第2节 一次函数的图象与性质-【创新教程】2025年初升高中职数学衔接教材一本通

第２节　一次函数的图象与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　初中阶段,我们研究一次函数的图象及性质,中职阶段我们还将进一步研究一次函 数的其他性质及应用． 　　　　一次函数和正比例函数的概念 １．一次函数:一般地,形如y＝kx＋b(k,b 是常数,k≠０)的函数． ２．当b＝　　　时,y＝kx(k≠０)为正比例 函数,正比例函数是特殊的一次函数． 　　　一次函数的图象与性质 函数 名称 正比例函数 一次函数 解析 式 y＝kx(k≠０) y＝kx＋b(k,b为常数,k≠０) 图象 形状 及特 点 过 原 点 的 一 条 直线 过点(０,b)且与y＝kx平行 (或重合)的一条直线 作图 方法 过点(０,０),(１, k)作直线 过 点 (０,b), －bk ,０( ) 作 直线 图象 性质 k ＞ ０ 时,图 象 经 过 第 一、三 象 限, y 随x 的增 大而 增大 k ＞ ０ 时, 图 象 恒 过 第 一、 三象限, y 随 x 的增大 而　　 b ＞ ０ 时, 图 象 经 过 第 　 　 象限 b ＜ ０ 时, 图 象 经 过 第 　 　 象限 k ＜ ０ 时,图 象经 过第 二、四 象限, y随x 的增 大而 减小 k ＜ ０ 时, 图 象恒过 第二、四 象限,y 随x 的 增 大 而 　　　 b ＞ ０ 时, 图 象 经 过 第 　 　 象限 b ＜ ０ 时, 图 象 经 过 第 　 　 象限 　　　确定一次函数的解析式 １．待定系数法 (１)设:设一次函数的解析式为y＝kx＋b (k,b为常数,k≠０)． (２)代:将两点坐标A(a１,b１),B(a２,b２)代 入解析式中,得到含有k,b的方程组． (３)解:解方程组,求得k,b的值． (４)还原:将k,b的值代回解析式中,从而得 出函数解析式． ２．一次函数图象的平移 平移前解析式为y＝kx＋b． 平移方向(a＞０) 平移后解析式 向左平移a个单位长度 y＝k(x＋a)＋b) 向右平移a个单位长度y＝k(x－a)＋b 向上平移a个单位长度 y＝kx＋b＋a 向下平移a个单位长度 y＝kx＋b－a 　　　　　 一次函数与方程(组)、一元 一次不等式的关系 １．与一元一次方程的关系 ２．与二元一次方程组的关系 二元一次方程组 y＝k１x＋b１, y＝k２x＋b２{ 的解⇔一 次函数y＝k１x＋b１ 与y＝k２x＋b２ 图象 交点的横、纵坐标值． ３．与一元一次不等式的关系 (１)不等式kx＋b＞０的解集⇔函数y＝kx ＋b的图象位于x 轴　　　方部分(y＞ ０)所对应的x的取值范围(如图１); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６３ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 初、中职基础知识衔接 (２)不等式kx＋b＜０的解集⇔函数y＝kx ＋b的图象位于x 轴　　　方部分(y＜ ０)所对应的x的取值范围(如图１); (３)不等式kx＋m＞ax＋b的解集就是函数 y１＝kx＋m 的图象在y２＝ax＋b图象 　　　方部分所对应的x的取值范围, 即x＞xP(如图２); (４)不等式kx＋m＜ax＋b的解集就是函数 y１＝kx＋m 的图象在y２＝ax＋b图象 　　　方部分所对应的x的取值范围, 即x＜xP(如图２)． 　　求一次函数解析式 象棋起源于中国,中国象棋文化历史 悠久,如图所示是某次对弈的残图的一 部分,如果建立平面直角坐标系,使棋子 “帅”位于点(－２,－１)的位置,则在同一 坐标系下,经过棋子“帅”和“马”所在点 的一次函数表达式为　　　． [解析]　如图,建立平面直角坐标系,可 得棋子“马”所在的点的坐标为(１,２),设 经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函 数表达式为y＝kx＋b(k≠０), ∴ ２＝k＋b －１＝－２k＋b{ , 解得 k＝１ b＝１{ ,∴经过棋子“帅”和“马”所在 的点的一次函数表达式为y＝x＋１． 答案:y＝x＋１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　利用待定系数法求一次函 数解析式的方法 (１)设解析式为y＝kx＋b(k≠０)． (２)根据已知条件构造k,b的方程组． (３)解方程组,求k,b的值． (４)写出函数解析式． [变式训练] １．如图,直线y＝１２x＋１ 与x轴交于点A, 点A 关于y 轴的对称点为A′,经过点A′ 和y 轴上的点B(０,２)的直线设为y＝kx ＋b． (１)求点A′的坐标; (２)确定直线A′B 对应的函数表达式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７３ 第一篇 　　　　一次函数的图象和性质 (１)已知一次函数y＝２x＋a与y＝ －x＋b的图象都经过点A(－２,０),且与 y轴分别交于点B 和点C,则△ABC 的 面积为 (　　) A．４ B．５ C．６ D．７ (２)已知正比例函数y＝kx(k≠０)的函数 值y随x 的增大而减小,则一次函数y＝ x＋k的图象大致是 (　　) [解析]　(１)一次函数y＝２x＋a的图象经 过点A(－２,０),则a＝４,故该一次函数为y ＝２x＋４,其图象与y轴交于点B(０,４),一 次函数y＝－x＋b的图象经过点A(－２, ０),则b＝－２,故该一次函数为y＝－x－２, 其图 象 与y 轴 交 于 点 C(０,－２),所 以 △ABC的面积为１２×２× (４＋２)＝６． (２)依题意k＜０,所以y＝x＋k是逐渐上 升的,且与y轴交点(０,k)在y轴的负半 轴,故选B． [答案]　(１)C　(２)B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　一次函数y＝kx＋b(k≠ ０)中,k,b符号对图象的影响如下: 一次 函数 y＝kx＋b(k≠０) k,b 符号 k＞０ k＜０ b＞０b＜０ b＝０ b＞０ b＜０ b＝０ 图象 图象 经过 象限 一、二、 三 一、三、 四 一、三 一、二、 四 二、三、 四 二、四 性质 y随x 的增大而 增大 y 随x 的增大而 减小 [变式训练] ２．(１)已知一次函数的图象经过点P(０,－３), 且与坐标轴围成的三角形的面积为６,求这 个一次函数的解析式; (２)一次函数y＝kx＋３－k的图象经过 第一、三、四象限,求k的取值范围． 　　 　一次函数与方程、不等式的关系 在平面直角坐标系xOy中,函数y＝ kx＋b(k≠０)与y＝－kx＋３的图象交于 点(２,１)． (１)求k,b的值; (２)当x＞２时,对于x的每一个值,函数 y＝mx(m≠０)的值既大于函数y＝kx＋ b的值,也大于函数y＝－kx＋３的值,直 接写出m 的取值范围． [解]　(１)由题意,将(２,１)代入y＝－kx ＋３中,得－２k＋３＝１,解得k＝１．将k＝ １,(２,１)代入y＝kx＋b(k≠０)中,得２× １＋b＝１,解得b＝－１,∴k＝１,b＝－１． (２)∵k＝１,b＝－１,∴两个一次函数的解 析式分别为y＝x－１,y＝－x＋３．当x＞ ２时,对于x的每一个值,函数y＝mx(m ≠０)的值既大于函数y＝x－１的值,也 大于函数y＝－x＋３的值,即当x＞２ 时,直线y＝mx(m≠０)在直线y＝x－１ 和直线y＝－x＋３的上方,则画出图象 如图． 由图象,得当直线y＝mx(m≠０)与直线 y＝x－１平行时符合题意或者当y＝mx (m≠０)与x 轴的夹角大于直线y＝mx 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８３ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 初、中职基础知识衔接 (m≠０)与直线y＝x－１平行时的夹角也 符合题意．∵当直线y＝mx(m≠０)与直 线y＝x－１平行时,m＝１;∴当x＞２时, 直线y＝mx(m≠０)在直线y＝x－１和 直线y＝－x＋３的上方时,m≥１,∴m 的 取值范围为m≥１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　一次函数与方程、不等式 的关系． (１)一次函数与方程的关系:一次函数 y＝kx＋b(k≠０)的图象与x轴的交点 的横坐标是方程的解; (２)一次函数与不等式的关系: 如图,直线y１＝k１x＋b１ 与y２＝k２x相 交于点P(x０,y０),则当x＜x０ 时,k１x ＋b１ ＜k２x,当 x＞x０ 时,k１x＋b１ ＞ k２x． [变式训练] ３．如图,在平面直角坐标 系xOy中,正比例函数 y＝x 的图象与一次函 数y＝kx－k的图象的 交点坐标为A(m,２)． (１)求m 的值和一次函 数的解析式; (２)直接写出使函数y＝kx－k的值大于 函数y＝x的值的自变量x 的取值范围． 　　一次函数的实际应用 端午节是我国的传统节日,有吃粽子 的习俗．节日前夕,某商场购进A,B 两 种粽子共２００盒进行销售．经了解,进价 与标价如下表所示(单位:元/盒); 种类 进价 标价 A ９０ １２０ B ５０ ６０ (１)设该商场购进A 种粽子x 盒,销售两 种粽子所得的总利润为y元,求y关于x 的函数解析式(不必写出自变量x 的取 值范围); (２)若购进的２００盒粽子销售完毕,总利 润不低于３０００元,请问至少需要购进A 种粽子多少盒? [解]　(１)根据题意,得y＝(１２０－９０)x ＋(６０－５０)(２００－x)＝２０x＋２０００． 故y关于x 的函数解析式为y＝２０x＋ ２０００． (２)由题意,得２０x＋２０００≥３０００,解得 x≥５０,故 若 购 进 的 ２００ 盒 粽 子 销 售 完 毕,总利润不低于３０００元,至少需要购 进A 种粽子５０盒． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　一次函数解决实际问题的 步骤 (１)认真分析实际问题中变量之间的 关系; (２)若具有一次函数关系,则建立一次 函数的关系式; (３)利用一次函数的有关知识解题,进 行解答即可． [变式训练] ４．随着新能源汽车的发展,东营市某公交 公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟” 较严重的燃油公交车．新能源公交车有A 型和B 型两种车型,若购买A 型公交车 ３辆,B 型公交车１辆,共需２６０万元;若 购买A 型公交车２辆,B 型公交车３辆, 共需３６０万元． (１)求购买A 型和B 型新能源公交车每 辆各需多少万元? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９３ 第一篇 (２)经调研,某条线路上的A 型和B 型新 能源公交车每辆年均载客量分别为７０ 万人次和１００万人次．公司准备购买１０ 辆A 型、B 型两种新能源公交车,总费用 不超过６５０万元．为保障该线路的年均 载客总量最大,请设计购买方案,并求出 年均载客总量的最大值． １．若函数y＝(m＋１)xm ２ －３是正比例函数, 且图象经过第一、三象限,则m＝ (　　) A．２　　B．－２　　C．±２　　D．３ ２．若y＝(m－１)x|m|＋２是y关于x 的一 次函数,则其图象不经过 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ３．将一圆柱体从水中匀速提起,从 如图所示开始计时,直至其下表 面刚好离开水面,停止计时,用x 表示圆柱体运动时间,y 表示水 面的高度,则y 与x 之间函数关系的图 象大致是 (　　) ４．２０２５年五一期间,小亮 一家 驾 车 前 往 青 岛 旅 游,在行驶过程中,汽车 离青岛崂山景区的路程 y(km)与 所 用 时 间 x (h)之间的函数关系的 图象如图所示,那么小亮从家到青岛崂山景 区一共用了　　　小时． 一、选择题 １．若一次函数y＝kx＋３的函数值y 随x 的增大而增大,则k的值可以是 (　　) A．－２ B．－１ C．０ D．１ ２．已知地面温度是２０℃,如果从地面开始 每升高１km,气温下降６℃,那么气温t (℃)与高度h(km)的函数关系是 (　　) A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 ３．在平面直角坐标系中,点A(３,n),点B (－３,n),点C(４,n＋２)在同一个函数图 象上,则该图象可能是 (　　) ４．对于一次函数y＝２x－１,下列结论正确 的是 (　　) A．它的图象与y轴交于点(０,－１) B．y随x 的增大而减小 C．当x＞１２ 时,y＜０ D．它的图象经过第一、二、三象限 ５．在同一平面直角坐标系中,函数y＝ax 和y＝x＋a(a为常数,a＜０)的图象可 能是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０４ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 初、中职基础知识衔接 ６．在同一平面坐标系中,一次函数y＝ax＋ b与y＝mx＋n(a＜m＜０)的图象如图所 示,小星根据图象得到如下结论: ①在一次函数y＝mx＋n的图象中,y的 值随着x 值的增大而增大; ②方程组 y －ax＝b y－mx＝n{ 的解为 x＝－３ y＝２{ ; ③方程mx＋n＝０的解为x＝２; ④当x＝０时,ax＋b＝－１． 其中结论正确的个数是 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 二、填空题 ７．正比例函数y＝kx(k＜０),当１≤x≤３ 时,函数y的最大值和最小值之差为４, 则k＝　　　． ８．在“探索一次函数y ＝kx＋b的系数k,b 与图象的关系”活动 中,老师给出了直角 坐标系中的三个点: A(０,２),B(２,３),C(３,１)．同学们画出了 经过这三个点中每两个点的一次函数的 图象,并得到对应的函数表达式AB:y１ ＝k１x＋b１,BC:y２＝k２x＋b２,AC:y３＝ k３x＋b３．则k１＋b１＝　　　;k２＋b２ 　　　 k３＋b３．(选填“＞”“＜”或“＝”) 三、解答题 ９．我国新能源汽车快速健康发展,续航里 程不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽 车从A 市前往B 市,他驾车从A 市一高 速公路入口驶入时,该车的剩余电量是 ８０kW􀅰h,行驶了２４０km 后,从B 市一 高速公路出口驶出,已知该车在高速公 路的行驶的过程中,剩余电量y(kW􀅰h) 与行 驶 路 程 x(km)之 间 的 关 系 如 图 所示． (１)求y与x 之间的关系式; (２)已知这辆车的“满电量”为１００kW􀅰h, 求王师傅驾车从B 市这一高速公路出口 驶出时,该车的剩余电量占“满电量”的 百分之多少． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １４ 第一篇 １０．如图,在平面直角坐标系中,直线l１:y ＝x＋４的图象分别与x 轴,y 轴交于 A,B 两点直线l２:y＝mx＋４的图象分 别与x轴,y轴交于C、B 两点,C 为AO 中点,M(１,３)和 N(３,３)是第一象限的 两个点,连接 MN． (１)求直线l２ 的函数解析式 (２)将线段 MN 向左平移n 个单位,若 与直线l１,l２ 同时有公共点,求n的取值 范围; (３)直线y＝a分别与直线l１,直线l２ 交 于点E 和点F,当EF＝１时,求a的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第３节　反比例函数的图象与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　初中阶段,我们学习了反比例函数,重点研究它的定义、图象和性质,主要依赖于图 象的直观性．到了中职阶段,我们会进一步研究它的值域,变化特征,最值以及应用． 　　　　反比例函数的概念及解析式 １．一般地,形如y＝kx (k为常数,k≠０)的函 数,叫作反比例函数．其中反比例函数的 自变量x 的取值范围是　　　的一切 实数． ２．反比例函数解析式的三种形式 (１)y＝kx (k为常数,k≠０)． (２)y＝kx－１(k为常数,k≠０)． (３)xy＝k(k为常数,k≠０)． 　　　反比例函数的图象与性质 １．反比例函数y＝kx (k为常数,k≠０)的图象 是　　　,它有两个分支且关于　　　 对称． ２．画反比例函数图象的一般步骤 (１)列表．(２)描点．(３)连线． ３．图象与性质 k的符号 k＞０ k＜０ 图象的 位置 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 性质 在 同 一 象 限 内,y随x的增 大 而 　 　 　; 在 不 同 象 限 内,第 一 象 限 y值大于第三 象限y 值 在同 一 象 限 内,y 随x 的 增大而　　; 在不 同 象 限 内,第二象限 y 值 大 于 第 四象限y 值 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２４ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．C　[将点P(－５,６)选向右平移３个单位长度,再向 下平移 ７ 个 单 位 长 度 得 到 点 Q,则 点 Q 的 坐 标 是 (－２,－１),所以点Q 在第三象限,故选C．] ３．D　[因为长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内,向容 器内按一定的速度均匀注水,６０秒后将容器内注满, 且长方体是均匀的,所以初期的图像应是直线,当水 越过长方体后,注水需填充的体积变大,且此时水面 上升的高度也是随时间均匀升高,因此此时的图像也 是直线,但水面上升的速度比开始时要慢,因此四个 选项中 D选项符合题意．故选 D．] ４．解析:由题意得, m－３＜０ ４－２m＜０{ , 解m－３＜０得,m＜３,４－２m＜０得,m＞２,原不等式 组的解集为:２＜m＜３,故答案为:２＜m＜３． 答案:２＜m＜３ 课后检测雷达 １．A　[∵１＞０,２＞０∴点A 在第一象限．] ２．C　[由图Q 点的坐标为(３,２)．] ３．A　[对于A,y＝x２ 中,x可取正数,０,负数,所以取值 范围是全体实数,符合题意;对于 B,y＝ x－１中,x －１≥０解得x≥１,不符合题意;对于 C,y＝x＋１x 中, 分母不能为０,所以x≠０,不符合题意;对于 D,y＝ １ x＋２ 中分母不能为０,所以x＋２≠０,解得:x≠－２,不 符合题意．] ４．D　[由已知,２m＝４,２－n＝３,解得m＝２,n＝－１, ∴点(m,n)在第四象限．] ５．B　[如图: ∴同学先向北偏东４５°方向走２０m,然后向南偏东方 向走２０m,她现在所站位置在起点的正东方向上,故 选B．] ６．C　[由已知,y 随着x 的增大而匀速减小,故只有C 图象符合．] ７．解析:∵x＝－２,∴|－２|＝２＞１,∴当x＝－２时,y＝ (－２)２＝４,故答案为４． 答案:４ ８．解析:∵点 M 在第四象限,∴其横、纵坐标分别为正 数、负数,又∵点 M 到x 轴的距离为１,到y轴的距离 为４,∴点 M 的坐标为(４,－１)． 答案:(４,－１) ９．解:根据题意得: x－３≥０ x－２≠０{ ,解得x≥３,∴自变量x的 取值范围是x≥３． １０．解:∵菱形ABCD,∠BCD＝１２０°,∴∠ABC＝６０°． ∵B(－１,０),∴OB＝１,OA＝ ３,AB＝２,∴A(０,３), ∴BC＝AD＝２,∴C(１,０),D(２,３),∴点D 的坐标 为(２,３)． 第２节　一次函数的图象与性质 初中知识复盘 知识点１ ２．０　 知识点２ 增大　一、二、三　一、三、四　减小　一、二、四　二、 三、四 知识点４ ３．上　下　上　下 核心分类探究 变式训练 １．解:(１)令y＝０,则１２x＋１＝０ ,∴x＝－２,∴A(－２, ０),∵点A 关于y 轴的对称点为A′,∴A′(２,０) (２)将 A′(２,０),B (０,２)代 入 y＝kx＋b,得 ２k＋b＝０, b＝２,{ 解得 k＝－１, b＝２,{ ∴直线A′B 对应的函数解 析式为y＝－x＋２ ２．解:(１)因为一次函数的图象经过点P(０,－３),所以设函 数解析式为y＝kx－３． 因为该函数的图象与坐标轴的交点为点 ３ k ,０( ) 和点 (０,－３), 所以１ ２× ３ k ×３＝６ ,解得k＝±３４． 所以这个一次 函数的解析式为y＝３４x－３ 或y＝－３４x－３． (２)依题意 k＞０３－k＜０{ ,解得k＞３． ３．解:(１)把A(m,２)代入y＝x得m＝２,则点A 的坐标 为(２,２),把A(２,２)代入y＝kx－k得２k－k＝２,解得 k＝２,所以一次函数解析式为y＝２x－２; (２)观察函数图象得当x＞２时,直线y＝kx－k都在y ＝x的上方,即函数y＝kx－k的值大于函数y＝x的 值．所以自变量x的取值范围是x＞２． ４．解:(１)设购买A 型新能源公交车每辆需x 万元,购买 B 型新能源公交车每辆需y 万元． 由题意,得 ３x＋y＝２６０, ２x＋３y＝３６０,{ 解得 x＝６０, y＝８０．{ 即购买A 型能源公交车每辆需６０万元,购买B 型新 能源公交车每辆需８０万元． (２)设购买A 型新能源公交车a 辆,则购买B 型新能 源公交车(１０－a)辆,该线路的年均载客总量为w 万 人．由题意,得６０a＋８０(１０－a)≤６５０,解得a≥７．５． ∵a≤１０,∴７．５≤a≤１０． ∵a是整数,∴a＝８,９,１０． 由题意,知w 与a 的关系式为w＝７０a＋１００(１０－a) ＝－３０a＋１０００． ∵－３０＜０,∴w 随a 的增大而减小,∴当a＝８时,该 线路的年均载客总量最大,最大载客量为w＝－３０× ８＋１０００＝７６０(万人次), ∴１０－８＝２(辆),∴购买方案为购买A 型新能源公交 车８辆,B 型新能源公交车２辆,此时该线路的年均载 客总量最大,为７６０万人次． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４１１ 数 学　　 　　　　　　　　　　　　　　　 课堂达标 １．A　[∵函数y＝(m＋１)xm ２ －３是正比例函数,且图象 经过第一、三象限,∴m＋１＞０,且m２－３＝１,解得m ＞－１,且m＝±２,∴m＝２,故选 A．] ２．C　[由题意,得:m－１≠０,|m|＝１,解得:m＝－１, ∴直线解析式为:y＝－２x＋２,∴直线经过一、二四象 限,不经过第三象限;故选C．] ３．C　[当上表面开始离开水面,直至其下表面刚好离开 水面 时,由 题 意 得,S１y＝S１h－S２vx,整 理 得,y＝ － S２v S１ x＋h,∵－ S２v S１ ＜０,∴y随x 的增大而减小, ∴可知y与x 之间函数关系的图象大致为y 先保持 不变,然后y随x 的增大而减小,故选C．] ４．解析:根 据 函 数 图 象 可 知,CE 为一次函数,且过点C(１,１５０), D(２,７５),设CE 的解析式为:y ＝kx＋b,则 k＋b＝１５０２k＋b＝７５{ 解得:k＝－７５ b＝２２５{ ∴CE 的解析式 为:y＝－７５x＋２２５,当y＝０ 时,则－７５x＋２２５＝０,解得:x ＝３,∴小亮从家到青岛崂山景 区一共用了３个小时． 答案:３ 课后检测雷达 １．D　[由已知,k＞０,∴k＝１．] ２．D　[由题意知,温度随高度的变化是均匀的,那么气 温t(℃)与高度h(km)的函数关系是t＝２０－６h,这是 一次函数关系;故选 D．] ３．B　[∵A(３,n),点B(－３,n),∴A 与B 关于y 轴对 称,即这个函数图象关于y 轴对称,故选项 A 不符合 题意; ∵点A(３,n),点C(４,n＋２),∴当x＞０时,y随x 的 增大而增大,故选项 B符合题意,选项 C、D不符合题 意．故选B．] ４．A　[对于 A,当x＝０,y＝２×０－１＝－１,故 A 正确; 对于B,k＝２＞０,则y随x 的增大而增大,B错误;对 于C,当x＞１２ 时,y＞２×１２－１＞０ ,故 C错误;对于 D,∵k＝２＞０,b＝－１＜０, ∴图象经过一、三、四象限,故 D错误．] ５．D　[∵a＜０,∴y＝ax随x 的增大而减小,∴A、B错 误．又y＝x＋a的图象经过点(０,a),且y随x 的增大 而增大,故C错误,D正确．] ６．B　[由一次函数y＝mx＋n的图象过一,二,四象限, y的值随着x 值的增大而减小;故①不符合题意:由图 象可得方程组 y＝ax＋b, y＝mx＋n{ 的解为 x＝－３ y＝２{ ,即方程组 y－ax＝b y－mx＝n{ 的解为 x＝－３ y＝２{ ;故②符合题意;由一次函 数y＝mx＋n的图象过(２,０),则方程mx＋n＝０的解 为x＝２;故③符合题意;由一次函数y＝ax＋b的图象 过(０,－２),则当x＝０时,ax＋b＝－２．故④不符合题 意;综上:符合题意的有②③,故选B．] ７．解析:∵正比例函数y＝kx(k＜０),∴y随x 的增大而 减小,∵当x＝１时,y＝k,当x＝３时,y＝３k, ∵当１≤x≤３时,函数y的最大值和最小值之差为４, ∴k－３k＝４,解得k＝－２． 答案:－２ ８．解析:　∵直线AB 解析式为y１＝k１x＋b１,过点A(０, ２),则代入有y１＝k１x＋２,将B(２,３)代入解析式得 ２k１＋２＝３ k１＝ １ ２ ,b１＝２ ∴k１＋b１＝ １ ２＋２＝ ５ ２ ; ∵直 线 BC 解 析 式 为y２＝k２x＋b２,根 据 题 意 得: ２k２＋b２＝３ ３k２＋b２＝１{ ,解得 k２＝－２ b２＝７{ ∴直线BC解析式为y＝－２x＋７,∴k２＋b２＝－２＋７ ＝５,设直线AC解析式为y３＝k３x＋b３．将A(０,２),C (３,１)坐标代入得 ３k３＋b３＝１ b３＝２{ ,解得: k３＝－ １ ３ b３＝２ { , ∴k３＋b３＝－ １ ３＋２＝ ５ ３ , ∴k２＋b２＞k３＋b３． 答案:５ ２ ,＞ ９．解:(１)设y与x 之间的关系式为y＝kx＋b(k≠０), 将(０,８０),(１５０,５０)代入,得 ８０＝b , ５０＝１５０k＋b,{ 解得 b＝８０, k＝－０．２,{ ∴y与x 之间的关系式为y＝－０．２x ＋８０． (２)当x＝２４０时,y＝－０．２×２４０＋８０＝３２,３２１００× １００％＝３２％． 故该车的剩余电量占“满电量”的３２％． １０．解:(１)对于y＝x＋４,当x＝０,y＝４,∴B(０,４),当y ＝０,x＝－４,∴A(－４,０),∵C 为AO 中点,∴OC＝ ２,即C(－２,０), 将C(－２,０)代入y＝mx＋４, 得出:０＝－２m＋４,所以m＝２,∴y＝２x＋４． (２)NM 向左平移n 个单位后,M(１－n,３),N(３－n, ３),NM 与l１,l２ 同时有公共点,则 M (１－n,３)在l１ 上,３＝１－n＋４ n＝２,又N(３－n,３)在l２ 上, ３＝２(３－n)＋４ n＝７２∴２≤n≤ ７ ２． (３)∵y＝a与l１,l２ 交于点E、F, 则E(a－４,a),F a－４２ ,a( ), 当EF＝１, 即 a－４－a－４２ ＝１ ,a ２－２ ＝１ , 则a ２－２＝１ 或a ２－２＝－１ , a１＝６,a２＝２,即a的值为６或２． 第３节　反比例函数的图象与性质 知识点１ １．不等于０　 知识点２ １．双曲线　原点　３．减小　增大 知识点３ １．|k| 核心分类探究 变式训练 １．解:(１)当x＝－７２ 时,－７＋b＝a,当x＝a时,２a＋b＝ １,∴ a－b＝－７ , ２a＋b＝１．{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５１１ 参考答案