精品解析：湖北省中职学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

机密★启用前 湖北省中等职业学校2024 - 2025学年度第三次调考 高一年级下学期期中考试数学学科 湖北准易教育研究院命制 2025.4 本试卷满分100分，考试用时90分钟． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请选出来，未选、错选或多选均不得分． 1. 与角的终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 2. 机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法为：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形，如图所示．若线段长为，则莱洛三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则角的终边落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若点 在角 的终边上，且 ，则（ ） A. B. 为第二象限角 C. D. 5. 若狄利克雷函数 ，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若函数 和函数 在区间 内都是增函数，则区间 可以是（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，则角（ ） A. B. C. D. 8. 给出下列三个论断：① ； ② ； ③ ． 以其中两个论断作为条件， 余下的一个作为结论， 得出正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的， 请选出来． 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 3 分， 有选错或未选的得 0 分． 9. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 若 ，则 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．若一题有两空，则填对一空得 3 分， 填对两空得 5 分）将答案填在答题卡相应题号的横线上． 11. 函数 的定义域用区间可表示为_____． 12. 若 ，则 _____． 13. 已知函数 ． （1）写出一个能使 成立的 的值：_____；(写出符合条件的一个取值即可) （2）写出能使 成立的 的取值范围：_____．(用区间表示) 14. 若函数 的最大值为 3，最小值为 1，则 _____． 四、解答题（本大题共 2 小题，共 30 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 已知 是第二象限角． （1）若 和 是方程 的两个实数根，求 的值； （2）是否存在实数 ，使得 和 同时成立？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 湖北省中等职业学校2024 - 2025学年度第三次调考 高一年级下学期期中考试数学学科 湖北准易教育研究院命制 2025.4 本试卷满分100分，考试用时90分钟． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请选出来，未选、错选或多选均不得分． 1. 与角的终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出与角的终边相同的角的集合，再取最小正角即可. 【详解】与角终边相同角的集合为， 当时，取得最小正角为． 故选：D． 2. 机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法为：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形，如图所示．若线段长为，则莱洛三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由莱洛三角形的画法结合弧长公式即可求解. 【详解】由已知，线段．得， 则莱洛三角形的周长是． 故选：A． 3. 已知，，则角的终边落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简题设条件，得到，，即可求解 【详解】因为，所以，即 又，所以， 在平面直角坐标系中，当时，角的终边可能落在第三、四象限及轴负半轴， 当时，角的终边可能落在第一、四象限及轴正半轴， 综上，角的终边落在第四象限， 故选：D 4. 若点 在角 的终边上，且 ，则（ ） A. B. 为第二象限角 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解，再根据点P的坐标求解角的取值范围，再根据三角函数的定义求. 【详解】由题设，可得，A错误； 所以，则为第三象限角，B错误； ，，C正确；D错误． 故选：C． 5. 若狄利克雷函数 ，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合特殊角的三角函数值，先求出，结合函数解析式，即可求解. 【详解】因为，又是无理数， 所以． 故选：A． 6. 若函数 和函数 在区间 内都是增函数，则区间 可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数以及余弦函数的单调性求解即可. 【详解】函数在和内递增，在内递减. 在内递减，在内递增， 故函数和在内都是增函数． 故选：D． 7. 若，且，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数值在各象限的符号，及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 又，则角. 故选：C. 8. 给出下列三个论断：① ； ② ； ③ ． 以其中两个论断作为条件， 余下的一个作为结论， 得出正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数值在各象限的符号，同角三角函数的平方关系及商数关系，即可判断求解. 【详解】若①；②成立，则角是第四象限角，则③不成立； 若①；③成立，则，故②成立； 若②；③成立， 由得，故①成立． 故正确命题有2个. 故选：C． 二、多选题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的， 请选出来． 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 3 分， 有选错或未选的得 0 分． 9. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可化简求解. 【详解】选项A，因为，故A正确； 选项B，因为，故B正确； 选项C，因为，故C错误； 选项D，因为 ，故D正确； 故选：. 10. 若函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 若 ，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据诱导公式将函数进行化简得到函数的表达式，再根据表达式、函数的奇偶性以及同角三角函数的关系式求解即可. 【详解】函数 ， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故无意义，B错误； 对于C，因为，定义域关于原点对称， 且，所以为奇函数，C正确； 对于D，若，则，即，由得，D错误． 故选：AC． 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．若一题有两空，则填对一空得 3 分， 填对两空得 5 分）将答案填在答题卡相应题号的横线上． 11. 函数 的定义域用区间可表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和正弦函数的性质得到函数的定义域，进而根据的取值范围确定函数的值域. 【详解】要使得函数有意义，必须有，所以． 故答案为：. 12. 若 ，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数诱导公式，即可求解. 【详解】因为， 所以． 故答案为：. 13. 已知函数 ． （1）写出一个能使 成立的 的值：_____；(写出符合条件的一个取值即可) （2）写出能使 成立的 的取值范围：_____．(用区间表示) 【答案】 ①. （或，答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合特殊角的三角函数值，即可求解； （2）根据题意，结合正弦函数和余弦函数的图像，即可求解. 【详解】若，则， 即，解得， 又，则或； 若，则，又， 由正弦函数和余弦函数的图像可得，即． 故答案为：（或，答案不唯一）；. 14. 若函数 的最大值为 3，最小值为 1，则 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据余弦函数的最值求解即可. 【详解】因为函数的最大值为3，最小值为1， 因为， 所以且，解得，故． 故答案为：2. 四、解答题（本大题共 2 小题，共 30 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式对题目进行化简，再根据正切函数的定义求解. （2）根据第一问的化简结果以及同角三角函数的关系求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 化简得， 即，所以. 【小问2详解】 因为，所以为第四象限角， 故，， 由，得， 解得，， 故. 16. 已知 是第二象限角． （1）若 和 是方程 的两个实数根，求 的值； （2）是否存在实数 ，使得 和 同时成立？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在；实数 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理得到与的关系，再根据同角三角函数的关系求解与，最后根据诱导公式化简题目，再求解. （2）根据同角三角函数的关系以及角的取值范围求解即可. 【小问1详解】 因为和是方程的两个实数根， 所以①且． 又角是第二象限角，所以． 得. 因为, 所以.② 联立①②得． . 故． . 【小问2详解】 假设存在实数，使，． 因为是第二象限角，所以，, 解得． 又 即,化简得， 解得，符合. 故存在实数满足题意． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $