2.2 不等式的解法 2.2.1 区间的概念-【创新教程】2025年初升高中职数学衔接教材一本通

中职新知探究学习 三、解答题 ９．如果a＞b＞０,c＜d＜０,f＜０,证明:fa－c ＞ fb－d． １０．比较下列各组中两式的大小: (１)(x＋５)(x＋７),(x＋６)２; (２)(x＋４)２,(x＋２)(x＋６); (３)(x＋１)２,２x＋１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．２　不等式的解法 ２．２．１　区间的概念 ★[学习要求] １．掌握区间的概念及其表示方法． ２．会用区间表示相关的集合． 　　　区间的概念 设a,b是实数,且a＜b． (１)满足a≤x≤b的实数x 的集合称为闭 区间,记作[a,b],如图１(a)所示; (２)满足a＜x＜b的实数x 的集合称为开 区间,记作(a,b),如图１(b)所示; (３)满足a≤x＜b或a＜x≤b的实数x 的 集合都称为半开半闭区间,分别记作 [a,b)或(a,b],如图１(c)(d)所示． a和b称为区间的端点．在数轴上表示一 个区间时,若区间包括端点,则端点用实 心点表示,若区间不包括端点,则端点用 空心点表示． ２．如果用“＋∞”表示“正无穷大”,用“－ ∞”表示“负无穷大”,则:实数集 R可表 示为区间(－∞,＋∞);满足x≥a的实 数x 的集合,可记作[a,＋∞),如图２(a) 所示; 满足x＞a的实数x 的集合,可记作(a, ＋∞),如图２(b)所示; 满足x≤b的实数x 的集合,可记作(－ ∞,b],如图２(c)所示;满足x＜b的实数 x 的集合,可记作(－∞,b),如图２(d) 所示． 图２ 　　用区间表示不等式 用区间表示下列集合 (１){x|１≤x≤２}; (２){x|３＜x＜３．５}; (３){x|x≥５}． [解]　(１){x|１≤x≤２}＝[１,２](２){x|３ ＜x＜３．５}＝(３,３．５)．(３){x|x≥５}＝ [５,＋∞)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９６ 第二篇 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　用区间表示数集的原则 (１)数集是连续的． (２)左小右大． (３)区间的一端是开或闭不能弄错;用 区间表示数集的方法:区间符号里 面的两个数字(或字母)之间用“,” 隔开;用数轴表示区间时要特别注 意实心点与空心点的区别． [变式训练] １．用区间表示下列集合: (１)x|－１２≤x＜５{ }; (２){x|x＜１}; (３){x|x≥３}． 　　用集合表示区间 (１)用集合的描述法表示区间[－５,＋∞) ＝　　　; (２)用集合的描述法表示区间(－∞,－６) ＝　　　． (３)用集合的描述法表示区间(－５,６]＝ 　　　． [解析]　(１)区间[－５,＋∞)用集合的 描述法表示为{x|x≥－５}; (２)区间(－∞,－６)用集合的描述法表 示为{x|x＜－６}． (３)区间(－５,６]用集合的描述法表示为 {x|－５＜x≤６}． [答案]　(１){x|x≥－５}　(２){x|x＜－６} (３){x|－５＜x≤６}． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　利用区间与集合的关系, 注意区分是否包含端点,注意含有等号 的用闭区间,不含等号的用开区间． [变式训练] ２．(１)用集合的描述法表示区间[－３,１]＝ 　　　． (２)用集合的描述法表示区间[１,２)＝ 　　　． 　　用区间表示集合的运算 已 知 集 合 A＝ (－４,２),集 合 B＝ (－１,３],求A∩B,A∪B． [解]　集合A 与集合B 的数轴表示如图 (１)所示． 由图(２)图(３),得A∩B＝(－１,２),A∪ B＝(－４,３]． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　进行集合的运算时,一般 画出数轴利用数形结合的思想求解,并 且注意是否包含端点值． [变式训练] ３．设全集为R,已知集合A＝[－２,＋∞), B＝(－∞,３),求A∪B,∁RB,A∩∁RB． １．若实数x满足{x|３≤x＜７},则用区间表 示为 (　　) A．(３,７)　　　　　B．(３,７] C．[３,７] D．[３,７) ２．不等式－６＜x≤８写成区间形式是 (　　) A．(－６,８) B．(－６,８] C．[－６,８) D．[－６,８] ３．已知区间A＝(－３,１),B＝(－２,３),则 A∩B＝ (　　) A．(－３,３) B．(－３,－２) C．(－２,１) D．(１,３) ４．经集合A＝(１,３),用描述法表示集合为 　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０７ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 中职新知探究学习 一、选择题 １．集合{x|x＜５}的区间表示为 (　　) A．(－∞,５] B．(－∞,５) C．(５,＋∞) D．[５,＋∞) ２．区间[２,＋∞)用集合的描述法表示为 (　　) A．{x|x＞２} B．{x|x≥２} C．{x|x≤２} D．{x|x≤２} ３．集合A＝{x|２x－６≥０},用区间表示为 (　　) A．(６,＋∞) B．[６,＋∞) C．(３,＋∞) D．[３,＋∞) ４．设集合A＝(１,３),集合B＝(－３,５),则 A∩B＝ (　　) A．(－３,５) B．(１,３) C．(－３,３) D．(１,５) ５．设集合A＝[－４,２),集合B＝(２,３],则 A∪B＝ (　　) A．[－４,３] B．[－４,３) C．[－４,２)∪(２,３]D．(－４,３] ６．设全集U＝(－３,３),集合A＝[－１,０], 则∁UA＝ (　　) A．(－３,－１) B．(－３,－１)∪(０,３) C．(－３,－１)∪[０,３) D．(－３,－１)∪[０,３) 二、填空题 ７．设集合A＝[－４,２],集合B＝(２,３],则 A∪B＝　　　,A∩B＝　　　． ８．设全集U＝(－３,２),集合A＝(－３,１), 则∁UA 　　　． 三、解答题 ９．设集合A＝{x|２x－４＞０},集合B＝{x| ３x－５＜１０},用区间表示A∩B． １０．设全集为 R,集合 A＝(－∞,７),集合 B＝(７,＋∞),求 (１)∁RA,∁RB; (２)∁RA∩∁RB; (３)∁RA∪∁RB． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．２．２　一元一次不等式(组)的解法 ★[学习要求] １．掌握一元一次不等式的解法． ２．掌握一元一次不等式组的解法． 　　　一元一次不等式的概念 未知数的个数是１,且它的次数为１的整式 不等式称为一元一次不等式．使不等式成 立的未知数的值的集合,通常称为这个不 等式的解集． 　　　　解一元一次不等式的步骤 S１去分母;　　S２去括号;　　S３移项; S４合并同类项,化成不等式ax＞b(a≠０) 的形式; S５不等式两边同时除以未知数的系数,得出 不等式的解集为{xx＞ba }或{xx＜ b a }． 　　　一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念: 一般地,由几个一元一次不等式所组成的 不等式组,称为一元一次不等式组． 解一元一次不等式组的步骤: S１求这个不等式组中各个不等式的解集; S２求出这些不等式的解集的公共部分,即 求出了这个不等式组的解集． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １７ 第二篇 参考答案 10.解：(1)(x+5)(x+7)-(x+6)2=(.x2+12x+35) 2.2.2 一元一次不等式（组）的解法 -(x2+12x十36)=-1<0，∴.(x+5)(x+7)<(x+6)2 核心分类探究 (2),(x+4)2-(x+2)(x+6)=(x2+8.x+16) 变式训练 (x2+8.x+12)=4>0,∴.(x+4)2>(.x+2)(x+6) (3)(x+1)2-(2.x+1)=(.x2+2x+1)-(2x+1) 1解：2<9r店，去分母，得22-10≤9r+8,去 =x2≥0，.(x+1)2≥2x十1. 括号，得4x-2≤9.x十8，移项，得4x一9x≤8十2，合并 2.2不等式的解法 同类项，得一5.x≤10，系数化为1，得x≥一2，所以不 2.2.1区间的概念 等式的解集为{x|x≥一2}，即[-2，十∞).将解集表 示在数轴上，如图 核心分类探究 变式训练 1.解：{-长r<6}-【合 4-3-2-1012345 (2){xx<1}=(-∞，1). 2.解：+1<3x-30, 3(r-4)<2(x-4)②.由①得x>2,由②得r< (3){xx≥3}=[3.+∞) 4,所以2<x<4,该不等式组的解集为{x|2<x<4》 2.解析：(1)区间[一3,1]用集合的描述法表示为{x一3 即(2,4).解集在数轴上表示如图所示， ≤x1}: (2)区间[1,2)用集合的描述法表示为{x1≤x<2. 答案：(1){x-3≤x≤1}(2){x1≤x<2} 0 24x 3.解：集合A、集合B的数轴表示如图所示 课堂达标 B 1.D[原不等式可化为4x≤6x+1,即2.x≥-1，解得x -4-3-2-101234 因此.AUB=R:CRB=[3,十eo):A∩CRB=[3.十c○). 2.D[-2(x-1)>≥4，∴x-1≤-2，移项得x≤-1.] 课堂达标 3.B 1.D[由3≤x7可知x可以等于3，不能等于7，所以 [62+0,解①得<4：由西得≥3 是半开半闭区间，D选项符合.] 所以不等式组的解为3≤x<4.] 2.B[不等式一6<x≤8写成区间的形式是（一6,8].] 4.解析：由x一21，移项得x≤3. 3.C[因为A=(一3,1)，B=(-2,3),由交集的定义可 .x-2≤1的最大整数解为3. 答案：3 知A∩B=(-2.1).] 4.解析：A=(1,3)={x1<x<3}. 课后检测雷达 答案：{x1<x<3}. 1.A[-3<-2不等式两边同除以-3，得>号.] 课后检测雷达 1.B[集合{xx<5}的区间表示为(-o∞，5).故选B.] 2.A[5-r<64r<6Kg] 2.B[2,十∞)用集合的描述法表示为(xx≥2}.] 3.A[去分母得：4x十a≥5，移项得：4x≥5-a,系数化 3.D[:2x-6>≥0，解得x≥3.A=[3,十6∞).] 4.B[画出数轴如图 为1得：≥5，，根据数轴图知解集为>-1，所以 5-4=一1，所以a=9,故选A.] 4 0135x 4.C[由x十2>0，解得x>-2;由x-4>0,解得x> 则A∩B=(1,3).] 4:由x一6<0，解得x<6所以不等式组的解集为(4， 5.C[AUB-[-4,2)U(2,3].] 6).] 6.B[U=(-3,3),A=[-1.0]∴.CwA (-3.-1)U(0.3).] 5B+C80得>+1 7.解析：AUB=[-4,2]U(2,3]=[-4,3],A∩B= 由②得：x<b-1,解集是-1<x<0,∴u十1=-1， [-4,2]n(2.3]=0. b-1=0,解得4=一2，b=1,则原式=(-2+1)2024 答案：[-4,3]0 1,故选B.] 8.解析：U=(-3,2),A=(一3,1)..CuA=[1.2). 答案：[1,2) 60[0,由①释≥2，由@得<受因为 9.解：2.x-4>0,x>2..A={xx>2}； 不等式组无解，所以2≥受，所以m≤4.] 3.x-5<10.∴.x<5, B={xx<5}. 7.解析：因为关于x的不等式组心3，的解集为{x r>a .A∩B={x|x>2}∩{xx<5}=(x|2<x<5} >3),所以3≥a,所以a≤3. =(2.5). 答案：a≤3 10.解：(1)：A=(-0∞，7)，B=(7,+∞)， /x-4<2(x-1)① ∴.CRA=[7,+∞)，CRB=(-∞，7] (2)CRA∩CRB=[7,+o∞)∩(-∞，7]=(7}： {2r+1)≤1② 8.解析：1 (3)CRAU CRB=[7,+)U(-,7]=R 由①得：x>一2， >>>>)>>123