1.1.3 集合之间的关系-【创新教程】2025年初升高中职数学衔接教材一本通

２．集合{x∈Z|－１＜x＜３}＝ (　　) A．{０,１,２} B．{－２,－１,０} C．(－３,１) D．(－１,３) ３．若a∈{２,a２－a},则a的值 (　　) A．０ B．２ C．０或２ D．－２ ４．集合{(x,y)|y＝２x－１}表示 (　　) A．方程y＝２x－１ B．点(x,y) C．平面直角坐标系中的所有点组成的 集合 D．函数y＝２x－１图象上的所有点组成 的集合 ５．已知集合A＝{－１,０,１,２},集合B＝{y| y＝|x|,x∈A},则B＝ (　　) A．{－１} B．{１,２} C．{０,１,２} D．{－１,０,１,２} ６．已知集合 M＝{m－２,m２＋４m,９},且－３ 是 M 中的一个元素,则m＝ (　　) A．－３ B．－１或３ C．３ D．－３或－１ 二、填空题 ７．下列四个说法中正确的个数是　　　　． ①若a∈N,则－a∉N; ②若a∈N,b∈N,则a＋b的最小值为２; ③所有小的正数组成一个集合． ８．设集合A＝{x|x２－ax－５＝０,x∈R},且 －５∈A,则实数a＝　　　． 三、解答题 ９．已知集合A＝{m＋２,２m２＋m},若３∈ A,求实数m 的值． １０．用适当的方法表示下列集合． (１)方程x２－４x＋４＝０的实数根组成的集 合A; (２)方程组 x－y＝０, ２x－y＝１{ 的解集B; (３)二次函数y＝x２－１的所有函数值组成 的集合C; (４)二次函数y＝x２－１的图象上所有的点 组成的集合D． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．１．３　集合之间的关系 ★[学习要求] １．理解子集的概念及子集相关的一些结论． ２．理解真子集的概念,理解子集与真子集的区别与联系． ３．理解集合相等的定义,能运用相关知识解决集合相等简单问题． ４．能正确地运用符号表示集合与集合的关系． 　　　子集 １．子集的定义 如果集体A 的任意一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 称为集合B 的子集, 记作A⊆B 或B⊇A,读作“A 包含于B”, 或“B 包含A”． 当集合A 不是集合B 的子集时,记作A ⊈B 或B⊉A,读作“A 不包含于B”,或 “B 不包含A”． ２．子集的性质 (１)任意一个集合A 都是它本身的子集． (２)规定空集是任意一个集合的子集,也就 是说,对 于 任 意 一 个 集 合 A,都 有 ⌀ ⊆A． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６５ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 中职新知探究学习 　　　真子集 　　如果集合A 是集合B 的子集,并且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作A⫋B 或B⫌ A,读作“A 真包含于B”,或“B 真包含 A”． 　　　维恩图 　　如果用平面上一条封闭曲线的内部来 表示集合,那么我们就可作出示意图来 形象地表示集合之间的关系,这种示意 图通常称为维恩图．例如,A 是B 的真子 集,可表示如图． 　　由此可见,集合A 是集合B 的真子集, 记作A⫋B 或B⫌A． 空集是任何非空集合的真子集． 　　　集合相等 　　如果两个集合的元素完全相同,那么 我们就说这两个集合相等．若集合A 等 于集合B,则记作A＝B． 由相等的定义,可得:如果A⊆B,且 B⊆ A,那么A＝B;反之,如果A＝B,那 么A⊆B 且B⊆A． 　　求集合的子集、真子集 (１)写出集合{a,b}的所有子集,并指 出哪些是它的真子集． (２)写出集合{a,b,c}的所有子集;写出集 合{a,b,c,d}的所有子集． [解]　(１)集合{a,b}的所有子集为⌀, {a},{b},{a,b}．真子集为⌀,{a},{b}． (２)集合{a,b,c}的所有子集为⌀,{a}, {b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}． 集合{a,b,c,d}的 所 有 子 集 为 ⌀,{a}, {b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b, c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a, c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．写出一个集合的所有子集的常用 方法 (１)首先要注意两个特殊子集:⌀和它 自身; (２)其次要依次按含有１个元素的子 集,含有２个元素的子集、含有３ 个元素的子集􀆺􀆺写出所有子集． ２．求一个集合子集个数的规律 含有n(n≥１且n∈N)个元素的集合 有２n 个子集,有２n－１个真子集,有 ２n－２个非空真子集． [变式训练] １．写出集合A＝{１,２,３}的所有子集和真子集． 　　集合间关系的判断 指出下列各对集合之间的关系: (１)A＝{－１,１},B＝{(－１,－１),(－１, １),(１,－１),(１,１)}; (２)A＝{x|x 是等边三角形},B＝{x|x 是等腰三角形}; (３)A＝{x|－１＜x＜４},B＝{x|x－５＜０}; (４)M＝{x|x＝２n－１,n∈N＋},N＝{x| x＝２n＋１,n∈N＋}． [解]　(１)集合A 的代表元素是数,集合 B 的代表元素是有序实数对,故 A 与B 之间无包含关系． (２)等边三角形是三边相等的三角形,等 腰三角形是两边相等的三角形,故A⫋B． (３)集合B＝{x|x＜５},用数轴表示集合 A,B 如图所示,由图可知A⫋B． (４)由列举法知 M＝{１,３,５,７,􀆺},N＝ {３,５,７,９,􀆺},故 N⫋M． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７５ 第二篇 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　判断集合间关系的常用 方法 (１)列举观察法 当集合中元素较少时,可列举出集 合中的全部元素,通过定义得出集 合之间的关系． (２)集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么,弄 清集合元素的特征,再利用集合元 素的 特 征 判 断 得 出 集 合 之 间 的 关系． (３)数形结合法 利用数轴或 Venn图可清晰、明了 地判断集合间的关系,其中不等式 的解集之间的关系,适合用数轴法． [变式训练] ２．(１)已知集合A＝{x|x≥－２},B＝{x| －２≤x≤１},则下列关系正确的是 (　　) A．A＝B　　　　　B．A⊆B C．B⊆A D．B∈A (２)能正确表示集合 M＝{x∈R|０≤x ≤２}和集合 N＝{x∈R|x２－x＝０}关 系的 Venn图是 (　　) 　　集合相等 已知集合{１,a,b}与{a,a２,ab}相等, 求实数a,b的值． [解]　∵{１,a,b}＝{a,a２,ab} ∴ a２＝１, ab＝b{ 或 a２＝b, ab＝１．{ 当 a２＝１, ab＝b,{ 时,解得a＝１或 a＝－１, b＝０,{ 当a＝１时,不符合集合元素的互异性, 故舍去;当 a ２＝b, ab＝１{ 时,解得 a＝１ b＝１{ , 不符合集合元素的互异性,故舍去． 综上a＝－１,b＝０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 (１)若A⊆B,且B⊆A,则A＝B;反之, 若A＝B,则A⊆B,且B⊆A,这就 给出了证明两个集合相等的方法, 即欲证A＝B,只需要证A⊆B 与B ⊆A 均成立即可． (２)若两个集合相等,则这两个集合中 所含的元素完全相同,与元素的排 列顺序无关． (３)要判断两个集合是否相等,对于元 素较少的有限集,可用列举法将元 素列举出来,看两个集合中的元素 是否完全相同;对于元素较多的有限 集或无限集,应从“互为子集”入手进 行判断． [变式训练] ３．(１)若整数x、y能使{２x,x＋y}＝{７,４} 成立,则xy＝　　　． (２)已知集合A＝{１,－m},B＝{１,m２}, 且A＝B,则m 的值为　　　． １．若集合A＝{－２,０,２},B＝{０},则 (　　) A．A∈B B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A ２．集合{１,２}的子集有 (　　) A．４个 B．３个 C．２个 D．１个 ３．已知集合A＝{x|x≥－２},B＝{x|－２≤ x≤１},则下列关系正确的是 (　　) A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．B∈A ４．若集合 M 含有元素１,ba ,a,集合N 含有 元素０,a＋b,a２,且集合 M 与集合N 相 等,则a２０２４＋b２０２５＝　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８５ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 中职新知探究学习 一、选择题 １．下列结论正确的是 (　　) A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C．{⌀}＝⌀ D．{０}＝⌀ ２．若集合 M 满足M ⫋{１,２},则满足题意 的 M 的个数为 (　　) A．２　　B．３　　C．４　　D．５ ３．下列集合表示同一集合的是 (　　) A．A＝{(３,２)},B＝{(２,３)} B．A＝{３,２},B＝{２,３} C．A＝{(x,y)|x＋y＝１},B＝{y|x＋y ＝１} D．A＝{２,３},B＝{(２,３)} ４．已知集合A＝{x∈N|－２＜x＜３},则集 合A 的所有非空真子集的个数是 (　　) A．６ B．７ C．１４ D．１５ ５．已知集合A＝ m,nm ,１{ },集合B＝{m２,m ＋n,０},若A＝B,则 (　　) A．m＝１,n＝０ B．m＝－１,n＝１ C．m＝－１,n＝０D．m＝１,n＝－１ ６．已知集合 M＝{x|x是平行四边形},N＝ {x|x是矩形},P＝{x|x是正方形},Q＝ {x|x是菱形},则 (　　) A．M⊆N B．P⊆N C．Q⊆P D．Q⊆N 二、填空题 ７．已知集合A＝{２,３,６},则集合A 的真子 集的个数是　　　． ８．已知集合A＝{１,－２m},B＝{１,m},且 A＝B,则m 的值为　　　． 三、解答题 ９．指出下列各组集合之间的关系: (１)A＝{１,２,４},B＝{x|x是８的正约数}; (２)A＝{x|－１＜x＜５},B＝{x|０＜x＜５}; (３)A＝{x|x＝２n,n∈Z},B＝{x|x＝４n, n∈Z}; １０．已知集合P＝{０,x,y},Q＝{２x,０,y２}, 且P＝Q,求x,y的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．１．４　集合的运算 ★[学习要求] １．理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集． ２．理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集． ３．能使用 Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用,提升 数学抽象素养． 　　　集合的交集 １．交集的概念 给定两个集合A,B,由既属于A 又属于 B 的所有公共元素组成的集合,称为A, B 的交集,记作A∩B,读作“A 交B”,即 A∩B＝{x|x∈A 且x∈B}． 集 合 A 与 B 的 交 集,可用如图中的阴 影表示． 如果两个集合没有 公共元素,则它们的 交集为空集． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９５ 第二篇 １．１．３　集合之间的关系 核心分类探究 变式训练 １．解:由０个元素构成的子集:⌀; 由１个元素构成的子集:{１},{２},{３}; 由２个元素构成的子集:{１,２},{１,３},{２,３}; 由３个元素构成的子集:{１,２,３}． 由此得集合A 的所有子集为⌀,{１},{２},{３},{１,２}, {１,３},{２,３},{１,２,３}． 在上述子集中,除去集合A 本身,即{１,２,３},剩下的 都是A 的真子集． ２．解析:(１)因为集合A＝{x|x≥－２},B＝{x|－２≤x ≤１},所以根据子集的定义可知B⊆A． (２)解x２－x＝０,得x＝１或x＝０,故N＝{０,１},易得 N⊆M,其对应的 Venn图如选项B所示． 答案:(１)C　(２)B ３．解析:(１)∵ {２x,x＋y}＝ {７,４},∴ ２x＝７ x＋y＝４{ 或 ２x＝４ x＋y＝７{ ,解得 x＝７２ y＝１２ ì î í ïï ï (舍去)或 x＝２ y＝５{ ,∴xy＝１０． (２)∵A＝{１,－m},B＝{１,m２},且A＝B,∴m２＝－ m,解得m＝－１或者m＝０．m＝－１不满足集合中元 素的互异性,舍去．∴m＝０符合题意． 答案:(１)１０　(２)０ 课堂达标 １．D　[因集合B 中只有一个元素０,并且０∈A,于是得 集合B 是集合A 的子集,从而得B⊆A．] ２．A　[集合{１,２}的子集有⌀,{１},{２},{１,２}共４个．] ３．C　[因为集合A＝{x|x≥－２},B＝{x|－２≤x≤１}, 根据子集的定义可知B⊆A．] ４．解析:由题意a≠０,则b＝０,a２＝１,且a≠１,∴a＝－１, ∴a２０２４＋b２０２５＝(－１)２０２４＋０＝１． 答案:１ 课后检测雷达 １．A　[A正确,B,C,D不正确．] ２．B　[集合 M 满足M⫋{１,２},集合{１,２}的元素个数 为２,则满足题意 M 的个数为２２－１＝３．] ３．B　[选项 A中两集合表示的点不同;选项 C中,A 为 x＋y＝１图象上所有点的坐标,B 为x＋y＝１的y的 取值,不是同一集合;选项 D中,A 为两个实数２,３组 成的集合,B 中只有一个元素即点(２,３)．故B对．] ４．A　[A＝{x∈N|－２＜x＜３}＝{０,１,２},满足条件的 集合有:{０},{１},{２},{０,１},{０,２},{１,２},共６个．] ５．C　[由A＝B,得m２＝１,且nm ＝０ ,m＝m＋n,解得m ＝±１,n＝０．又m≠１．∴m＝－１,n＝０．] ６．B　[平行四边形、矩形、正方形、菱形间的相互关系如 图所示,由图可知,ACD错误,B正确．] ７．解析:因为集合A 中有３个元素,所以集合A 的真子 集有２３－１＝７个． 答案:７ ８．解析:∵A＝{１,－２m},B＝{１,m},且A＝B,∴m＝ －２m,解得m＝０．∴m＝０符合题意． 答案:０ ９．解:(１)B＝{１,２,４,８},可知集合A 中的任意一个元素 都是集合B 中的元素,故A⫋B．用 Venn图表示更加 直观,如图１． (２)在数轴上表示出集合A,B,如图２所示,由图可知 B⫋A． (３)∵集合A是偶数集,集合B是４的倍数集,∴B⫋A． １０．解:依题意P＝Q,若 x＝２x y＝y２{ ,此时x＝０,２x＝０,不满 足集合元素的互异性,不符合题意．若 x＝y２ y＝２x{ ,解得 x＝y＝０或x＝１４ ,y＝１２． 当x＝y＝０时,不满足集合元素的互异性,不符合题 意．当x＝１４ ,y＝１２ 时,P＝Q＝{０,１４, １ ２} ,符合题 意,故x＝１４ ,y＝１２． １．１．４　集合的运算 核心分类探究 变式训练 １．解析:(１)因为 M＝{０,１,２,３},N＝{x|０＜x＜３),所 以 M∩N＝{１,２}． (２)方法１　定义法　M∩N＝{x|－４＜x≤４}∩{x|x＜ －５或x＞５}＝⌀． 方法２　数轴法　将集合M 和N 在数轴上表示出来,如 图所示． 可知 M∩N＝⌀．] 答案:(１)D　(２)B ２．解析:(１)M∪N＝{－１,０,１}∪{０,１,２}＝{－１,０,１, ２}． (２)在数轴上表示集合 M,N,可知 M∪N＝{x|x＜－５ 或x＞－３}．故选 A． 答案:(１)B　(２)A ３．解析:在集合U 中,因为x∈Z,所以x的值为－５,－４, －３,３,４,５,所以U＝{－５,－４,－３,３,４,５}．又A＝{x |x２－２x－１５＝０}＝{－３,５},所以∁UA＝{－５,－４, ３,４},∁UB＝{－５,－４,５}． 答案:{－５,－４,３,４}　{－５,－４,５} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０２１ 数 学