2.1 不等式的基本性质-【创新教程】2025年初升高中职数学衔接教材一本通

第二章　不等式 ２．１　不等式的基本性质 ★[学习要求] １．了解比较两个实数大小的方法． ２．理解不等式的基本性质． ３．了解不等式基本性质的应用． 　　　实数的大小 １．不等式的概念: 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤” 连接两个数或代数式,以表示它们之间 的不等关系,含有这些不等号的式子,称 为不等式． ２．用数轴表示两个实数的大小 数轴上的任意两点中,右边的点对应的 实数比左边的点对应的实数大． 设a,b为任意两个实数,在数轴上用点A 表示a,用点B 表示b,则点A,B 在数轴 上的 位 置 有 且 只 有 以 下 三 种,如 下 图 所示: (１)点A 在点B 的右侧; (２)点A 与点B 重合; (３)点A 在点B 的左侧． ３．实数a,b的大小关系 实数a,b的关系为: (１)a＞b; (２)a＝b; (３)a＜b． 上面的三个式子的另一表达方法是:a －b＞０;a－b＝０;a－b＜０． 由此可以发现,要比较实数a,b的大小, 只要考察a－b与０的相对大小即可． 　　　不等式的基本性质 　　从实数大小的性质出发,可以得到不 等式有以下重要性质． １．性 质 １(传 递 性):如 果 a＞b,b＞c, 则a＞c． ２．性质２(加法法则):如果a＞b,则a＋c＞b ＋c． 不等式的两边同时加上(或同时减去)同 一个实数,不等号的方向不变． ３．性质３(乘法法则):如果a＞b,c＞０,则ac ＞bc;如果a＞b,c＜０,则ac＜bc． 如果不等式两边都乘同一个正数,则不 等号的方向不变;如果都乘同一个负数, 则不等号的方向改变． ４．推论１:如果a＋b＞c,则a＞c－b． 不等式中任何一项,变号后可以从一边 移到另一边． ５．推论２:如果a＞b,且c＞d,则a＋c＞b＋ d．两个或几个同向不等式,两边分别相 加,所得的不等式与原不等式同方向． ６．推 论 ３:如 果a＞b＞０,且c＞d＞０, 则ac＞bd． 两个或几个两边都是正数的同向不等 式,把它们的两边分别相乘,所得的不等 式与原不等式同向． 　　比较大小 (１)比较２３ 与５ ８ 的大小; (２)当a＞b＞０ 时,比较a２b 与ab２ 的 大小; (３)比较x２ 与２x－２的大小． [解]　(１)作差２３－ ５ ８＝ １６－１５ ２４ ＝ １ ２４＞０ , 因此２ ３＞ ５ ８． (２)作差a２b－ab２＝ab(a－b),因为a＞b ＞０,所以ab＞０,a－b＞０,故a２b－ab２＝ ab(a－b)＞０,因此a２b＞ab２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６６ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 中职新知探究学习 (３)作差x２－(２x－２)＝x２－２x＋２＝(x －１)２＋１,因为(x－１)２≥０,所以x２－ (２x－２)＝(x－１)２＋１＞０,所以x２＞２x －２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　作差法的四个步骤 作差—变形—判断符号—作出结论．关 键是变形．一般通过因式分解、通分、配 方、分母有理化等变形手段,将差变形 为几个因式积的形式或配成完全平 方式． [变式训练] １．(１)比较(x＋２)(x＋３)和(x＋１)(x＋４) 的大小; (２)已知a＞b＞０,c＜０,求ca＞ c b． 　　不等式性质的应用 对于实数a,b,c,下列命题中不是真命 题的为 (　　) A．若a＞b,则ac＞bc B．若c＞a＞b＞０,则 ac－a＞ b c－b C．若ac２＞bc２,则a＞b D．若a＞b,１a＞ １ b ,则a＞０＞b [解析]　A　[对于A,令c＝０,则有ac＝ bc,故 A是假命题; 对于B,(方法一　性质法)由c＞a＞b＞０ 可得c－a＞０,c－b＞０, 由a＞b可得c－a＜c－b, 所以 １ c－a＞ １ c－b＞０． 又a＞b＞０,所 以 ac－a＞ b c－b ,B 是 真 命题． (方法二　作差法)由c＞a＞b＞０,得c－ a＞０,c－b＞０,a－b＞０, 所以 a c－a－ b c－b＝ a(c－b)－b(c－a) (c－a)(c－b) ＝ c(a－b) (c－a)(c－b)＞０ ,所以 a c－a＞ b c－b ,故 B 是真命题;对于 C,由ac２＞bc２,知c２＞０, 所以ac２＞bc２⇒a＞b,故 C是真命题;对 于 D,由a＞b可得a－b＞０, 由１ a＞ １ b 可得b－a ab ＞０ ,所以ab＜０,所以 a＞０＞b,故 D是真命题．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　运用不等式的性质判断命 题真假的技巧 (１)要注意不等式成立的条件,不要弱 化条件,尤其是不能随意捏造性质． (２)解有关不等式选择题时,也可采用 特殊值法进行排除,注意取值一定 要遵循如下原则:一是满足题设条件; 二是取值要简单,便于验证计算． [变式训练] ２．已知实数a,b,c满足c＜b＜a,ac＜０,那 么下列选项中一定成立的是 (　　) A．ac(a－c)＞０ B．cb２＜ca２ C．ab＞ac D．c(b－a)＜０ 　　　　 利用不等式的性质证明简单 的不等式 证明不等式: (１)若a＜b＜０,c＜d＜０,则ac＞bd; (２)若a＞b＞０,c＞d＞０,则a２c＞b２d． [证明]　(１)∵a＜b＜０,两边同乘以c＜０, 则ac＞bc,又c＜d＜０,两边同乘以b＜０, 则bc＞bd,即ac＞bd． (２)∵a＞b＞０,两边同乘以a＞０,得a２＞ ab＞０;两边同乘以b＞０,得ab＞b２＞０, 所以a２＞ab＞b２＞０, 又c＞０,则a２c＞b２c＞０,又c＞d＞０,则 b２c＞b２d,即a２c＞b２d． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７６ 第二篇 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用不等式性质证明不等式应注意事项 (１)利用不等式性质及其推论可以证 明一些不等式．解决此类问题一定 要在理解的基础上,记准、记熟不 等式的性质并注意在解题中灵活 准确地加以应用． (２)应用不等式性质进行推导时,应注 意紧扣不等式性质成立的条件,且 不可省略条件或跳步推导,更不能 随意构造性质与法则． [变式训练] ３．利用不等式的性质证明下列不等式: (１)若a＜b,c＜０,则(a－b)c＞０; (２)若a＜０,－１＜b＜０,则a＜ab２＜ab． １．设 M＝２a２－４a＋７,N＝a２－５a＋６,则有 (　　) A．M＜N B．M≤N C．M＞N D．M≥N ２．下列结论正确的是 (　　) A．若a＞b,则ac＞bc B．若a＞b,则１a＜ １ b C．若ac２＞bc２,则a＞b D．若a＞b,则a２＞b２ ３．已知a＞b＞０,c＜０,则下列不等式正确 的是 (　　) A．ac－bc＞０ B．３ac＞０ C．ac＜bc D．２３ac＞４ab ４．若x∈R,则 x １＋x２ 与１ ２ 的 大 小 关 系 为 　　　　． 一、选择题 １．已知a,b∈R,设 M＝a２－ab,N＝ab－b２, 则 M 与N的值的大小关系是 (　　) A．M＜N B．M≤N C．M＞N D．M≥N ２．已知m＜n＜０,则下列不等式正确的是 (　　) A．mn＜０ B．m－n＜０ C．２m＞２n D．m２＜n２ ３．已知a＋b＜０,且a＞０,则 (　　) A．a２＜－ab＜b２ B．b２＜－ab＜a２ C．a２＜b２＜－ab D．－ab＜b２＜a２ ４．已知－１＜a＜０,则－a,－a３,a２ 的大小 关系是 (　　) A．a２＞－a３＞－a B．－a＞a２＞－a３ C．－a３＞－a＞a２ D．a２＞－a＞－a３ ５．如果a＞b,c＞d,那么 (　　) A．a＋d＞b＋c B．ac＞bd C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d ６．下列不等式中不成立的是 (　　) A．若a＞b＞０,则ac２＞bc２ B．若a＞b＞０,则a２＞b２ C．若a＜b＜０,a２＞ab＞b２ D．若a＜b＜０,则１a＞ １ b 二、填空题 ７．一次知识竞赛共有２５道题,规定答对一 道题得４分,答错或不答一道题扣１分, 在这次知识竞赛中,小强被评为优秀(８５ 分或８５分以上),小强至少答对　　　 道题． ８．已知实数b＞a＞０,m＜０,则mb　　　 ma,b－ma－m　　　 b a (用“＞”“＜”填空)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８６ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 中职新知探究学习 三、解答题 ９．如果a＞b＞０,c＜d＜０,f＜０,证明:fa－c ＞ fb－d． １０．比较下列各组中两式的大小: (１)(x＋５)(x＋７),(x＋６)２; (２)(x＋４)２,(x＋２)(x＋６); (３)(x＋１)２,２x＋１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．２　不等式的解法 ２．２．１　区间的概念 ★[学习要求] １．掌握区间的概念及其表示方法． ２．会用区间表示相关的集合． 　　　区间的概念 设a,b是实数,且a＜b． (１)满足a≤x≤b的实数x 的集合称为闭 区间,记作[a,b],如图１(a)所示; (２)满足a＜x＜b的实数x 的集合称为开 区间,记作(a,b),如图１(b)所示; (３)满足a≤x＜b或a＜x≤b的实数x 的 集合都称为半开半闭区间,分别记作 [a,b)或(a,b],如图１(c)(d)所示． a和b称为区间的端点．在数轴上表示一 个区间时,若区间包括端点,则端点用实 心点表示,若区间不包括端点,则端点用 空心点表示． ２．如果用“＋∞”表示“正无穷大”,用“－ ∞”表示“负无穷大”,则:实数集 R可表 示为区间(－∞,＋∞);满足x≥a的实 数x 的集合,可记作[a,＋∞),如图２(a) 所示; 满足x＞a的实数x 的集合,可记作(a, ＋∞),如图２(b)所示; 满足x≤b的实数x 的集合,可记作(－ ∞,b],如图２(c)所示;满足x＜b的实数 x 的集合,可记作(－∞,b),如图２(d) 所示． 图２ 　　用区间表示不等式 用区间表示下列集合 (１){x|１≤x≤２}; (２){x|３＜x＜３．５}; (３){x|x≥５}． [解]　(１){x|１≤x≤２}＝[１,２](２){x|３ ＜x＜３．５}＝(３,３．５)．(３){x|x≥５}＝ [５,＋∞)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９６ 第二篇 ８．解析:(１)设A＝{x|x２－１＝０}＝{－１,１},B＝{x||x| －１＝０}＝{－１,１},所以A＝B,即“x２－１＝０”是“|x| －１＝０”的充要条件． (２)设A＝{x|x＜５},B＝{x|x＜３}．因为B⫋A,所以 “x＜５”是“x＜３”的必要不充分条件． 答案:(１)充要条件　(２)必要不充分条件 ９．解:(１)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形 是两边相等的三角形,所以A⇒B,故A⊆B． (２)集合B＝{x|x＜６},用数轴表示集合A,B 如图所 示,由图可知A⊆B． (３)因为A＝{x∈Z|－１≤x＜３}＝{－１,０,１,２},B＝ {x|x＝|y|,y∈A}, 所以B＝{０,１,２},所以B⇒A,故B⊆A． １０．解:(１)由题意得,p⇒q,q⇒/p,所以p是q的充分不必 要条件; (２)若a,b至少有一个不为零,则a２,b２ 至少有一个 大于零,所以a２＋b２＞０,反之由a２＋b２＞０也可推出 a,b至少有一个不为零,所以p⇔q,所以p 是q 的充 要条件． (３)p:a＋１＞b,q:a＞b,因为a＋１＞a,所以q⇒p,p ⇒/q,所以p是q的必要不充分条件． (４)若－５x２ym 与xny 是同类项,则m＝１,n＝２,所以 m＋n＝３,当m＋n＝３时,－５x２ym 与xny 不一定是 同类项,所以p⇒q,q⇒/p,所以p 是q 的充分不必要 条件． 第二章　不等式 ２．１　不等式的基本性质 核心分类探究 变式训练 １．解:(１)因为(x＋２)(x＋３)－(x＋１)(x＋４)＝x２＋５x ＋６－(x２＋５x＋４)＝２＞０,所以(x＋２)(x＋３)＞(x＋ １)(x＋４)． (２)证明:因为a＞b＞０,所以ab＞０,１ab＞０ ,于是a􀅰 １ ab＞b 􀅰１ ab ,即１ b＞ １ a ,由c＜０,得ca ＞ c b ． ２．C　[因为实数a,b,c满足c＜b＜a,ac＜０,所以a＞０, c＜０,对于 A,因为a＞c,所以a－c＞０,因为ac＜０,所 以ac(a－c)＜０,所以 A 错误;对于 B,若a＞b＞０,则 a２＞b２,因为c＜０,所以ca２＜cb２,所以 B错误;对于 C,因为b＞c,a＞０,所以ab＞ac,所以C正确;对于 D, 因为b＜a,所以b－a＜０,因为c＜０,所以c(b－a)＞０, 所以 D错误．] ３．证明:(１)∵a＜b,∴a－b＜０, 又c＜０,∴(a－b)c＞０． (２)∵－１＜b＜０,∴０＜b２＜１,∴１＞b２＞０＞b＞－１, 又a＜０,∴a＜ab２＜ab． 课堂达标 １．C　[M－N＝２a２－４a＋７－(a２－５a＋６)＝a２＋a＋１ ＝ (a＋１２ ) ２ ＋３４＞０ ,故 M＞N,故选C．] ２．C　[对于 A,当a＞b时,若取c≤０,则有ac≤bc．故 A 不正确;对于B,当a＞b时,取a＝１,b＝－１时,有１a ＞１b． 故B不正确;对于 C,当ac２＞bc２,两边同乘以 １ c２ ,则a＞b．故 C正确;对于 D,当a＞b,取a＝１,b＝ －１时,有a２＝b２．故 D不正确．] ３．C　[由a＞b＞０,c＜０,得ac＜bc,ac＜０,C正确,A、B 错误;因为ab＞０,ac＜０,所以 D错误．故选C．] ４．解析:∵ x １＋x２ －１２＝ ２x－１－x２ ２(１＋x２) ＝－ (x－１)２ ２(１＋x２) ≤０, ∴ x １＋x２ ≤１２． 答案: x １＋x２ ≤１２ 课后检测雷达 １．D　[因为M－N＝a２－２ab＋b２＝(a－b)２≥０,所以M ≥N．] ２．B　[因为m＜n＜０,所以mn＞０,m－n＜０,A 错误,B 正确;因m＜n,左右两边同时乘以２,不等号的方向不 变,所以２m＜２n,C错误;由 m＜n＜０,得 m２＞n２,D 错误．故选B．] ３．A　[由a＋b＜０,且a＞０可得b＜０,且a＜－b．因为 a２－(－ab)＝a(a＋b)＜０,所以０＜a２＜－ab,又０＜a ＜－b,所以０＜－ab＜(－b)２,所以０＜a２＜－ab＜ b２,选 A．] ４．B　[∵－１＜a＜０,∴１＋a＞０,０＜－a＜１, ∴－a－a２＝－a(１＋a)＞０,a２－(－a３)＝a２(１＋a)＞ ０,∴－a＞a２＞－a３．故选B．] ５．D　[A选项,取特殊值a＝３,b＝２,c＝５,d＝４,满足a ＞b,c＞d,但是a＋d＝b＋c,A错误;选项B,取特殊值 a＝－１,b＝－２,c＝－３,d＝－４,满足a＞b,c＞d,但 是ac＜bd,B错误;选项C,同样取a＝－１,b＝－２,c＝ －３,d＝－４,满足a＞b,c＞d,但是a－c＝b－d,C错 误;根据推论２可知选项 D正确．故选 D．] ６．A　[对于 A,若a＞b＞０,当c＝０时,ac２＝bc２,故 A 满足题意;对于 B,若a＞b＞０,则a２－b２＝(a＋b)(a －b)＞０,即a２＞b２,故B不满足题意;对于 C,若a＜b ＜０,则a２＞ab,ab＞b２,即a２＞ab＞b２,故 C不满足题 意;对于 D,若a＜b＜０,则１a－ １ b＝ b－a ab ＞０ ,即１ a＞ １ b ,故 D不满足题意．故选 A．] ７．解析:设小强答对了x 道题,则他答错或不答的共有 (２５－x)道题,由题意得４x－(２５－x)×１≥８５,解得x ≥２２,所以小强至少答对了２２道题． 答案:２２ ８．解析:∵b＞a＞０,m＜０,∴b－a＞０, ∴mb－ma＝m(b－a)＜０,∴mb＜ma． b－m a－m－ b a ＝ a(b－m)－b(a－m) a(a－m) ＝ m(b－a) a(a－m)＜０ , ∴b－ma－m＜ b a ． 答案:＜　＜ ９．证明:因为c＜d＜０,所以－c＞－d＞０, 又因为a＞b＞０,所以a－c＞b－d＞０． 不等式的两边同乘 １(a－c)(b－d) , 得 １ b－d＞ １ a－c＞０ , 又因为f＜０,所以 fb－d＜ f a－c ,即 f a－c＞ f b－d． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２２１ 数 学　　 　　　　　　　　　　　　　　　 １０．解:(１)∵(x＋５)(x＋７)－(x＋６)２＝(x２＋１２x＋３５) －(x２＋１２x＋３６)＝－１＜０,∴(x＋５)(x＋７)＜(x＋６)２． (２)∵(x＋４)２－(x＋２)(x＋６)＝(x２＋８x＋１６)－ (x２＋８x＋１２)＝４＞０,∴(x＋４)２＞(x＋２)(x＋６) (３)∵(x＋１)２－(２x＋１)＝(x２＋２x＋１)－(２x＋１) ＝x２≥０,∴(x＋１)２≥２x＋１． ２．２　不等式的解法 ２．２．１　区间的概念 核心分类探究 变式训练 １．解:(１)x|－１２≤x＜５{ }＝ － １ ２ ,５[ )． (２){x|x＜１}＝(－∞,１)． (３){x|x≥３}＝[３,＋∞)． ２．解析:(１)区间[－３,１]用集合的描述法表示为{x|－３ ≤x≤１}; (２)区间[１,２)用集合的描述法表示为{x|１≤x＜２}． 答案:(１){x|－３≤x≤１}　(２){x|１≤x＜２} ３．解:集合A、集合B 的数轴表示如图所示． 因此,A∪B＝R;∁RB＝[３,＋∞);A∩∁RB＝[３,＋∞)． 课堂达标 １．D　[由３≤x＜７可知x可以等于３,不能等于７,所以 是半开半闭区间,D选项符合．] ２．B　[不等式－６＜x≤８写成区间的形式是(－６,８]．] ３．C　[因为A＝(－３,１),B＝(－２,３),由交集的定义可 知A∩B＝(－２,１)．] ４．解析:A＝(１,３)＝{x|１＜x＜３}． 答案:{x|１＜x＜３}． 课后检测雷达 １．B　[集合{x|x＜５}的区间表示为(－∞,５)．故选B．] ２．B　[[２,＋∞)用集合的描述法表示为{x|x≥２}．] ３．D　[∵２x－６≥０,解得x≥３．∴A＝[３,＋∞)．] ４．B　[画出数轴如图 则A∩B＝(１,３)．] ５．C　[A∪B＝[－４,２)∪(２,３]．] ６．B　[∵U＝(－３,３),A＝[－１,０]∴∁UA＝ (－３,－１)∪(０,３)．] ７．解析:A∪B＝[－４,２]∪(２,３]＝[－４,３],A∩B＝ [－４,２]∩(２,３]＝⌀． 答案:[－４,３]　⌀ ８．解析:∵U＝(－３,２),A＝(－３,１),∴∁UA＝[１,２)． 答案:[１,２) ９．解:∵２x－４＞０,∴x＞２,∴A＝{x|x＞２}; ∵３x－５＜１０,∴x＜５, ∴B＝{x|x＜５}． ∴A∩B＝{x|x＞２}∩{x|x＜５}＝{x|２＜x＜５} ＝(２,５)． １０．解:(１)∵A＝(－∞,７),B＝(７,＋∞), ∴∁RA＝[７,＋∞),∁RB＝(－∞,７] (２)∁RA∩∁RB＝[７,＋∞)∩(－∞,７]＝{７}; (３)∁RA∪∁RB＝[７,＋∞)∪(－∞,７]＝R ２．２．２　一元一次不等式(组)的解法 核心分类探究 变式训练 １．解:２x－１３ ≤ ９x＋８ ６ ,去分母,得２(２x－１)≤９x＋８,去 括号,得４x－２≤９x＋８,移项,得４x－９x≤８＋２,合并 同类项,得－５x≤１０,系数化为１,得x≥－２,所以不 等式的解集为{x|x≥－２},即[－２,＋∞)．将解集表 示在数轴上,如图 ２．解:x＋１＜３x－３① , ３(x－４)＜２(x－４)②,{ 由①得x＞２,由②得x＜ ４,所以２＜x＜４,该不等式组的解集为{x|２＜x＜４} 即(２,４)．解集在数轴上表示如图所示． 课堂达标 １．D　[原不等式可化为４x≤６x＋１,即２x≥－１,解得x ≥－１２． ] ２．D　[∵－２(x－１)≥４,∴x－１≤－２,移项得x≤－１．] ３．B　[３x－２＜２x＋２①x≥３②{ ,解①得x＜４,由②得x≥３, 所以不等式组的解为３≤x＜４．] ４．解析:由x－２≤１,移项得x≤３． ∴x－２≤１的最大整数解为３． 答案:３ 课后检测雷达 １．A　[－３x＜－２,不等式两边同除以－３,得x＞２３． ] ２．A　[∵５x－x＜６,∴４x＜６,∴x＜３２． ] ３．A　[去分母得:４x＋a≥５,移项得:４x≥５－a,系数化 为１得:x≥５－a４ ,根据数轴图知解集为x≥－１,所以 ５－a ４ ＝－１ ,所以a＝９,故选 A．] ４．C　[由x＋２＞０,解得x＞－２;由x－４＞０,解得x＞ ４;由x－６＜０,解得x＜６．所以不等式组的解集为(４, ６)．] ５．B　[x－a＞１①x＋１＜b②{ ,由①得:x＞a＋１, 由②得:x＜b－１,∵解集是－１＜x＜０,∴a＋１＝－１, b－１＝０,解得a＝－２,b＝１,则原式＝(－２＋１)２０２４＝ １,故选B．] ６．C　[x－２≥０①２x＜m②{ ,由①得x≥２,由②得x＜ m ２ ,因为 不等式组无解,所以２≥m２ ,所以m≤４．] ７．解析:因为关于x 的不等式组 x＞３ , x＞a{ 的解集为{x|x ＞３},所以３≥a,所以a≤３． 答案:a≤３ ８．解析: x－４＜２(x－１)① １ ２ (x＋１)≤１②{ , 由①得:x＞－２, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３２１ 参考答案