3.1.3 函数的单调性-【创新教程】2025年初升高中职数学衔接教材一本通

３．１．３　函数的单调性 ★[学习要求] １．理解增函数、减函数的定义与函数图象的几何特征． ２．初步掌握函数单调性的判定方法． [职高新知链接] 　　　函数的单调性 　　如果在给定的区间上自变量增大(减 小)时,函数值也随着增大(减小),这时称 函数 在这个区间上是增函数,如图１． 如果在给定的区间上自变量增大(减 小)时,函数值反而减小(增大),这时称函 数在这个区间上是减函数,如图２． 　　已知函数y＝f(x),在给定区间上,它 的图象如图１、图２所示,在此图象上任意 选取S２计算k＝ΔyΔx ,当k＞０时,函数y＝ f(x)在这个区间上是增函数(如图１);当 k＜０时,函数y＝f(x)在这个区间上是减函 数(如图２)． 　　　　根据图象求函数的单调区间 如图是函数f(x)的图象．列出f(x) 的若干区间,说明它在各区间上的增减 性,并指出该函数的最大、最小值点及 最值． [解]　 根 据 图 象 知,函 数 y＝f(x)在 [－５,－３]上单调递减,在[－３,－１]上 单调递增,在[－１,２]上单调递减,在[２, ３]上单调递增,在[３,５]上单调递减;最 大值点为－１,最大值为１．５,最小值点为 ２,最小值为－１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　(１)作出函数图象,利用图 形的直观性能快速判断函数的单调区 间,但要注意图象一定要画准确． (２)函数的单调区间是函数定义域的子 集,在求解的过程中不要忽略了函数的 定义域． (３)一个函数出现两个或两个以上的单 调区间时,不能用“U”连接两个单调区 间,而要用“和”或“,”连接． [变式训练] １．如果函数y＝f(x)的图象如图所示,那 么此函数的减区间为　　　． 　　判断函数的单调性 证明:函数f(x)＝－２x＋１在区间 (－∞,＋∞)上是减函数． [证明]　任取两个不相等的实数x１,x２ ∈(－∞,＋∞),则 Δx＝x２－x１,Δy＝ f(x２)－f(x１)＝(－２x２＋１)－(－２x１＋ １)＝２(x１－x２),所以 Δy Δx＝ ２(x１－x２) x２－x１ ＝ －２＜０,所以函数f(x)＝－２x＋１在区 间(－∞,＋∞)上是减函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　利用定义判断或证明函数 单调性的４个步骤 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０９ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 中职新知探究学习 [变式训练] ２．已知函数f(x)＝３x＋２． 判断函数f(x) 在(０,＋∞)上的单调性,并用定义法证 明你的结论． １．如图,f(x)为增函数的图象所在区间是 (　　) A．[－２,０]　　　　B．[０,３] C．[０,２] D．[０,１] ２．下列四个函数中,在(０,＋∞)上单调递 增的是 (　　) A．f(x)＝３－x B．f(x)＝x２－３x C．f(x)＝２x D．f(x)＝１x ３．已知函数y＝f(x)是 R上的减函数,若 f(a＋２)＞f(２a－３),则实数a的取值范 围是 (　　) A．{a|a＞５} B．{a|a＜５} C．{a|a＜４} D．{a|a＞４} ４．y＝x|x|＋３的单调增区间是　　　 　． 一、选择题 １．已知四个函数的图象如图所示,其中在 定义域内具有单调性的函数是 (　　) ２．已知f(x)＝(３a－１)x＋b在(－∞,＋∞) 上是增函数,则a的取值范围是 (　　) A．－∞,１３ æ è ç ö ø ÷ B．１３ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ C．－∞,１３ æ è ç ù û úú D． １ ３ ,＋∞é ë êê ö ø ÷ ３．函数f(x)的部分图 象如图所示,则此函 数在[－２,２]上的最 小值,最大值分别是 (　　) A．－１,３ B．０,２ C．－１,２ D．３,２ ４．已知函数f(x)在区间[０,＋∞)上是增函 数,则f(２),f(π),f(３)的大小关系是 (　　) A．f(π)＞f(２)＞f(３) B．f(３)＞f(π)＞f(２) C．f(２)＞f(３)＞f(π) D．f(π)＞f(３)＞f(２) ５．下列四个函数在(－∞,０)上是增函数 的为 (　　) A．f(x)＝x２＋４ B．f(x)＝１－２x C．f(x)＝－x２－x＋１ D．f(x)＝２－３x ６．函数y＝f(x)是(０,＋∞)上的减函数, 且０＜x１＜x２,则下列选项不正确的是 (　　) A．f(x１)＞f(x２) B．f(x１)－f(x２)＞０ C．(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＜０ D．f (x１)－f(x２) x１－x２ ＞０ 二、填空题 ７．已知函数y＝f(x)(x∈[－２,６])的图象 如图．根据图象写出y＝f(x)的单调区 间,增区间为　　　,减区间为　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １９ 第二篇 ２．C　[先分析小明的运动规律,再结合图象作出判断． 距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动, 故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,直 线段比前段下降的快．] ３．C　[∵２＜３≤４,由表格知f(３)＝３．] ４．解析:因为f(x＋１)＝x２－１,令t＝x＋１,则x＝t－１,所 以f(t)＝(t－１)２－１＝t２－２t,即f(x)＝x２－２x,所 以f(２)＝２２－２×２＝０． 答案:０　x２－２x 课后检测雷达 １．D　[题中已给出自变量的取值范围, x∈{１,２,３,４}．] ２．C　[由题意得f(２)＝２２－３×２＝－２, ∴f(f(２))＝f(－２)＝３×(－２)＋１＝－５．] ３．B　[令x－１＝２,得x＝３,∴f(２)＝３２－３＝６．] ４．C　[当x＜０时,图象为抛物线y＝x２ 在y轴左侧的 图象,当x≥０,图象为直线y＝x－１在y轴右侧的图 象．] ５．B　[当a＞０时,由f(a)＋f(１)＝０⇒a２＋１＝０,该方 程无实根; 当a≤０时,f(a)＋f(１)＝０⇒a＋１＋１＝０⇒a＝－２,显然 符合a≤０．] ６．B　[由函数g(x)的图象知,g(２)＝１, 则f[g(２)]＝f(１)＝２．] ７．解析:(１)由g(f(x))＝２,∴f(x)＝２,∴x＝１． (２)∵g(２)＝２,∴f(g(２))＝f(２)＝３． 答案:(１)１　(２)３ ８．解析:设f(x)＝ax＋b(a≠０),则f(f(x))＝af(x)＋ b＝a２x＋ab＋b＝４x－１,故 a ２＝４, ab＋b＝－１,{ 解 得 a＝２, b＝－１３{ 或 a＝－２． b＝１．{ 故f(x)＝２x－ １ ３ 或 f(x)＝ －２x＋１． 答案:２x－１３ 或－２x＋１ ９．解:由题意设f(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０), 所以 f(０)＝c＝１ f(１)＝a＋b＋c＝２ f(２)＝４a＋２b＋c＝５ { ,解得 a＝１ b＝０ c＝１ { , 所以f(x)＝x２＋１． １０．解:(１)因为f(３)＝４－３２＝４－９＝－５, 所以f(f(３))＝f(－５)＝１－２×(－５)＝１＋１０＝１１． (２)当－４≤x＜０时,f(x)＝１－２x∈(１,９], 当x＝０时,f(x)＝f(０)＝２; 当０＜x＜３时,f(x)＝４－x２∈(－５,４); 所以当－４≤x＜３时, f(x)取值的集合为(－５,９]． ３．１．３　函数的单调性 核心分类探究 变式训练 １．解析:由函数y＝f(x)的图象得此函数的减区间为: [－３,－１],[１,３]． 答案:[－３,－１],[１,３] ２．证明:任取x１,x２,且０＜x１＜x２, 则 Δx＝x２－x１,Δy＝f(x２)－f(x１)＝ ３ x２ ＋２－ ３ x１ ＋２( )＝３x２－ ３ x１ ＝ ３(x１－x２) x１x２ ＝－ ３(x２－x１) x１x２ ,Δy Δx ＝－ ３x１x２ ＜０,所以f(x)＝３x＋２ 在区间(０,＋∞)上 是减函数． 课堂达标 １．A　[由图可知在区间[－２,０]上是增函数．故选 A．] ２．C　[f(x)＝３－x,f(x)＝１x 在(０,＋∞)上均单调递 减;f(x)＝x２ －３x 在 ０,３２( ] 上 单 调 递 减,在 ３ ２ ,＋∞[ ) 上单调递增;f(x)＝２x在(０,＋∞)上单调 递增．] ３．A　[由于函数y＝f(x)是在R上的减函数,且f(a＋ ２)＞f(２a－３),所以a＋２＜２a－３,解得a＞５,所以实 数a的取值范围是{a|a＞５}．] ４．解析:y＝x|x|＋３＝ x２＋３,x≥０ －x２＋３,x＜０{ ,当x≥０时,y＝ x２＋３,在[０,＋∞)上单调递增．当x＜０时,y＝－x２ ＋３,在(－∞,０)上单调递增,所以原函数的增区间 为R． 答案:R 课后检测雷达 １．B　[对于A,函数分别在(－∞,１)及[１,＋∞)上单调递 增,但存在x１∈(０,１),使f(x１)＞f(１),故 A 不符合 题意; 对于C,函数分别在(－∞,１)及(１,＋∞)上单调递增, 但存在x１＞１,使f(x１)＜f(１),故C不符合题意; 对于 D,函数分别在(－∞,０)及(０,＋∞)上单调递减, 但存在x１＝－１,x２＝１,使f(x１)＜f(x２),故 D不符 合题意;只 有 B 完 全 符 合 增 函 数 的 定 义,具 有 单 调性．] ２．B　[f(x)＝(３a－１)x＋b为增函数,应满足３a－１＞ ０,即a＞１３ ,故选B．] ３．C　[当x∈[－２,２]时,由题图可知,x＝－２时,f(x) 的最小值为f(－２)＝－１;x＝１时,f(x)的最大值 为２．] ４．D　[因为函数f(x)在区间[０,＋∞)上是增函数,并 且π＞３＞２,所以f(π)＞f(３)＞f(２),所以 D选项是 正确的．故选 D．] ５．D　[对于 A,f(x)＝x２＋４二次函数开口向上,对称 轴为y轴,在(－∞,０)上是减函数,故 A 不对;对于 B,f(x)＝１－２x 为一次函数,k＜０,在(－∞,０)上是 减函数,故B不对;对于C,f(x)＝－x２－x＋１,二次 函数开口向下,对称轴为x＝－１２ ,在 －∞,－１２( ) 上 是增函数,故C不对;对于 D,f(x)＝２－３x 为反比例 类型,k＜０,在(－∞,０)上是增函数,故 D对．] ６．D　[A,B选项,y＝f(x)是(０,＋∞)上的减函数,且０ ＜x１＜x２,故f(x１)＞f(x２),则f(x１)－f(x２)＞０, A,B正确;C,D选项,因为x１－x２＜０,f(x１)－f(x２) ＞０,所以(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＜０, f(x１)－f(x２) x１－x２ ＜０,C正确,D错误．] ７．解析:由图象可知f(x)在[－２,６]上的递增区间为[－ ２,－１]和[２,６],减区间为[－１,２]． 答案:[－２,－１]和[２,６]　[－１,２] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８２１ 数 学　　 　　　　　　　　　　　　　　　 ８．解:(１)因为f(２)＝０,所以f(x－１)＞０＝f(２),因为 f(x)在R上的单调递减,所以x－１＜２,即x＜３． 答案:(－∞,３) ９．证明:对于任意的x１,x２∈(－∞,０),且x１＜x２,有 f(x１)－ f (x２ ) ＝ １ x２１ － １ x２２ ＝ x２２－x２１ x２１x２２ ＝ (x２－x１)(x２＋x１) x２１x２２ ． 因为x１＜x２＜０,所以x２－x１＞０,x１＋x２＜０,x２１x２２＞０． 所以f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２)． 所以函数f(x)＝１x２ 在(－∞,０)上是增函数． 对于任意的x１,x２∈(０,＋∞),且x１＜x２, 有f(x１)－f(x２)＝ (x２－x１)(x２＋x１) x２１x２２ ． 因为０＜x１＜x２,所以x２－x１＞０,x２＋x１＞０,x２１x２２＞ ０．所以f(x１)－f(x２)＞０, 即f(x１)＞f(x２)． 所以函数f(x)＝１x２ 在(０,＋∞)上是减函数． １０．解:由题意,可得f(１－２a)＞f(３－a)． ∵f(x)在定义域[１,４]上单调递减, ∴ １≤１－２a≤４ １≤３－a≤４ １－２a＜３－a{ ,解得－１≤a≤０, ∴实数a的取值范围为[－１,０]． ３．１．４　函数的奇偶性 核心分类探究 变式训练 １．解:(１)∵函数f(x)的定义域为 R,关于原点对称,又 f(－x)＝２－|－x|＝２－|x|＝f(x), ∴f(x)为偶函数． (２)f(x)的定义域是R, 又∵f(－x)＝ ３ (－x) (－x)２＋３ ＝－ ３x x２＋３ ＝－f(x), ∴f(x)是奇函数． ２．解:(１)因为函数f(x)是奇函数,所以y＝f(x)在[－ ５,５]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[０,５]上 的图象,可知它在[－５,０]上的图象,如图所示． (２)由图象知,使函数值f(x)＜０的x 的取值集合为 (－２,０)∪(２,５)． 课堂达标 １．B　[选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除; 选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点 对称,不具有奇偶性,故排除; 选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数．] ２．C　[由偶函数的性质得f(－２)＝f(２)＝４．] ３．B　[因 为f(x)＝x３＋a 为 奇 函 数,所 以 f(x)＝ －f(－x),所以x３＋a＝－(－x３＋a),解得a＝０．] ４．解析:①中不满足偶函数定义中的任意性,因此①错 误;②中由f(x)＋f(－x)＝０可知f(－x)＝－f(x), 因为f(x)是D上的奇函数,②正确;当f(－２)≠f(２)时, 函数f(x)一定不是偶函数,故③正确;④中若满足 f(－２)＝f(２)＝０,此时函数可能是奇函数,因此④不 正确． 答案:②③ 课后检测雷达 １．B　[由题意,x∈R,f(－x)＝(－x)２＝x２＝f(x),即 函数为偶函数．故选B．] ２．B　[因为f(－x)＝(－x)２＋|－x|＝x２＋|x|＝ f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称．] ３．B　[对于 A,y＝f(x)＝x２ 的定义域为 R,且f(－x) ＝(－x)２＝x２＝f(x),所以y＝x２ 为偶函数,故A错误; 对于B,y＝g(x)＝x３ 的定义域为 R,且g(－x)＝ (－x)３＝－x３＝－g(x),所以y＝x３ 为奇函数,故B正确; 对于C,y＝h(x)＝|x|的定义域为 R,且h(－x)＝ |－x|＝|x|＝h(x),所 以y＝|x|为 偶 函 数,故 C 错误; 对于 D,y＝ x的定义域为[０,＋∞),定义域不关于原 点对称,故y＝ x为非奇非偶函数,故D错误．] ４．A　[f(x)的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞),关于原点 对称．又 f(－x)＝ (－x)３＋ １－x＝ －x ３－ １x ＝ － x３＋１x( )＝－f(x),∴f(x)是奇函数,其图象关于 原点对称．故选 A．] ５．C　[∵f(x)为偶函数,∴f(－１)＝f(１)． 又f(x)的图象关于直线x＝２对称, ∴f(１)＝f(３)．∴f(－１)＝３．] ６．A　[因为奇函数的图象关于原点对称,且在对称区间 上单调性一致,所以f(x)在[１,３]上的单调性与[－３, －１]上一致且f(１)为最小值,又已知f(－１)＝５,所 以f(－１)＝－f(１)＝５,所以f(１)＝－５．] ７．解析:∵y＝f(x)＋x是定义在R上的偶函数,且f(１) ＝３;∴f(－１)－１＝f(１)＋１; 即f(－１)－１＝３＋１;∴f(－１)＝５． 答案:５ ８．解析:∵二次函数为偶函数,∴对称轴为y轴,且区间 [２－２a,a]关于原点对称, ∵ ２－２a＋a＝０２b－a＝０{ ⇒ a＝２ b＝１{ ,∴a－b＝１． 答案:１ ９．解:(１)∵函数f(x)＝x ３－x２ x－１ 的定义域为{x|x∈R且 x≠１},∴定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇 函数也不是偶函数． (２)函数f(x)＝|x－２|－|x＋２|的定义域为 R,关于 原点对称．∵f(－x)＝|－x－２|－|－x＋２|＝|x＋２| －|x－２|＝－(|x－２|－|x＋２|)＝－f(x),∴函数 f(x)＝|x－２|－|x＋２|是奇函数． (３)当a＝０时f(x)＝x２ 为偶函数．当a≠０时,f(x) ＝x２＋ax (x≠０),取x＝±１,得f(－１)＋f(１)＝２≠ ０,f(－１)－f(１)＝－２a≠０,即f(－１)≠－f(１), f(－１)≠f(１),∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述,当a∈R且a≠０时,函数f(x)既不是奇函 数也不是偶函数;当a＝０时,函数f(x)为偶函数． １０．解:(１)由题意作出函数图象如图: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９２１ 参考答案