3.1.4 函数的奇偶性-【创新教程】2025年初升高中职数学衔接教材一本通

８．已知函数f(x)在R上单调递减,且f(２) ＝０,若f(x－１)＞０,则x的取值范围是 　　　． 三、解答题 ９．求证:函数f(x)＝１x２ 在区间(０,＋∞)上 是减函数,在区间(－∞,０)上是增函数． １０．已知定义在[１,４]上的函数f(x)是减函 数,求满足不等式f(１－２a)－f(３－a) ＞０的实数a的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．１．４　函数的奇偶性 ★[学习要求] １．理解奇函数、偶函数的定义与函数图象的几何特征． ２．初步掌握函数奇偶性的判定方法． [职高新知链接] 　　　奇函数的定义及图象特征 　　如果对于函数y＝f(x)的定义域A 内的 任 意 一 个 值x,都 有 f(－x)＝ －f(x),则这个函数称为奇函数． 由奇函数的定义可知,x∈A,则－x ∈A,于是函数的定义域关于原点对称是 奇函数的必要条件． 设y＝f(x)是奇函数,则f(－x)＝ －f(x),任取一点(x,f(x)),则点(x, f(x))与点(－x,－f(x))都在这个函数 的图象上,由于这两点关于坐标原点对 称,所以函数的图象关于坐标原点对称; 反之,如果函数y＝f(x)的图象关于坐 标原点对称,则f(－x)＝－f(x),y＝f (x)是奇函数． 于是我们得到:一个函数是奇函数 的充要条件是它的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图形． 　　　偶函数的定义及图象特征 　　如果对于函数y＝f(x)的定义域A 内的任意一个值x,都有f(－x)＝f(x), 则这个函数称为偶函数． 由偶函数的定义可知,x∈A,则－x ∈A,于是函数的定义域关于原点对称也 是偶函数的必要条件． 设y＝f(x)是偶函数,则f(－x)＝ f(x),任取一点(x,f(x)),则点(x,f(x)) 与点(－x,f(－x))都在y＝f(x)的图象 上,这两点关于y 轴对称;反之,如果函 数y＝f(x)的图象关于y 轴对称,则 f(x)＝f(－x),y＝f(x)是偶函数． 于是我们得到:一个函数是偶函数 的充要条件是,它的图象是以y 轴为对 称轴的轴对称图形． 需要注意的是,在奇函数和偶函数 的定义中,都要求函数的定义域对应的 取值集合关于坐标原点对称,如果一个 函数的定义域对应的取值集合关于坐标 原点不对称,这就不满足函数是奇函数 或是偶函数的前提条件,函数也就无奇 偶性可言． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２９ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 中职新知探究学习 　　　　 判断函数y＝f(x)(x∈A) 的奇偶性的步骤 　　S１判断定义域是否关于原点对称, 即当x∈A 时,－x∈A 是否成立; S２当S１不成立时,函数f(x)既不 是奇函数也不是偶函数; 　　当S１成立时,对于任意一个x∈A, 若f(－x)＝－f(x),则函数y＝f(x)是 奇函数;若f(－x)＝f(x),则y＝f(x) 是偶函数;若f(－x)≠f(x),且f(－x) ≠－f(x),则函数f(x)既不是奇函数也 不是偶函数． 　　判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝x２＋１;(２)f(x)＝x３; (３)f(x)＝０;(４)f(x)＝ ２x－１． [解]　(１)f(x)的定义域为 R,关于原点 对称,又f(－x)＝(－x)２＋１＝x２＋１＝ f(x),∴f(x)是偶函数． (２)f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又f(－x)＝(－x)３＝－x３＝－f(x), ∴f(x)是奇函数． (３)f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又f(－x)＝０＝－f(x),又f(－x)＝０ ＝f(x),∴f(x)即是偶函数又是奇函数． (４)函数f(x)的定义域为 x|x≥１２{ },不 关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　判断函数奇偶性的方法 根据函数奇偶性的定义进行判断．步 骤如下: (１)判断函数f(x)的定义域是否关于 原点对称．若不对称,则函数f(x) 为非奇非偶函数,若对称,则进行 下一步． (２)验证f(－x)＝－f(x)或f(－x) ＝f(x)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (３)下结论．若f(－x)＝－f(x),则f(x) 为奇函数; 若f(－x)＝f(x),则f(x)为偶 函数; 若f(－x)≠－f(x),且f(－x)≠ f(x),则f(x)为非奇非偶函数． [变式训练] １．判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝２－|x|; (２)f(x)＝ ３xx２＋３ ． 　　　　奇、偶函数图象特征的应用 如图所示为偶函数f(x)在第一象限 及坐标轴上的图象,请将图象补充完整, 并回答下列问题． (１)请写出f(１)和f(－２)的值; (２)请写出函数f(x)的定义域和值域; (３)若f(x)＜１,求实数x的取值范围． 解:补全函数f(x)的图象如图所示: (１)由图象,f(１)＝１,f(－２)＝２． (２)由图象,函数f(x)的定义域为[－３, ３],值域为[０,２]． (３)由图象,不等式f(x)＜１对应为－１＜x ＜１,即实数x的取值范围为(－１,１)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３９ 第二篇 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　巧用奇偶性作函数图象的 步骤 (１)确定函数的奇偶性． (２)作出函数在[０,＋∞)(或(－∞,０]) 上对应的图象． (３)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对 称得出在(－∞,０](或[０,＋∞))上 对应的函数图象． [变式训练] ２．已知奇函数f(x)的定义域为[－５,５],且 在区间[０,５]上的图象如图所示． (１)画出f(x)在区间[－５,０]上的图象; (２)写出使f(x)＜０的x的取值集合． １．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是 (　　) ２．已知函数f(x)为偶函数,且f(２)＝４,则 f(－２)＝ (　　) A．１　　B．３　　C．４　　D．７ ３．已知函数f(x)＝x３＋a为奇函数,则a＝ (　　) A．－１ B．０ C．１ D．２ ４．对于函数y＝f(x),定义域为D∈[－２, ２],以下命题正确的是　　　．(填题号) ①若f(－１)＝f(１),f(－２)＝f(２),则y ＝f(x)是D 上的偶函数; ②若对于任意x∈[－２,２],都有f(－x) ＋f(x)＝０,则y＝f(x)是 D 上的奇 函数; ③若f(２)≠f(－２),则f(x)不是偶 函数; ④若f(－２)＝f(２),则该函数不可能是 奇函数． 一、选择题 １．已知函数f(x)＝x２,x∈R,则 (　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．f(x)既是奇函数又是偶函数 D．f(x)既不是奇函数也不是偶函数 ２．函数f(x)＝x２＋|x|的图象 (　　) A．关于原点对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．不具有对称轴 ３．下列函数为奇函数的是 (　　) A．y＝x２ B．y＝x３ C．y＝|x| D．y＝ x ４．f(x)＝x３＋１x 的图象关于 (　　) A．原点对称 B．y轴对称 C．y＝x对称 D．y＝－x对称 ５．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝２ 对称,f(３)＝３,则f(－１)＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ６．如果奇函数f(x)在区间[－３,－１]上是 增函数且有最大值５,那么函数f(x)在 区间[１,３]上是 (　　) A．增函数且最小值为－５ B．增函数且最大值为－５ C．减函数且最小值为－５ D．减函数且最大值为－５ 二、填空题 ７．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)＋x, 满足f(１)＝３,则f(－１)＝　　　． ８．若函数f(x)＝ax２＋(２b－a)x＋b－a是 定义在[２－２a,a]上的偶函数,则a－b＝ 　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４９ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 中职新知探究学习 三、解答题 ９．判断下列函数的奇偶性; (１)f(x)＝x ３－x２ x－１ ; (２)f(x)＝|x－２|－|x＋２|; (３)f(x)＝x２＋ax (x≠０,a∈R); １０．已知函数y＝f(x)是定义在 R上的偶 函数,且当x≤０时,f(x)＝x２＋２x．现 已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如 图所示． (１)请补出完整函数y＝f(x)的图象; (２)根据图象写出函数y＝f(x)的增 区间; (３)根据图象写出使f(x)＜０的x的取 值集合． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．２　一次函数和二次函数 ★[学习要求] １．理解一次函数、正比例函数、二次函数的定义． ２．理解并掌握一次函数和二次函数的图象及性质． ３．会运用一次函数和二次函数的图象和性质解决数学问题． 　　　一次函数 １．定义:一般地,以x为自变量的函数y＝ kx＋b(k≠０,x∈R)①称为一元一次函 数,简称一次函数． 在一次函数表达式①中,令b＝０,则函数 y＝kx称为正比例函数． 函数y＝kx 的图象是一条过原点的直 线,显然函数y＝kx是奇函数,如图①． 图① 从函数解析式y＝kx与y＝kx＋b,我们 可以看出,当自变量x 取相同的值,y＝ kx＋b总可以由正比例函数y＝kx的对 应值加上b得到,这表示y＝kx＋b的图 象是由y＝kx的图象沿y轴方向平移|b| 个单位得到,如图②． 图② 注:b＞０时,沿y轴正向平移b 个单位; b＜０时,沿y轴负向平移－b个单位． ２．图象:对于一次函数y＝kx＋b(k≠０,x∈ R),当x＝０时,y＝b;当y＝０时,x＝－bk． 所以一次函数的图象是通过点(０,b)和 点 －bk ,０ æ è ç ö ø ÷的一条直线． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５９ 第二篇 ８．解:(１)因为f(２)＝０,所以f(x－１)＞０＝f(２),因为 f(x)在R上的单调递减,所以x－１＜２,即x＜３． 答案:(－∞,３) ９．证明:对于任意的x１,x２∈(－∞,０),且x１＜x２,有 f(x１)－ f (x２ ) ＝ １ x２１ － １ x２２ ＝ x２２－x２１ x２１x２２ ＝ (x２－x１)(x２＋x１) x２１x２２ ． 因为x１＜x２＜０,所以x２－x１＞０,x１＋x２＜０,x２１x２２＞０． 所以f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２)． 所以函数f(x)＝１x２ 在(－∞,０)上是增函数． 对于任意的x１,x２∈(０,＋∞),且x１＜x２, 有f(x１)－f(x２)＝ (x２－x１)(x２＋x１) x２１x２２ ． 因为０＜x１＜x２,所以x２－x１＞０,x２＋x１＞０,x２１x２２＞ ０．所以f(x１)－f(x２)＞０, 即f(x１)＞f(x２)． 所以函数f(x)＝１x２ 在(０,＋∞)上是减函数． １０．解:由题意,可得f(１－２a)＞f(３－a)． ∵f(x)在定义域[１,４]上单调递减, ∴ １≤１－２a≤４ １≤３－a≤４ １－２a＜３－a{ ,解得－１≤a≤０, ∴实数a的取值范围为[－１,０]． ３．１．４　函数的奇偶性 核心分类探究 变式训练 １．解:(１)∵函数f(x)的定义域为 R,关于原点对称,又 f(－x)＝２－|－x|＝２－|x|＝f(x), ∴f(x)为偶函数． (２)f(x)的定义域是R, 又∵f(－x)＝ ３ (－x) (－x)２＋３ ＝－ ３x x２＋３ ＝－f(x), ∴f(x)是奇函数． ２．解:(１)因为函数f(x)是奇函数,所以y＝f(x)在[－ ５,５]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[０,５]上 的图象,可知它在[－５,０]上的图象,如图所示． (２)由图象知,使函数值f(x)＜０的x 的取值集合为 (－２,０)∪(２,５)． 课堂达标 １．B　[选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除; 选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点 对称,不具有奇偶性,故排除; 选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数．] ２．C　[由偶函数的性质得f(－２)＝f(２)＝４．] ３．B　[因 为f(x)＝x３＋a 为 奇 函 数,所 以 f(x)＝ －f(－x),所以x３＋a＝－(－x３＋a),解得a＝０．] ４．解析:①中不满足偶函数定义中的任意性,因此①错 误;②中由f(x)＋f(－x)＝０可知f(－x)＝－f(x), 因为f(x)是D上的奇函数,②正确;当f(－２)≠f(２)时, 函数f(x)一定不是偶函数,故③正确;④中若满足 f(－２)＝f(２)＝０,此时函数可能是奇函数,因此④不 正确． 答案:②③ 课后检测雷达 １．B　[由题意,x∈R,f(－x)＝(－x)２＝x２＝f(x),即 函数为偶函数．故选B．] ２．B　[因为f(－x)＝(－x)２＋|－x|＝x２＋|x|＝ f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称．] ３．B　[对于 A,y＝f(x)＝x２ 的定义域为 R,且f(－x) ＝(－x)２＝x２＝f(x),所以y＝x２ 为偶函数,故A错误; 对于B,y＝g(x)＝x３ 的定义域为 R,且g(－x)＝ (－x)３＝－x３＝－g(x),所以y＝x３ 为奇函数,故B正确; 对于C,y＝h(x)＝|x|的定义域为 R,且h(－x)＝ |－x|＝|x|＝h(x),所 以y＝|x|为 偶 函 数,故 C 错误; 对于 D,y＝ x的定义域为[０,＋∞),定义域不关于原 点对称,故y＝ x为非奇非偶函数,故D错误．] ４．A　[f(x)的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞),关于原点 对称．又 f(－x)＝ (－x)３＋ １－x＝ －x ３－ １x ＝ － x３＋１x( )＝－f(x),∴f(x)是奇函数,其图象关于 原点对称．故选 A．] ５．C　[∵f(x)为偶函数,∴f(－１)＝f(１)． 又f(x)的图象关于直线x＝２对称, ∴f(１)＝f(３)．∴f(－１)＝３．] ６．A　[因为奇函数的图象关于原点对称,且在对称区间 上单调性一致,所以f(x)在[１,３]上的单调性与[－３, －１]上一致且f(１)为最小值,又已知f(－１)＝５,所 以f(－１)＝－f(１)＝５,所以f(１)＝－５．] ７．解析:∵y＝f(x)＋x是定义在R上的偶函数,且f(１) ＝３;∴f(－１)－１＝f(１)＋１; 即f(－１)－１＝３＋１;∴f(－１)＝５． 答案:５ ８．解析:∵二次函数为偶函数,∴对称轴为y轴,且区间 [２－２a,a]关于原点对称, ∵ ２－２a＋a＝０２b－a＝０{ ⇒ a＝２ b＝１{ ,∴a－b＝１． 答案:１ ９．解:(１)∵函数f(x)＝x ３－x２ x－１ 的定义域为{x|x∈R且 x≠１},∴定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇 函数也不是偶函数． (２)函数f(x)＝|x－２|－|x＋２|的定义域为 R,关于 原点对称．∵f(－x)＝|－x－２|－|－x＋２|＝|x＋２| －|x－２|＝－(|x－２|－|x＋２|)＝－f(x),∴函数 f(x)＝|x－２|－|x＋２|是奇函数． (３)当a＝０时f(x)＝x２ 为偶函数．当a≠０时,f(x) ＝x２＋ax (x≠０),取x＝±１,得f(－１)＋f(１)＝２≠ ０,f(－１)－f(１)＝－２a≠０,即f(－１)≠－f(１), f(－１)≠f(１),∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述,当a∈R且a≠０时,函数f(x)既不是奇函 数也不是偶函数;当a＝０时,函数f(x)为偶函数． １０．解:(１)由题意作出函数图象如图: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９２１ 参考答案 (２)据图可知,单调递增区间为(－１,０),(１,＋∞)． (３)据图可知,使f(x)＜０的x 的取值集合为(－２, ０)∪(０,２)． ３．２　一次函数和二次函数 核心分类探究 变式训练 １．解:(１)若函数图象经过一,二,三象限,则 ２m＋１＞０ m－３＞０{ ,解 得m＞３,所以m 的取值范围为(３,＋∞)． (２)当m－３＝０,即m＝３时,y＝７x是奇函数． (３)由于函数为一次函数,且y随着x 的增大而减小, 故２m＋１＜０,解 得 m＜－ １２． 故 m 的 取 值 范 围 是 －∞,－１２( )． ２．解:(１)f(x)＝x２－２x,x∈R,图象如下: (２)由(１)图象可知, 函数的定义域为R;值域为[－１,＋∞); 单调递减区间为(－∞,１],单调递增区间为(１,＋∞)． ３．解:由题意可知方程x２＋mx－n＝０的两根为x１＝４ 和x２＝５,由韦达定理有４＋５＝－m,４×５＝－n,所以 m＝－９,n＝－２０,所以nx２＋mx－１＞０化为－２０x２ －９x－１＞０,即２０x２＋９x＋１＜０,(４x＋１)(５x＋１)＜ ０,解得－１４＜x＜－ １ ５ ,故不等式nx２＋mx－１＞０的 解集为 －１４ ,－１５( )． 课堂达标 １．C　[∵y＝(２k－１)x＋b是R上的减函数, ∴２k－１＜０,∴k＜１２． ] ２．C　[一次函数y＝kx＋b(k≠０)只有当b＝０时,才具 有奇偶性．] ３．C　[y＝x２＋x＋１＝ x＋１２( ) ２ ＋３４ ,其对称轴为x＝ －１２ ,在对称轴左侧单调递减, ∴当x≤－１２ 时单调递减．] ４．解析:f(x)为偶函数,则对称轴为x＝m＝０． 答案:０ 课后检测雷达 １．A　[f(x)＝(５a－２)x＋b为减函数,应满足５a－２＜ ０,即a＜２５． ] ２．B　[由函数f(x)＝ax＋１在R上单调递减,知a＜０, ∴g(x)＝a(x２－４x＋３)开口向下,对称轴为x＝２, ∴g(x)在(－∞,２)上单调递增．] ３．B　[f(x)＝－x２＋４x－３＝－(x２－４x)－３＝－(x－ ２)２＋４－３＝－(x－２)２＋１所以,顶点坐标为(２,１)．] ４．A　[由二次函数y＝x２＋mx－３的a＝１＞０,得此函 数图象是一条开口向上的抛物线,在对称轴的左侧部 分是减函数,对称轴右侧部分是增函数,所以对称轴x ＝－b２a＝－ m ２＝－１ ,解得m＝２．] ５．C　[由y＝x２＋(２a－１)x＋１可知是二次函数,其对 称轴为x＝－２a－１２ , 要使 函 数 在 x∈ (－ ∞,２)上 单 调 递 减,则 必 须 －２a－１２ ≥２ ,即a≤－３２． ] ６．A　[∵f(x)＝|x－１|＝ x－１,x≥１ －x＋１,x＜１{ , ∴f(x)在[１,＋∞)上单调递增,∵g(x)＝x(x－２)＝x２ －２x＝(x－１)２－１,∴g(x)在[１,＋∞)上单调递增．] ７．解析:a＝１＞０,开口向上,对称轴为直线x＝－－４２ ＝ ２,所以函数f(x)＝x２－４x＋１的单调递减区间是 (－∞,２]． 答案:(－∞,２] ８．解析:f(－１)＝a－１,∴f[f(－１)]＝f(a－１) ＝a(a－１)２－１＝－１,∴a(a－１)２＝０, 又∵a＞０,∴(a－１)２＝０,∴a＝１． 答案:１ ９．解:(１)令y＝０,则x２－x－６＝０, 解得x１＝－２,x２＝３． 这就是说,当x＝－２或x＝３时,函数值y＝０． (２)画出二次函数y＝x２－x－６的简图(如图) 从图象上可以看出,它与x 轴相交于两点(－２,０), (３,０),这两个点把x轴分成３个区间,当x∈(－２,３) 时,y＜０,当x∈(－∞,－２)∪(３,＋∞)时,y＞０． １０．解:(１)观察题图可知方程ax２＋bx＋c＝０的根,即 抛物线与x轴交点的横坐标,所以两个根为x１＝０, x２＝２． (２)观察题图可知不等式ax２＋bx＋c＜０的解集为 {x|x＜０或x＞２}． (３)由题图可知当k＞２时,方程ax２＋bx＋c＝０无实 数根． ３．３　函数的应用 核心分类探究 变式训练 １．[解析]　设每件售价x元时,售出y件,设y＝kx＋b, k≠０, 因为x＝８０,y＝３０,所以３０＝８０k＋b①, 因为x＝１２０,y＝２０,所以２０＝１２０k＋b②, 由①②组成方程组并解得,k＝－１４ ,b＝５０, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０３１ 数 学