7 课时精练(七) 数量积的定义及计算-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(七)　数量积的定义及计算 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影为(　　) A．4 B．4 C．4 D．8＋ B　[∵|a|＝8，e为单位向量，且〈a，e〉＝，由平面向量的投影定义得|a|·cos 〈a，e〉＝8·＝4，∴a在e方向上的投影为4．故选B．] 2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D．π A　[∵(a－b)⊥(3a＋2b)， ∴(a－b)·(3a＋2b)＝0， 即3a2－2b2－a·b＝0， 即a·b＝3a2－2b2＝b2， ∴cos〈a，b〉＝＝＝， 又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝， 故选A．] 3．设a，b为单位向量，且|a－b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A． B． C．3 D．7 B　[因为a，b为单位向量，且|a－b|＝1，所以(a－b)2＝1，所以a2－2a·b＋b2＝1，解得a·b＝，所以|a＋2b|＝＝＝＝．故选B．] 4．P是△ABC所在平面上一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 B　[P是△ABC所在平面上一点，且|－|－|＋－2|＝0， ∴||－|(－)＋(－)|＝0， 即||＝|＋|， ∴|－|＝|＋|， 两边平方并化简得·＝0， ∴⊥， ∴∠A＝90°，则△ABC是直角三角形． 故选B．] 5．在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则·的取值范围是(　　) A． B． C．[，3] D． B　[因为在平行四边形ABCD中， AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，AD＝BC＝1， 所以·＝1×2×cos 60°＝1． 因为E是AB边上的中点， 所以＝＋＝－． 又点F在BC边上， 设＝x(0≤x≤1)， 则＝＋＝＋x＝－x， 所以·＝(－)·(－x) ＝2＋x2－·－x· ＝×4＋x－1－x ＝1＋x． 又0≤x≤1，所以1≤1＋x≤， 故·的取值范围是．故选B．] 6．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，(＋)·＝2，则角A的大小为________． 解析：　由题意知，(＋)·＝2＋·＝12＋1×2cos A＝2， 所以cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝． 答案：　 7．已知|a|＝6，e为单位向量，若向量a与e的夹角为135°，则向量a在e上的投影向量为________． 解析：　因为|a|＝6，〈a，e〉＝135°， 所以向量a在e上的投影向量为：|a|cos〈a，e〉·e＝6·(－)·e＝－3e． 答案：　－3e 8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝60°，点D是AB的中点，点E满足＝，则·的值是________． 解析：　因为＝， 所以＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋(－) ＝＋， 所以·＝·(＋) ＝·＋2 ＝×3×4×＋×42＝． 答案：　 9．(1)已知单位向量e1与e2夹角为60°，且a＝e1＋e2，b＝e1－2e2，求a·b的值． (2)已知|a|＝，|b|＝3，|a－b|＝，求a与b夹角的余弦值． 解析：　(1)∵单位向量e1与e2夹角为60°， ∴e1·e2＝|e1|·|e2|cos 60°＝1×1×＝． ∴a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－－2＝－． (2)∵|a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝7， 即2－2a·b＋9＝7， ∴a·b＝2， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝． 故a与b夹角的余弦值为． 10．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 解析：　∵|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°， ∴e1·e2＝|e1|·|e2|cos 60°＝1， 设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ． 根据题意，得cos θ＝<0， ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0， 化简，得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－． 当θ＝π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0， 则解得 ∴实数t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)． [能力提升] 11．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝BC＝＝2，AC＝CD＝2，点E在四边形ABCD上运动，则·的最小值是(　　) A．3 B．－1 C．－3 D．－4 C　[如图所示，因为AC⊥BD，且AB＝BC，所以BD垂直且平分AC，则△ACD为等腰三角形，又AC＝CD＝2，所以△ACD为等边三角形．则四边形ABCD关于直线BD对称，故当点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可，因为AB＝BC＝＝2，易知BC2＋CD2＝BD2，即BC⊥CD，则·＝0， ①当点E在边BC上运动时，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝(λ－1)，∴·＝·(＋)＝λ·(λ－1)＝4λ(λ－1)＝4(λ－)2－1，当λ＝时，·的最小值为－1； ②当点E在边CD上运动时，设＝k(0≤k≤1)，则＝(k－1)，∴·＝(＋)·＝(k－1)·k＝12k(k－1)＝12(k－)2－3，当k＝时，·的最小值为－3；综上，·的最小值为－3．故选C．] 12．如图所示，半圆的直径AB＝10，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________． 解析：　根据题意，O为圆心，即O是AB的中点，则＋＝2， 则(＋)·＝2·＝2||·||cos π ＝－2||(5－||)＝2(||－)2－， 又0≤||≤5， 所以－≤(＋)·≤0， 即(＋)·的最小值是－． 答案：　 － 学科网（北京）股份有限公司 $$