专题22 圆柱的展开图（详解知识点+培优练习）-2025年小升初同步知识点详解培优练（人教版）

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圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的宽（或边长）等于圆柱的高。当圆柱的底面周长和高相等时，沿高剪开的侧面展开图是一个正方形。 所以一般说圆柱的展开图就是上下两个圆加中间的侧面展开图（长方形或正方形）。 将圆柱的侧面沿着高展开，得到一个长方形时，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。当圆柱的底面周长和高相等时，侧面沿着高展开就会得到一个正方形。判断一个图形是不是圆柱的展开图，关键看长方形的一边与底面圆的周长是否相等。 第一部分 基础知识培优练 一、仔细想，认真填。 1．小星将她收到的压岁钱存入一个圆柱形存钱罐内，存钱罐的底面直径是8cm，如果存钱罐的侧面展开图为正方形，这个存钱罐的高是( )cm。 2．一个圆柱形茶叶筒的侧面贴商标纸，圆柱的底面直径是6厘米，高是10厘米。这张商标纸展开后是一个长方形，它的长是( )，宽是( )。 3．把一个圆柱的侧面沿高剪开得到一个正方形，这个圆柱的半径是2厘米，高是( )厘米。 4．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2dm的正方形，这个圆柱的侧面积是( )dm2。 5．如果一个圆柱的侧面展开后是一个正方形，那么这个圆柱的底面直径与高的比是( )。（圆周率用字母表示） 6．一个圆柱的底面周长是3分米，高是3分米，侧面是( )，侧面积是( )平方分米。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 7．高与底面直径相等的圆柱，它的侧面沿高展开是一个正方形。( ) 8．圆柱的底面直径是3厘米，高是3π厘米，侧面沿高展开图是正方形。( ) 9．一个圆柱的侧面展开正好是一个正方形，量得正方形的边长是18.84厘米，则这个圆柱的底面半径是3厘米。( ) 10．一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则圆柱的高和底面直径相等。( ) 11．用一张长20cm、宽15cm的长方形围成一个圆柱，无论怎么围（不重叠），圆柱的侧面积都是300cm2。 ( ) 12．一个圆柱的底面积是12.56平方厘米，高是12.56厘米，这个圆柱的侧面展开图是正方形。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 13．一个圆柱的底面半径是2cm，它的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高度接近下面直线上从0到点（    ）的长度。 A．A B．B C．C D．D 14．制作一个无盖圆柱形水桶，可以选择的材料是（    ）。 A．①④ B．②③ C．②④ 15．新新准备用如图的长方形硬纸板做成一个无盖笔筒的侧面，他可以选用（    ）作底面。（单位：厘米，接缝处忽略不计） A．①②④ B．②③④ C．①②③ 16．下面选项中（    ）是圆柱的展开图。 A． B． C． 17．下列叙述中，正确的说法有（    ）个。 ①2024年的第一季度有90天； ②六一促销，玩具汽车降价10%，节后又涨价10%，现价比原价不变； ③一个圆柱体的侧面展开图是正方形，这个圆柱底面直径和高的比是1∶1； ④要了解最近几年我市旅游业的发展变化情况，采用折线统计图进行统计更为合适。 A．1 B．2 C．3 D．4 18．一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是（    ）。 A． B． C． 第二部分 拔高知识培优练 四、计算小能手。 19．如图所示的是一个圆柱的平面展开图，根据图中数据计算圆柱的表面积。 五、解决问题。 20．制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。 （1）你选择的材料是（    ）号和（    ）号。（填序号） （2）用你选择的材料制作水桶，一共用了多少平方分米的铁皮？ 21．用长31.4厘米，宽15.7厘米的长方形铁皮卷成一个圆柱，卷成后配上圆柱的底面，配上的圆柱底面直径是多少厘米？（铁皮的厚度不计） 22．一张长方形的塑料板，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形的带盖水桶（按头处忽略不计），求这个水桶的表面积。 23．如图，一个圆柱的底面半径为r，高为h。小明将圆柱表面展开（图1），得到圆柱表面积不同的计算方法。 （1）你能将这种方法用字母公式补充完整吗？ （2）当r＝4厘米，h＝10厘米时，用这种方法：圆柱表面积＝长方形面积，求出圆柱表面积S表＝（ ）。 24．“三八”妇女节，小华想送给妈妈一个自制的笔筒，并且自己制作一个无盖礼品盒。有以下几种型号的彩纸可供搭配选择。 （1）选择（    ）号和（    ）号彩纸可以制作一个无盖的礼品盒。 （2）做这个无盖的礼品盒至少需要多少平方厘米的彩纸？ 参考答案 1．25.12 分析：存钱罐的侧面展开图为正方形，则圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长＝×直径求出存钱罐的底面周长，也就是存钱罐的高。 详解：3.14×8＝25.12（cm） 所以这个存钱罐的高是25.12cm。 2． 18.84厘米/18.84cm 10厘米/10cm 分析：圆柱形侧面展开后的长方形，长相当于圆柱的底面周长，已知底面直径是6厘米，根据圆的周长公式可计算出圆柱的底面周长，也就是长方形的长；长方形的宽相当于圆柱的高。 详解：3.14×6＝18.84（厘米） 所以长方形的长是18.84厘米； 已知圆柱高是10厘米，所以长方形的宽是10厘米。 3．12.56 分析： 由图可知，剪开之后圆柱的底面周长和高都等于正方形的边长，利用“”求出圆柱的底面周长即可。 详解：2×3.14×2 ＝6.28×2 ＝12.56（厘米） 所以，这个圆柱的高是12.56厘米。 4．4 分析：圆柱的侧面沿着高展开是一个正方形，说明圆柱的底面周长等于高，据此可知这个圆柱的底面周长和高都是2dm，再根据圆柱的侧面积＝底面周长×高代入数据计算即可。 详解：2×2＝4（dm2） 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2dm的正方形，这个圆柱的侧面积是4dm2。 5．1∶π/ 分析：分析题目，圆柱的侧面展开是正方形，则圆柱的底面周长等于高，再根据圆柱的底面周长＝πd写出底面直径和高的比，最后根据比的基本性质把结果化成最简整数比即可。 详解：圆柱的底面直径∶高＝d∶πd＝（d÷d）∶（πd÷d）＝1∶π 如果一个圆柱的侧面展开后是一个正方形，那么这个圆柱的底面直径与高的比是1∶π。（圆周率用字母表示） 6． 长方形 9 分析：圆柱沿高剪开，侧面是长方形，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此解答即可。 详解：侧面积：（平方分米） 所以侧面是长方形，侧面积是9平方分米。 7．× 分析：圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，假设高与底面直径都是2厘米，圆柱底面周长＝圆周率×直径，则底面周长＞高，因此它的侧面沿高展开是一个长方形，据此分析。 详解：假设高与底面直径都是2厘米。 3.14×2＝6.28（厘米） 6.28＞2 高与底面直径相等的圆柱，它的侧面沿高展开是一个长方形，所以原题说法错误。 故答案为：× 8．√ 分析：根据圆柱的底面周长公式：C＝πd，求出圆柱的底面周长，再和高比较即可。根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果底面周长和高相等，则侧面积是一个正方形，反之则不是。 详解：底面周长：3×π＝3π（厘米） 3π＝3π 圆柱的底面直径是3厘米，高是3π厘米，侧面沿高展开图是正方形。原题干说法正确。 故答案为：√ 9．√ 分析：圆柱的侧面展开图是一个正方形时，正方形的边长等于圆柱底面的周长。圆的周长＝2×π×半径， 通过公式，可以推导出计算半径的方法，据此解答。 详解：正方形边长为18.84厘米，即圆柱底面周长为18.84厘米。 18.84÷（2×3.14） ＝18.84÷6.28 ＝3（厘米） 则这个圆柱的底面半径是3厘米。 故答案为：√ 10．× 分析：一个圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，长方形的长和宽分别对应圆柱的底面周长和高，如果圆柱的底面周长和高相等，则圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，据此分析。 详解：一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则圆柱的高和底面周长相等，原题说法错误。 故答案为：× 11．√ 分析：根据圆柱侧面展开图的特点可知，无论用长方形的长作为圆柱的底面周长、宽作为圆柱的高，还是用长方形的宽作为圆柱的底面周长、长作为圆柱的高，围成的圆柱的侧面积都等于长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，即可求出圆柱的侧面积，据此判断。 详解：20×15＝300（cm2） 无论怎么围（不重叠），圆柱的侧面积都是300cm2。 原题说法正确。 故答案为：√ 12．√ 分析：要判断这个圆柱的侧面展开图是否是正方形，就看这个圆柱的侧面展开图的长和宽是否相等；已知圆柱的侧面展开图的长等于底面周长，侧面展开图的宽等于圆柱的高；根据圆柱的底面积＝πr2，计算出底面半径，再根据圆的周长＝2πr计算出底面周长，与高比较是否相等即可判断。 详解：底面半径的平方：12.56÷3.14＝4（厘米） 2×2＝4，所以底面半径是2厘米。 底面周长：2×3.14×2＝12.56（厘米） 底面周长与圆柱的高相等，因此侧面展开图的长和宽相等，所以这个圆柱的侧面展开图是正方形，原题说法正确。 故答案为：√ 13．D 分析：圆柱侧面展开图为正方形时，其边长等于底面圆的周长，也等于圆柱的高。我们先根据C＝2r算出底面圆的周长即圆柱的高，再与直线上各点对比。 详解：2×3.14×2 ＝6.28×2 ＝12.56（cm） 观察直线， A．A点对应的长度是3~4cm，比12.56cm小的多；不符合题意； B．B点对应的长度是6~7cm，小于12.56cm很多；不符合题意； C．C点对应的长度是11cm；不符合题意； D．D点对应的长度在12~13cm之间，符合题意。 故答案为：D 14．C 分析：根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出两个圆的周长，然后与两个长方形的长进行比较即可。 详解：③圆的周长为：3.14×6＝18.84（分米） ④圆的周长为：3.14×4＝12.56（分米），与②长方形的长相等，可以制作无盖圆柱形水桶。 故答案为：C 15．B 分析：圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长或宽是圆柱底面周长，长方体侧面展开也是个长方形，长方形的长或宽是长方体的底面周长，根据圆的周长＝圆周率×直径，正方形的周长＝边长×4，分别计算出各底面的周长，等于长方形的长或宽即可。 详解：①3.14×（4×2） ＝3.14×8 ＝25.12（厘米） 底面周长是25.12厘米； ②3.14×4＝12.56（厘米） 底面周长是12.56厘米； ③3.14×4＝12.56（厘米） 底面周长是12.56厘米； ④3.14×（3×2） ＝3.14×6 ＝18.84（厘米） 底面周长是18.84厘米。 他可以选用②③④作底面。 故答案为：B 16．B 分析：圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长或宽＝圆柱底面周长，根据圆柱底面周长＝圆周率×底面直径，分别计算出各选项的底面周长，再对照长方形的长和宽即可。 详解：A．3.14×4＝12.56，不是圆柱的展开图； B．3.14×3＝9.42，是圆柱的展开图； C．3.14×1＝3.14，不是圆柱的展开图。 是圆柱的展开图。 故答案为：B 17．A 分析：①平年和闰年的判断方法：普通年份除以4（整百的年份除以400），如果有余数就是平年，没有余数就是闰年；平年的2月有28天，全年有365天；闰年的2月有29天，全年有366天。 ②设玩具汽车的原价是1。先把玩具汽车的原价看作单位“1”，先降价10%，则降价后的价格是原价的（1－10%），单位“1”已知，用原价乘（1－10%），求出降价的价格； 再把降价的价格看作单位“1”，又涨价10%，则涨价后的价格是降价后的（1＋10%），单位“1”已知，用降价后的价格乘（1＋10%），求出现价； 再用现价与原价进行比较，得出结论。 ③根据圆柱侧面展开图的特点，圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等。 ④折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 详解：①2024÷4＝506，所以2024年是闰年，2024年的第一季度有31＋29＋31＝91（天），原题说法错误； ②设玩具汽车的原价是1。 1×（1－10%）×（1＋10%） ＝1×0.9×1.1 ＝0.99 0.99＜1 现价比原价降低了，原题说法错误； ③一个圆柱体的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的底面周长和高相等，所以这个圆柱底面周长和高的比是1∶1，原题说法错误； ④要了解最近几年我市旅游业的发展变化情况，采用折线统计图进行统计更为合适，原题说法正确。 综上所述，正确的说法有1个。 故答案为：A 18．C 分析：圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等，即C＝h。根据圆的周长公式C＝2πr，进而得出圆柱的底面半径与高的比。 详解：由一个圆柱的侧面展开图是正方形，可得出：C＝h； r∶h＝ r∶C＝ r∶2πr＝1∶2π 这个圆柱的底面半径与高的比是1∶2π。 故答案为：C 19．125.6cm2 分析：从图中可知，圆柱的底面直径是4cm，圆柱的高是（12－4）cm；根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 详解：3.14×4×（12－4）＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×4×8＋3.14×4×2 ＝100.48＋25.12 ＝125.6（cm2） 圆柱的表面积是125.6cm2。 20．（1）①⑤；（2）44.745平方分米 或（1）②③；（2）75.36平方分米 分析：（1）根据圆柱侧面展开图可知，圆柱的侧面沿高展开一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。先根据圆的周长公式C＝2πr或C＝πd，求出图③、④、⑤的周长，与图①和图②两个长方形的长边进行对比，找出长方形长与圆的周长相等的，即可组合起来制作成无盖的圆柱形水桶。 （2）因为无盖的圆柱形水桶少上底面，所以求制作水桶一共需要铁皮的面积，就是求圆柱的侧面积与一个底面积的和；根据S侧＝πdh或S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算，求出铁皮的面积即可。 详解：（1）③的周长：3.14×4＝12.56（分米） ④的周长：2×3.14×3＝18.84（分米） ⑤的周长：3.14×3＝9.42（分米） 方法一：我选择的材料是（①）号和（⑤）号。 方法二：我选择的材料是（②）号和（③）号。 （2）方法一：选择的材料是①号和⑤号。 3.14×3×4＋3.14×（3÷2）2 ＝3.14×3×4＋3.14×1.52 ＝3.14×3×4＋3.14×2.25 ＝37.68＋7.065 ＝44.745（平方分米） 答：一共用了44.745平方分米的铁皮。 方法二：选择的材料是②号和③号。 3.14×4×5＋3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4×5＋3.14×22 ＝3.14×4×5＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（平方分米） 答：一共用了75.36平方分米的铁皮。 21．10厘米或5厘米 分析：根据圆柱侧面展开图的特征可知，圆柱的侧面展开是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面的周长，宽等于圆柱的高，圆柱底面周长公式：底面周长＝底面直径×π，求底面直径用底面周长除以π即可。 把一张长31.4厘米、宽15.7厘米的长方形铁皮卷成一个圆柱，有两种卷法。其中一个圆柱的高是15.7厘米，底面周长是31.4厘米，根据公式圆柱底面直径＝底面周长÷π，代入数据即可求出底面直径；另一个圆柱的高是31.4厘米，底面周长是15.7厘米，底面直径＝底面周长÷π，代入数据求出底面直径。 详解：（1）圆柱的高是15.7厘米，底面周长是31.4厘米； 31.4÷3.14＝10（厘米） （2）圆柱的高是31.4厘米，底面周长是15.7厘米。 15.7÷3.14＝5（厘米） 答：配上的圆柱底面直径是10厘米或5厘米。 22．125.6平方分米 分析：由图可知，阴影部分长方形的长相当于圆柱的底面周长，阴影部分长方形的宽相当于圆柱的高，利用“”表示出图中阴影部分长方形的长，阴影部分长方形的长＋圆柱的底面直径＝16.56分米，列方程求出圆柱的底面半径，最后利用“”求出这个水桶的表面积，据此解答。 详解：解：设这个水桶的底面半径为r分米。 2r＋2×3.14×r＝16.56 2r＋6.28r＝16.56 8.28r＝16.56 r＝16.56÷8.28 r＝2 2×3.14×2×（2×4）＋2×3.14×22 ＝2×3.14×2×8＋2×3.14×22 ＝2×3.14×（2×8＋22） ＝2×3.14×（16＋4） ＝2×3.14×20 ＝6.28×20 ＝125.6（平方分米） 答：这个水桶的表面积是125.6平方分米。 点睛：根据圆柱的展开图求出圆柱的底面半径，并掌握圆柱的表面积计算公式是解答题目的关键。 23．（1）见详解 （2）351.68平方厘米 分析：（1）由图可知：将圆柱的两个底面的圆切分并拼成近似的长方形，拼成的小长方形的长即为底面圆周长，宽为圆柱的底面半径加上圆柱的高，与侧面展开的长方形拼成的大长方形面积即为圆柱表面积，得出圆柱表面积＝底面周长×（h＋r）； （2）将r＝4厘米，h＝10厘米，代入公式计算出结果即可。 详解：（1）如图： （2）3.14×4×2×（4＋10） ＝3.14×8×14 ＝3.14×112 ＝351.68（平方厘米） 所以，圆柱的表面积是351.68平方厘米。 点睛：本题的解答关键是从图中得到长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的底面半径和高组成的。 24．（1）②；③； （2）301.44平方厘米 分析：（1）根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形。这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式：C＝，或C＝，把数据代入公式求出三个圆的周长，然后与两个长方形的长进行比较即可。 （2）根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，圆的面积公式：S＝，把数据代入公式解答。 详解：（1）①号2×3.14×3＝18.84（厘米） ②号2×3.14×4＝25.12（厘米） ③号长方形的长等于25.12厘米。 所以选择②号和③号彩纸可以制作一个无盖的礼品盒。 （2）25.12×10＋3.14×42 ＝251.2＋3.14×16 ＝251.2＋50.24 ＝301.44（平方厘米） 答：做这个无盖的礼品盒至少需要301.44平方厘米的彩纸。 点睛：此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式、圆柱的侧面积公式、圆的面积公式及应用，关键是熟记公式。 学科网（北京）股份有限公司 $$