专题05 多面体与旋转体（考题猜想）-【中职专用】2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·基础模块）

专题05 多面体与旋转体 目录 选择题专练 1 题型一：棱柱 1 题型二：棱锥 2 题型三：圆柱 3 题型四：圆锥 4 题型五：球 6 填空题专练 7 解答题专练 8 选择题专练 题型一：棱柱 1．正方体的全面积是18，则正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 2．一个正方体的棱长增长为原来的3倍，则体积变为原来的（    ） A．3倍 B．倍 C．9倍 D．倍 3．如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（    ） A． B． C．4 D．8 4．长方体共顶点的三个面的面积分别是2，6和9，那么这个长方体的体积为（    ） A． B． C．7 D．8 5．已知一个长方体有公共顶点的三个面的面积分别是，则这个长方体的体对角线长为（    ） A．5 B．10 C． D． 6．已知长方体的长宽高分别是5、3、4，则长方体的体对角线长是（    ） A．5 B． C． D．7 7．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（　　） A． B．1 C． D． 8．已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，那么该长方体的表面积为（    ） A．20 B．47 C．60 D．94 9．下列几何体不属于棱柱的是（       ） A．  B．  C．   D．   10．设直四棱柱长方体四棱柱正四棱柱，则这些集合的关系是（    ） A．B． C． D． 题型二：棱锥 1．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．一个正四棱锥的底面边长是6，侧棱长是5，则这个正四棱锥的高是（    ） A． B．3 C．4 D． 4．已知正四棱锥的底面周长是8，高为，则它的侧面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D． 5．已知一个正三棱锥的底边边长，高为，则此正三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，平面，与平面的距离为2，该刍甍的体积为（    ） A．6 B． C． D．12 7．已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱和底面夹角为，则正四棱锥的体积是（   ）． A． B． C． D． 8．如图所示，高为3的直棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积是（    ）    A． B． C． D． 9．如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D． 10．某粮囤由圆柱体和圆锥形的顶组成，它的直观图如图所示.已知圆柱的底面直径为8m，高为4m，圆锥的母线与底面圆的直径成角，则此粮囤的容积（单位:m³）为（     ） A． B． C． D． 题型三：圆柱 1．已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的高为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．若一个圆柱的底面半径是4，轴截面对角线长为10，则这个圆柱的体积为（    ） A．48 B．96 C． D． 3．圆柱的轴截面是正方形，面积是S，则它的侧面积是（   ） A． B． C． D． 4．已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱的体积为 （    ） A． B． C． D． 5．圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知矩形的长为6π、宽为2π，将该矩形卷成圆柱的侧面，那么圆柱的底面积为（    ） A．9π B．π C．9π或π D．3π或π 7．已知圆柱的底面半径为，轴截面面积为，则该圆柱的母线长是（    ） A．2 B． C．4 D． 8．已知圆柱高为3，底面圆的直径为2，那么这个圆柱的侧面积是（　　） A． B． C． D． 9．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年．至新石器中晚期，玉琮在江浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出现，尤以良渚文化的玉琮最发达，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，通高，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径，外径，试估计该仿古玉琮的体积约为（    ）（单位：） A．3300 B．3700 C．3900 D．4500 10．已知某圆柱的高为，底面半径为，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 题型四：圆锥 1．交通锥是一种交通隔离警戒设施，可近似看成一个圆锥.如图，某交通锥的高为，底面半径为，则该圆锥体交通锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似的视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为2，则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 3．已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，高为，则这个圆锥的体积是（   ） A． B． C． D． 4．若一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与表面积之比为（   ） A． B． C． D． 5．圆锥的母线L的长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是（　） A． B． C． D． 6．已知圆锥底面的周长为，母线长为2，则该圆锥的体积为（   ）. A． B． C． D． 7．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 8．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图：已知一陀螺圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，底面圆的直径，这个陀螺的表面积为 （ ） A． B． C． D． 9．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C．2 D． 10．下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（    ）    A．   B．   C．   D．   题型五：球 1．已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是（   ） A．2 B． C．3 D． 2．用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为1，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．如果两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 4．一个球的体积为，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 5．已知球的表面积是，则此球的体积是（   ） A． B． C． D． 6．如果两个球的表面积之比，那么这两个球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 7．如图，为球O的半径，M为线段上的点，且，过M且垂直于的平面截球面得到圆M，若圆M的半径为，则此球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 8．已知正方体的体积是，且它内切球的球心到该球小圆圆心的距离为，则小圆的周长为（    ） A． B． C． D． 9．已知球的半径为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 10．球体的截面是什么形状（    ） A．三角形 B．圆形 C．矩形 D．不确定 填空题专练 1．直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，则直棱柱的侧面积是 ． 2．正三棱柱底面边长为2，侧面展开图为正方形，则该正三棱柱的体积为 . 3．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2cm，则它的体积为 cm2. 4．已知正三棱锥的底面积为6，高为3，则该正三棱锥的体积为 ． 5．若某圆柱的侧面展开图为一个矩形，且矩形的长为8，宽为，则这个圆柱的体积为 ． 6．一个圆柱的底面半径为2，高为5，那它的侧面积是 ． 7．如图，某工厂生产的帐篷形状近似于圆锥形，其占地面积为平方米，最高点距离地面米，则此帐篷的侧面积是 . 8．如图所示，已知圆柱的底面半径为2，高为4．现在从这个圆柱中挖去一个与圆柱同底等高的圆锥，则所得几何体的表面积为 ． 9．如图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态．如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体．圆锥的高，圆锥与半球的半径，则组合体的表面积为 ．    10．如图所示，已知扇形是半径为1的四分之一圆，点为半径的中点，连接，则，，所围成的封闭曲线，以直线为轴旋转一周所形成的几何体的表面积为 .    11．已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上、下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为 ． 解答题专练 1．长方体的三个面的面积分别为，，. (1)求长方体的体积； (2)求长方体的对角线的长. 2．如图，把边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当剪裁，即在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），求： (1)要使折成的长方体盒子的底面积为484，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长． 3．某农场为了改善水利设施，需要修筑一条横截面为等腰梯形的灌溉水渠，已知水渠长400m，深1.5m，渠底宽1m，渠面宽2m． (1)修筑水渠需要挖出多少立方米的土？ (2)若在水渠的底部和侧面铺设水泥板，则需要的水泥板面积是多少？（）结果保留整数 4．如图，某几何体的下部分是长，宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： (1)求该组合体的体积； (2)求该组合体的表面积. 5．一个工件分为上、下两部分，如图所示，下部分是一个柱体，高为，底面为正方形，边长为，上部分是一个锥体，它的底面与柱体的底面相同，高为，工件的体积、侧面积各为多少（精确到）? 6．如图所示，圆柱的母线长，底面半径为2，求： (1)该圆柱的轴截面面积； (2)该圆柱的侧面积与体积． 7．如图所示，已知正三棱柱的高为6，底面边长为，以上底．下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积和体积． 8．某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图，接口等其它面积忽略不计），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.    (1)已知制作这种油罐的材料单价为2万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？ (2)已知该油罐的储油量为0.95吨/，则一个油罐可储存多少吨油？ 9．已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4.    (1)求圆锥的体积； (2)求圆锥的表面积. 10．如图，某容器由圆柱和半球组成，已知圆柱的底面半径为，高为，求容器的表面积和体积． 11．某同学制作橡皮泥模具，将一个半径为，圆心角为的扇形卡纸卷成圆锥形纸杯，并通过打印技术制作出一个内空的半球体形状的塑料盖子，该半球体盖子的直径与卡纸杯杯口圆的直径相等，如图所示，求： (1)该模具的表面积（含盖子）； (2)若用此模具装橡皮泥，则最多能装多少立方厘米的橡皮泥？（保证盖子刚好合上，且模具材料厚度不计） 12．已知某几何体的三视图如图所示（单位：）． (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 多面体与旋转体 目录 选择题专练 1 题型一：棱柱 1 题型二：棱锥 5 题型三：圆柱 10 题型四：圆锥 12 题型五：球 17 填空题专练 20 解答题专练 24 选择题专练 题型一：棱柱 1．正方体的全面积是18，则正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的全面积求出棱长，再求体积即可. 【详解】因此正方体的全面积是18，且它6个面的面积相等， 所以正方体的棱长是， 即正方体的体积是. 故选：C. 2．一个正方体的棱长增长为原来的3倍，则体积变为原来的（    ） A．3倍 B．倍 C．9倍 D．倍 【答案】B 【分析】根据正方体的体积公式计算即可. 【详解】设原正方体的棱长为，则棱长增长为原来的3倍为， 已知原正方体的体积为， 而扩大后的体积为， 所以体积变为原来的倍. 故选：B. 3．如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】由题意可知蚂蚁从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁爬行的最短路程就是侧面展开图中的距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）沿面和面爬行时，画出棱柱的部分侧面展开图，如图， 因为正三棱柱的底面边长为，高为2， 蚂蚁从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁爬行的最短路程为： ， （2）沿面和面爬行时，画出棱柱的部分侧面展开图，如图， 因为正三棱柱的底面边长为，高为2， 过作，垂足为，则，， 蚂蚁从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁爬行的最短路程为： ， （3）沿面和面爬行时，画出棱柱的部分侧面展开图，如图， 因为正三棱柱的底面边长为，高为2， 过作，垂足为，则，， 蚂蚁从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁爬行的最短路程为： ， 综上，因为，所以这只蚂蚁爬行的最短路程为． 故选：A． 4．长方体共顶点的三个面的面积分别是2，6和9，那么这个长方体的体积为（    ） A． B． C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据共顶点的三个面积转化成体积与面积的关系易得答案. 【详解】设长方体共顶点的三条边分别为, 令, 所以长方体的体积为. 故选:B. 5．已知一个长方体有公共顶点的三个面的面积分别是，则这个长方体的体对角线长为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】设长方体有公共顶点的三条棱长分别为，由题意，列方程组可求得三条棱长，再利用长方体体对角线长公式可求解. 【详解】设长方体有公共顶点的三条棱长分别为，由题意可得 ，解得， 所以这个长方体的体对角线长为： . 故选：D 6．已知长方体的长宽高分别是5、3、4，则长方体的体对角线长是（    ） A．5 B． C． D．7 【答案】B 【分析】根据题意，结合图形，根据勾股定理即可求解. 【详解】    由题意，结合图形， 得， ， 故选：B 7．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据棱柱的体积公式求值即可. 【详解】正三棱柱，底面为正三角形， 已知底面边长为2，则底面的高为， 则正三棱柱的底面积为， 所以正三棱柱的体积是. 故选：A． 8．已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，那么该长方体的表面积为（    ） A．20 B．47 C．60 D．94 【答案】D 【分析】由长方体的表面积公式即可得解. 【详解】易得该长方体的表面积为． 故选：D. 9．下列几何体不属于棱柱的是（       ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据棱柱的结构特征即可判断. 【详解】对A、B、C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 有这些面所围成的多面体叫做棱柱，故选项A、B、C都是棱柱. 对D：该几何体每相邻两个四边形的公共边不平行，故选项D不属于棱柱. 故选：D. 10．设直四棱柱长方体四棱柱正四棱柱，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直四棱柱，长方体，四棱柱，正四棱柱的定义即可求解. 【详解】解：正四棱柱是长方体的特例，长方体是直四棱柱的特例， 直四棱柱是四棱柱的特例. 所以正四棱柱长方体直四棱柱四棱柱. 故选：D 题型二：棱锥 1．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据母线长和半径计算出圆锥的高，然后再利用体积公式计算. 【详解】已知圆锥的底面半径为，母线长为,则圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：D. 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】因为棱长都是1的三棱锥的表面都是边长为1的正三角形，共4个； 所以其表面积为. 故选：A 3．一个正四棱锥的底面边长是6，侧棱长是5，则这个正四棱锥的高是（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】求出底面对角线，然后利用勾股定理可求高. 【详解】正四棱锥的底面为正方形，则底面对角线为， 则对角线的一半为， 因为正四棱锥顶点与底面中心的连线与底面垂直； 则侧棱长、底面对角线的一半与正四棱锥的高满足勾股定理， 则正四棱锥的高是； 故选：A. 4．已知正四棱锥的底面周长是8，高为，则它的侧面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D． 【答案】C 【分析】根据正四棱锥侧面积公式易得答案. 【详解】因为底面边长是8，高为，所以底面边长为2， 因为侧面三角形的高、高以及斜高在底面上的射影构成直角三角形， 所以侧面三角形的高为， 故侧面积为. 故选：C. 5．已知一个正三棱锥的底边边长，高为，则此正三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】，故底面正三角形的高为， . 故选:D. 6．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，平面，与平面的距离为2，该刍甍的体积为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】B 【分析】作出辅助线将多面体分割为棱柱与棱锥，分别计算它们的体积，然后相加即可得解. 【详解】 如图，作∥，交于点，作∥，交于点， 所以，则， 则四棱锥的体积为， 三棱柱的体积为， 所以该刍甍的体积为， 故选：. 7．已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱和底面夹角为，则正四棱锥的体积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正四棱锥的底面边长以及侧棱和底面夹角求得棱锥的高，结合棱锥体积公式，即可求解. 【详解】 如图所示，在正四棱锥中底面边长为1，侧棱与底面所成角为， 顶点在底面的投影为正方形的中心，平面， 即是侧棱与底面的所成的角，即， 因为，即， 则在中，， 所以正四棱锥的体积为. 故选：C 8．如图所示，高为3的直棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为高为3的直棱柱的底面是边长为1的正三角形， 所以， 所以三棱锥的体积为. 故选：D. 9．如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在正方体中，可知三棱锥的高为，根据棱锥的体积公式可求解. 【详解】在正方体中， 因为平面， 所以三棱锥的高为， 由三棱锥的体积公式，可得 . 故选：C 10．某粮囤由圆柱体和圆锥形的顶组成，它的直观图如图所示.已知圆柱的底面直径为8m，高为4m，圆锥的母线与底面圆的直径成角，则此粮囤的容积（单位:m³）为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合圆锥的体积公式与圆柱的体积公式即可得解. 【详解】因为圆柱的底面直径为8m，所以圆柱与圆锥的底面半径为， 圆锥的母线与底面圆的直径成角，且底面的高垂直于底面半径，所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 所以粮仓的容积为， 故选：. 题型三：圆柱 1．已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的高为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先算圆柱底面积，再代入圆柱体积公式计算即可. 【详解】易知圆柱底面积， 且体积，即，解得. 故选：D. 2．若一个圆柱的底面半径是4，轴截面对角线长为10，则这个圆柱的体积为（    ） A．48 B．96 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知解得圆柱底面半径和高，再根据圆柱的体积公式即可解得. 【详解】由题可知，轴截面对角线长为，底面半径为 则底面直径为，高为， 故圆柱的体积为：， 故选：D 3．圆柱的轴截面是正方形，面积是S，则它的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S求出圆柱的高与底面圆的半径，代入侧面积公式计算． 【详解】圆柱的轴截面是正方形，面积是S， 则圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的侧面积为. 故选：B. 4．已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱的体积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱轴截面点的性质得出圆柱的底面半径及高，代入体积公式即可得解. 【详解】某圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以圆柱的底面直径为，半径为，高为， 所以体积为， 故选：. 5．圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，根据轴截面面积求得的关系，再根据圆柱的侧面积公式求解． 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h， ∵圆柱的轴截面面积为4， ∴， ∴圆柱的侧面积为， 故选：C． 6．已知矩形的长为6π、宽为2π，将该矩形卷成圆柱的侧面，那么圆柱的底面积为（    ） A．9π B．π C．9π或π D．3π或π 【答案】C 【分析】根据两种情况分别由周长求出底面半径，即可求得底面积. 【详解】假设1：当矩形的长为底面圆周长时， ，解得， 故底面积为. 假设2：当矩形的宽为底面圆周长时， ，解得， 故底面积为. 故选：C. 7．已知圆柱的底面半径为，轴截面面积为，则该圆柱的母线长是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据圆柱轴截面的特征即可求解. 【详解】由题意可知，轴截面面积等于， 解得.即母线长为2. 故选：A. 8．已知圆柱高为3，底面圆的直径为2，那么这个圆柱的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】由题可知，底面半径为，圆柱高为， 则圆柱的侧面积为：， 故选：B. 9．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年．至新石器中晚期，玉琮在江浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出现，尤以良渚文化的玉琮最发达，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，通高，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径，外径，试估计该仿古玉琮的体积约为（    ）（单位：） A．3300 B．3700 C．3900 D．4500 【答案】A 【分析】由棱柱体积公式及圆柱体积公式即可得解. 【详解】由题意可知，玉琮的体积约为. 由图可知，该仿古玉琮外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计体积小于. 故选：. 10．已知某圆柱的高为，底面半径为，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用柱体的体积公式直接求解即可. 【详解】解：由题意得该圆柱的体积为． 故选：D． 题型四：圆锥 1．交通锥是一种交通隔离警戒设施，可近似看成一个圆锥.如图，某交通锥的高为，底面半径为，则该圆锥体交通锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的体积公式即可求解． 【详解】因为交通锥的高为，底面半径为， 则该圆锥体交通锥的体积为. 故选：B. 2．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似的视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为2，则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆锥的底面圆周长为，可求得底面半径，分别求圆锥和圆柱的体积可得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的底面圆周长为， 所以， 解得， 又圆锥的高为，圆柱的母线长为2， 所以圆柱的体积为， 圆锥的体积为 所以该几何体的体积． 故选：C 3．已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，高为，则这个圆锥的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意求出圆锥的底面半径r，再利用圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设底面的半径为r， 因为圆锥的侧面积是底面积的3倍，高为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 4．若一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式，扇形的面积公式，圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】设该圆锥的底面半径为，母线为，侧面积为，表面积为. 由题意得，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则，解得. 所以． 故选：C． 5．圆锥的母线L的长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆锥底面半径为，高为，再由底面圆周长等于侧面展开图扇形的弧长，列方程求出，再由求出高，最后根据圆锥的体积公式求值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，高为， 圆锥的母线L的长为1，侧面展开图圆心角为， 则侧面展开图扇形的弧长为， 所以，解得， 所以， 所以该圆锥的体积是. 故选：A. 6．已知圆锥底面的周长为，母线长为2，则该圆锥的体积为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的结构特征与体积公式即可求解. 【详解】设圆锥底面半径为r，则圆锥底面的周长为， 因为圆锥母线长为2， 则圆锥的高， 所以该圆锥的体积为， 故选：B 7．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据半径求底面周长，由弧长公式可得母线长，然后根据圆锥侧面积公式可得侧面积. 【详解】因为底面半径，所以底面周长， 且侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 则圆锥母线长，所以圆锥侧面积． 故选：A． 8．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图：已知一陀螺圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，底面圆的直径，这个陀螺的表面积为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆锥体的母线长，进而利用圆锥的侧面积公式、圆柱的侧面积公式和底面积公式即可求解. 【详解】由题意得圆锥体的母线长为， 所以圆锥体的侧面积为， 圆柱体的侧面积为，圆柱体的底面面积为， 所以这个陀螺的表面积为. 故选：C 9．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题可知侧面展开图半圆的弧长即为圆锥底面圆的周长，又圆心角的弧度数为，根据弧长公式即可求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，所以侧面展开图半圆的弧长即为圆锥底面圆的周长，即， 又因为圆心角的弧度数为，所以该圆锥的母线长为． 故选：C. 10．下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据几何体的结构特征即可求解. 【详解】由图可得，题中所示的空间图形是一个圆锥和一个圆台的组合体． 圆台是由直角梯形以为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体. 圆锥是由直角三角形以为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体. 故选：A.    题型五：球 1．已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】利用球的表面积公式及体积公式求参数即可. 【详解】设球的半径为， 则有，即，； 故选：D. 2．用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为1，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用截面半径，球半径与截面到球心距离构成直角三角形求出球半径，然后代入球的体积公式即可. 【详解】截面面积为，则截面半径为， 则球半径， 则的体积为. 故选：B. 3．如果两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据球的表面积公式得到半径之比，再根据球的体积公式求解即可. 【详解】设两个球的半径为 因为两个球的表面积之比为， 所以， 即， 所以这两个球的体积之比， 故选：C. 4．一个球的体积为，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出球的半径，利用球的体积公式求出半径，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】∵一个球的体积为36π，设球的半径为， ∴，解得， ∴这个球的表面积为， 故选：. 5．已知球的表面积是，则此球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球体表面积的计算公式，求出半径，再根据球体积的计算公式，即可求解. 【详解】由题意得， 解得，所以球的体积． 故选：D. 6．如果两个球的表面积之比，那么这两个球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这两个球的半径分别为，，根据球的表面积公式可求解. 【详解】设这两个球的半径分别为，，由题可知， ，所以. 故选：B 7．如图，为球O的半径，M为线段上的点，且，过M且垂直于的平面截球面得到圆M，若圆M的半径为，则此球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出球的半径，然后代入球的表面积公式即可. 【详解】设球的半径为，则，，， 则，即，， 则球的表面积； 故选：D. 8．已知正方体的体积是，且它内切球的球心到该球小圆圆心的距离为，则小圆的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的体积公式可求出棱长，再由内切球的几何特征结合圆的周长公式求值即可. 【详解】设棱长为，小圆半径为，内切球的半径为， 已知正方体的体积是，则有， 即，内切球的半径， 由内切球的球心到该球小圆圆心的距离为可得， ，解得， 所以小圆的周长为. 故选：B. 9．已知球的半径为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的表面积公式求解. 【详解】因为球的半径，则球的表面积， 故选：A. 10．球体的截面是什么形状（    ） A．三角形 B．圆形 C．矩形 D．不确定 【答案】B 【分析】利用球体的几何特征即可求解. 【详解】由球体的几何特征可知，球体的截面形状始终是圆形. 故选：B 填空题专练 1．直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，则直棱柱的侧面积是 ． 【答案】/ 【分析】由直棱柱的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意可知，直棱柱的侧面为四个长为，宽为的矩形. 所以侧面积为. 故答案为：. 2．正三棱柱底面边长为2，侧面展开图为正方形，则该正三棱柱的体积为 . 【答案】 【分析】由正三棱柱的性质及体积公式即可得解. 【详解】因为正三棱柱底面为等边三角形. 所以底面周长为. 因为侧面展开图为正方形. 所以正三棱柱的高为. 所以正三棱柱的体积为. 故答案为:. 3．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2cm，则它的体积为 cm2. 【答案】/ 【分析】先求出正四棱锥的高，再利用锥体的体积公式求解即可. 【详解】由题意得，底面正方形的对角线长， 则正四棱锥的高， 所以正四棱锥的体积为. 故答案为：. 4．已知正三棱锥的底面积为6，高为3，则该正三棱锥的体积为 ． 【答案】 【分析】由正棱锥的体积公式计算即可. 【详解】因为正三棱锥的底面积为6，高为3， 所以该正三棱锥的体积为. 故答案为：. 5．若某圆柱的侧面展开图为一个矩形，且矩形的长为8，宽为，则这个圆柱的体积为 ． 【答案】或. 【分析】分类讨论圆柱底面周长为和底面周长为的情况，结合圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面半径为， 由题意可知，当底面周长为时，，此时圆柱高为，圆柱体积， 当底面周长为时，，此时高为，圆柱体积， 故答案为：或. 6．一个圆柱的底面半径为2，高为5，那它的侧面积是 ． 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式即可求解. 【详解】由题意得，圆柱的侧面积是. 故答案为：. 7．如图，某工厂生产的帐篷形状近似于圆锥形，其占地面积为平方米，最高点距离地面米，则此帐篷的侧面积是 . 【答案】平方米 【分析】先由题意求出圆锥底面圆的半径和母线长，再利用圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设底面圆的半径为米，则，解得， 又帐篷最高点距离地面米，即圆锥的高为米， 则圆锥的母线长为（米），所以圆锥的侧面积为（平方米）. 故答案为：平方米. 8．如图所示，已知圆柱的底面半径为2，高为4．现在从这个圆柱中挖去一个与圆柱同底等高的圆锥，则所得几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】利用圆柱圆锥表面积公式可求. 【详解】此几何体表面积=圆柱底面积+圆柱侧面积+圆锥侧面积 圆柱底面积，圆柱侧面积， 圆锥侧面积， ． 故答案为：. 9．如图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态．如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体．圆锥的高，圆锥与半球的半径，则组合体的表面积为 ．    【答案】 【分析】利用圆锥和球体表面积公式，计算可得答案. 【详解】依题意，圆锥的高，圆锥与半球的半径， 所以圆锥母线，得到圆锥侧面积， 半球表面积， 所以组合体的表面积， 故答案为：. 10．如图所示，已知扇形是半径为1的四分之一圆，点为半径的中点，连接，则，，所围成的封闭曲线，以直线为轴旋转一周所形成的几何体的表面积为 .    【答案】 【分析】旋转后的几何体的表面积为半球的表面积加上圆锥的侧面积，结合球的表面积公式及圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】以直线为轴旋转一周所形成的几何体为一个半球面与一个圆锥的侧面组成， 所以半球面的表面积为， 因为圆锥的底面边长为，母线长为， 则圆锥的侧面积为， 所以旋转所得几何体的表面积为即， 故答案为：. 11．已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上、下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为 ． 【答案】 【分析】根据球的体积公式及圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面圆半径为，则高为． 因为球的体积为，所以，得， 又因为，所以， 所以，圆柱的体积， 故答案为：. 解答题专练 1．长方体的三个面的面积分别为，，. (1)求长方体的体积； (2)求长方体的对角线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由长方体三个面的面积解得棱长，求得长方体体积； （2）由三条棱长直接计算对角线长度. 【详解】（1）设长方体过同一点的三条棱长为，，， 则，三式相乘得，即， 解得，，， 则. （2）长方体对角线. 2．如图，把边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当剪裁，即在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），求： (1)要使折成的长方体盒子的底面积为484，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长． 【答案】(1) (2)是有最大值，最大值为800，剪掉的边长为 【分析】（1）先设剪掉的正方形边长为，结合正方形的面积公式列式求解即可. （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设剪掉的正方形边长为， 则长方形盒子的底面积为. 解得或（舍去）. 所以，剪掉的正方形的边长为. （2）设侧面积为y，则 ， 即，. 所以折成的长方体盒子的侧面积是有最大值， 最大值为800，剪掉的正方形的边长为. 3．某农场为了改善水利设施，需要修筑一条横截面为等腰梯形的灌溉水渠，已知水渠长400m，深1.5m，渠底宽1m，渠面宽2m． (1)修筑水渠需要挖出多少立方米的土？ (2)若在水渠的底部和侧面铺设水泥板，则需要的水泥板面积是多少？（）结果保留整数 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据题意，可知水渠可以看成是底面为等腰梯形的直四棱柱，利用柱体的体积公式即可求解； （2）先求出的长，再利用柱体的表面积公式求解即可. 【详解】（1）由题可得，水渠可以看作底面为等腰梯形的直四棱柱． 于是水渠长为直四棱柱的高． 先求等腰梯形截面的面积，设为， ， 因为高，所以， 故修筑水渠需挖土． （2）设水泥板面积为， 所以 故在水渠底部和侧面需铺设的水泥板． 4．如图，某几何体的下部分是长，宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： (1)求该组合体的体积； (2)求该组合体的表面积. 【答案】(1)256 (2)240 【分析】（1）根据棱柱和棱锥的体积公式求解. （2）根据棱柱和棱锥的表面积公式求解. 【详解】（1）连接交于点O，取的中点E，连接， 依题意， 因为， ， 所以该组合体的体积. （2）因为，所以， 所以， ， ， 所以该组合体的表面积. 5．一个工件分为上、下两部分，如图所示，下部分是一个柱体，高为，底面为正方形，边长为，上部分是一个锥体，它的底面与柱体的底面相同，高为，工件的体积、侧面积各为多少（精确到）? 【答案】， 【分析】根据棱柱和棱锥的体积公式求解体积即可，根据棱锥和棱柱的表面积公式求解表面积即可. 【详解】下面部分的体积为， 上面的部分的体积为 工件的体积为， 上面的部分每个面的高为， 侧面积为， 所以工件的体积为，侧面积为. 6．如图所示，圆柱的母线长，底面半径为2，求： (1)该圆柱的轴截面面积； (2)该圆柱的侧面积与体积． 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据圆柱的轴截面的面积公式计算即可. （2）根据圆柱的侧面积和体积公式计算即可. 【详解】（1）因为母线长，底面半径为2， 所以轴截面面积为. （2）圆柱的侧面积等于底面周长乘以母线长，底面周长为， 侧面积为， 圆柱的体积为. 7．如图所示，已知正三棱柱的高为6，底面边长为，以上底．下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积和体积． 【答案】， 【分析】在等边中求出内内切圆的半径，根据圆柱、正三棱柱的面积和体积公式可得结果. 【详解】 （如图）作出等边及内切圆，是内切圆的圆心，则内切圆的半径 . 所以. 又因为正三棱柱的表面积 . 所以剩余部分形成的几何体的表面积余部分形成的几何体的表面积 . 因为正三棱柱的体积， 圆柱的体积， 所以剩余部分的体积. 8．某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图，接口等其它面积忽略不计），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.    (1)已知制作这种油罐的材料单价为2万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？ (2)已知该油罐的储油量为0.95吨/，则一个油罐可储存多少吨油？ 【答案】(1)（万元） (2)（吨） 【分析】（1）先求圆锥母线长，然后利用圆锥侧面积公式圆柱表面积求出油管表面积，再求出费用即可； （2）利用圆柱体积公式与圆锥体积公式求出油罐体积，然后乘以即可. 【详解】（1）由题意得，圆锥和圆柱的底面半径，圆锥和圆柱的高， 所以圆锥母线长， 所以油罐面积为底面积圆柱侧面积圆锥侧面积， 制作一个油罐的费用为：（万元）. （2）油罐体积圆锥体积圆柱体积. ， 一个油罐可存储的油：（吨）. 9．已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4.    (1)求圆锥的体积； (2)求圆锥的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解； （2）利用圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】（1）因为圆锥母线长为6，底面圆半径长为4， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为； （2）圆锥的表面积为. 10．如图，某容器由圆柱和半球组成，已知圆柱的底面半径为，高为，求容器的表面积和体积． 【答案】， 【分析】根据球和圆柱的表面积公式和体积公式计算即可. 【详解】已知圆柱的底面半径为，高为， 则半球的表面积为. 圆柱的底面积为. 圆柱的侧面积为. 所以圆柱和半球组合体的表面积为. 圆柱的体积为. 半球的体积为. 所以体积为. 11．某同学制作橡皮泥模具，将一个半径为，圆心角为的扇形卡纸卷成圆锥形纸杯，并通过打印技术制作出一个内空的半球体形状的塑料盖子，该半球体盖子的直径与卡纸杯杯口圆的直径相等，如图所示，求： (1)该模具的表面积（含盖子）； (2)若用此模具装橡皮泥，则最多能装多少立方厘米的橡皮泥？（保证盖子刚好合上，且模具材料厚度不计） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由圆锥的展开面求得底面半径，再利用圆锥的表面积公式和球的表面积公式即可得解； （2）根据圆锥的体积和球的体积公式求值即可. 【详解】（1）设圆锥的底面半径，即半球的半径为， 因为，且扇形的半径为， 则有，解得， 所以模具的表面积为 . （2）已知圆锥的母线长为，底面半径为， 则圆锥的高为， 该模型的体积为 . 即最多能装立方厘米的橡皮泥. 12．已知某几何体的三视图如图所示（单位：）． (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意根据三视图判断该几何体是一个半球和一个长方体组成，运用面积公式求解即可. （2）根据球的体积公式和正方体体积公式求解. 【详解】（1）由题意可知表面积等于半球面积加上长方体表面积减去上面圆的面积即可， 则. （2）由题意可知体积为半球体积加上长方体体积， 则. 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$