1.1.4 集合的运算-【创新教程】2025年初升高中职数学衔接教材一本通

中职新知探究学习 第二篇 课后检测雷达 二、填空题 7.已知集合A={2,3,6},则集合A的真子 一、选择题 集的个数是 1.下列结论正确的是 8.已知集合A={1,一2m},B={1,m},且 A.任何集合都有子集 A=B,则m的值为 B.任何集合都有真子集 三、解答题 C.{0}=0 9.指出下列各组集合之间的关系： D.{0}=0 (1)A={1,2,4},B={xx是8的正约数}： 2.若集合M满足M{1,2},则满足题意 (2)A={x-1<x5},B={x0x5}: 的M的个数为 ( (3)A=(xlx=2n,nEZ),B=(xx=4n, A.2B.3 C.4 D.5 n∈Z; 3.下列集合表示同一集合的是 A.A={(3,2)},B={(2,3)} B.A={3,2},B={2,3} C.A={(x,y)|x+y=1},B={y|x+y =1} D.A={2,3},B={(2,3)》 4.已知集合A={x∈N|一2<x<3},则集 合A的所有非空真子集的个数是( 10.已知集合P={0,x,y},Q={2x,0,y}, A.6B.7 C.14D.15 且P=Q,求x,y的值. 5已知集合A=m品l集合B=mm 十，0}，若A=B,则 ( ) A.m=1,=0B.m=-1,n=1 C.m=-1,n=0D.m=1,n=-1 6.已知集合M={xx是平行四边形)，N= {xx是矩形}，P={xx是正方形}，Q= {xx是菱形}，则 A.MCN B.PCN C.QCP D.QCN 1.1.4集合的运算 ★[学习要求] 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集， 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用，提升 数学抽象素养. A∩B={x|x∈A且x∈B}. 中职新知链接 集合A与B的交 知识点① 集合的交集 集，可用如图中的阴 1.交集的概念 影表示 给定两个集合A,B,由既属于A又属于 如果两个集合没有 B的所有公共元素组成的集合，称为A, 公共元素，则它们的 B的交集，记作A∩B,读作“A交B”,即 交集为空集. >>>>>59 衔接教材一本通 数学 2.交集的运算性质 U中的补集”，即CA={xx∈U且x度 由交集的定义可知，对于任意两个集合 A}.集合A在U中的补集可用如图中的 A,B,都有 阴影表示 (1)A∩B=B∩A: (2)A∩A=A: (3)A∩0=0∩A=0: (4)A∩BCA,A∩BCB; (5)如果A二B,则A∩B=A 3.补集的运算性质 知识点② 集合的并集 由补集的定义可知，对于给定的全集U 1.并集的概念 及它的任意一个子集A,有： 给定两个集合A,B,把它们所有的元素 (1)AU(CA)=U; 合并在一起组成的集合，称为A与B的 (2)A∩(CA)=0; 并集，记作AUB,读作“A并B”,即AU (3)Cu CA)=A. B={xx∈A或x∈B}. 集合A与B的并集，可用如图(1)或(2) 核心分类探究 中的阴影表示， /类型一 交集的运算 回 例1(1)已知集合A={xx=3n十2，n∈ N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B 中元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 2) (2)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|0 2.并集的运算性质 ≤x≤4}，则A∩B等于 ( 由并集的定义可知，对于任意两个集合 A.{x|0≤x<2} B.{x|1≤x<2 A,B,有 C.{x0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} (1)AUB=BUA: [解析](1)因为6=3×2,8=3×2+2， (2)AUA=A; 10=3×3+1,12=3×4,14=3×4+2, (3)AU⑦=☑UA=A: 所以8∈B且8∈A,14∈B且14∈A, (4)ACAUB,BCAUB; A∩B={8,14},故选D. (5)如果A二B,则AUB=B. (2)因为A={x|-1≤x<2},B={x|0≤ 知识点③ 集合的补集 x≤4}，如图所示，所以A∩B={x0≤x 1.全集的概念 <2}. 我们在研究集合与集合之间的关系时， 如果一些集合都是某一给定集合的子 1022 集，那么称这个给定的集合为这些集合 [答案](1)D(2)A 的全集，通常用U表示.例如，我们在研 规律方法(1)两个集合求交集，结果 究数的集合时，常常把实数集R作为 还是一个集合，是由集合A与集合B 全集 的公共元素组成的集合，当两个集合 2.补集的概念 没有公共元素时，两个集合的交集是 如果A是全集U的一个子集，由U中的 空集，而不能说两个集合没有交集. 所有不属于A的元素组成的集合，称为 (2)求涉及不等式表示的集合的交集 A在U中的补集，记作CuA,读作“A在 时，借助数轴求解可化抽象为直观. 中职新知探究学习 第二篇 [变式训练] 八类型三 补集的运算 可 1.(1)已知集合M={0,1,2,3},N={x0 例3(1)设U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, <x<3},则M∩N= A={1,3,4,5},B=(3,5,7,8}.求CA A.{0} B.{x|x<0} 及CuB. C.{x|0<x<3} D.1,2 (2)若集合A={x|一1≤x<1},S=R,求 (2)已知集合M={x-4<x≤4}，N= CsA. {x|x<-5或x>5},则M∩N=() [解](1)U={0,1,2,3,4,5,6,7,8, A.{xx<-5,或x>-3} 9},CvA={0,2,6,7,8,9,CuB={0, B. 1,2,4,6,9}. C.{x|3<x<5} (2)把集合S和A表示在数轴上如图 D.{x|x<-3,或x>5} 所示： 类型二- 并集的运算 回 例2(1)设集合A={xx-2x=0},B= -2“0 由图知CsA={xx<-1,或x≥1. {xlx2+x=0},则AUB= ( A.{0} B.{-1,0,0,2} 规律方法求集合补集的两种方法 C.{-1,0,2} D.{-1,2} (1)当集合用列举法表示时，直接用定 [解析]C[因为A={xx2一2x=0} 义或借助Venn图求解： ={0,2},B={xx2+x=0}={-1,0,所 (2)当集合是用描述法表示的连续数 以AUB={-1,0,2}.] 集时，可借助数轴，利用数轴分析 (2)设集合A={xx<1},B={x|-2< 法求解 x<2},则AUB= 】 [变式训练] A.{x-2<x<1} B.{x|x<1} 3.设U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5， C.{x|-2<x<2}D.{xx<2} x∈Z,A={xx2-2x-15=0},B={-3, [解析]D[集合A={x|x<1,B= 3,4},则CuA= CuB= {x|一2<x<2},所以AUB={xx<2.] 类型四集合交，并补的综合运算_☑ 规律方法(1)若集合中元素个数有 例4设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A= 限，则直接根据并集的定义求解，但 {1,3,4},B={1,4,5,6}. 要注意集合中元素的互异性， (1)求A∩B及AUB: (2)若集合是实数集的子集，可借助 (2)求(CA)∩B. 数轴，利用数轴分析法求解，但要注 解：(1)因为A={1,3,4},B={1,4,5, 意端点值的取舍. 6},所以A∩B=(1,3,4}∩{1,4,5,6}= [变式训练] {1,4},AUB=(1,3,4}U{1,4,5,6}= 2.(1)已知集合M={-1,0,1},N={0,1, {1,3,4,5,6} 2},则MUN= ( ) (2)因为U=1,2,3,4,5,6},所以CuA= A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2} {2,5,6},所以(CA)∩B={2,5,6}∩ C.{-1,0,2} D.{0,1} {1,4,5,6}={5,6}. (2)已知集合M={x-3<x≤5}，N= 规律方法集合混合运算的一般思路 {x|x<-5或x>5},则MUN=( (1)明确题中含有哪些运算，依据三种 A.{xlx<-5,或x>-3} 运算的定义列出算式· B.{x|-5<x<5} (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按 C.{x|3<x<5} 照从左到右的顺序依次运算. D.{xx<-3,或x>5} (3)注意对运算结果进行检验， >>>>>>>》61 衔接教材一本通 数学 [变式训练] 4.设全集U={-2,-1,0,1,2},A={xx 4.已知集合U={x|x≤4}，集合A={x ≤1}，B={-2,0,2},则C(A∩B)= -2<x<3},B={x-3<x≤3}. ( 求CA,A∩B,Cu(A∩B),(CuA)∩B. A.{-2,0} B.{-2,0,2} C.{-1,1,2 D.{-1,0,2 5.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈ R-1≤x≤5}，则(AUB)∩C=() A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5} 6.设集合A={xx≥3}，B={x|1≤x≤ 4},则B∩(CRA)= () A.[1,3) B.(-∞，4] ☑课堂达标 C.[3,4] D.[1,+∞) 1.设集合A=1,2,3},集合B={-2,2}, 二、填空题 则A∩B 7.已知全集U=R,集合A={x||x一1|> A.☑ B.{2 2},则CA= C.{-2,2 D.{-2,1,2,3} 8.设全集为R,A={x3≤x<7},B={x2 2.集合A={-1,0,1},集合B={1,2,3}, <x<10},则CR(AUB)= 则集合AUB= (CRA)∩B= 三、解答题 A.{0,1} B.{-1,0,1,2} 9.已知集合A={xa一3≤x≤a十1}，B= C.{-1,0,2,3} D.{-1,0,1,2,3 {xx>5或x<-2. 3.已知全集U=R,A={xx+1>0},则 (1)当a=2时，求AUB: CrA= ( (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围. A.{xx<-1} B.{xx≤-1} C.{xl.x<1} D.{xx≤1} 4.已知全集U={xx≥-3}，集合A={x -3<x≤4}，则CA= 课后检测雷达 一、选择题 1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={xx 一2≥0}，则A∩B= () 10.已知全集U={xx≤4}，集合A={x| A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} -2<x<3},B={x|-3x≤2}， C.{2,3 D.{3 求A∩B,(CA)UB,A∩(CB),C(A 2.设集合M={xx2十2x=0,x∈R},N= UB). {xlx2-2x=0,x∈R},则MUN= ) A.{0 B.{0,2 C.{-2,0} D.{-2,0,2 3.已知集合A={x|一1≤x≤2}，B={x|x <1},则A∩(CB)= A.{xlx>1》 B.{xx≥1} C.{x1<x≤2} D.{x1≤x≤2 62☐K<<１．１．３　集合之间的关系 核心分类探究 变式训练 １．解:由０个元素构成的子集:⌀; 由１个元素构成的子集:{１},{２},{３}; 由２个元素构成的子集:{１,２},{１,３},{２,３}; 由３个元素构成的子集:{１,２,３}． 由此得集合A 的所有子集为⌀,{１},{２},{３},{１,２}, {１,３},{２,３},{１,２,３}． 在上述子集中,除去集合A 本身,即{１,２,３},剩下的 都是A 的真子集． ２．解析:(１)因为集合A＝{x|x≥－２},B＝{x|－２≤x ≤１},所以根据子集的定义可知B⊆A． (２)解x２－x＝０,得x＝１或x＝０,故N＝{０,１},易得 N⊆M,其对应的 Venn图如选项B所示． 答案:(１)C　(２)B ３．解析:(１)∵ {２x,x＋y}＝ {７,４},∴ ２x＝７ x＋y＝４{ 或 ２x＝４ x＋y＝７{ ,解得 x＝７２ y＝１２ ì î í ïï ï (舍去)或 x＝２ y＝５{ ,∴xy＝１０． (２)∵A＝{１,－m},B＝{１,m２},且A＝B,∴m２＝－ m,解得m＝－１或者m＝０．m＝－１不满足集合中元 素的互异性,舍去．∴m＝０符合题意． 答案:(１)１０　(２)０ 课堂达标 １．D　[因集合B 中只有一个元素０,并且０∈A,于是得 集合B 是集合A 的子集,从而得B⊆A．] ２．A　[集合{１,２}的子集有⌀,{１},{２},{１,２}共４个．] ３．C　[因为集合A＝{x|x≥－２},B＝{x|－２≤x≤１}, 根据子集的定义可知B⊆A．] ４．解析:由题意a≠０,则b＝０,a２＝１,且a≠１,∴a＝－１, ∴a２０２４＋b２０２５＝(－１)２０２４＋０＝１． 答案:１ 课后检测雷达 １．A　[A正确,B,C,D不正确．] ２．B　[集合 M 满足M⫋{１,２},集合{１,２}的元素个数 为２,则满足题意 M 的个数为２２－１＝３．] ３．B　[选项 A中两集合表示的点不同;选项 C中,A 为 x＋y＝１图象上所有点的坐标,B 为x＋y＝１的y的 取值,不是同一集合;选项 D中,A 为两个实数２,３组 成的集合,B 中只有一个元素即点(２,３)．故B对．] ４．A　[A＝{x∈N|－２＜x＜３}＝{０,１,２},满足条件的 集合有:{０},{１},{２},{０,１},{０,２},{１,２},共６个．] ５．C　[由A＝B,得m２＝１,且nm ＝０ ,m＝m＋n,解得m ＝±１,n＝０．又m≠１．∴m＝－１,n＝０．] ６．B　[平行四边形、矩形、正方形、菱形间的相互关系如 图所示,由图可知,ACD错误,B正确．] ７．解析:因为集合A 中有３个元素,所以集合A 的真子 集有２３－１＝７个． 答案:７ ８．解析:∵A＝{１,－２m},B＝{１,m},且A＝B,∴m＝ －２m,解得m＝０．∴m＝０符合题意． 答案:０ ９．解:(１)B＝{１,２,４,８},可知集合A 中的任意一个元素 都是集合B 中的元素,故A⫋B．用 Venn图表示更加 直观,如图１． (２)在数轴上表示出集合A,B,如图２所示,由图可知 B⫋A． (３)∵集合A是偶数集,集合B是４的倍数集,∴B⫋A． １０．解:依题意P＝Q,若 x＝２x y＝y２{ ,此时x＝０,２x＝０,不满 足集合元素的互异性,不符合题意．若 x＝y２ y＝２x{ ,解得 x＝y＝０或x＝１４ ,y＝１２． 当x＝y＝０时,不满足集合元素的互异性,不符合题 意．当x＝１４ ,y＝１２ 时,P＝Q＝{０,１４, １ ２} ,符合题 意,故x＝１４ ,y＝１２． １．１．４　集合的运算 核心分类探究 变式训练 １．解析:(１)因为 M＝{０,１,２,３},N＝{x|０＜x＜３),所 以 M∩N＝{１,２}． (２)方法１　定义法　M∩N＝{x|－４＜x≤４}∩{x|x＜ －５或x＞５}＝⌀． 方法２　数轴法　将集合M 和N 在数轴上表示出来,如 图所示． 可知 M∩N＝⌀．] 答案:(１)D　(２)B ２．解析:(１)M∪N＝{－１,０,１}∪{０,１,２}＝{－１,０,１, ２}． (２)在数轴上表示集合 M,N,可知 M∪N＝{x|x＜－５ 或x＞－３}．故选 A． 答案:(１)B　(２)A ３．解析:在集合U 中,因为x∈Z,所以x的值为－５,－４, －３,３,４,５,所以U＝{－５,－４,－３,３,４,５}．又A＝{x |x２－２x－１５＝０}＝{－３,５},所以∁UA＝{－５,－４, ３,４},∁UB＝{－５,－４,５}． 答案:{－５,－４,３,４}　{－５,－４,５} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０２１ 数 学　　 　　　　　　　　　　　　　　　 ４．解:把全集U 和集合A,B 在数轴上表示出来,如图, 由图可知∁UA＝{x|x≤－２或３≤x≤４},A∩B＝{x| －２＜x＜３},∁U(A∩B)＝{x|x≤－２或３≤x≤４}, (∁UA)∩B＝{x|－３＜x≤－２或x＝３．} 课堂达标 １．B　[A∩B＝{１,２,３}∩{－２,２}＝{２}．] ２．D　[A∪B＝{－１,０,１}∪{１,２,３}＝{－１,０,１,２, ３}．] ３．B　[因为A＝{x|x＋１＞０}＝{x|x＞－１},所以∁UA ＝{x|x≤－１}．] ４．解析:因为全集U＝{x|x≥－３},集合A＝{x|－３＜x ≤４},所以∁UA＝{x|x＝－３或x＞４}． 答案:{x|x＝－３或x＞４} 课后检测雷达 １．C　[由题知A＝{－１,０,１,２,３},B＝{x|x≥２},所以 A∩B＝{２,３}．] ２．D　[M＝{x|x２＋２x＝０,x∈R}＝{０,－２},N＝ {x|x２－２x＝０,x∈R}＝{０,２},故 M∪N＝{－２,０,２}, 故选 D．] ３．D　[∵B＝{x|x＜１},∴∁RB＝{x|x≥１}． ∴A∩(∁RB)＝{x|１≤x≤２}．] ４．C　[由题知,A∩B＝{－２,０},又U＝{－２,－１,０,１, ２},∴∁U(A∩B)＝{－１,１,２}．] ５．B　[A∪B＝{１,２,４,６},又C＝{x∈R|－１≤x≤５}, 则(A∪B)∩C＝{１,２,４}．] ６．A　[由题知,∁RA＝{x|x＜３},故B∩(∁RA)＝{x|１ ≤x＜３}．] ７．解析:由 题 意 知,集 合 A＝ {x||x－１|＞２}＝ (－∞,－１)∪(３,＋∞),根据集合的补集的概念及运 算,可得∁UA＝{x|－１≤x≤３}． 答案:{x|－１≤x≤３} ８．解析:把全集R和集合A,B 在数轴上表示如图． 由图知,A∪B＝{x|２＜x＜１０}, 所以∁R(A∪B)＝{x|x≤２或x≥１０}, 因为∁RA＝{x|x＜３或x≥７},所以(∁RA)∩B＝{x|２ ＜x＜３或７≤x＜１０}． 答案:{x|x≤２或x≥１０}　{x|２＜x＜３或７≤x＜１０} ９．解:由已知集合B＝{x|x＞５或x＜－２}． (１)当a＝２时,集合A＝{x|－１≤x≤３}, 则A∪B＝{x|x＜－２或－１≤x≤３或x＞５}． (２)由A∩B＝A,则A⊆B,因为A≠⌀,所以a－３＞５ 或a＋１＜－２,解得a＞８或a＜－３,即实数a的取值 范围为{a|a＜－３或a＞８}． １０．解:在数轴上表示集合A,B,U． 易得A∪B＝{x|－３≤x＜３},A∩B＝{x|－２＜x≤ ２},∁UA＝{x|x≤－２,或３≤x≤４},∁UB＝{x|x＜ －３,或２＜x≤４}．∴(∁UA)∪B＝{x|x≤２,或３≤x ≤４},A∩(∁UB)＝{x|２＜x＜３},∁U(A∪B)＝{x|x ＜－３,或３≤x≤４}． １．２　充要条件 核心分类探究 变式训练 １．解:(１)因为a＝b⇒ac＝bc,而ac＝bc不能推出a＝b, 所以p是q的充分条件,但不是必要条件． (２)因为a＋５是无理数⇒a是无理数,并且a是无理 数⇒a＋５是无理数,所以p是q的充要条件． (３)因为a２＋b２＝０⇒a＝b＝０,并且a＝b＝０⇒a２＋b２ ＝０,所以p是q的充要条件． ２．解:(１)因为若x是１２的约数,则必定是３６的约数,反 之不成立,所以A⊆B; (２)由图形的特点可画出 Venn图如图所示,从而D⊆ B⊆A⊆C． (３)易知A 中的元素都是B 中的元素,－１＜x＜４⇒x ＜５,所以A⊆B． 课堂达标 １．C　[由x≠０,得x值可以不小于０,也可以大于０,故 推不出x＞０;反之,当x＞０时,一定有x≠０．故“x≠ ０”是“x＞０”的必要不充分条件．] ２．A　[由题意知p⇒q,q⇒/p,所以p 是q 的充分不必要 条件．故选 A．] ３．A　[条件乙:－１＜x＜５．所以０＜x＜５⇒－１＜x＜５, 但－１＜x＜５⇒/０＜x＜５,所以甲是乙的充分不必要条 件,故选 A．] ４．解析:p⇒q,q⇒p,故p是q的充要条件． 答案:充要 课后检测雷达 １．C　[因为{x|－１＜x＜３}⫋{x|x＜３},所以p 是q 的 必要不充分条件．] ２．B　[１＜x＜２”⇒“１＜x＜３”,反之不成立,所以“１＜x ＜２”是“１＜x＜３”的充分不必要条件．故选B．] ３．A　[因为x＞２⇒x＞１,所以选 A．] ４．B　[因为由“三角形的三个角相等”不能得出“三角形 为等边三角形”,由“三角形为等边三角形”一定得出 “三角形的三个角相等”,所以“三角形的三个角相等” 是“三角形为等边三角形”的必要不充分条件．] ５．C　[如图,因为A⊆B,所以a≥２,故选C． ] ６．B　[∵ ac＞bc, c＞０,{ ⇒a＞b, ac＞bc, a＜０,{ ⇒a＜b, ∴ac＞bc⇒/a＞b,而由a＞b⇒/ac＞bc, ∴“ac＞bc”是“a＞b”的既不充分也不必要条件,故 A、 C错误． 又 ac＝bc, c≠０,{ ⇒a＝b, ac＝bc, c＝０,{ ⇒/a＝b, ∴由ac＝bc⇒/a＝b, 由a＝b⇒ac＝bc, ∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件,B正确,D错误．] ７．解析:因为当p成立时,q一定成立;当q成立时,p 一 定成立．所以p是q的充分条件． 答案:充分条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １２１ 参考答案