1.1 集合及其运算 1.1.1 集合的概念&1.1.2 集合的表示方法-【创新教程】2025年初升高中职数学衔接教材一本通

中职新知探究学习 第一章　集合 １．１　集合及其运算 １．１．１　集合的概念 １．１．２　集合的表示方法 ★[学习要求] １．理解集合的概念,熟练掌握几个常见数集． ２．掌握表示集合的常用方法:列举法和性质描述法． 　　　集合的相关概念 １．集合 一般地,把一些能够确定的、不同的对象 汇集在一起,就说由这些对象的全体组 成一个集合(有时简称集),组成集合的 每个对象都是这个集合的元素． ２．符号表示 一个集合,通常用大写英文字母A,B,C, 􀆺表示,它的元素通常用小写英文字母 a,b,c,􀆺表示． 如果a是集合A 的元素,记作a∈A,读 作“a属于A”． 如果a不是集合A 的元素,记作a∉A, 读作“a不属于A”． ３．集合的性质 关于集合的概念,再作如下说明: (１)集合的元素必须是能够确定的． (２)对于一个给定的集合,集合中的元素是 互异的．这就是说,集合中的任何两个 元素都是不同的对象,相同的对象归入 同一个集合只能算作集合的一个元素． ４．集体的分类 (１)含有有限个元素的集合称为有限集; (２)含有无限个元素的集合称为无限集． (３)特别地,把不含任何元素的集合称为空 集,记作⌀． 例如,由x＋１＝x＋２所有解组成的集合就 是空集． ５．数学中常用的数集 所有非负整数组成的集合,称为自然数 集,记作N．０是自然数集N的一个元素． 在自然数集 N中,去掉元素０的集合,称 为正整数集,记作N＋或N∗． 所有整数组成的集合,称为整数集,记作 Z．所有有理数组成的集合,称为有理数 集,记作Q． 所有实数组成的集合,称为实数集,记 作R． 　　　集合的表示法 １．列举法 　　当集合的元素不多时,我们常常把 集合的所有元素一一列举出来(相邻元 素之间用逗号分隔),并写在大括号内, 这种表示集合的方法称为列举法． ２．描述法 　　一般地,如果属于集合A 的任意一 个元素x 都具有性质p(x),而不属于集 合A 的元素都不具有性质p(x),则性质 p(x)称为集合A 的特征性质．于是,集合 A 可用它的特征性质p(x)表示为A＝{x ∈I|p(x)},它表示集合A 是由集合I中 具有性质p(x)的所有元素组成的．这种 用特征性质表示集合的方法称为性质描 述法,简称描述法． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３５ 第二篇 　　集合的概念 考查下列每组对象能否组成一个集 合,并说明理由． (１)２０２５年全国高考数学试卷中的所有 难题; (２)观看天宫一号与天宫二号自动交会 对接的电视观众; (３)接近１的全体实数; (４)篮球比林书豪打得好的球员． [解]　(１)试卷中的哪些题才能称为是 “难题”,是无法确定的,故不能组成一个 集合．(２)元素“观众”是确定的,所以能 组成一个集合．(３)接近１的实数没有一 个明确的标准,所以这些实数是无法确 定的,不能组成一个集合．(４)哪些 球员 比林书豪打得好是不确定的,所以不能 组成一个集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　判断一些对象能否构成集合的方法 (１)判断每个对象是否具有确定性是判 断其能否构成集合的关键． (２)判断一个对象是不是确定的,关键 就是要找到一个明确的衡量标准． 提醒:注意集合中元素的互异性、无序性． [变式训练] １．下列每组对象能否构成一个集合: (１)我们班的所有高个子同学; (２)不超过２０的非负数; (３)直角坐标平面内第一象限的一些点; (４)３的近似值的全体． 　　元素与集合的关系 给出下列关系:①１３∈R ;② ３∈Q; ③－３∉Z;④－３∉N．其中正确的个数为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ [解析]　B　[１３ 是实数,①正确;３是无 理数,②错误;－３是整数,③错误;－ ３ 是 无 理 数,④ 正 确,所 以 正 确 的 个 数 为２．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断元素与集合关系的两种方法 直 接 法 如果集合中的元素是直接给出 的,只要判断该元素在已知集 合中是否出现即可．此时应首 先 明 确 集 合 是 由 哪 些 元 素 构成． 推 理 法 对于某些不便直接表示的集 合,只要判断该元素是否满足 集合中元素所具有的特征即 可．此时应首先明确已知集合 的元素具有什么特征,即该集 合中元素要符合哪种表达式或 满足哪些条件． [变式训练] ２．用符号“∈”和“∉”填空: (１)１２　　　N ;　　(２)１　　　Z; (３)－２　　　R; (４)π　　　Q; (５)３２ 　　　N; (６)０　　　⌀． 　　集合的性质 已知集合A 含有三个元素１,０,x．若 x２∈A,求实数x的值． [解]　若x２＝０,则x＝０,此时集合A 中 有两个相同元素０,不符合集合中元素的 互异性,舍去．若x２＝１,则x＝±１．当x ＝１时,集合 A 中有两个相同元素１,舍 去;当x＝－１时,集体A 中三个元素为 １,０,－１,符合．若x２＝x,则x＝０或x＝１, 不符合互异性,都舍去．综上可知:x＝－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４５ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 中职新知探究学习 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 根据集合中元素的特性求解字母取值 (范围)的３个步骤 [变式训练] ３．已知集合A 是由０,m,m２－３m＋２三个 元素组成的集合,且２∈A,则实数m 为 (　　) A．２ B．３ C．０或３ D．０,２,３均可 　　　　列举法与描述法的综合运用 用适当的方法表示下列集合: (１)比５大３的数组成的集合; (２)方程x２＋y２－４x＋６y＋１３＝０ 的 解集; (３)不等式x－３＞２的解的集合; (４)二次函数y＝x２－１０图象上的所有 点组成的集合． [解]　(１)比５大３的数显然是８,故可 表示为{８}． (２)方程x２＋y２－４x＋６y＋１３＝０可化 为:(x－２)２＋(y＋３)２＝０, ∴ x＝２, y＝－３,{ ∴方程的解集为{(２,－３)}． (３)由x－３＞２,得x＞５．故不等式的解 集为{x|x＞５}． (４)“二次函数y＝x２－１０的图象上的所有 点”用描述法可表示为{(x,y)|y＝x２－１０}． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　用列举法和描述法表示集 合的三点要求 一 明确集合中的元素 二 明确元素满足的条件 三 根据集合中元素的特点来选 择表示集合的方法 [变式训练] ４．选择适当的方法表示下列集合． (１)由方程x(x２－２x－３)＝０的所有实 数根组成的集合; (２)大于１且小于７的有理数; (３)由直线y＝－x＋４上的横坐标和纵 坐标都是自然数的点组成的集合． １．下面各组对象中不能形成集合的是 (　　) A．所有的直角三角形 B．一次函数y＝x＋１ C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于２的所有实数 ２．有下列四个关系式:① ５∈R;②１４∉Q ; ③０∈N;④０∈{０}．其中正确的个数是 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ３．集合A＝{x∈N＋|x－５＜０}中的元素个 数是 (　　) A．０ B．４ C．５ D．６ ４．用列举法表示集合{(x,y)|x＋y＝３,x∈ N,y∈N}为　　　　　　　． 一、选择题 １．下列给出的对象能构成集合的有 (　　) ①某校２０２５年入学的全体高一年级新 生;② ２所有近似值;③某个班级中学习 成绩较好的学生;④不等式３x－１０＜０ 的所有正整数解． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５５ 第二篇 ２．集合{x∈Z|－１＜x＜３}＝ (　　) A．{０,１,２} B．{－２,－１,０} C．(－３,１) D．(－１,３) ３．若a∈{２,a２－a},则a的值 (　　) A．０ B．２ C．０或２ D．－２ ４．集合{(x,y)|y＝２x－１}表示 (　　) A．方程y＝２x－１ B．点(x,y) C．平面直角坐标系中的所有点组成的 集合 D．函数y＝２x－１图象上的所有点组成 的集合 ５．已知集合A＝{－１,０,１,２},集合B＝{y| y＝|x|,x∈A},则B＝ (　　) A．{－１} B．{１,２} C．{０,１,２} D．{－１,０,１,２} ６．已知集合 M＝{m－２,m２＋４m,９},且－３ 是 M 中的一个元素,则m＝ (　　) A．－３ B．－１或３ C．３ D．－３或－１ 二、填空题 ７．下列四个说法中正确的个数是　　　　． ①若a∈N,则－a∉N; ②若a∈N,b∈N,则a＋b的最小值为２; ③所有小的正数组成一个集合． ８．设集合A＝{x|x２－ax－５＝０,x∈R},且 －５∈A,则实数a＝　　　． 三、解答题 ９．已知集合A＝{m＋２,２m２＋m},若３∈ A,求实数m 的值． １０．用适当的方法表示下列集合． (１)方程x２－４x＋４＝０的实数根组成的集 合A; (２)方程组 x－y＝０, ２x－y＝１{ 的解集B; (３)二次函数y＝x２－１的所有函数值组成 的集合C; (４)二次函数y＝x２－１的图象上所有的点 组成的集合D． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．１．３　集合之间的关系 ★[学习要求] １．理解子集的概念及子集相关的一些结论． ２．理解真子集的概念,理解子集与真子集的区别与联系． ３．理解集合相等的定义,能运用相关知识解决集合相等简单问题． ４．能正确地运用符号表示集合与集合的关系． 　　　子集 １．子集的定义 如果集体A 的任意一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 称为集合B 的子集, 记作A⊆B 或B⊇A,读作“A 包含于B”, 或“B 包含A”． 当集合A 不是集合B 的子集时,记作A ⊈B 或B⊉A,读作“A 不包含于B”,或 “B 不包含A”． ２．子集的性质 (１)任意一个集合A 都是它本身的子集． (２)规定空集是任意一个集合的子集,也就 是说,对 于 任 意 一 个 集 合 A,都 有 ⌀ ⊆A． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６５ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴p＝４３m ,４q＝４３m＋p ２, ∴Δ＝p２－２p＋１－ ４３m＋p ２( ) ＋４m＝－２p＋１－ ４ ３m＋４m , Δ＝－２p＋１－４３m＋４m＝－２ ４ ３m( ) ＋１－ ４ ３m＋ ４m＝１,∴Δ＞０, ∴无论m 取任何值,二次函数y＝x２＋px＋q的图 象与直线y＝x＋m 总有两个不同的交点． 第二篇　中职新知探究学习 第一章　集合 １．１　集合及其运算 １．１．１　集合的概念 １．１．２　集合的表示方法 核心分类探究 变式训练 １．解:(１)“高 个 子”没 有 明 确 的 标 准,因 此 不 能 构 成 集合． (２)任给一个实数x,可以明确地判断是不是“不超过 ２０的非负数”,即“０≤x≤２０”与“x＞２０或x＜０”,两 者必居其一,且仅居其一,故“不超过２０的非负数”能 构成集合; (３)“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些 点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一 些点”不能构成集合; (４)“３的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难 判断一个数如“２”是不是它的近似值,所以“３的近似 值”不能构成集合． ２．解析:由N,Z,R,Q,⌀所表示的集合,由元素与集合的 关系可判断(１)∉　(２)∈　(３)∈ (４)∉　(５)∈　(６)∉． 答案:(１)∉　(２)∈　(３)∈　(４)∉　(５)∈　(６)∉ ３．B　[由２∈A 可知:若m＝２,则m２－３m＋２＝０,这与 m２－３m＋２≠０相矛盾;若m２－３m＋２＝２,则m＝０或 m＝３,当m＝０时,与m≠０相矛盾,当m＝３时,此时 集合A 的元素为０,３,２,符合题意．] ４．解:(１)该方程的实数根为－１,０,３,故可以用列举法 表示为{－１,０,３},当然也可以用描述法表示为{x|x (x２－２x－３)＝０}． (２)由于大于１且小于７的有理数有无数个,故不能用 列举法表示该集合,但可以用描述法表示该集合为{x ∈Q|１＜x＜７}． (３)用描述法表示该集合为 M＝{(x,y)|y＝－x＋４, x∈N,y∈N},或用列举法表示该集合为{(０,４),(１, ３),(２,２),(３,１),(４,０)}． 课堂达标 １．C　[所有的直角三角形,能形成直角三角形集合,一 次函数y＝x＋１,元素是确定的,可以形成集合,大于 ２的所有实数,能形成集合,而高一年级中家离学校很 远的学生,这里的“很远”的标准不确定,因而这里的 学生就不确定,所以高一年级中家离学校很远的学生 不能形成集合．] ２．C　[１４∈Q ,②错;①③④正确．] ３．B　[A＝{x∈N＋|x－５＜０}＝{１,２,３,４},所以集合A 中的元素个数有４个．] ４．解析:集合{(x,y)|x＋y＝３,x∈N,y∈N}为点集,满 足条件的点为(０,３),(１,２),(２,１),(３,０)． 答案:{(０,３),(１,２),(２,１),(３,０)} 课后检测雷达 １．B　[对于①:某校２０２５年入学的全体高一年级新生, 对象确定,能构成集合,故①正确;对于②:２的所有 近似值,根据精确度不一样得到的近似值不一样,因 此对象不确定,故不能构成集合,故②错误;对于③: 某个班级中学习成绩较好的是相对而言的,故这些学 生对象不确定,不能构成集合,故③错误;对于④:不 等式３x－１０＜０的所有正整数解有１,２,３,能构成集 合,故④正确．] ２．A　[∵－１＜x＜３,且x∈Z,∴集合为{０,１,２}．] ３．A　[若a＝２,则a２－a＝２,不符合集合元素的互异 性;若a＝a２－a,则a＝０或a＝２(舍),此时{２,a２－a} ＝{２,０},符合题意．综上所述:a＝０．故选 A．] ４．D　[集合{(x,y)|y＝２x－１}的代表元素是(x,y),x, y满足的关系式为y＝２x－１,因此集合表示的是满足 关系式y＝２x－１的点组成的集合．] ５．C　[因为B＝{y|y＝|x|,x∈A},A＝{－１,０,１,２}, 所以B＝{０,１,２}．故选C．] ６．A　[集合 M＝{m－２,m２＋４m,９},且－３∈M．①当 m－２＝－３,即m＝－１,此时,m２＋４m＝－３,集合 M 中的元素不满足互异性,故不符合题意,舍去;②当 m２＋４m＝－３时,m＝－１(舍)或m＝－３,若m＝－３, 则m－２＝－５,此时集合 M＝{－５,－３,９},符合题 意．综上所述,m＝－３,故选 A．] ７．解析:①若０∈N,则－０∈N,故①错误;②若a∈N,b∈ N,则a＋b的最小值为２,错误,当a＝b＝０时,a＋b＝ ０;③所有小的正数组成一个集合,不符合集合中元素 的确定性．所以正确的个数为０． 答案:０ ８．解析:∵集合A＝{x|x２－ax－５＝０,x∈R},－５∈A, ∴２５＋５a－５＝０,解得a＝－４． 答案:－４ ９．解:由３∈A,可得m＋２＝３,所以m＝１,此时２m２＋m ＝３,不合题意;或２m２＋m＝３．解得m＝１(舍去)或m ＝－３２． 综上,m＝－３２． 答案:m＝－３２ １０．解:(１)方程x２－４x＋４＝０有两个相等的实数根２, 因此,其解集用列举法表示为A＝{２},用描述法表 示为A＝{x∈R|x２－４x＋４＝０}． (２)解方程组 x－y＝０, ２x－y＝１,{ 得 x＝１, y＝１,{ 因此,用列举法 表示为B＝{(１,１)},用描述法表示为B＝{(x,y) x－y＝０ ２x－y＝１{ } (３)二次函数y＝x２－１的函数值的取值范围是y≥ －１,代表元素为y,因此,用描述法表示为C＝{y|y ＝x２－１},即C＝{y|y≥－１}． (４)二次函数y＝x２－１的图象上所有的点组成的集 合D 中,代表元素为点(x,y),用描述法表示为D＝ {(x,y)|y＝x２－１}． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９１１ 参考答案