第1节 一次方程(组)及其应用-【创新教程】2025年初升高中职数学衔接教材一本通

初、中职基础知识衔接 第二章　方程(组) 第１节　一次方程(组)及其应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一元一次方程和二元一次方程(组)的解法是初中的重点知识,也是中职阶段直线 方程中必须掌握的知识,将对二元一次方程解的情况进一步进行探究． 　　　一元一次方程及其解法 １．方程:含有　　　的等式 ２．方程的解:使方程中等号左右两边相等 的　　　的值． ３．一元一次方程:只含有 　 　 　 未知数 (元),未知数的次数都是　　　,等号两 边都是整式． ４．等式的基本性质 (１)等式两边加(或减)同一个数(或式子), 结果仍相等．即如果a＝b,那么a±c＝ 　　　． (２)等式两边乘同一个数,或除以同一个不 为０的数,结果仍相等．即如果a＝b,那 么ac＝　　　,ac＝　　　 (c≠０)． ５．解一元一次方程的一般步骤 步骤 注意事项 去分母 (１)不能漏乘不含分母的项; (２)分子是多项式时,去分母后 加括号 去括号 (１)括号前的数要乘括号内的每 一项; (２)括号前是负号时,去括号后 原括号内的每一项都要变号 移项 移项要改变符号 续表 合并同 类项 系数相加时,不能漏掉符号 系数化 为１ 分子、分母不能交换位置 　　　　二元一次方程(组)及其解法 １．二元一次方程:含有　　　未知数,并且 含有未知数的项的次数都是　　　． ２．二元一次方程组:方程组中有两个未知 数,含有每个未知数的项的次数都是１, 并且一共有两个方程． ３．二元一次方程组的解:二元一次方程组 的两个方程的公共解． ４．二元一次方程组的解法 (１)代入消元法(代入法):把二元一次方程 组中一个方程的一个未知数用含另一 个未知数的式子表示出来,再代入另一 个方程,实现消元,进而求得这个二元 一次方程组的解． (２)加减消元法(加减法):当二元一次方程 组的两个方程中同一个未知数的系数 相反或相等时,把这两个方程的两边分 别相加或相减,就能消去这个未知数, 得到一个一元一次方程． 　　　　一次方程(组)的实际应用 １．列方程(组)解应用题的一般步骤 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７１ 第一篇 ２．列方程(组)解应用题的常见类型 行程 问题 基本 关系 路程＝速度×时间 相遇 问题 总路程＝甲走的路程＋ 乙走的路程 追及 问题 同地不同时:被追者走的 路程＝追者走的路程 同时不同地:追者走的路 程＝被追者走的路程＋ 两地间的距离 航行 问题 v顺水＝v静水＋v水流 v逆水＝v静水－v水流 销售 问题 (１)售价＝标价(原价)×折扣; (２)利润 ＝ 售价 － 进价 (成本 价); (３)利润率＝ 利润 进价×１００％ 工程 问题 工作量＝工作效率×工作时间 ＝各部分工作量之和(常把工作 量看作单位“１”) 配套 问题 (１)１个A 和１个B 配套:A 的 数量＝B 的数量; (２)m 个A 和n 个B 配套:A 的 数量∶B 的数量＝m∶n,即 A 的数 量 的n 倍 ＝B 的 数 量 的 m 倍 　　解一元一次方程 解方程:x－３ ２ ＋ x－１ ３ ＝４． [解]　x－３２ ＋ x－１ ３ ＝４． ３(x－３)＋２(x－１)＝２４,􀆺􀆺(去分母), ３x－９＋２x－２＝２４,􀆺􀆺􀆺(去括号) ３x＋２x＝２４＋９＋２,􀆺􀆺􀆺􀆺(移项) ５x＝３５,􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(合并同类项) x＝７．􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(系数化为１) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　解一元一次方程,依据其 解题方法,依次去分母、去括号、移项、 合并同类项、系数化为１,即可解方程． [变式训练] １．方程:２x－１３ － ５x＋２ ６ ＝ １－２x ２ －２． 　　解二元一次方程组 解方程组 x－y＝－５ ３x＋２y＝１０{ [解]　 x－y＝－５　① ３x＋２y＝１０　②{ 方法一:代入消元法:由①,得x＝y－５, ③将③代入②,得３(y－５)＋２y＝１０,解 得y＝５．将 y＝５ 代 入 ③,得 x＝０, ∴ x＝０, y＝５．{ 方法二:加减消元法:①×２,得２x－２y＝ －１０③,③＋②,得５x＝０,解得x＝０．将 x＝０代入①,得０－y＝－５,解得y＝５, ∴ x＝０, y＝５．{ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　解二元一次方程组的步骤 　　解二元一次方程组,主要就是用代 入消元法和加减消元法．代入消元法, 就是先把一个方程变形,用一个未知数 表示另一个未知数,然后代入到另一个 方程里,就变成了一元一次方程,解出 来之后再回代到原来的方程是里,求出 另一个未知数．加减消元法,就是通过 两个方程的相加或相减,消去一个未知 数,也是变成一元一次方程来解,解出 来之后再回代求出另一个未知数．简单 来说,就是先消元,再求解,最后回代． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８１ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 初、中职基础知识衔接 [变式训练] ２．(１)解方程组: ３x－２y＋２０＝０, ２x＋１５y－３＝０．{ (２)已知方程组 ２x＋y＝７, x＝y－１{ 的解也是关 于x,y的方程ax＋y＝４的一个解,求a 的值． 　　　　一次方程(组)的实际应用 ２０２４年３月２２日,“世界水日”、“中国 水周”山西省宣传活动在太原启动,本次 活动,旨在调动全社会各方力量团结治 水兴水,吸引并推动社会公众关心支持 水利事业为贯彻落实本次活动精神,太 原市现计划修一条水渠便于引水用水． 已知,甲工程队活单独修需２０天完成, 乙工程队单独完成需要的天数比甲工程 队单独完成天数的３ ５ 少２天． (１)乙工程队单独完成需要多少天? (２)若甲先单独修５天,之后甲、乙合作 修完这条水渠,求甲、乙还需合作几天才 能修完这条水渠? [解]　(１)２０×３５－２＝１０ ,即乙工程队单 独完成需要１０天; (２)设甲、乙还需合作y天才能修完这条 水渠,由题意得,１ ２０ (５＋y)＋１１０y＝１ ,解 得y＝５,即:甲、乙还需合作５天才能修 完这条水渠． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　列方程(组)解应用题的一 般步骤 (１)审,即审清题意,分清题中的已知量 和未知量． (２)设,即设出关键未知数． (３)列,即找出题干中的等量关系,列方 程(组)． (４)解,即解方程(组)． (５)验,即检验结果是否正确或是否符 合实际意义． (６)答,即回归题中,规范作答． [变式训练] ３．为丰富学校图书资源,鼓励学生多读书、 读好书、好读书,学校决定购买若干甲、 乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅 览室．经了解,甲、乙两种品牌的平板电 脑单价分别为３０００元和２５００元,学校 计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共 ６０台． (１)若恰好支出１７００００元,求甲、乙两种 品牌的平板电脑各购买了多少台? (２)若购买乙种品牌的数量不超过甲种 品牌数量的２倍,问甲、乙两种品牌的平 板电脑各购买多少台时花费最少? 最少 花费是多少元? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９１ 第一篇 １．下列各式:①－２＋５＝３;②３x－５＝x２＋ ３x;③２x＋１＝１;④２x＝１ ;⑤２x＋３;⑥x ＝４．其中是一元一次方程的有 (　　) A．１个　　　　　　B．２个 C．３个 D．４个 ２．已知a＝b,下列式子不一定成立的是 (　　) A．a＋２＝b＋２ B．ac＝bc C．a－１＞b－２ D．a２＞ b ３ ３．我国明代数学家程大位编撰的«算法统 宗»记载了“绳索量竿”问题:“一条竿子 一条索,索比竿子长一托,折回索子来量 竿,却 比 竿 子 短 一 托,问 索、竿 各 长 几 何?”译文为“有一根竿和一条绳,若用绳 去量竿,则绳比竿长５尺;若将绳对折后 再去量竿,则绳比竿短５尺．问绳和竿各 有多长?”设绳长x尺,竿长y尺,根据题 意得(注:“托”和“尺”为古代的长度单 位,１托＝５尺) (　　) A． x－y＝５ y－１２x＝５ ì î í ïï ï B． y－x＝５ １ ２x－y＝５ ì î í ïï ï C． x－y＝５ ２x＝y＋５{ D． x－y＝５ y－２x＝５{ ４．若二元一次方程组 x＋y＝３, ３x－５y＝１{ 的解为 x＝a, y＝b,{ 则a－b的值为　　　． 一、选择题 １．若x＝２是关于x的一元一次方程ax－b ＝３的解,则４a－２b＋１的值是 (　　) A．７　　B．８　　C．－７　　D．－８ ２．若方程x２a－b－３ya＋b＝２是关于x、y的二 元一次方程,则ab的值为 (　　) A．２９ B．２ C． ３ ２ D．１ ３．小明做作业时发现方程已被墨水污染: ３x＋１２＝２x＋■ ,电话询问老师后知道: 方程的解x＝１且被墨水遮盖的是一个 常数．则该常数是 (　　) A．３２　　B．－ ３ ２　　C． １ ２　　D．－ １ ２ ４．元朝朱世杰所著的«算学启蒙»中,记载 了这样一道题:“良马日行二百四十里, 驽马日行一百五十里,驽马先行一十二 日,问良马几何日追及之?”其大意是快 马每天行２４０里,慢马每天行１５０里,慢 马先行１２天,问快马几天可追上慢马? 快马追上慢马的天数是 (　　) A．５天 B．１０天 C．１５天 D．２０天 ５．若关于x 和y 的方程组 ５x＋４y＝a, ax＋by＝c{ 无 解,则 (　　) A．５a＝４c B．４a＝５b C．４a＝５c D．５a＝４b ６．与方程５x＋２y＝－９构成的方程组,其 解为 x＝－３, y＝３{ 的是 (　　) A．x＋２y＝１ B．３x＋２y＝－８ C．３x－４y＝－８ D．５x＋４y＝－３ ７．把式子－４x＋３记作 P,式子x－６记 作Q, (１)当x＝－３时,P＝　　　, Q＝　　　; (２)若 P,Q 的 值 互 为 相 反 数,则 x＝ 　　　． ８．已 知 x＝２, y＝１{ 是 二 元 一 次 方 程 组 ax＋by＝８, bx－ay＝１{ 的解,则３a－ １ ２b 的立方根 为　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０２ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 初、中职基础知识衔接 三、解答题 ９．解方程 (１)x－３＝２x＋１; (２)y＋y－１２ ＝１－ ２y－１ ３ ． １０．解方程组:(１) ２x＋y＝－５ ４x－５y＝１１{ (２) x－２ ２ － ５－y ３ ＝１ x ０．２－ y＋１ ０．３＝５ ì î í ï ï ï ï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２节　一元二次方程及其应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 中职数学在解析几何里对一元二次方程的根与系数的关系有更高的要求,因此通 过本节的学习要在初中数学的基础上,能更灵活地运用韦达定理解题． 　　　一元二次方程的有关概念 １．一元二次方程:等号两边都是整式,只含 有　　　个未知数(一元),并且未知数 的最高次数是２(二次)的方程． ２．一般形式:ax２＋bx＋c＝０(a,b,c为常 数,a≠０)．其中ax２,bx,c分别称为二次 项、一次项和常数项,a,b分别称为二次 项系数和一次项系数． ３．一元二次方程的解(根):使方程左右两 边　　　的未知数的值． 　　　一元二次方程的解法 解法 基本形式 适用情况 注意事项 直接 开平 方法 x２＝a(a≥ ０)或(ax＋ b)２＝c(c≥ ０) 方程缺少一 次项时常用 开方不要漏 掉负根 续表 公 式 法 ax２＋bx＋c ＝０(a≠０) 任意一元二 次方程均适 用,求 根 公 式为　　　 先将方程化 为 一 般 形 式;再 确 定 判别式b２－ ４ac≥０,最 后利用求根 公式求解 因式 分解 法 (x－x１)􀅰 (x－x２)＝ ０或ax２＝bx ①将方程右 边 化 为 ０, 左边可以因 式 分 解;② 方程缺少常 数项 两边不能同 时除以含有 未知数的相 同因式 配 方 法 x２＋bx＋c ＝０⇒x２ ＋ bx＋ ( b２ ) ２ ＝ (b２ ) ２ －c 将二次项系 数 化 成 １ 后,一 次 项 系数是２的 倍数 配 方 时,给 方程两边同 时加上一次 项系数一半 的 平 方,不 要漏加 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １２ 第一篇 第二章　方程(组) 第１节　一次方程(组)及其应用 初中知识复盘 知识点１ １．未知数　２．未知数　３．一个　１　４．b±c　bc　bc 知识点２ １．两个　１　 核心分类探究 变式训练 １．解:去分母得:２(２x－１)－(５x＋２)＝３(１－２x)－１２, 去括号得:４x－２－５x－２＝３－６x－１２, 移项得:４x－５x＋６x＝３－１２＋２＋２, 合并同类项得:５x＝－５,系数化为１得:x＝－１; ２．解:(１)方程组整理得: ３x－２y＝－２０,　① ２x＋１５y＝３,　②{ ①×１５＋②×２得:４９x＝－２９４,解得:x＝－６,把x＝ －６代入②得:y＝１,则方程组的解为 x＝－６, y＝１．{ (２)方程组 ２x＋y＝７　①x＝y－１　②{ 把②代入①得:２(y－１)＋y＝７,解得:y＝３,代入① 中,解得:x＝２,把x＝２,y＝３代入方程ax＋y＝４得, ２a＋３＝４,解得:a＝１２． ３．解:(１)设甲种品牌的平板电脑购买了x台,乙种品牌 的平板电脑购买了y台． 由题意得 x＋y＝６０, ３０００x＋２５００y＝１７００００,{ 解得 x＝４０, y＝２０．{ 答:甲种品牌的平板电脑购买了４０台,乙种品牌的平 板电脑购买了２０台． (２)设甲种品牌的平板电脑购买了m 台,则乙种品牌 的平板电脑购买了(６０－m)台． 由题意得６０－m≤２m,解得m≥２０． 设费用为w,则w＝３０００m＋２５００(６０－m)＝５００m ＋１５００００． ∵５００＞０,∴w 随m 的增大而增大,∴当m＝２０时,w 最少,此时w＝５００m＋１５００００＝１６００００,∴甲种品 牌的平板电脑购买２０台,乙种品牌的平板电脑购买 ４０台时花费最少,最少费用为１６００００元． 课堂达标 １．B　[①不含未知数,故错;②未知数的最高次数为２, 故错;③含一个未知数,次数为１,是等式且两边均为 整式,故对;④左边不是整式,故错．⑤是多项式,故 错．⑥未知数的最高次数为１,符合一元一次方程的概 念,故对．] ２．D　[a＝b,a＋２＝b＋２成立,A 不符合题意;a＝b,ac ＝bc成立,B不符合题意;a＝b,a－１＞b－２成立,C 不符合题意;当a＝b＝０时,a２＝ b ３＝０ ,故式子不一 定成立,D符合题意．故选:D．] ３．A　[由题意得 x－y＝５, y－１２x＝５．{ ] ４．解 析:将 x＝a y＝b{ ,代 入 方 程 组 x＋y＝３, ３x－５y＝１,{ 得: a＋b＝３　①, ３a－５b＝１　②,{ ①＋②,得:４a－４b＝４,则a－b＝ １． 答案:１ 课后检测雷达 １．A　[由已知２a－b＝３,∴４a－２b＋１＝２(２a－b)＋１＝ ２×３＋１＝７．] ２．A　[∵方程x２a－b－３ya＋b＝２是关于x、y 的二元一 次方程,∴ ２a－b＝１a＋b＝１{ ,解得 a＝２３ , b＝１３ , ì î í ïï ï ∴ab＝２３× １ ３＝ ２ ９ ,故选 A．] ３．A　[设被污染的常数■是a,把x＝１代入３x＋１２＝ ２x＋a,得:３＋１２＝２＋a ,解得a＝３２ ,故选 A．] ４．D　[设快马追上慢马的天数是x 天,根据题意,得 ２４０x＝１５０(x＋１２),解得x＝２０,故选 D．] ５．B　[∵关于x和y 的方程组 ５x＋４y＝a, ax＋by＝c{ 无解,∴ ５ a ＝４b≠ a c ,∴４a＝５b,故选B．] ６．D　[A．x＝－３ y＝３{ 不是方程x＋２y＝１的解,该项不符 合题意;B．x＝－３ y＝３{ 不是方程３x＋２y＝－８的解,该 项不符合题意;C．x＝－３ y＝３{ 不是方程３x－４y＝－８的 解,该项不符合题意;D．x＝－３ y＝３{ 是方程５x＋４y＝－３ 的解,该项符合题意．] ７．解析:(１)根据题意,当x＝－３时,P＝－４×(－３)＋３ ＝１５,Q＝(－３)－６＝－９; (２)根据题意,则(－４x＋３)＋(x－６)＝０, 即－４x＋x＝６－３解得:x＝－１． 答案:(１)１５;－９　(２)－１ ８．解析:∵ x＝２ y＝１{ 是二元一次方程组 ax＋by＝８, bx－ay＝１{ 的解, ∴ ２a＋b＝８２b－a＝１{ , 解得:a＝３ b＝２{ ,∴３a－ １ ２b＝３×３－ １ ２×２＝８ , ∴３a－１２b 的立方根为 ３ ８＝２,故答案为:２． 答案:２ ９．解:(１)移项得x－２x＝１＋３,合并同类项得－x＝４, 系数化为１得x＝－４． (２)去分母得６y＋３y－３＝６－４y＋２,移项得６y＋３y ＋４y＝６＋２＋３,合并同类项得１３y＝１１,系数化为１ 得y＝１１１３． １０．解:(１)２x＋y＝－５①４x－５y＝１１②{ ,①×５＋②,１４x＝ －１４,解得x＝－１,把x＝－１代入①,－２＋y＝－５, 解得y＝－３,∴原方程组的解是 x＝－１ y＝－３{ ; (２) x－２ ２ － ５－y ３ ＝１ x ０．２－ y＋１ ０．３＝５ ì î í ïï ï 化简方程组可得,３x＋２y＝２２① ３x－２y＝５②{ ,①＋②得,６x＝ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １１１ 参考答案 ２７,解得x＝９２ ,将x＝９２ 代入②,得y＝１７４ ,∴方程 组的解为 x＝９２ y＝１７４ ì î í ïï ï ． 第２节　一元二次方程及其应用 知识点１ １．一　３．相等　 知识点２ x＝－b± b ２－４ac ２a 知识点３ １．两个不相等　两个相等　无　２．－ba 　 c a 知识点４ (１±x)n　xa 􀅰b　(a－x)(b－x)　(a－２x)(b－２x) 核心分类探究 变式训练 １．解:(１)(x－３)２＝４,x－３＝±２,∴x－３＝２或x－３＝ －２,∴x１＝５,x２＝１; (２)２x２＋x－３＝０, ∴a＝２,b＝１,c＝－３, ∴Δ＝b２－４ac＝１２－４×２×(－３)＝２５＞０, ∴x＝－b± b ２－４ac ２a ＝ －１± ２５ ２×２ ＝ －１±５ ４ , ∴x１＝１,x２＝－ ３ ２． (３)５x２－２x－３＝０,(x－１)(５x＋３)＝０,∴x－１＝０ 或５x＋３＝０,解得x１＝１,x２＝－ ３ ５． ２．(１)C　[Δ＝(－２)２－４×１×１＝０,∴一元二次方程 x２－２x＋１＝０有两个相等的实数根,故选C．] (２)D　[由题意可得:Δ＝１２－４k＝０,解得k＝ １４ , k＋１＝ １４＋１＝ ５ ４＝ ５ ２． ] ３．解析:根据根与系数的关系得x１＋x２＝－３,x１x２＝ m, ∵(x１＋１)(x２＋１)＝－４, ∴x１x２＋(x１＋x２)＋１＝－４, 即m－３＋１＝－４,解得m＝－２． 答案:－２ ４．解:设这批椽有x株,依题意得３(x－１)x＝６２１０,整 理得x２－x－２０７０＝０,解得x１＝４６,x２＝－４５(不合 题意,舍去) 即这批椽的数量为４６株． 课堂达标 １．A　[A．２x２－x＋１＝０符合一元二次方程的定义,是 一元二次方程,故此选项符合题意;B．２x２－y＝０含 有两个未知数,是二元二次方程,故此选项不符合题 意;C．３x＋１＝０是一元一次方程,故此选项不符合题 意;D．x＋１x＝２ 不是整式方程,故此选项不符合题意．] ２．A　[∵４x２－４x＝－１,∴４x２－４x＋１＝０,∴Δ＝ (－４)２－４×４×１＝０,∴方程有两个相等的实数根．] ３．D　[根据题意,塑封后的长为(３８＋２x)cm,宽为(２３ ＋２x)cm,面积为１０００cm２,∴列方程为:(３８＋２x) (２３＋２x)＝１０００．] ４．解析:∵m、n是方程x２－３x－２＝０的两个实数根, ∴mn＝－２１ ＝－２ ,∴２mn＝－４． 答案:－４ 课后检测雷达 １．B　[∵Δ＝(－m)２－４×１×(－３)＝m２＋１２＞０, ∴方程x２－mx－３＝０有两个不相等的实数根,∴x１ ≠x２．] ２．B　[设方程的另一个根为b,∴b＋(－２)＝－３,∴b＝ －１,故选B．] ３．A　[依题意,x２＋２mx＋m２＋１＝０∴Δ＝(２m)２－４ (m２＋１)＝－４＜０,∴方程无实数根．] ４．C　[∵x＝a是方程x２＋２x－２＝０的一个根,∴a２＋ ２a－２＝０,即a２＋２a＝２,∴２a２＋４a＋２０２５＝２(a２＋ ２a)＋２０２５＝２×２＋２０２５＝２０２９,故选C．] ５．B　[∵关于x的方程２x２－６k＝０有两个相等的实数 根,∴Δ＝０２－４×２􀅰(－６k)＝０,∴k＝０,∴k２－４＝０２ －４＝－４,故选B．] ６．解析:∵关于x的一元二次方程x２－ax－２a＋１＝０, 一次项系数与常数项相等,∴－a＝－２a＋１,解得:a ＝１． 答案:１ ７．解析:设有x个队参赛,根据题意,可列方程为:１２x (x －１)＝１５,解得:x＝６或x＝－５(舍去), 即参赛的球队数为６． 故答案为:６． 答案:６． ８．解析:当３为腰时,此时a＝３或b＝３,把x＝３代入方 程x２－４x－１＋m＝０得９－１２－１＋m＝０,解得m＝ ４,此时方程为x２－４x＋３＝０,解得x１＝３,x２＝１;当３ 为底时,此时a＝b,Δ＝(－４)２－４(－１＋m)＝０,解得 m＝５,此时方程为x２－４x＋４＝０,解得x１＝x２＝２;综 上所述,m 的值为４或５． 答案:４或５ ９．解:y(y－３)＋２y－６＝０, y(y－３)＋２(y－３)＝０, (y－３)(y＋２)＝０,有y－３＝０或y＋２＝０,解得y１＝ ３,y２＝－２． １０．解:(１)证明:Δ＝[－(m＋２)]２－４×１×(m－１)＝m２ ＋４m＋４－４m＋４＝m２＋８．∵m２≥０,∴m２＋８＞０, ∴无论m 取何值,方程都有两个不相等的实数根． (２)∵方程的两个实数根为x１,x２,∴x１＋x２＝m＋ ２,x１x２＝m－１． ∵x２１＋x２２－x１x２＝９,即(x１＋x２)２－３x１x２＝９, ∴(m＋２)２－３(m－１)＝９,整理得m２＋m－２＝０, ∴(m＋２)(m－１)＝０,解得m１＝－２,m２＝１,∴m 的 值为－２或１． 第３节　分式方程及其应用 初中知识复盘 知识点１ １．未知数　３．０ 核心分类探究 变式训练 １．解: ２ x２－１ ＋ xx－１＝１ , 去分母,得２＋x(x＋１)＝x２－１, 去括号,得２＋x２＋x＝x２－１, 移项、合并同类项,得x＝－３． 检验:把x＝－３代入(x＋１)(x－１),得(－３＋１)(－３ －１)＝８≠０,∴x＝－３是原方程的解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２１１ 数 学