11 课时精练(十一) 解三角形应用举例-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(十一)　解三角形应用举例 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．某船在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到B处，测得灯塔在其北偏东60°方向上，然后该船向东偏南30°方向行驶2海里到C处，此时船到灯塔D的距离为(　　) A． 海里 B． 海里 C．6海里 D．5海里 A　[根据题意可画图形(如图)， 因为在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向，即∠BAD＝60°， 船继续向正南方向行驶5海里到B处，即AB＝5， 在B处测得灯塔在其北偏东60°方向上，即∠ABD＝60°， 所以△ABD为一个等边三角形，即AB＝BD＝5， 船向东偏南30°方向行驶2海里到C处， 根据图形可得：∠DBC＝60°且BC＝2， 在△BCD中，由余弦定理可得： CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝25＋4－2×5×2×＝19， 解得：CD＝．故选A．] 2．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在点B测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m A　[如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AC＝h．∵∠BAE＝30°，∴∠CAB＝60°．又∵B，A，C在同一水平面上，∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴BC＝h．在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos 60°，∴(h)2＝h2＋1002－2×100h·，整理化简得h2＋50h－5 000＝0，解得h＝50(负值舍去)．故选A．] 3．某人在A处向正东方向走x km后到达B处，他沿南偏西60°方向走3 km到达C处，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为(　　) A．或3 B．或2 C．或3 D．2 B　[如图：AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝90°－60°＝30°， 在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos 30°， 即3＝x2＋32－2x×3×，所以x2－3x＋6＝0，即(x－)(x－2)＝0，解得x＝或x＝2，故选B．] 4．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26．5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73．5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为(　　) A． B． C． D． D　[∠BAD＝73．5°－26．5°＝47°，在△BAD中，由正弦定理得＝，即＝，所以AD＝，因为在Rt△ACD中，＝sin ∠ADC＝sin 73．5°，所以AC＝AD×sin 73．5°＝，故选D．] 5．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2海里的C处有我方一艘辑私艇奉命以10海里/小时的速度追截走私船，B在C的正东方向，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则辑私艇最快追上走私船时，行驶方向为(　　) A．北偏东30° B．北偏东45° C．北偏东60° D．北偏东75° C　[如图，设需要t小时追上走私船，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠CAB＝22＋(－1)2－2×2×(－1)×cos 120°＝6，所以BC＝．在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠DCB＝，则∠DCB＝30°，所以辑私艇沿北偏东60°方向追击．故选C．] 6．某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需要测量繁殖区域内某湿地A，B两点间的距离(如图)，环保监督组织测绘员在(同一平面内)同一直线上的三个测量点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67．5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．并测得DC＝2，CE＝(单位：千米)，则A，B两点的距离为________千米． 解析：　根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67．5°，DC＝2， 则∠DAC＝180°－45°－67．5°＝67．5°，则AC＝DC＝2， 在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝， 则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°． 则有＝， 变形可得BC＝＝＝， 在△ABC中，AC＝2，BC＝， ∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°， 则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，则AB＝3． 答案：　3 7．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12千米，渔船乙以10千米/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．则渔船甲的速度为________，sin α＝________． 解析：　由已知得，AB＝12千米，AC＝20千米，∠BAC＝120°， 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×(－)＝784， ∴BC＝28千米． ∴渔船甲的速度V甲＝＝14(千米/时)． 在△ABC中，∠BCA＝α， 由正弦定理得＝， ∴＝，∴sin α＝． 答案：　14千米/时　 8．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生层云，决入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将在A到D间修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A，B，C，D在同一水平面内)，则A，D间的距离为________． 解析：　如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD＝25＋9－2×5×3×＝49， 所以BD＝7，由正弦定理得，＝，即＝， 解得sin ∠DBC＝，因为∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝90°－∠DBC， 所以cos ∠ABD＝sin ∠DBC＝，在△ABD中， AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos ∠ABD＝16＋49－2×4×7×＝65－12， 所以AD＝，即A，D间的距离为 km． 答案：　 km 9．如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心、半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与弧CD的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°． (1)求烟囱AB的高度； (2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长． 解析：　(1)设AB＝h，再由题意知∠ACB＝45°，可知CB＝h， 又由∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，得到OB＝h，EB＝h， ∵扇形区域OCD的半径为10 m， ∴得到h－＝10，解得h＝15， 即知烟囱AB的高度是15米． (2)在△OBC中有cos∠COB＝＝＝， ∴在△OCE中可得到CE＝＝10，即CE的长为10 m． 10．某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离．(注：sin 75°＝) 解析：　方法一：∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°． ∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝a． 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理＝， 得BD＝CD·＝a·＝a． 在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝a2＋(a)2－2·a·a·＝a2，∴AB＝a km． 故蓝方这两支精锐部队间的距离为a km． 方法二：同方法一可得AD＝CD＝AC＝a， 在△BCD中，∠DBC＝45°，∴＝， ∴BC＝a． 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴AB＝a km， 故蓝方这两支精锐部队间的距离为a km． [能力提升] 11．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻．某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C．若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C，且cos 75°＝，则航行的方向和路程(单位：海里)分别为(　　) A．北偏东80°，20(＋) B．北偏东65°，20(＋2) C．北偏东65°，20(＋) D．北偏东80°，20(＋2) C　[据题意知，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40海里，BC＝40海里，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos ∠ABC ＝402＋(40)2－2×40×40×＝3 200＋1 600， 所以AC＝＝20(＋)(海里)， 又＝，所以sin ∠CAB＝， 因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝45°， 所以航行的方向和路程分别为北偏东65°，20(＋)海里．故选C．] 12．如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30 n mile，PB＝90 n mile，AB＝30 n mile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°． (1)求B，C两个岛屿间的距离； (2)某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P．问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程． 解析：　(1)在△PBC中，PB＝90，PC＝30，∠PCB＝120°， 由正弦定理得，＝， 即＝，解得sin∠PBC＝， 又因为在△PBC中，0°<∠PBC<60°，所以∠PBC＝30°， 所以∠BPC＝30°，从而BC＝PC＝30，即B，C两个岛屿间的距离为30 n mile． (2)因为∠ABC＝90°，∠PBC＝30°， 所以∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝90°－30°＝60°， 在△PAB中，PB＝90，AB＝30，由余弦定理得， PA＝ ＝＝30， 又AC＝60， 故最短航线是“P→A→B→C→P”或“P→C→B→A→P”， 其航程为S＝PA＋AB＋BC＋CP＝30＋30＋30＋30＝30＋60＋30． 所以应按航线“P→A→B→C→P”或“P→C→B→A→P”航行， 其航程为(30＋60＋30) n mile． 学科网（北京）股份有限公司 $$