17 课时精练(十六) 二倍角的三角函数-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(十六)　二倍角的三角函数 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．已知sin α＝，则cos(π－2α)＝(　　) A．－ B．－ C． D． B　[cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－．] 2．化简·cos 28°的结果为(　　) A．sin 28° B．sin 28° C．2sin 28° D．sin 14°cos 28° A　[原式＝tan 28°·cos 28°＝sin 28°，故选A．] 3．化简＝(　　) A．1 B．2 C． D．－1 B　[＝＝＝2．] 4．已知α∈，sin(π－2α)＝－，则sin α－cos α＝(　　) A． B．－ C． D．－ D　[由已知得sin 2α＝－，即2sin αcos α＝－，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝．又α∈，所以sin α<cos α，所以sin α－cos α＝－，故选D．] 5．在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 B　[由sin Bsin C＝cos2得 sin Bsin C＝， ∴2sin Bsin C＝1＋cos A， ∴2sin Bsin C＝1＋cos[π－(B＋C)] ＝1－cos(B＋C)， ∴2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C， ∴cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，∴cos(B－C)＝1． 又∵－180°<B－C<180°，∴B－C＝0°． ∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形．] 6．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是__________________． 解析：　因为sin 2α＝2sin αcos α，而sin 2α＝－sin α，α∈， 故cos α＝－，则α＝， 所以tan 2α＝tan ＝tan(π＋)＝tan ＝． 答案：　 7．sin 50°(1＋tan 10°)的值________． 解析：　 sin 50°(1＋tan 10°) ＝sin 50°× ＝ ＝＝ ＝＝＝ ＝1． 答案：　1 8．已知α，β均为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝，则tan α＝________，β＝________． 解析：　由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin2α) ＝sin αcos α， 即2sin2α＝sin αcos α． ∵α为锐角，∴sin α≠0， ∴2sin α＝cos α，即tan α＝． 方法一：由tan(β－α)＝＝＝，得tan β＝1． ∵β为锐角，∴β＝． 方法二：tan β＝tan[(β－α)＋α]＝ ＝＝1． ∵β为锐角，∴β＝． 答案：　　 9．已知α、β均为锐角，sin α＝，sin β＝，求下列各式的值： (1)sin 2α＋cos2； (2)α＋β． 解析：　(1)因为α、β均为锐角，sin α＝， 所以cos α＝ ＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝， cos β＝ ＝， 则cos2＝＝， 所以sin 2α＋cos2＝＋＝． (2)因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝， 又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝． 10．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数． cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°； cos280°＋cos2(－50°)－sin 80°sin(－50°)； cos2170°＋cos2(－140°)－sin 170°sin(－140°)． (1)求出这个常数； (2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 解析：　(1)cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15° ＝2cos215°－sin215° ＝1＋cos 30°－(1－cos 30°) ＝1＋－×＝． (2)推广：当α＋β＝30°时， cos2α＋cos2β－sin αsin β＝． 证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α， cos2α＋cos2β－sin αsin β ＝cos2α＋cos2(30°－α)－sin αsin(30°－α) ＝cos2α＋(cos α＋sin α)2－sin α·(cos α－sin α) ＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝． [能力提升] 11．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，＝．根据这些信息，可得sin 234°＝(　　) A． B．－ C．－ D．－ C　[由图可知，∠ACB＝72°，且cos 72°＝＝， ∴cos 144°＝2cos272°－1＝2×()2－1＝－， 则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－． 故选C．] 12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°． (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：　(1)选择②式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15° ＝1－sin 30°＝1－＝． (2)三角恒等式为： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝． 证明如下： 方法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝． 方法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$