第3节 分式方程及其应用-【创新教程】2025年初升高中职数学衔接教材一本通

１０．已知关于x的一元二次方程x２－(m＋ ２)x＋m－１＝０． (１)求证:无论m 取何值,方程都有两个 不相等的实数根; (２)如果方程的两个实数根为x１,x２,且 x２１＋x２２－x１x２＝９,求m 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第３节　分式方程及其应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　可化为一元一次方程的分式方程的解法是初中的重点知识,而含参的分式方程是 中职数学中的必备知识,要重点掌握． 　　　分式方程及其解法 １．概念:分母中含有　　　的方程叫做分 式方程． ２．解分式方程的一般步骤 分式 方程 　 　 去分母 方程两边 同乘最简 公分母 → 整式 方程 解整式 方程 　 　 →x＝a 检验 　 ← 最简公分 母为０ 　 　 ← x＝a是原方程 的增根,原方程 无解 最简公分 母不为０ 　 　 ←x＝a是原方程的解 口诀:一化、二解、三检验． ３．增根与无解 (１)增根:使得原分式方程的分母(或最 简公分母)为　　　根． (２)分式方程无解的两种情况: ①分式方程化为整式方程后,整式方程 无解,则分式方程无解; ②分式方程化为整式方程后,整式方程 的解 是 分 式 方 程 的 增 根,则 分 式 方 程 无解． 　　　分式方程的应用 １．列分式方程解应用题的一般步骤与列整 式方程的步骤类似:审题、设未知数、列 分式方程、解方程、双检验、作答． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６２ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 初、中职基础知识衔接 ２．常见应用类型(从题目中找到一个量,分 别用 两 个 代 数 式 表 示．这 两 个 代 数 式 相等．) 常见 类型 基本数量关系 常见等 量关系 打折 销售 问题 销售量＝ 销售额 售价 ; 售 价 ＝ 标 价 × 折扣 总价 第一次数量－ 总价 第二次数量 ＝ 单 价差(根据数量差 也可列等量关系) 工程 问题 工 作 时 间 ＝ 工作总量 工作效率 (注:题 干中未告诉工作总 量时,工作总量可 以看作整体“１”), 则 １ 工作时间＝ 工作效率) 工作量 原工作效率－ 工作量 改善后工作效率 ＝提前完成的时间; 甲的工作总量 甲的工作效率－ 乙的工作总量 乙的工作效率＝ 时间差 行程 问题 时间＝ 路程 速度 同一路程 慢速 － 同一路程 快速 ＝ 时间差 　　解分式方程 解分式方程:(１)２ (x－２) x－１ ＋１＝ ２ １－x． (２)３x－３－ ４ x２－９ ＝０． [解]　(１)方程２ (x－２) x－１ ＋１＝ ２ １－x 两边 都乘x－１,得２(x－２)＋x－１＝－２,整 理并解得:x＝１,检验:当x＝１时,x－１ ＝０, 所以x＝１是增根,即原分式方程无解． (２)３x－３－ ４ x２－９ ＝０去分母得,３(x＋３) －４＝０,去括号得,３x＋９－４＝０,移项合 并同类项得,３x＝－５,系数化为１得,x ＝－５３． 经检验,x＝－５３ 是原方程的根 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　去分母解分式方程的一般 步骤 (１)把各分式的分母因式分解; (２)在方程两边同乘各分式的最简公 分母; (３)去括号,把所有项都移到左边,合并 同类项; (４)解整式方程; (５)验根,验根的基本方法是代入原方 程进行检验,但代入原方程计算量 较大．而分式方程可能产生增根,就 是使分式方程的分母为０的根．因 此我们只要检验整式方程的根,是 否使分式方程两边同乘的各分式的 最简公分母为０．若为０,即为增根; 若不为０,即为原方程的解． [变式训练] １．解方程: ２ x２－１ ＋ xx－１＝１． 　　　 根据分式方程解的情况求参数 (１)已知关于x 的分式方程 kxx－３－２ ＝ ３３－x 无解,则k的值为 (　　) A．k＝２或k＝－１　　　　B．k＝－２ C．k＝２或k＝１ D．k＝－１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７２ 第一篇 (２)若关于x的分式方程１－kxx－２＝ １ ２－x 有 增根,则k的值为　　　． [解]　去分母,得kx－２(x－３)＝－３, 整理,得(k－２)x＝－９． 当k＝２时,方程无解,当k≠２时,令x＝ ３,解得k＝－１,所以关于x 的分式方程 kx x－３－２＝ ３ ３－x 无解时,k＝２或k＝－１． 故选 A． (２)１－kxx－２＝ １ ２－x 去分母得:１－kx＝－１, 解得x＝２k ,∵分式方程有增根,∴x－２ ＝０,即x＝２,∴２k＝２ ,∴k＝１,经检验,k ＝１是原方程的解． 答案:(１)A　(２)１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　根据分式方程解的情况求 参数的步骤 (１)先将分式方程化为整式方程,并用 待定字母的值表示出方程的解． (２)根据已知条件中方程的解(或解的 范围)重新构造含待定字母的方程或不 等式;若出现增根,令最简公分母为０, 确定出增根的值代入整式方程即可求 得相关字母的值;若原分式方程无解, 要分两种情况讨论:①去分母后的新的 整式方程本身无解,也就是Ax＝B(B ≠０)的形式,当x 的系数A＝０时,整 式方程不成立,无解;②讨论原分式方 程有增根． (３)解方程(或不等式),求出待定字母 的值(或取值范围)． (４)检验:排除解集内使分母等于零的值． [变式训练] ２．若关于x的分式方程 xx－２＋ ２m ２－x＝２m , (１)有增根,则m＝　　　． (２)无解,则m＝　　　． 　　　分式方程的实际应用 ２０２５年４月底, 神舟十九号载人飞 船返回舱顺利返回 东风着陆场,神舟十 九号任务取得圆满 成功．某飞箭航模店 看准商机,购进了“神舟”和“天宫”模型． 已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模 型多５元,同样花费２００元,购进“天宫” 模型的数量比“神舟”模型多２个． (１)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多 少元? (２)该飞箭航模店计划购进两种模型共 １００个,且每个“神舟”模型的售价为３５ 元,每个“天宫”模型的售价为２８元．设 购进“神舟”模型a个,销售这批模型的 利润为w 元．若购进“神舟”模型的数量 不超过“天宫”模型数量的１ ４ ,则购进“神 舟”模型多少个时,销售这批模型可以获 得最大利润? 最大利润是多少? [解]　(１)设“天宫”模型进价为每个x 元,则“神舟”模型进价为每个(x＋５)元, 依题意得２００ x ＝ ２００ x＋５＋２ ,解得x＝２０．经 检验,x＝２０是原分式方程的解,x＋５＝ ２５．即“天宫”模型的进价为每个２０元, “神舟”模型的进价为每个２５元． (２)∵购进“神舟”模型a 个,则购进“天 宫”模型(１００－a)个,∴w＝(３５－２５)a＋ (２８－２０)(１００－a)＝２a＋８００ ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫” 模型数量的１ ４． ∴a≤１４ (１００－a),解得:a≤２０． ∵w＝２a＋８００,k＝２＞０． ∴当a＝２０时,wmax＝２×２０＋８００＝８４０(元), 即购进“神舟”模型２０个时,销售这批模 型 可 以 获 得 最 大 利 润,最 大 利 润 为 ８４０元． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８２ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 初、中职基础知识衔接 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　用分式方程解决实际问题 的一般步骤 实际 问题 找等量 关系 设未知数 → 列分式方程 解方程→ 双检验 ↓ 答 ← [变式训练] ３．２０２５年前两个月消费市场持续恢复向 好,消费呈现平稳增长态势,服务零售额 增长１２．３％,其中餐馆收入增长１２．５％． 现有A、B 两家餐饮店,B 餐饮店的人均 消费金额比A 餐饮店多１０元,在A 餐饮 店总消费金额为５００元的人数与在B 餐 饮店总消费金额为６００元的人数相同, 分别 求 A、B 两 家 餐 饮 店 的 人 均 消 费 金额． １．下列式子是分式方程的是 (　　) A．x＋１２ ＝ ５ ３ B． １３x－１＋ ４x ３x＋１ C． x２x－１＋ ３ ２x＋１＝１ D．３－x４ ＋２＝ x－１ ３ ２．分式方程 １x－２－３＝ ２ ２－x 的解是 (　　) A．x＝－７３　　　　B．x＝－１ C．x＝５３ D．x＝３ ３．分式方程１－１x＝ x x－１ 的解为　　　． 一、选择题 １．下列方程:①１x＋１＝x ;②x＋１２ －３＝０ ; ③ ２x－１＋ ３ １－x＝３ ;④xa＋ x b＝１ (a,b为 已知数),其中分式方程有 (　　) A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ２．将关于x的分式方程３２x＝ １ x－１ 去分母可 得 (　　) A．３x－３＝２x B．３x－１＝２x C．３x－１＝x D．３x－３＝x ３．在 分 式 方 程２x－１ x２ ＋ x ２ ２x－１＝５ 中,设 ２x－１ x２ ＝y,可得到关于y的整式方程为 (　　) A．y２＋５y＋５＝０ B．y２－５y＋５＝０ C．y２＋５y＋１＝０ D．y２－５y＋１＝０ ４．甲、乙两人各自加工１２０个零件,甲由于 个人原因没有和乙同时进行,乙先加工 ３０分钟后,甲开始加工．甲为了追赶上乙 的进度,加工的速度是乙的１．２倍,最后 两人同时完成．求乙每小时加工零件多 少个? 设乙每小时加工x 个零件．可列 方程为 (　　) A．１２０１．２x－ １２０ x ＝３０ B．１２０x － １２０ １．２x＝３０ C．１２０１．２x－ １２０ x ＝ ３０ ６０ D．１２０x － １２０ １．２x＝ ３０ ６０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９２ 第一篇 ５．如果关于x的分式方程１x－ m x＋１＝０ 的 解是负数,那么实数m 的取值范围是 (　　) A．m＜１且m≠０ B．m＜１ C．m＞１ D．m＜１且m≠－１ ６．分式方程 ２x－１＝１－ m x－１ 的解为正数,则 m 的取值范围是 (　　) A．m＞－３ B．m＞－３且m≠－２ C．m＜３ D．m＜３且m≠－２ 二、填空题 ７．根 据 下 表 中 的 数 据,写 出 a 的 值 为 　　　,b的值为　　　． 结果　　　　x 代数式 　　　 ２ m ２x－１ ３ b x－１ x＋１ a ２ ８．若关于x的分式方程 m３－x＝１ 有解,且关 于y的方程y２－２y＋m＝０有实数根,则 m 的范围是　　　． 三、解答题 ９．解方程:(１) １２x－５＝ ３ x． (２)３x＋２＋１＝ x x－２． １０．为进行某项数学综合与实践活动,小明 到一个批发兼零售的商店购买所需工 具．该商店规定一次性购买该工具达到 一定数量后可以按批发价付款,否则按 零售价付款．小明如果给学校九年级学 生每人购买一个,只能按零售价付款, 需用３６００元;如果多购买６０个,则可 以按批发价付款,同样需用３６００元．若 按批发价购买６０个与按零售价格购买 ５０个所付款相同,求这个学校九年级学 生有多少人． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０３ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２７,解得x＝９２ ,将x＝９２ 代入②,得y＝１７４ ,∴方程 组的解为 x＝９２ y＝１７４ ì î í ïï ï ． 第２节　一元二次方程及其应用 知识点１ １．一　３．相等　 知识点２ x＝－b± b ２－４ac ２a 知识点３ １．两个不相等　两个相等　无　２．－ba 　 c a 知识点４ (１±x)n　xa 􀅰b　(a－x)(b－x)　(a－２x)(b－２x) 核心分类探究 变式训练 １．解:(１)(x－３)２＝４,x－３＝±２,∴x－３＝２或x－３＝ －２,∴x１＝５,x２＝１; (２)２x２＋x－３＝０, ∴a＝２,b＝１,c＝－３, ∴Δ＝b２－４ac＝１２－４×２×(－３)＝２５＞０, ∴x＝－b± b ２－４ac ２a ＝ －１± ２５ ２×２ ＝ －１±５ ４ , ∴x１＝１,x２＝－ ３ ２． (３)５x２－２x－３＝０,(x－１)(５x＋３)＝０,∴x－１＝０ 或５x＋３＝０,解得x１＝１,x２＝－ ３ ５． ２．(１)C　[Δ＝(－２)２－４×１×１＝０,∴一元二次方程 x２－２x＋１＝０有两个相等的实数根,故选C．] (２)D　[由题意可得:Δ＝１２－４k＝０,解得k＝ １４ , k＋１＝ １４＋１＝ ５ ４＝ ５ ２． ] ３．解析:根据根与系数的关系得x１＋x２＝－３,x１x２＝ m, ∵(x１＋１)(x２＋１)＝－４, ∴x１x２＋(x１＋x２)＋１＝－４, 即m－３＋１＝－４,解得m＝－２． 答案:－２ ４．解:设这批椽有x株,依题意得３(x－１)x＝６２１０,整 理得x２－x－２０７０＝０,解得x１＝４６,x２＝－４５(不合 题意,舍去) 即这批椽的数量为４６株． 课堂达标 １．A　[A．２x２－x＋１＝０符合一元二次方程的定义,是 一元二次方程,故此选项符合题意;B．２x２－y＝０含 有两个未知数,是二元二次方程,故此选项不符合题 意;C．３x＋１＝０是一元一次方程,故此选项不符合题 意;D．x＋１x＝２ 不是整式方程,故此选项不符合题意．] ２．A　[∵４x２－４x＝－１,∴４x２－４x＋１＝０,∴Δ＝ (－４)２－４×４×１＝０,∴方程有两个相等的实数根．] ３．D　[根据题意,塑封后的长为(３８＋２x)cm,宽为(２３ ＋２x)cm,面积为１０００cm２,∴列方程为:(３８＋２x) (２３＋２x)＝１０００．] ４．解析:∵m、n是方程x２－３x－２＝０的两个实数根, ∴mn＝－２１ ＝－２ ,∴２mn＝－４． 答案:－４ 课后检测雷达 １．B　[∵Δ＝(－m)２－４×１×(－３)＝m２＋１２＞０, ∴方程x２－mx－３＝０有两个不相等的实数根,∴x１ ≠x２．] ２．B　[设方程的另一个根为b,∴b＋(－２)＝－３,∴b＝ －１,故选B．] ３．A　[依题意,x２＋２mx＋m２＋１＝０∴Δ＝(２m)２－４ (m２＋１)＝－４＜０,∴方程无实数根．] ４．C　[∵x＝a是方程x２＋２x－２＝０的一个根,∴a２＋ ２a－２＝０,即a２＋２a＝２,∴２a２＋４a＋２０２５＝２(a２＋ ２a)＋２０２５＝２×２＋２０２５＝２０２９,故选C．] ５．B　[∵关于x的方程２x２－６k＝０有两个相等的实数 根,∴Δ＝０２－４×２􀅰(－６k)＝０,∴k＝０,∴k２－４＝０２ －４＝－４,故选B．] ６．解析:∵关于x的一元二次方程x２－ax－２a＋１＝０, 一次项系数与常数项相等,∴－a＝－２a＋１,解得:a ＝１． 答案:１ ７．解析:设有x个队参赛,根据题意,可列方程为:１２x (x －１)＝１５,解得:x＝６或x＝－５(舍去), 即参赛的球队数为６． 故答案为:６． 答案:６． ８．解析:当３为腰时,此时a＝３或b＝３,把x＝３代入方 程x２－４x－１＋m＝０得９－１２－１＋m＝０,解得m＝ ４,此时方程为x２－４x＋３＝０,解得x１＝３,x２＝１;当３ 为底时,此时a＝b,Δ＝(－４)２－４(－１＋m)＝０,解得 m＝５,此时方程为x２－４x＋４＝０,解得x１＝x２＝２;综 上所述,m 的值为４或５． 答案:４或５ ９．解:y(y－３)＋２y－６＝０, y(y－３)＋２(y－３)＝０, (y－３)(y＋２)＝０,有y－３＝０或y＋２＝０,解得y１＝ ３,y２＝－２． １０．解:(１)证明:Δ＝[－(m＋２)]２－４×１×(m－１)＝m２ ＋４m＋４－４m＋４＝m２＋８．∵m２≥０,∴m２＋８＞０, ∴无论m 取何值,方程都有两个不相等的实数根． (２)∵方程的两个实数根为x１,x２,∴x１＋x２＝m＋ ２,x１x２＝m－１． ∵x２１＋x２２－x１x２＝９,即(x１＋x２)２－３x１x２＝９, ∴(m＋２)２－３(m－１)＝９,整理得m２＋m－２＝０, ∴(m＋２)(m－１)＝０,解得m１＝－２,m２＝１,∴m 的 值为－２或１． 第３节　分式方程及其应用 初中知识复盘 知识点１ １．未知数　３．０ 核心分类探究 变式训练 １．解: ２ x２－１ ＋ xx－１＝１ , 去分母,得２＋x(x＋１)＝x２－１, 去括号,得２＋x２＋x＝x２－１, 移项、合并同类项,得x＝－３． 检验:把x＝－３代入(x＋１)(x－１),得(－３＋１)(－３ －１)＝８≠０,∴x＝－３是原方程的解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２１１ 数 学　　 　　　　　　　　　　　　　　　 ２．解析:(１)∵分式方程 xx－２＋ ２m ２－x＝２m 有增根,∴增 根为x＝２,去分母,得(１－２m)x＝－２m,将x＝２代入 上式,解得m＝１． (２)①产生增根,由(１)得 m＝１,②此整式方程无解, (１－２m)x＝－２m,１－２m＝０,m＝１２． 综上所述,m＝ １或m＝１２． 答案:(１)１　(２)１或１２ ３．解:设A 餐饮店人均消费金额为x 元,则B 餐饮店人 均消费金额为(x＋１０)元,由题意得:５００x ＝ ６００ x＋１０ , 解得:x＝５０, 检验:当x＝５０是原方程的解, ∴x＋１０＝６０,故A 餐馆店人均消费金额为５０元,则 B 餐馆店人均消费金额为６０元． 课堂达标 １．C　[对于 A,x＋１２ ＝ ５ ３ 是一元一次方程,故选项不符 合题意;;对于 B, １３x－１＋ ４x ３x＋１ 不是方程,故选项不 符合题意;对于C, x２x－１＋ ３ ２x＋１＝１ 是分式方程,故 选项符合题意;对于 D,３－x４ ＋２＝ x－１ ３ 是一元一次方 程,故选项不符合题意．故选C．] ２．D　[去分母得１－３(x－２)＝－２,３x＝９,解得x＝３ 当x＝３时,x－２≠０,所以原方程的解为x＝３．] ３．解析:去分母得,x(x－１)－(x－１)＝x２, 解得x＝１２ ,检验:将x＝１２ 代入x(x－１)≠０,∴原方 程的解为x＝１２． 答案:x＝１２ 课后检测雷达 １．B　[观察各方程的分母,只有①③分母中含有未知 数,而④中分母虽含有字母,但字母不是未知数,故不 是分式方程,所以方程①③是分式方程,方程②④均 属于整式方程．] ２．A　[方程两边同乘２x(x－１),得３(x－１)＝２x,即３x －３＝２x．] ３．D　[原方程可化为y＋１y＝５ ,去分母得y２＋１＝５y, 即y２－５y＋１＝０．] ４．D　[乙每小时加工x 个零件,则甲每小时加工１．２x 个零件,由题意,得１２０ x － １２０ １．２x＝ ３０ ６０． ] ５．A　[方程两边同时乘x(x＋１),得x＋１－mx＝０,解 得x＝ １m－１．∵ 分式方程的解是负数,∴m－１＜０,∴ m＜１． 又∵x(x＋１)≠０,∴x＋１≠０,∴ １m－１≠－１ ,∴m≠０, ∴m 的取值范围是m＜１且m≠０,故选 A．] ６．B　[方程两边同时乘x－１,得２＝x－１－m,解得x＝ m＋３． ∵分式方程 ２x－１＝１－ m x－１ 的解为正数,∴m＋３＞０, ∴m＞－３．又∵x≠１,即m＋３≠１,∴m≠－２,∴m 的 取值范围为m＞－３且m≠－２,故选B．] ７．解析:当x＝２时,x－１x＋１＝ ２－１ ２＋１＝ １ ３ ,∴a＝１３ ;当x＝ m 时,x－１x＋１＝ m－１ m＋１＝２ ,解得:m＝－３,经检验m＝－３ 是原方程的解,∴当x＝－３时,b＝２×(－３)－１＝－７． 故答案为:１ ３ ,－７． 答案:１ ３　－７ ８．解析:m３－x＝１ ,化简得:x＝３－m, ∵３－x≠０,即x≠３,∴３－m≠３,解得:m≠０,∵y２－ ２y＋m＝０有实数根,∴Δ＝b２－４ac＝(－２)２－４×１× m≥０, 解得:m≤１,∴综上m≤１且m≠０． 答案:m≤１且m≠０ ９．解:(１)原方程去分母得x＝６x－１５,解得x＝３． 检验:当x＝３时,x(２x－５)≠０, 故原方程的解为x＝３． (２)方程两边都乘以(x＋２)(x－２),去分母得３(x－ ２)＋(x＋２)(x－２)＝x(x＋２),整理得３x－１０＝２x, 解得x＝１０． 检验:当x＝１０时,(x＋２)(x－２)≠０,∴原方程的解 为x＝１０． １０．解:设这个学校九年级学生有x 人,则３６００x ×５０＝ ３６００ x＋６０×６０ ,解得x＝３００． 经检验x＝３００是所列方程的解,且符合题意,即这 个学校九年级学生有３００人． 第三章　函数 第１节　平面直角坐标系与函数初步 初中知识复盘 知识点１ １．(２)＜　(３)＜　(４)＜　２．０　０　０　３．y１　－y２ ４．(１)纵　(２)横　５．(－a,b)　(－a,－b) ６．(a＋c,b)　(a,b＋c) 知识点２ １．|b|　|a|　 a２＋b２　２．(１)|x１－x２|　(２)|y１－y２| 知识点３ １．唯一确定　自变量　２．(１)图象法　３．(３)平滑曲线 　４．≠　≥　＞ 核心分类探究 变式训练 １．A　[根据题意,“新”的坐标为(０,０),其位置是坐标原 点,“创”的坐标为(－２,０),其位置在x 轴负半轴上, ∴以“新”为原点,向右为x 轴正方向,向上为y 轴正 方向建立平面直角坐标系,可得“技”字坐标是(１,１), ∴“技”在第一象限．] ２．解析:由题意得,４－x＞０,x＋３≠０,解得,x＜４且x≠ －３．． 答案:x＜４且x≠－３ ３．A 　 [后 ８００ m 的 速 度 为 ８００÷ (５０－２５)＝ ３２(m/min),选项 A正确,符合题意;中途停留了２５－ ２０＝５(min),选项B错误,不符合题意;当２５≤t≤５０ 时,s关于t 的函数图象是线段,即后８００m 速度不 变,选项C错误,不符合题意;整个登山过程的平均速 度为２０００÷５０＝(m/min),选项D错误,不符合题意．] 课堂达标 １．D　[∵函数y＝ ５ x－５ 有意义,∴ x－５≥０ x－５≠０{ , ∴x＞５,故选 D．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３１１ 参考答案