那么这条腰就是梯形的高，这样的梯形叫作直角梯形。 （2）等腰梯形:两腰相等的梯形叫作等腰梯形。 【知识点五】多边形的内角和。 1、四边形、五边形、六边形的内角和。 多边形可以分成几个三角形来计算内角和。四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°。 2、探索任意多边形内角和的计算方法。 （1）多边形的内角和可以根据三角形的内角和推算出来。 （2）多边形可以分成几个小三角形，多边形的内角和就是几个180°。由此可得多边形得内角和=（多边形的边数-2）✖180°。 【考点一】三角形的认识 【典例一】聪聪做了灯笼，它的底部如下图。如果想再加一根木条使底部框契更牢固，下面方法中最好的是（    ）。 A． B． C． 【典例二】小亮准备用图钉固定硬纸条做一个三角形。他最少应准备( )根硬纸条，准备( )个图钉。如果其中2根硬纸条分别长3cm和5cm，那么另一根硬纸条最长为( )cm。（填整数） 【典例三】用一根20分米的彩带，剪成三段后组成一个三角形，一共有几种不同的剪法？可以组成的三角形的三边长分别是多少分米？（长度为整分米数，写出一组即可） 【考点二】三角形的内角和 【典例一】李叔叔不小心把一块三角形玻璃摔成了三块，现在他要到玻璃店去配一块大小、形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（    ）去。 A．①号 B．②号 C．③号 D．①号和②号 【典例二】一个三角形的一个内角是，另外两个内角相等，另外两个内角的度数是( )。 【典例三】一个三角形的两个较小角的度数和是60度。两个较大角的度数和是165度，这个三角形的三个内角分别是多少度？ 【考点三】三角形的分类 【典例一】从下图的格点（如点A、点B）中再选一个点，记作C，使三角形ABC成为直角三角形，可选的点C的位置共有（    ）个。 A．5 B．6 C．7 【典例二】仔细看一看，将下面的三角形进行分类。（填序号） ( )是锐角三角形；( )是直角三角形；( )是钝角三角形。 【典例三】已知一个直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，这两个锐角分别是多少。明明家有一块三角形的菜地，菜地的最大角是120度，是最小角的4倍，这块三角形菜地的每个角是多少度？这是一块什么形状的三角形菜地？ 【考点四】等腰三角形和等边三角形 【典例一】把一根小棒剪成3段（表示在此剪断），观察下面各种剪法，判断这几种剪法能围成三角形吗？下列说法正确的是（    ） ①        ②      ③      ④   A．4种剪法都可以 B．4种剪法都不行 C．剪法②一定围不成 D．剪法③是三等分的话，可以围成等腰直角三角形 【典例二】一个等腰三角形有两边长分别是3厘米和7厘米，那么这个三角形的周长是( )厘米；如果其中一个底角是75°，那么顶角是( )°，按角分这是一个( )三角形。 【典例三】笑笑用小棒围一个三角形，她已经有两根5厘米的小棒，还需要在下面三种长度的小棒中选一根。 ① 5cm ② 7cm ③ 12cm （1）如果选①，围成的是一个______三角形； （2）如果选②，围成的是一个______三角形； （3）如果选③，会怎样？请解释你的结论。 【考点五】认识平行四边形 【典例一】根据下面三幅图的摆放规律，照这样摆5个平行四边形，要（    ）根小棒。 A．13 B．15 C．16 D．20 【典例二】下面各种小棒各有2根。 (1)挑选其中3根围成一个三角形，这个三角形的边长可能是( )厘米，( )厘米，( )厘米。（写出一组答案即可） (2)要围出平行四边形，最少用( )种不同的小棒。 【典例三】蚂蚁王国正在进行赛跑。哪只蚂蚁最先从图形的一个顶点跑到它的对边，就是谁赢。看，小选手欢欢和乐乐已经站到自己图形的顶点上了。（如图） （1）怎样跑的路线最短？请你帮它们画一画。 （2）这个比赛公平吗？为什么？ 【考点六】认识梯形 【典例一】下面说法中正确的是（    ）。 A．由四条线段围成的图形，叫梯形。 B．从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段就是梯形的高。 C．计算器上的OFF按键是开机键。 D．一个三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是90度。 【典例二】下面不同长度的小棒各有两根。 (1)任选3根小棒，( )能围成一个三角形。（填“一定”或“不一定”） (2)要围成一个平行四边形，最多用( )种不同长度的小棒，最少用( )种不同长度的小棒。 (3)要围成一个梯形，最多用( )种不同长度的小棒，最少用( )种不同长度的小棒。 【典例三】拓展部分。 数学的角度考虑，图中哪一个图形与其它两个不同？请找出这个图形，并说一说你的理由（写出一种即可）。 （1）这个与众不同的图形名称是 。 （2）你下结论的理由是什么？ 【考点七】多边形的内角和 【典例一】下面是四位同学探索五边形内角和的过程，其中错误的是（    ）。 A． 像这样分，算出3个三角形的内角和 B． 像这样分，算出5个三角形的内角和，再减去360° C． 像这样分，用四边形的内角和加上三角形的内角和 D． 像这样分，算出2个四边形的内角和。 【典例二】小明用两个完全一样的梯形（如下图左）拼成了一个平行四边形，这个平行四边形的底是( )cm；小乐剪去了三角形的一个角（如下图右），剩下图形的内角和是( )°。      一、填空题 1．一个等腰梯形的一条腰长7厘米，它的下底长12厘米，上底是下底的一半，周长是（ ）厘米。 2．量出下面每个图形底边上的高，填在括号里。 高（ ）厘米    高（ ）厘米    高（ ）厘米 3．一个平行四边形，两条邻边分别是12厘米和8厘米，两条高分别是6厘米和9厘米。底边12厘米对应的高是（ ）厘米。 4．把平行四边形拉成长方形，周长（ ），电动伸缩门利用的是平行四边形的（ ）性。 5．一个等腰三角形，它的一个底角的度数是顶角度数的2倍。这个等腰三角形的底角是（ ）°，顶角是（ ）°。 6．已知等腰三角形的一个内角是40°，如果这个三角形是锐角三角形，那么它的（ ）角是40°；如果这个三角形是钝角三角形，那么它的（ ）角是40°。 7．一个等腰三角形，当顶角是（ ）°时，底角是40°，这个三角形按角分是一个（ ）三角形。 8．选三根长度为整厘米数的小棒搭三角形，如果先选的两根小棒的长度分别是12厘米和（ ）厘米，那么第三根最长可以选26厘米的小棒，最短可以选（ ）厘米的小棒。 9．从三角形的一个顶点到对边的（ ）线段是三角形的高。每条底边有（ ）条对应的高。三角形一共有（ ）条高。 10．海海从家到学校共有三条路可以选择。 海海从家到学校走路线（ ）最近。（填序号） 我们可以用线段的知识解释：在连接两点之间的线中，（ ）最短。也可以用三角形的三边关系解释：（ ）。 二、判断题 11．因为5＋10＞5，所以用5厘米、10厘米、5厘米长的三根小棒能围成一个等腰三角形。（ ） 12．在一个三角形中，若其中一个内角是65°，则另外的两个角可能是65°和60°。（ ） 13．一个平行四边形既能分成两个同样的三角形，也能分成两个同样的梯形。（ ） 14．一个直角梯形的两条腰的长度分别是6厘米和8厘米，那么这个梯形的高是6厘米。（ ） 15．直角三角形的两条直角边互相垂直，这两条直角边也都是它的高。（ ） 三、选择题 16．下边的两条平行线上分别有2个点和3个点，以这些点为顶点，一共可以组成（    ）个三角形。 A．6 B．7 C．8 D．9 17．小明的凳子脚松动了，下面几种加固方法，你觉得（    ）最稳固。 A． B． C． D． 18．从两根长4厘米和两根长9厘米的小棒中，选出3根围成一个等腰三角形，这个等腰三角形的周长是（    ）厘米。 A．12 B．17 C．27 D．22 19．一个等腰梯形，上底长3厘米，下底长5厘米，一条腰长4厘米。这个等腰梯形的周长是（    ）厘米。 A．15 B．17 C．16 D．12 20．一个平行四边形相邻两条边的长度分别为8厘米，14厘米，其中一条底边上的高是9厘米，这条底边长（    ）。 A．5厘米 B．8厘米 C．9厘米 D．14厘米 四、计算题 21．在下图的三角形中，已知∠1＝65°，∠2＝60°，请求出∠4的度数。 五、操作题 22．按要求画图。 ①把平行四边形绕点A顺时针旋转90°。 ②把最右边的图形补全，使它成为轴对称图形。 ③把三角形向上平移四格后，画出三角形底边上的高。 六、解答题 23．蚂蚁王国正在进行赛跑。哪只蚂蚁最先从图形的一个顶点跑到它的对边，就是谁赢。看，小选手欢欢和乐乐已经站到自己图形的顶点上了。（如图） （1）怎样跑的路线最短？请你帮它们画一画。 （2）这个比赛公平吗？为什么？ 24．为了给乐乐做一个三角形的风筝，爸爸准备了三根竹条，竹条的长度分别是65厘米、65厘米、130厘米。 （1）爸爸用这三根竹条首尾相接做风筝框架，能做成吗？为什么？ （2）如果把130厘米长的竹条截掉10厘米，那么这时能做成吗？ 25．∠A，∠B，∠C是一个三角形的三个内角。 （1）若∠B＝70°，∠C＝60°，求∠A的度数。 （2）若∠B是直角，∠C＝45°，求∠A的度数。 26．用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。每个等腰三角形的周长是16厘米，等腰梯形的周长是28厘米。这个等腰梯形的上底长多少厘米？一条腰长多少厘米？ 27．一个梯形的上底和下底相差12厘米，若将上底扩大到原来的3倍，这个梯形就变成一个平行四边形，这个梯形的上底是多少厘米？下底是多少厘米？ 28．一个直角梯形的上底是5厘米，一条腰长是12厘米，将上底延长4厘米后，就变成一个正方形。这个直角梯形的周长是多少厘米？ 29．淘气打算从两根8厘米、两根4厘米和两根3厘米的小棒中，任意选取其中的三根，摆一个三角形，请你用自己喜欢的方式列举出四种不同的三角形。 30．根据三角形的内角和是180°，在四边形或五边形内任意取一点，与四边形或五边形的顶点连接，可以得到4个或5个三角形（如图1、图2），由此可以推出四边形或五边形的内角和。 四边形的内角和＝180°×4—360° 五边形的内角和＝180°×5—360° （1）根据上面的方法，把下图的六边形分一分，并写出六边形内角和的计算过程。 （2）观察上面的算式，你认为多边形的内角和可以怎样计算？ 学科网（北京）股份有限公司 $$