3.1 函数 3.1.1 函数的概念-【创新教程】2025年初升高中职数学衔接教材一本通

第三章　函数 ３．１　函数 ３．１．１　函数的概念 ★[学习要求] １．会用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念． ２．了解构成函数的要素及同一个函数的概念,能求简单函数的定义域和值域． 　　　函数的定义 １．函数的定义 设集合A 是一非空的实数集,对A 内任 意实数x,按照某个确定的对应关系f, 有唯一确定的实数值y 与它对应,则称 这种对应关系f 为集合A 上的一个函 数．记作y＝f(x)． 上式中x为自变量,y为因变量．自变量 x的取值集合A 称为函数的定义域,对 应的因变量y的集合称为函数的值域． 函数y＝f(x),在x＝a时对应的因变量 y,记作y＝f(a),f(a)称为函数f(x)在 x＝a处的函数值． 函数y＝f(x)也经常写作函数f(x)或函 数f． 由于函数的值域被函数的定义域和对应 法则完全确定,这样函数就只有两个要 素:定义域和对应法则． 根据以上定义,我们要检验给定两个变 量之间的关系是不是函数,只要检验: (１)定义域是否给出; (２)对应法则是否给出,并且根据这个对 应法则,能否由自变量x 的每一个 值,确定唯一的函数值y． 　　　同一个函数 一般地,如果两个函数表达式表示的函 数定义域相同,对应关系也相同(即对自 变量的每一个值,两个函数表达式得到 的函数值都相等),则称这两个函数表达 式表示的就是同一个函数． 　　　函数的定义域 在表示函数时,如果不会产生歧义,函数 的定义域通常省略不写,此时就约定:函 数的定义域就是使得这个函数有意义的 所有实数组合的集合． 求函数定义域时需要注意: １．分式中分母不能为零; ２．二次根式中的被开方数要大于或等 于零． 　　函数概念的理解 (１)下列图形中,不能表示以x为自变 量的函数图象的是 (　　) (２)已知集合P＝{x|０≤x≤４},Q＝{y|０ ≤y≤２},下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是　　　　．(填序号) ①f:x→y＝１２x ;②f:x→y＝１３x ;③f:x→y ＝２３x ;　④f:x→y＝ x． [解析]　(１)B中,当x＞０时,y 有两个 值和x 对应,不满足函数y的唯一性, A、C、D满足函数的定义． (２)① ② ④ 满 足 函 数 的 定 义,所 以 是 函数, 对于③,因为当x＝４时,y＝２３×４＝ ８ ３∉ Q,所以③不是函数． [答案]　(１)B　(２)③ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２８ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 中职新知探究学习 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．判断对应关系是否为函数的方法 若两个变量x与y ,并对于x每确 定一 个 值,y 都 有 唯 一 的 值 与 之 对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的 是函数关系,“一对多”的不是函数 关系． ２．根据图形判断是否为函数的方法 (１)任取一条垂直于x轴的直线l． (２)在定义域内平行移动直线l． (３)若l与图形有且只有一个交点,则 是函数;若在定义域内没有交点或 有两个或两个以上的交点,则不是 函数． 如图所示: [变式训练] １．(１)函数y＝f(x)与y轴的交点个数为 (　　) A．至少１个 B．至多一个 C．有且只有一个 D．与f(x)有关,不能确定 (２)若集合 M＝{x|０≤x≤２},N＝{y|０≤y ≤３},则下列图形给出的对应中能构成 从 M 到N 的函数f:M→N的是 (　　) 　　函数的定义域 求下列函数的定义域: (１)f(x)＝ x－１􀅰 ４－x＋２; (２)f(x)＝ x＋３＋ １x＋２． [解]　(１)要使此函 数 有 意 义,应 满 足 x－１≥０, ４－x≥０,{ 即１≤x≤４,所以函数的定义域 是{x|１≤x≤４}． (２)要使此函数有意义,则 x＋３≥０ x＋２≠０{ ,⇒ x≥－３ x≠－２{ ,⇒x≥－３,且x≠ －２．所以函数的定义域为{x|x≥－３,且 x≠－２}． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　定义域的求法 (１)如果f(x)是整式,那么函数的定 义域是实数集R． (２)如果f(x)是分式,那么函数的定 义域 是 使 分 母 不 为 ０ 的 实 数 的 集合． (３)如果f(x)为偶次根式,那么函数 的定义域是使根号内的式子大于 或等于０的实数的集合． (４)如果f(x)是由几个部分的数学式 子构成的,那么函数的定义域是使 各部 分 式 子 都 有 意 义 的 实 数 的 集合． (５)如果函数有实际背景,那么除符合 上述要求外,还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式 表示,这一点初学者易忽视． [变式训练] ２．求下列函数的定义域: (１)y＝ (x＋１)２ x＋１ － －x ２－x＋６; (２)y＝ １０－x ２ |x|－３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３８ 第二篇 　　判定函数相等 下列函数中与函数y＝x表示同一函 数的是 (　　) A．f(x)＝ ３ x３　　B．g(x)＝ x２ C．y＝x ２ x D．y＝|x| [解析]　A　[选项A,函数f(x)＝ ３ x３＝x 的定义域为R,与y＝x的定义域、对应法则 相同,是同一函数; 选项B,函数g(x)＝ x２＝|x|的定义域 为 R,与y＝x 的对应法则不相同,不是 同一函数; 选项C,函数y＝x ２ x 的定义域为{x|x≠ ０},与y＝x 的定义域不相同,不是同一 函数; 选项 D,函数y＝|x|的定义域为 R,与 y＝x的 对 应 法 则 不 相 同,不 是 同 一 函数．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 如何判断两个函数是否相等 (１)判断定义域是否相等; (２)判断对应关系是否相等; (３)结论:如果(１)和(２)都肯定,则两 个函数相等;如果(１)和(２)中有一个 否定,则两个函数不等． [变式训练] ３．已 知 四 组 函 数:①f(x)＝x,g(x)＝ (x)２;②f(x)＝x,g(x)＝ ５ x５;③f(x) ＝xx ,g(x)＝x０;④f(x)＝x２－２x－１, g(t)＝t２－２t－１．其中表示同一函数的 是　　　　 　． 　　　函数值和函数的值域 　(１)已知f(x)＝x２＋２x＋１,则f(２)＝ 　　　． (２)若f(x)＝ １１－x２ ,则f(３)＝　 　, f(f(－２))＝　　　　　． [解析]　(１)f(２)＝２２＋２×２＋１＝９． (２)f(３)＝ １１－３２ ＝ － １８ ,f(－２)＝ １ １－(－２)２ ＝－１３ , f[f(－２)]＝f( －１３) ＝ １ １－ ( －１３) ２＝ ９ ８ [答案]　(１)９　(２)－１８　 ９ ８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求函数值的方法 ①已知f(x)的表达式时,只需用a 替换表达式中的x 即得f(a)的值． ②求f[g(a)]的值应遵循由里往外 的原则． ２．求函数值域的原则及常用方法 (１)原则:①先确定相应的定义域; ②再根据函数的具体形式及运算 确定其值域． (２)常用方法: ①观察法:对于一些比较简单的函 数,其值域可通过观察法得到． ②配方法:是求“二次函数”类值域 的基本方法． ③换元法:运用新元代换,将所给 函数化成值域易确定的函数,从而 求得原函数的值域．对于f(x)＝ ax＋b＋ cx＋d(其中a,b,c,d为 常数,且a≠０)型的函数常用换 元法． ④分离常数法:此方法主要是针对 有理分式,即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式,便于求值 域． [变式训练] ４．(１)函数y＝－ ２x＋１ ,x∈[０,２]的值域是 (　　) A．－２,－２３ é ë êê ù û úú B．[－２,０) C．(０,１] D．[－２,－１] (２)若f(x)＝ x １－x ,则f(－３)＝　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４８ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 中职新知探究学习 １．如图可作为函数y＝f(x)的图象的是 (　　) ２．下列选项中不是函数的是 (　　) A．y＝x＋１　　　　B．y＝x２－ ２ C．x＝y＋１ D．y２＝１－x２ ３．已知函数f(x)＝x２－３x,则f(１)＝ (　　) A．－２　　B．－１　　C．０　　D．２ ４．函 数 f (x)＝ １ ４－x 的 定 义 域 是 　　　　． 一、选择题 １．已知对应关系f:x→y＝x２－１,x∈A, y∈B,若４∈A,则在B 中的对应元素是 (　　) A．１５　　B．１７　　C．５　　D．± ５ ２．与函数y＝２x表示同一函数是 (　　) A．y＝２(x)２ B．u＝２ ３ v３ C．y＝２ x２ D．m＝２n ２ n ３．函数y＝ x２－１的定义域是 (　　) A．(－∞,－１)∪(１,＋∞) B．(－∞,－１]∪[１,＋∞) C．(－１,１) D．(１,＋∞) ４．已知函数f(x)＝ １x－４ ,若f(a)＝２,则a 的值为 (　　) A．９２ B． ７ ２ C． ５ ２ D．－ １ ２ ５．已 知 函 数 f (x)＝ x２＋１,x≤１, １ x ,x≥１, ì î í ïï ï 则 f[f(－２)]＝ (　　) A．５４ B． ３ ４ C． １ ３ D． １ ５ ６．函数f(x)＝x２－８x＋４在[１,８]上的值 域为 (　　) A．[－１２,－３] B．[－１６,４] C．[－３,４] D．[－１２,４] 二、填空题 ７．若函数f(x)＝ax２－１,a为一个正数,且 f(f(－１))＝－１,那么a的值是　　　． ８．若函数f(x)的定义域是[０,１],则函数 f(２x)＋fx＋２３ æ è ç ö ø ÷的定义域为　　　　． 三、解答题 ９．已知函数f(x)＝x－３x＋２． (１)求f(２)的值; (２)求函数f(x)的定义域和值域． １０．已知函数f(x),g(x)分别由下表给出: x １ ２ ３ f(x) １ ３ １ g(x) ３ ２ １ 则(１)f(g(１))的值; (２)函数y＝g(f(x))的值域; (３)方程g(f(x))＝x的解集． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５８ 第二篇 课后检测雷达 １．B　[设到第x个月李明的存款超过王刚的存款,根据 题意,得６００＋５００x＞２０００＋２００x,３００x＞１４００,解 得x＞１４/３,因为x为整数,所以x＝５．所以到第５个 月李明的存款超过王刚的存款．] ２．B　[设导火索至少需要xcm,根据题意,得x÷０．８≥ １００÷５, 解得x≥１６,∴导火索至少需要１６cm．] ３．A　[设 明 年 生 产x 台 这 种 新 型 设 备,则 依 题 意 得 １２x≤８０×２４００, ５x≤２０００＋８００００,{ 即 x≤１６０００, x≤１６４００．{ 故x≤１６０００,故选 A．] ４．B　[设每月生产x 件产品,则总收入８０x 元,总直接 生产成本为６０x元．每月利润为８０x－６０x－５００００＝ ２０x－５００００(元)．依题意,x 应满足不等式２０x－５０ ０００≥２０００００,解得x≥１２５００．因此,该工厂每月至少 要生产１２５００件产品．] ５．B　[设该厂每天获得的利润为y 元,则y＝(１６０－ ２x)􀅰x－(５００＋３０x)＝－２x２＋１３０x－５００,(０＜x＜ ８０),根据题意知,－２x２＋１３０x－５００≥１３００,解得２０ ≤x≤４５,所以当２０≤x≤４５时,每天获得的利润不少 于１３００元．] ６．A　[由题意,得３８６０＋５００＋[５００(１＋x％)＋５００􀅰 (１＋x％)２]×２≥７０００．化简得(x％)２＋３􀅰x％－０． ６４≥０,解得x％≥０．２或x％≤－３．２(舍去),所以x ≥２０,即x的最小值为２０．] ７．解析:设矩形的另一边长为ym,则由三角形相似,得 x ４０＝ ４０－y ４０ ,且０＜x＜４０,０＜y＜４０,∴y＝４０－x, ∵xy≥３００,∴x(４０－x)≥３００, ∴x２－４０x＋３００≤０,∴１０≤x≤３０． 答案:{x|１０≤x≤３０} ８．解析:设花卉宽度为xm,显然x＜３００,则草皮面积为 S＝(８００－２x)(６００－２x),由(８００－２x)(６００－２x)≥ １ ２×８００×６００ ,整理得(x－１００)(x－６００)≥０, 又０＜x＜３００,故解得０＜x≤１００． 答案:(０,１００] ９．[解]　设DN＝x米,则AN＝x＋２,由相似得AM＝ ３(x＋２) x ,其 中 x＞０,则 矩 形 AMPN 的 面 积S＝ ３(x＋２)２ x ,由题意,３(x＋２) ２ x ≥３２ ,即３x２－２０x＋１２ ＞０,解得０＜x＜２３ 或x＞６, 所以DN 的长的取值范围是 ０,２３( )∪(６,＋∞)． １０．解:依题意,每天有(３００－１０x)套礼服被租出,该礼 服租赁公司每天租赁礼服的收入为(３００－１０x)􀅰 (２００＋１０x)＝－１００x２＋１０００x＋６００００(元)．因为 要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过６．２４ 万元,所以－１００x２＋１０００x＋６００００＞６２４００,即x２ －１０x＋２４＜０,解得４＜x＜６．因为１≤x≤２０且x∈ Z,所以x＝５,即该礼服租赁公司每套礼服每天的租 价应定为２５０元． 第三章　函数 ３．１．１　函数的概念 核心分类探究 变式训练 １．解析:(１)由函数定义可知,定义域包含x＝０时,则与 y轴有１个交点,当定义域不包含x＝０时,则与y轴 无交点,所以函数y＝f(x)与y轴的交点个数为０个． (２)A中的对应不满足函数的存在性,即存在x∈M, 但N 中无与之对应的y;B、C 均不满足函数的唯一 性,只有 D正确． 答案:(１)B　(２)D ２．解:(１)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足 x＋１≠０, －x２－x＋６≥０,{ 即 x≠－１,(x＋３)(x－２)≤０,{ 解得－３≤x≤２且x≠－１, 即函数定义域为{x|－３≤x≤２且x≠－１}． (２)要使函数有意义,则 １０－x ２≥０, |x|－３≠０,{ 解得－ １０≤x ≤ １０,且x≠±３,即 定 义 域 为{x|－ １０≤x≤ １０,且x≠±３}． ３．解析:对于①,f(x)＝x定义域为 R,g(x)＝(x)２ 的 定义域为{x|x≥０},定义域不相同,所以不是同一函 数; 对于②,f(x)＝x 定义域为 R,g(x)＝ ５ x５＝x 定义 域为R;定义域相同,对应关系也相同,所以是同一函 数; 对于③,f(x)＝xx ＝１ 定义域为{x|x≠０},g(x)＝x０ ＝１定义域为{x|x≠０},定义域相同,对应关系也相 同,所以是同一函数; 对于④,f(x)＝x２－２x－１,g(t)＝t２－２t－１定义域 相同,对应关系也相同,所以是同一函数． 综上可知,②③④表示同一函数． 答案:②③④ ４．解析:(１)由题意,令t＝x＋１,由于x∈[０,２], 故t∈[１,３], 故y＝－２t ,由反比例函数的性质,y＝－２t 在t∈[１, ３]单调递增, 故当t＝１时,ymin＝－２;当t＝３时,ymax＝－ ２ ３ , 故函数在x∈[０,２]的值域为 －２,－２３[ ]． (２)由题意得f(－３)＝ －３ １－(－３) ＝－３２． 答案:(１)A　(２)－３２ 课堂达标 １．D　[根据函数的概念,可知对任意的x 值,有唯一的 y值相对应,结合选项,可得只有选项 D可作为函数y ＝f(x)的图象．] ２．D　[A、B、C选项任意的x都能找到唯一的y 值与之 对应,所 以 是 函 数,而 D 选 项 中:当 x＝ １２ 时,y＝ ± ３２ ,因此不是函数．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６２１ 数 学　　 　　　　　　　　　　　　　　　 ３．A　[∵函数f(x)＝x２－３x,∴f(１)＝１２－３×１＝１－ ３＝－２．] ４．解析:由４－x＞０,解得x＜４,所以原函数的定义域为 {x|x＜４}． 答案:{x|x＜４} 课后检测雷达 １．A　[４在B 中的对应元素是４２－１＝１５．] ２．B　[对于A,函数y＝２(x)２＝２x(x≥０),与函数y＝ ２x(x∈R)的定义域不同,不是同一函数; 对于B,函数u＝２ ３ v３＝２v(v∈R),与函数y＝２x(x ∈R)的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数; 对于C,函数y＝２ x２＝２|x|(x∈R),与函数y＝２x (x∈R)的定义域相同,但对应关系不同,不是同一函数; 对于 D,函数m＝２n ２ n ＝２n (n≠０),与函数y＝２x(x∈ R)的定义域不相同,不是同一函数．] ３．B　[x２－１≥０⇒x≥１或x≤－１．] ４．A　[由f(a)＝２,得 １a－４＝２ ,解得a＝９２． 故选 A．] ５．D　[因 为 f(x)＝ x２＋１,x≤１, １ x ,x＞１{ ,所 以 f(－２)＝ (－２)２＋１＝５,所以f[f(－２)]＝f(５)＝１５． 故选D．] ６．D　[函数f(x)＝x２－８x＋４的对称轴为x＝４,由于 二次函数f(x)的开口向上, 故函数f(x)在x＝４处取到最小值f(４)＝４２－８×４ ＋４＝－１２, 最大值为f(８)＝８２－８×８＋４＝４,故所求值域为[－ １２,４]．] ７．解析:∵f(x)＝ax２－１,∴f(－１)＝a－１,f(f(－１)) ＝f(a－１)＝a􀅰(a－１)２－１＝－１．∴a(a－１)２＝０． 又∵a为正数,∴a＝１． 答案:１ ８．解析:由 ０≤２x≤１, ０≤x＋２３≤１ ,{ 得０≤x≤１３, 所以函数f(２x)＋f x＋２３( ) 的定义域为 ０, １ ３[ ]． 答案:０,１３[ ] ９．解:(１)f(２)＝２－３２＋２＝－ １ ４． (２)要使f(x)有意义,则x≠－２; ∴f(x)的定义域为{x|x≠－２}; f(x)＝x－３x＋２＝１－ ５ x＋２ ;５ x＋２≠０ ; ∴f(x)≠１;∴f(x)的值域为{f(x)|f(x)≠１}． １０．解:(１)由表格可知,g(１)＝３,f(g(１))＝f(３)＝１． (２)函数f(x)的定义域是{１,２,３}．则当x＝１时,y ＝g(f(１))＝g(１)＝３;当x＝２时,y＝g(f(２))＝ g(３)＝１;当x＝３时,y＝g(f(３))＝g(１)＝３．所以函 数y＝g(f(x))的值域为{１,３}． (３)当x＝１时,f(１)＝１,g(f(１))＝３,不符合题意; 当x＝２时,f(２)＝３,g(f(２))＝１,不符合题意;当x ＝３时,f(３)＝１,g(f(x))＝３,符合题意,综上,方程 g(f(x))＝x的解集为{３}． ３．１．２　函数的表示方法 核心分类探究 变式训练 １．解:(１)列表法: x/台 １ ２ ３ ４ ５ y/元 ３０００ ６０００ ９０００１２０００ １５０００ x/台 ６ ７ ８ ９ １０ y/元 １８０００２１０００２４０００２７０００ ３００００ (２)图象法: (３)解析法:y＝３０００x,x∈{１,２,３,􀆺,１０}． ２．解:(１)设f(x)＝kx (k≠０),则f(３)＝k３＝－６ ,解得 k＝－１８, 所以f(x)＝－１８x (x≠０)． (２)设f(x)＝kx＋b(k≠０), 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝４x－３, 即 k２＝４ kb＋b＝－３{ ,解得 k＝２ b＝－１{ 或 k＝－２ b＝３{ , 所以f(x)＝２x－１或f(x)＝－２x＋３． (３)方法一:(拼凑法)因为f(x－１)＝x＋２ x＝(x －１)２＋４(x－１)＋３,而 x－１≥－１, 所以f(x)＝x２＋４x＋３(x≥－１)． 方法二:(换元法)令t＝ x－１, 则 x＝t＋１,且t≥－１． 所以f(t)＝(t＋１)２＋２(t＋１)＝t２＋４t＋３, 即f(x)＝x２＋４x＋３(x≥－１)． ３．解:(１) 列表 x ０ １ ２ ３ ４ f(x) ０ １ ２ ４３ １ ∴f(x)的大致图象如图所示: (２)由图知:函数f(x)随x的增大而递减的区间为[２, ４]． (３)由图知:不等式的解集为[１,４]． 课堂达标 １．A　[因为４＞２,所以f(４)＝２×４－１＝７．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７２１ 参考答案