专题03 简单几何体（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·基础模块）

专题03简单几何体 一、棱柱 多面体的定义： 由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体 棱柱 分类： 棱柱： 有两个面互相平行，其余面都是平行四边形的多面体. 直棱柱： 侧棱垂直于底面的棱柱. 性质： 设直棱柱的底面积,底面周长:C,高:h 直棱柱的侧面积计算公式：； 直棱柱的表面积计算公式：； 直棱柱的体积计算公式. 正棱柱： 侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱. 性质： (1)两个底面是平行且全等的正多边形； (2)侧面都是全等的矩形； (3)侧棱相互平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等. 斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱 棱锥 多面体都有一个面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形有一个公共点 这个多边形称为棱锥的底面(简称底)，其余各面称为棱锥的侧面 棱锥的顶点:各侧面的公共点，如图中所示的P点； 棱锥的侧棱:相邻侧面的公共边，如图中所示的PA、PB、PC； 棱锥的高:顶点到底面的距离，如图中的PO． 正棱锥的性质: （1）各条侧棱相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三角形； （2）顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高； （3）正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影构成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个直角三角形; （为正棱锥底面的周长，是正棱锥的斜高，为正棱锥的底面积） 正棱锥的侧面积为: 正棱锥的表面积: (表示棱锥底面积，是棱锥的高) 三棱锥的体积: 斜二测画法的基本步骤 正三角形直观图的画法 （1）建立直角坐标系Oxy （2）以底边AB中点为坐标轴原点，以AB所在的直线为x轴，以线段AB垂直平分线所在的直线为y轴，如图（2）所示．对应x轴和y轴画出x′轴和y′轴，使两轴交于点O′. （3）在x′轴上取A′B′，使A^′B^′=AB，且O′为A′B′的中点，即与x轴平行或重合的线段，在直观图中保持原长度不变；在y′轴上取一点C′，使O′C′=1/2OC，即与x轴垂直的线段，其长度等于原长度的一半， 正方体直观图的画法 （1）画正方体底面的直观图，即画水平放置的边长为2cm的正方形ABCD的直观图，在x轴正向取AB=2cm，在y轴正向取AD=1cm，分别过点B、D作y轴和x轴的平行线，两线交于点C．则平行四边形ABCD即为正方形ABCD的直观图， 注意事项 1、直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”: (1)坐标轴的夹角改变; (2)与y轴平行的线段长度变为原来的一半; (3)图形改变.“ “三不变”: (1)平行性不改变; (2)与x轴和z轴平行的线段长度不改变; (3)相对位置不改变. 2、直观图与原图多边形面积之间的关系 若一个多边形的面积为,它的直观图的面积为,则有; 二、旋转体 一、圆柱的定义以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体称为圆柱． 旋转轴OO1称为圆柱的轴 垂直于轴的边旋转形成的圆面称为圆柱的底面． 平行于轴的边称为圆柱的母线，如边AA1 ． 母线旋转而成的曲面称为圆柱的侧面． 两个底面圆心之间的距离称为圆柱的高． 二、圆柱的性质： （1）两个底面是半径相等且平行的圆面，平行于底面的横截面是与底面相同的圆； （2）母线平行且相等，都等于圆柱的高； （3）过轴的截面(轴截面)是长为圆柱的高、宽为底面的直径的矩形． 三、圆柱的特性： 圆柱的侧面积为 圆柱的表面积为 圆的体积为： 一、圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭几何体称为圆锥 旋转轴称为圆锥的轴 另一条直角边旋转所形成的圆面称为圆锥的底面 斜边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面 这条斜边称为圆锥的母线 母线与轴的交点称为顶点． 顶点到底面圆心的距离称为圆锥的高． 二、圆锥的性质：： （1）平行于底面的截面都是圆； （2）高垂直于底面圆，且过圆心； （3）轴截面为等腰三角形，高为圆锥的高，腰是圆锥的母线，底边是底面圆的直径． 三、圆柱的特性： 圆锥的侧面积： 圆锥的体积： 一、球的定义：一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周，半圆弧线形成的曲面称为球面，球面所围成的几何体称为球体，简称球. 二、当球截面不经过球心时，球及球截面具有下列性质： 当球截面是小圆时： (1)球截面的圆心与球心的连线垂直于球截面； (2)设球心到球截面圆心的连线OO'的长为d，球的半径为R，球截面的半径为r，则有 三、球的表面积和体积： 设球的半径为R. 球的表面积计算公式：； 球的体积计算公式：. 三、简单几何体的三视图 1.从物体的正面向后投影所得的视图称为主视图，又称为主视图，从物体的上面向下投影所得的视图称为俯视图，从物体的左面向右投影所得的视图称为左视图. 2.画三视图时应遵守一定的规则： (1)位置规定：主视图画在左上方位置，左视图画在主视图的右侧，俯视图画在主视图的下方; (2)投影规律：主视图与俯视图中的长相同(长对正)；主视图与左视图中的高相同(高平齐)；俯视图与左视图中的宽相同(宽相等). (3)画线规则：可见的轮廓线画成实线，不可见的轮廓线画成虚线. 3.简单组合体的三视图： 常见的几何体多为组合体，一般分为叠加型和切割型两种. (1)画叠加型组合体的三视图时，先将组合体分成若干个简单几何体，分别画出每个简单几何体的三视图，然后再按它们的位置合并起来； (2)画切割型组合体的三视图时，先画切割前的简单几何体的三视图，然后按照切掉部分的位置和形状依次画出切割后的三视图，如果切割处的轮廓线投影被遮挡，应画成虚线. 题型一:棱柱 例1 已知某长方体的长、宽、高分别为2，3，4，则它的表面积为 （    ） A．9 B．24 C．26 D．52 【答案】D 【分析】由长方体的表面积公式计算即可得答案. 【详解】因为长方体长宽高为2，3，4， 可得长方体的表面积为：. 故选：D. 变式训练 1 已知以一个长方体的一个顶点为端点的三条棱长的长度分别为，，，求它的体对角线（    ） A．12 B． C． D．16 【答案】B 【分析】根据长方体的体对角线公式可求解. 【详解】因为个长方体的一个顶点为端点的三条棱长的长度分别为，，， 所以它的体对角线. 故选：B 2 两个正方体体积之比，则它们两个的表面积之比为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方体的体积及表面积的公式计算即可． 【详解】设两个正方体的棱长分别为，体积分别为，表面积分别为， 因为两个正方体体积之比，所以，则， 所以，即它们两个的表面积之比为． 故选：C． 3 已知正方体的棱长为，则其体对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方体的体对角线公式即可得解. 【详解】因为正方体的棱长为， 所以其体对角线长为. 故选：C. 例2 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为，，则P到这三个平面的距离分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体体结构和体对角线求解即可. 【详解】如图，不妨将点到三个两两垂直的平面的距离看作长方体的长宽高， 由距离比可设长方体长为，宽为，高为，， 则为所构造长方体的体对角线，则有， 解得，则到三个平面的距离为. 故选：B. 变式训练 1 若棱柱的侧面都是矩形，则棱柱一定是（    ） A．直棱柱 B．正棱柱 C．斜棱柱 D．正方体 【答案】A 【分析】根据直棱柱的定义即可求解. 【详解】因为棱柱的侧面都是矩形， 所以侧棱垂直于底面，则该棱柱一定是直棱柱. 故选：A. 2 如图所示，下列四个几何体： 其中不是棱柱的序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据棱柱的定义判断即可. 【详解】棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由图可知②上下底面不平行，不是棱柱. 故选：B. 3 在直三棱柱中，，，，E是棱上的一点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由将三棱柱的侧面展开即可求解. 【详解】由题意得， 将三棱柱的侧面展开如图所示， 当三点共线时，的周长的最小， 此时， 即的周长的最小值为. 故选：C. 4 若一个正方体的体对角线长为，则这个正方体的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出正方体的棱长为x，再根据题意进行计算，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为x， ，即， 正方体的全面积为. 故选：B. 题型二:正视图的画法 例3 如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，若，则的形状是（    ） A．等腰锐角三角形 B．不等腰的锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据题意，结合斜二测画法，即可求解. 【详解】因为，又， 所以在中，，且， 所以该三角形为直角三角形． 故选：C． 变式训练 1 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则中边上的中线的长度为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法将直观图还原，可得为直角三角形及两直角边的长度，据此可求解. 【详解】 由斜二测画法将直观图还原如图，可得，， 由轴，得轴，故， 所以边上的中线的长度：. 故选：A 2 已知正方形的直观图是平行四边形，若平行四边形某一条边的边长是，则这个正方形的边长是（    ）cm． A．2 B．4 C．2或4 D．6 【答案】C 【分析】根据斜二测画法规则即可求解. 【详解】由斜二测画法规则可知， 边长为的边若与轴平行，则原图中正方形的边长为； 边长为的边若与轴不平行，则原图中正方形的边长为； 故选：C. 3 利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，可能是下面的（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据斜二测画法的定义即可求解. 【详解】正方形的直观图是平行四边形，且邻边长不相等，分别为和，只有选项满足. 故选：. 4 如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系计算即得. 【详解】依题意，因为轴，轴，故， 在平面图直角坐标系中，有， 又，则，， 所以，，， 故选：C. 例4 如图所示，已知是边长为2的正三角形，那么它的平面直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜二测画直观图中原图与直观图面积的关系，即可求解. 【详解】设原图的面积为，直观图的面积为，则， 依题意，原图面积为， 所以直观图的面积为. 故选：B. 变式训练 1 如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ）    A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据斜二测画法还原为原图形后即可求出原图形的周长. 【详解】已知直观图中，且为正方形， 所以， 还原直观图为原图形，如图所示，    因为，， 根据勾股定理可得， ， 所以原图形的周长为. 故选：D. 2 如图矩形的长为，宽为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何图形的面积是其直观图面积的倍，结合直观图的面积即可得解. 【详解】因为矩形的长为，宽为， 所以矩形的面积为， 又几何图形的面积是其直观图面积的倍， 所以原图形的面积为. 故选：A. 3 已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（　　） A．16 B．64 C．16或64 D．都不对 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的原则，分两种情况，即可得出答案. 【详解】 ①若直观图中平行四边形的边， 则原正方形的边长， 所以该正方形的面积. ②若直观图中平行四边形的边， 该正方形的边长， 故该正方形的面积是. 故选：C. 题型三:棱锥 例5 正四棱锥的底面是（    ） A．三角形 B．圆面 C．梯形 D．正方形 【答案】D 【分析】根据正四棱锥的结构特征选择即可. 【详解】正四棱锥的底面为正方形. 故选：D. 变式训练 1 如图，若一个多面体的每个面都是三角形，则这个多面体可能是（    ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】C 【分析】根据棱锥，棱柱的结构特征即可逐项判断即可. 【详解】一个多面体的每个面都是三角形， 对A，四棱柱由六个平行四边形组成，不符合题意； 对B，四棱锥由一个平行四边形和四个三角形组成，不符合题意； 对C，三棱锥由四个三角形组成，符合题意； 对D，三棱柱由两个三角形和三个平行四边形组成，不符合题意. 故选：C. 2 一个多面体的面数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据多面体的概念判断即可. 【详解】面数最少的多面体为是四面体，四面体有4个面. 故选：B. 例6 正如图所示，是体积为的直棱柱，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱柱的体积与棱锥的体积作差可求. 【详解】因为棱锥与棱柱同底同高， 设底面积为，即，高为为， 根据题意，棱柱的体积可求， 棱锥的体积为， 可得四棱锥的体积为. 故选:. 变式训练 1 《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其卷五“商功”中记载这样一个问题：今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺，问积几何？其含义是：今有正四棱锥，下底边长为2丈7尺（注：1丈＝10尺），高2丈9尺，问它的体积为多少？该正四棱锥的体积为（   ） A．7047立方尺 B．5408立方尺 C．2864立方尺 D．1854立方尺 【答案】A 【分析】根据正四棱锥的体积公式求解. 【详解】由题意，该正四棱锥的底面边长为27尺，高为29尺， 所以其体积为： 立方尺. 故选：A. 2 如图所示，已知正方体的棱长为3，O为上底面对角线的交点，则三棱锥的体积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱锥的体积计算公式即可求解. 【详解】已知正方体的棱长为3， 则， 三棱锥的体积． 故选：B. 3 正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为5，则它的高为是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】在正三棱锥中，作平面，垂足为O点，连接AO，则O点是正三角形的中心，从而可得，据此，在中可求解. 【详解】 如图，在正三棱锥中，作平面，垂足为O点，连接AO， 因为棱锥是正三棱锥，所以O点是正三角形的中心. 因为底面边长为，所以. 在中，， 所以高. 故选：A 4 学校为了更好的宣传垃圾分类，组织了一场微型垃圾箱设计比赛．某班级的设计如图所示，该垃圾箱是底面边长为的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，正四棱柱与正四棱锥的高都为，则该垃圾箱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱锥与棱柱的体积公式求值即可. 【详解】已知正四棱柱与正四棱锥的底面边长均为， 正四棱柱与正四棱锥的底面积均为为， 又正四棱柱与正四棱锥的高都为， 该垃圾箱的体积为， 故选：B. 5 圆心角为，半径为3的扇形卷成一个圆锥，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得圆锥的底面半径和母线长，进而得到高，再由圆锥的体积公式得解. 【详解】设圆锥的母线长为，则， 设圆锥的底面半径为，，则，解得， 则圆锥的高为，则圆锥的体积为. 故选：C. 6 如图所示是一个几何体的三视图及其尺寸，则该几何体的体积为（    ）    A．48 B．60 C．144 D．108 【答案】A 【分析】先根据三视图分析几何体，再计算体积即可. 【详解】由三视图可以判断几何体为正四棱锥， 因为斜高为5，底面边长为6， 所以高为4， 所以体积． 故选:A． 7 如果一个正四棱锥的底面边长是2，斜高是5，那么它的侧面积是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的结构特征结合侧面积公式即可求解. 【详解】由题意得，正四棱锥的侧面积为：. 故选：B. 题型四:圆柱 例7 将一个长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几何体是（    ） A．长方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】根据圆柱的结构特征可判断 【详解】如图，一个长方形绕它的一条边旋转一周， 邻边旋转一周变为圆，高为， 所以长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几何体是圆柱； 故选：C. 变式训练 1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图可知原图为圆柱，利用圆柱的侧面积公式进行求解即可. 【详解】由三视图可知，此图形为圆柱， 底面圆的直径为2，母线长为2， 所以. 故选：B. 2 圆柱底面半径，母线，则圆柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆柱的表面积公式即可求解. 【详解】因为圆柱底面半径，母线， 所以圆柱的表面积是. 故选：C 3 用一个宽2、长3的矩形卷一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用矩形卷成的圆柱，其展开面积的结构特征即可得解. 【详解】因为矩形卷成的圆柱的侧面积，与矩形的面积一样， 所以其侧面积. 故选：B. 4 用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（    ） A．2 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分类讨论圆柱底面的周长的组成情况，利用圆的周长公式即可得解. 【详解】如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长， 则，所以； 同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则，所以. 故选：C. 题型五:圆锥 例8 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设母线长为，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程求解即可. 【详解】由题意，设母线长为. 因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥母线长即为侧面展开图半圆的半径， 所以解得. 故选：B. 变式训练 1 若一个圆锥的高是，底面半径是1，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥的体积公式代入求解. 【详解】因为圆锥的高是，底面半径是1， 所以 故选：A 2 已知圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆锥的结构特点及圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】如图所示， 设圆锥的底面半径为r，母线为l. 由题意知，，在中，. . 所以圆锥侧面积为：. 故选：. 3 一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的高为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的轴截面为等边三角形进行计算. 【详解】∵圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形， ∴设圆锥的底面半径为，则，母线为， 所以圆锥的高． 故选：B. 题型六:球 例9 一个球的体积是，则该球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由球的体积求球的半径，再由球的表面积公式求该球的表面积. 【详解】设该球的半径为，已知其体积，解得， 所以该球的表面积. 故选：B. 变式训练 1 设球的半径为2，则球的体积是（    ） A． B．16 C． D． 【答案】D 【分析】根据球的体积公式计算. 【详解】∵球的半径， ∴球的体积. 故选：D. 2 若球的大圆的面积扩大为原来的倍，则它的体积扩大为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】先根据球的大圆的面积扩大为原来的倍得到半径的扩大倍数,再根据球的体积公式即可求出结果. 【详解】设原球的半径为,面积为,扩大后球的半径为,面积为 所以原球的大圆的面积为,扩大后球的大圆的面积为. 因为球的大圆的面积扩大为原来的倍, 则, 所以原球的体积为扩大后球的体积为. 则体积扩大为原来的倍. 故选：. 3 两个球的半径之比为，则它们的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球的体积公式即可求得. 【详解】因为两个球的半径之比为， 所以它们的体积之比是. 故选：C. 4 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出球体的半径，利用球体的体积公式可得结果. 【详解】由题意可知，与截面圆所在平面垂直， 设球的半径为，则， 所以，则， 因此，球的体积. 故选：A. 题型七:简单几何体的三视图 例10 如图所示几何体由五个相同的小正方体组成，它的左视图是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据左视图的概念画出左视图即可得出结果. 【详解】左视图如图所示， 故选：D． 变式训练 1 一个空间几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据三视图的数据，得出直观图，结合直三棱柱的体积公式即可求解. 【详解】由题意得，几何体的三视图转换为直观图为直三棱柱. 如图所示： 所以直三棱柱的体积为. 故选：C. 2 如图所示的几何体的俯视图是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据俯视图的定义和几何体的构造即可得解. 【详解】该几何体是圆台与圆柱的组合体，俯视能看见两个圆. 故选：. 3 一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为（ ） A．正方体和球 B．圆柱和圆锥 C．四棱柱和圆锥 D．正方体和棱锥 【答案】C 【分析】由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图. 【详解】由三视图可知，该组合体的上部分为圆锥，下部分为正四棱柱. 故选： C. 4 已知几何体的三视图及其尺寸（单位：）如图所示，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据该几何体的三视图结合圆锥的体积公式即可解得. 【详解】由该几何体的三视图可得出该几何体为圆锥体， 且该圆锥的底面半径为，圆锥的高为， 则圆锥体积为， 故选：D 5 下图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述的几何体可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据三视图还原几何体即可. 【详解】因为主视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱. 又由俯视图可知下面是圆柱. 故选：D. 6 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球和圆柱的表面积公式即可求解. 【详解】由图可得，该几何体下方是底面半径为1，高为3的圆柱，上方是半径为1的球. 所以该几何体的表面积为：. 故选：D. 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03简单几何体 一、棱柱 多面体的定义： 由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体 棱柱 分类： 棱柱： 有两个面互相平行，其余面都是平行四边形的多面体. 直棱柱： 侧棱垂直于底面的棱柱. 性质： 设直棱柱的底面积,底面周长:C,高:h 直棱柱的侧面积计算公式：； 直棱柱的表面积计算公式：； 直棱柱的体积计算公式. 正棱柱： 侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱. 性质： (1)两个底面是平行且全等的正多边形； (2)侧面都是全等的矩形； (3)侧棱相互平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等. 斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱 棱锥 多面体都有一个面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形有一个公共点 这个多边形称为棱锥的底面(简称底)，其余各面称为棱锥的侧面 棱锥的顶点:各侧面的公共点，如图中所示的P点； 棱锥的侧棱:相邻侧面的公共边，如图中所示的PA、PB、PC； 棱锥的高:顶点到底面的距离，如图中的PO． 正棱锥的性质: （1）各条侧棱相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三角形； （2）顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高； （3）正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影构成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个直角三角形; （为正棱锥底面的周长，是正棱锥的斜高，为正棱锥的底面积） 正棱锥的侧面积为: 正棱锥的表面积: (表示棱锥底面积，是棱锥的高) 三棱锥的体积: 斜二测画法的基本步骤 正三角形直观图的画法 （1）建立直角坐标系Oxy （2）以底边AB中点为坐标轴原点，以AB所在的直线为x轴，以线段AB垂直平分线所在的直线为y轴，如图（2）所示．对应x轴和y轴画出x′轴和y′轴，使两轴交于点O′. （3）在x′轴上取A′B′，使A^′B^′=AB，且O′为A′B′的中点，即与x轴平行或重合的线段，在直观图中保持原长度不变；在y′轴上取一点C′，使O′C′=1/2OC，即与x轴垂直的线段，其长度等于原长度的一半， 正方体直观图的画法 （1）画正方体底面的直观图，即画水平放置的边长为2cm的正方形ABCD的直观图，在x轴正向取AB=2cm，在y轴正向取AD=1cm，分别过点B、D作y轴和x轴的平行线，两线交于点C．则平行四边形ABCD即为正方形ABCD的直观图， 注意事项 1、直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”: (1)坐标轴的夹角改变; (2)与y轴平行的线段长度变为原来的一半; (3)图形改变.“ “三不变”: (1)平行性不改变; (2)与x轴和z轴平行的线段长度不改变; (3)相对位置不改变. 2、直观图与原图多边形面积之间的关系 若一个多边形的面积为,它的直观图的面积为,则有; 二、旋转体 一、圆柱的定义以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体称为圆柱． 旋转轴OO1称为圆柱的轴 垂直于轴的边旋转形成的圆面称为圆柱的底面． 平行于轴的边称为圆柱的母线，如边AA1 ． 母线旋转而成的曲面称为圆柱的侧面． 两个底面圆心之间的距离称为圆柱的高． 二、圆柱的性质： （1）两个底面是半径相等且平行的圆面，平行于底面的横截面是与底面相同的圆； （2）母线平行且相等，都等于圆柱的高； （3）过轴的截面(轴截面)是长为圆柱的高、宽为底面的直径的矩形． 三、圆柱的特性： 圆柱的侧面积为 圆柱的表面积为 圆的体积为： 一、圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭几何体称为圆锥 旋转轴称为圆锥的轴 另一条直角边旋转所形成的圆面称为圆锥的底面 斜边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面 这条斜边称为圆锥的母线 母线与轴的交点称为顶点． 顶点到底面圆心的距离称为圆锥的高． 二、圆锥的性质：： （1）平行于底面的截面都是圆； （2）高垂直于底面圆，且过圆心； （3）轴截面为等腰三角形，高为圆锥的高，腰是圆锥的母线，底边是底面圆的直径． 三、圆柱的特性： 圆锥的侧面积： 圆锥的体积： 一、球的定义：一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周，半圆弧线形成的曲面称为球面，球面所围成的几何体称为球体，简称球. 二、当球截面不经过球心时，球及球截面具有下列性质： 当球截面是小圆时： (1)球截面的圆心与球心的连线垂直于球截面； (2)设球心到球截面圆心的连线OO'的长为d，球的半径为R，球截面的半径为r，则有 三、球的表面积和体积： 设球的半径为R. 球的表面积计算公式：； 球的体积计算公式：. 三、简单几何体的三视图 1.从物体的正面向后投影所得的视图称为主视图，又称为主视图，从物体的上面向下投影所得的视图称为俯视图，从物体的左面向右投影所得的视图称为左视图. 2.画三视图时应遵守一定的规则： (1)位置规定：主视图画在左上方位置，左视图画在主视图的右侧，俯视图画在主视图的下方; (2)投影规律：主视图与俯视图中的长相同(长对正)；主视图与左视图中的高相同(高平齐)；俯视图与左视图中的宽相同(宽相等). (3)画线规则：可见的轮廓线画成实线，不可见的轮廓线画成虚线. 3.简单组合体的三视图： 常见的几何体多为组合体，一般分为叠加型和切割型两种. (1)画叠加型组合体的三视图时，先将组合体分成若干个简单几何体，分别画出每个简单几何体的三视图，然后再按它们的位置合并起来； (2)画切割型组合体的三视图时，先画切割前的简单几何体的三视图，然后按照切掉部分的位置和形状依次画出切割后的三视图，如果切割处的轮廓线投影被遮挡，应画成虚线. 题型一:棱柱 例1 已知某长方体的长、宽、高分别为2，3，4，则它的表面积为 （    ） A．9 B．24 C．26 D．52 变式训练 1 已知以一个长方体的一个顶点为端点的三条棱长的长度分别为，，，求它的体对角线（    ） A．12 B． C． D．16 2 两个正方体体积之比，则它们两个的表面积之比为 （    ） A． B． C． D． 3 已知正方体的棱长为，则其体对角线长为（    ） A． B． C． D． 例2 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为，，则P到这三个平面的距离分别是（    ） A． B． C． D． 变式训练 1 若棱柱的侧面都是矩形，则棱柱一定是（    ） A．直棱柱 B．正棱柱 C．斜棱柱 D．正方体 2 如图所示，下列四个几何体： 其中不是棱柱的序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 3 在直三棱柱中，，，，E是棱上的一点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4 若一个正方体的体对角线长为，则这个正方体的全面积为（    ） A． B． C． D． 题型二:正视图的画法 例3 如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，若，则的形状是（    ） A．等腰锐角三角形 B．不等腰的锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 变式训练 1 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则中边上的中线的长度为（   ） A． B． C．5 D． 2 已知正方形的直观图是平行四边形，若平行四边形某一条边的边长是，则这个正方形的边长是（    ）cm． A．2 B．4 C．2或4 D．6 3 利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，可能是下面的（    ）． A．   B．   C．   D．   4 如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则（    ） A． B．2 C． D．4 例4 如图所示，已知是边长为2的正三角形，那么它的平面直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 变式训练 1 如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ）    A． B． C．6 D．8 2 如图矩形的长为，宽为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（    ） A． B． C． D． 3 已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（　　） A．16 B．64 C．16或64 D．都不对 题型三:棱锥 例5 正四棱锥的底面是（    ） A．三角形 B．圆面 C．梯形 D．正方形 变式训练 1 如图，若一个多面体的每个面都是三角形，则这个多面体可能是（    ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱柱 2 一个多面体的面数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例6 正如图所示，是体积为的直棱柱，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 变式训练 1 《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其卷五“商功”中记载这样一个问题：今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺，问积几何？其含义是：今有正四棱锥，下底边长为2丈7尺（注：1丈＝10尺），高2丈9尺，问它的体积为多少？该正四棱锥的体积为（   ） A．7047立方尺 B．5408立方尺 C．2864立方尺 D．1854立方尺 2 如图所示，已知正方体的棱长为3，O为上底面对角线的交点，则三棱锥的体积为（   ）． A． B． C． D． 3 正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为5，则它的高为是（    ） A．4 B．3 C． D． 4 学校为了更好的宣传垃圾分类，组织了一场微型垃圾箱设计比赛．某班级的设计如图所示，该垃圾箱是底面边长为的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，正四棱柱与正四棱锥的高都为，则该垃圾箱的体积为（    ） A． B． C． D． 5 圆心角为，半径为3的扇形卷成一个圆锥，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 6 如图所示是一个几何体的三视图及其尺寸，则该几何体的体积为（    ）    A．48 B．60 C．144 D．108 7 如果一个正四棱锥的底面边长是2，斜高是5，那么它的侧面积是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 题型四:圆柱 例7 将一个长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几何体是（    ） A．长方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 变式训练 1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 2 圆柱底面半径，母线，则圆柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 3 用一个宽2、长3的矩形卷一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 4 用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（    ） A．2 B． C．或 D．或 题型五:圆锥 例8 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．2 B． C．4 D． 变式训练 1 若一个圆锥的高是，底面半径是1，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 2 已知圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3 一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的高为（    ） A．1 B． C．2 D． 题型六:球 例9 一个球的体积是，则该球表面积是（    ） A． B． C． D． 变式训练 1 设球的半径为2，则球的体积是（    ） A． B．16 C． D． 2 若球的大圆的面积扩大为原来的倍，则它的体积扩大为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 3 两个球的半径之比为，则它们的体积之比是（    ） A． B． C． D． 4 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A． B． C． D． 题型七:简单几何体的三视图 例10 如图所示几何体由五个相同的小正方体组成，它的左视图是（　　）    A．   B．   C．   D．   变式训练 1 一个空间几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2 如图所示的几何体的俯视图是（    ） A．B．C．D． 3 一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为（ ） A．正方体和球 B．圆柱和圆锥 C．四棱柱和圆锥 D．正方体和棱锥 4 已知几何体的三视图及其尺寸（单位：）如图所示，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 5 下图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述的几何体可能是（    ） A．B．C．D． 6 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$