8.2第2课时 回归分析及非线性回归模型课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2.2第2课时　回归分析及非线性回归模型 高二 数学 白梦茹 济 南 市 钱 学 森 高 级 中 学 整体感知 [学习目标]　 1．了解残差、残差图的概念．(数学抽象) 2．会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果．(数学运算、数据分析) 3．了解非线性回归模型，掌握对数函数模型、指数函数模型和幂函数模型的求解过程．(数学运算、数学建模) 1. 经验回归方程： 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法. 2. 最小二乘估计： 经验回归方程中的参数 计算公式为： 复习回顾 探究建构 探究1　残差及残差分析 探究问题　具有相关关系的两个变量的经验回归方程＝x＋. (1)预测值与真实值y一定一样吗？ (2)预测值与真实值y之间误差大了好还是小了好？ (3)对于响应变量Y的观测值yi与预测值i，定义残差i＝yi－i. 若|i|比较小，回归模型拟合的精度有什么特点？ 不一定． 越小越好 拟合精度越高，回归模型的拟合效果越好． [新知生成] (1)对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为________． 通过经验回归方程得到的称为________， 观测值减去预测值所得的差称为______． 观测值 预测值 残差 例如表中的第6个观测，父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为y6=176(cm) 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为 残差为176-173.265=2.735(cm). 由经验回归方程得预测值为 类似地，可以得到其他的残差，如下表. 编号 父亲身高/cm 儿子身高观测值/cm 儿子身高预测值/cm 残差/cm 1 174 176 174.943 1.057 2 170 176 171.587 4.413 3 173 170 174.104 －4.104 4 169 170 170.748 －0.748 5 182 185 181.655 3.345 6 172 176 173.265 2.735 7 180 178 179.977 －1.977 8 172 174 173.265 0.735 9 168 170 169.909 0.091 10 166 168 168.231 －0.231 11 182 178 181.655 －3.655 12 173 172 174.104 －2.104 13 164 165 66.553 －1.553 14 180 182 179.977 2.023 残差表 为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可以画出残差图，如图下所示. 残差图： 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 160 165 170 175 180 185 残差/cm 父亲身高/cm • • • • • • • • • • • • • • 残差图：作图时纵坐标为残差, 横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图． 观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两边. 说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0、方差为σ2的随机变量的观测值. 通过观察残差图可以直观判断样本数据是否满足一元线性回归模型的假设， 一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析.借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策. 好的回归方程对应的残差散点图应是均匀地分布在横轴两侧的带状区域内.且带状区域越窄，说明模型拟合效果越好． 越窄越好 问题4 观察以下四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定？ (1) (2) (3) (4) 图(1)显示残差与观测时间有线性关系,应将时间变量纳入模型； 图(2)显示残差与观测时间有非线性关系,应在模型中加入时间的非线性函数部分; 图(3)说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大 图(4)的残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内. 可见, 只有图(4)满足一元线性回归模型对随机误差的假设. [新知生成] (2)作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量的观测值等，这样作出的图形称为________．在残差图中，残差比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度______，说明模型拟合精度越高． 残差图 越窄 (3)残差分析：______是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为__________． 残差 残差分析 [典例讲评]　1．(1)对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则右列模型拟合精度最高的是(　　) A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D √ 残差比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适， 带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． (2)两个线性相关变量x与y的统计数据如表所示： 其经验回归方程是＝x＋40，则相对应于点(11，5)的残差为(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 x 9 9.5 10 10.5 11 y 11 10 8 6 5 √ 代入点，得8＝10＋40，则＝－3.2， 因此＝－3.2x＋40. 当x＝11时，＝－3.2×11＋40＝4.8， 所以残差＝5－＝5－4.8＝0.2. 反思领悟　 (1)残差比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高． (2)残差是随机误差的估计结果，i＝yi－i. [学以致用]　1．(1)已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第________个． 6 原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大． (2)某种产品的广告支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如表关系，y关于x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，当广告支出为5万元时，残差为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 √ 当x＝5时，＝6.5×5＋17.5＝50(万元)． 由表格知当广告支出5万元时，销售额为60万元 所以残差为60－50＝10(万元)． 分析模型的回归效果方法: （2）残差平方和 （1）残差分析 好的回归方程对应的残差散点图应是均匀地分布在横轴两侧的带状区域内.且带状区域越窄，说明模型拟合效果越好． 列残差表 画残差图 （3）决定系数R2法 残差平方和越小， 说明模型拟合效果越好. 方法小结 比较残差？ 在一般情况下，直接比较两个模型的残差比较困难， 因为在某些散点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型小， 而另一些散点的情况则相反. 可以通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果. 决定系数R2 已知当残差的平方和越小，经验回归模型的拟合效果就越好， 故我们可以用决定系数R2来验证模型的拟合效果. 残差平方和 偏差平方和 （与经验回归方程有关） （与经验回归方程无关） R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 在一元线性回归模型中 R2=r2， 即决定系数R2等于响应变量与解释变量的样本相关系数r的平方. 显然0≤R2≤1，R2越接近1，则线性回归刻画的效果越好. 探究2　残差平方和与决定系数R2 [新知生成] (1)残差图法：在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以______________________________，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系． 横轴为对称轴的水平带状区域内 (3)决定系数R2法：可以用R2＝1－ 来比较两个模型的拟合 效果，R2越____，模型拟合效果越差，R2越____，模型拟合效果越好． 小 大 【微提醒】　0≤R2≤1. R2越接近1，则线性回归刻画的效果越好 [典例讲评]2．已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 (1)求y关于x的经验回归方程； [解]＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18， ＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， 所以＝ ＝＝－1.15， ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求经验回归方程是＝－1.15x＋28.1. [典例讲评]2． x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 (2)借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏． 列出残差表为 yi－i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以回归模型的拟合效果很好． 发现规律　刻画回归效果的三种方法 (1)残差图法：残差比较均匀地落在水平带状区域内，则说明选用的 模型比较合适． (3)决定系数R2法：R2＝_____________越接近1，表明模型的拟合效果越好． [学以致用]2．假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．数据如下： x 2 3 4 3 4 5 y 73 72 71 73 69 68 (1)以x为解释变量，y为响应变量，作出散点图； (2)求y关于x的经验回归方程，当单位成本为70元/件时，预测产量为多少； (3)计算各组残差，并计算残差平方和． [学以致用]2．假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．数据如下： x 2 3 4 3 4 5 y 73 72 71 73 69 68 (1)以x为解释变量，y为响应变量， 作出散点图； [解]散点图如下： [学以致用]2． x 2 3 4 3 4 5 y 73 72 71 73 69 68 (2)求y关于x的经验回归方程，当单位成本为70元/件时，预测产量为多少； (2)因为＝＝3.5， ＝＝71， 所以＝ ＝ ≈－1.82， ＝＝71＋1.82×3.5＝77.37， 所以y关于x的经验回归方程为 ＝－1.82x＋77.37， 令y＝70，则70＝－1.82x＋77.37， 解得x≈4.05， 所以单位成本为70元/件时， 预测产量约为4.05千件． [学以致用]2． x 2 3 4 3 4 5 y 73 72 71 73 69 68 (3)计算各组残差，并计算残差平方和． ＝－1.82x＋77.37 各组残差分别为 1＝y1－1＝73－(－1.82×2＋77.37)＝－0.73， 2＝y2－2＝72－(－1.82×3＋77.37)＝0.09， 3＝y3－3＝71－(－1.82×4＋77.37)＝0.91， 4＝y4－4＝73－(－1.82×3＋77.37)＝1.09， 5＝y5－5＝69－(－1.82×4＋77.37)＝－1.09， 6＝y6－6＝68－(－1.82×5＋77.37)＝－0.27， 残差平方和 ＝＋1.092＋(－1.09)2＋(－0.27)2 ＝3.818 2. 探究. 求经验回归方程 将经验回归直线叠加到散点图，得到下图： 用Y表示男子短跑100m的世界纪录, t表示纪录产生的年份, 利用一元线性回归模型 来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系. 根据最小二乘法, 由表中的数据得到经验回归方程为 ① 问题1 从图中可以看到 , 经验回归方程较好地刻画了散点的变化趋,请再仔细观察图形,你能看出其中存在的问题吗? 例如，第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方. 散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征. 问题2 你能对模型进行修改,以使其更好地反映散点的分布特征吗？ 修改模型 仔细观察右图, 可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近. 函数y=-lnx的图象具有类似的形状特征. 注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年 , 因此可设非线性回归方程为： y=f(t)=c1+c2ln(t-1895) （其中c1、c2为未知参数，且c2<0）. 追问 如何利用成对数据估计参数c1和c2？ 为了利用一元线性回归模型估计参数c1和c2，我们引进一个中间变量x， 令x=ln(t-1895)，, 则Y=c2 x+c1 通过x=ln(t-1895) ,将年份变量数据进行变换,得到新的成对数据,如下表. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份/t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 x 0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 如果上表对应的散点图呈现出很强的线性相关特征，我们就可以借助一元线性回归模型和新的成对数据，对参数c1 和 c2作出估计，进而可以得到Y关于t的非线性经验回归方程. 画出上表中成对数据的散点图， 由散点图可知，现在散点的分布呈现出很强的线性相关特征，故可以一元线性回归模型 建立经验回归方程. 根据最小二乘法，可得 将经验回归直线叠加到散点图，如图所示： 将x=ln(t-1895)代入 得到由创纪录年份预报世界纪录的经验非线性回归方程： ② 探究3　非线性回归分析 [新知生成] (1)非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系． (2)非线性经验回归方程 当回归方程不是形如＝x＋(，∈R)时，称之为非线性经验回归方程．当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程． [典例讲评]3．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1，2，…，10)数据作了初步处理，得到右面的散点图及一些统计量的值． (1)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的非线性经验回归方程； (2)当声音强度大于60 dB时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且＝1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据(1)中的非线性经验回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由． 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直 线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝ ， ＝－. (1)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的非线性经验回归方程； [解](1)由Wi＝lg Ii， 先建立D关于W的经验回归方程， 由于＝ ＝＝10 ∴＝＝45.7－(－11.5)×10＝160.7， ∴D关于W的经验回归方程是＝10W＋160.7， 即D关于I的非线性经验回归方程是 ＝10lg I＋160.7. (2)当声音强度大于60 dB时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且＝1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据(1)中的非线性经验回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由． 点P的声音能量I＝I1＋I2， ∵＝1010， ∴I＝I1＋I2＝10-10(I1＋I2)＝10-10≥9×10-10 (当且仅当＝，即I2＝2I1时等号成立)， 根据(1)中的非线性经验回归方程，点P的声音强度D的最小预测值为＝10lg (9×10-10)＋160.7＝10lg 9＋60.7>60， ∴点P会受到噪声污染的干扰． 反思领悟　非线性回归问题的处理方法 (1)指数函数型y＝eb x＋a ①函数y＝eb x＋a的图象，如图所示． ②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b. (2)对数函数型y＝b ln x＋a ①函数y＝b ln x＋a的图象，如图所示． ②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a， 再根据线性回归模型的方法求出a，b. (3)y＝bx2＋a型 处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b. [学以致用]3．(源自湘教版教材)实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据如表，试建立转化率y关于反应时间x的非线性经验回归方程．(结果保留三位小数) 时间 x/min 60 80 100 120 140 150 160 170 转化率 y/% 6.13 9.99 15.02 20.92 31.11 38.85 47.25 55.05 [学以致用]3实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据如表，试建立转化率y关于反应时间x的非线性经验回归方程．(结果保留三位小数) 时间x/min 60 80 100 120 140 150 160 170 转化率y/% 6.13 9.99 15.02 20.92 31.11 38.85 47.25 55.05 [解]根据收集的数据 作散点图(图1)． 3 时间x/min 60 80 100 120 140 150 160 170 转化率y/% 6.13 9.99 15.02 20.92 31.11 38.85 47.25 55.05 观察散点图可知，样本点并没有分布在某条直线附近， 因而变量y与x之间没有明显的线性相关关系， 所以不能直接利用一元线性回归模型来刻画这两个变量之间的关系． 根据已有的数学知识，可知样本点分布在指数型曲线y＝c1的附近， 其中c1和c2是待定参数． 在y＝c1的两端取对数， 得到ln y＝ln c1＋c2x. 再令z＝ln y，a＝ln c1，b＝c2， 则得到直线方程z＝bx＋a. 将题表中的数据进行代换，得到的数据见下表． x 60 80 100 120 140 150 160 170 z 1.813 2.302 2.709 3.041 3.438 3.660 3.855 4.008 图2是根据上表中数据作出的散点图． 从图2中可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近， 说明z和x之间具有线性相关关系， 因此可以用经验回归方程来拟合． 对上表中的数据，用最小二乘法可得经验回归方程为＝0.020x＋0.686. 再利用y＝ez可得到转化率y关于反应时间x的非线性经验回归方程为 ＝e0.686·e0.020x≈1.986e0.020x. 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ 1．下面四个残差图中，哪一个残差图可以满足一元线性回归模型中对随机误差的假定(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D 图A显示的残差分布比较集中，且成带状分布， 满足一元线性回归模型中对随机误差的假定． 2 3 题号 1 4 2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表： 哪位同学建立的回归模型拟合效果最好(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 √   甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好． ＝＝15， ＝＝18， 代入经验回归方程＝x＋27得18＝15＋27， 解得＝－0.6， 则经验回归方程为＝－0.6x＋27， 所以相应于点(10，20)的残差为20－(－0.6×10＋27)＝－1(℃)． 3．下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x(单位：℃)的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的经验回归方程为＝x＋27，则相应于点(10，20)的残差为________． 气温x/℃ 5 10 15 20 25 杯数y 26 20 16 14 14 －1 2 3 题号 4 1 2 4 3 题号 1 4．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y＝ebx＋a的附近，令z＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为___________． 由＝0.25x－2.58得ln ＝0.25x－2.58， 所以＝e0.25x-2.58 ＝e0.25x-2.58 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．对模型刻画数据效果的分析有哪些常见方法？ 残差图法，残差平方和法和R2法． 2．决定系数R2与样本相关系数r一样吗？ 在含有一个解释变量的线性回归模型中，决定系数R2恰好等于样本相关系数r的平方．在线性回归模型中有0≤R2≤1，因此R2和两个变量的样本相关系数r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好． 课时分层作业(二十二)　回归分析及非线性回归模型 1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的残差平方和如下，其中拟合效果最好的模型是(　　) A．0.09 B．0.13 C．0.21 D．0.88 残差平方和越小，说明估计数据与实际数据越接近， 拟合效果更好， 2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与 试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的同学是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 残差平方和越小，拟合效果越好 3．(多选)对变量y和x的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)进行回归分析，建立回归模型，则(　　) A．残差平方和越大，模型的拟合效果越好 B．若由样本数据得到经验回归直线＝x＋，则其必过点() C．用决定系数R2来刻画拟合效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D．若y和x的样本相关系数r＝－0.95，则y和x之间具有很强的负线性相关关系 因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A错误； 因为经验回归直线必过点()，故B正确； 因为决定系数R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，故C错误； 因为样本相关系数为负且绝对值接近1，说明y和x之间具有很强的负线性相关关系，故D正确． 4．若一函数模型为y＝sin2α＋2sinα＋1，为将y转化为t的经验回归方程，则需作变换t等于(　　) A．sin2α　 B．(sinα＋1)2 C．sin2α＋1　 D．以上都不对 y是关于t的一次函数， 又因为y＝(sinα＋1)2， 若令t＝(sin α＋1)2， 则可得y与t的函数关系式为y＝t， 此时变量y与变量t是线性相关关系． 5．已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表： 其经验回归方程是＝0.7x＋，据此计算，样本(4，3)处的残差为－0.15，则表中m的值为(　　) A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 由题意知，3.15＝0.7×4＋，所以＝0.35 由经验回归直线＝0.7x＋0.35过点( ＝×(3＋4＋5＋6)＝4.5，所以可得＋0.35＝3.5 由＝×(2.5＋3＋4＋m)＝3.5， 得m＝4.5. 6．已知经验回归方程＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是________． 因为残差i＝yi－i， 所以残差平方和为(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03. 0.03 7．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x+1的图象附近，设u＝ln y，则可通过转换得到经验回归方程________． 由y＝3e2x+1，得ln y＝ln (3e2x+1)， 即ln y＝ln 3＋2x＋1. 则经验回归方程为＝2x＋1＋ln 3 ＝2x＋1＋ln 3　 8．2024年3月1日至23日(日期代码分别为1，2，…，23)，某餐馆在区域M内投放广告单数量y(单位：万张)与日期代码x的数据满足非线性经验回归方程＝e0.38+x，则＝________．(精确到小数点后两位) 参考数据：y1y2y3…y23＝e89.7，＝12. 对＝e0.38+x的两边取自然对数，得ln ＝x＋0.3 所以ln y与x具有线性相关关系． 因为ln (y1y2y3…y23)＝ln e89.7＝89.7， 所以＝3.9， 所以3.9＝12＋0.38， 所以≈0.29 0.29　 9．已知x与y之间的数据如表： (1)求y关于x的经验回归方程； (2)完成下面的残差表，并判断(1)中线性回归模型的拟合效果是否良好．(若R2>0.9，则认为回归模型拟合效果良好) x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 x 2 3 4 5 6 yi－i           [解]　 (1)由题中表格数据可得，＝5， 则＝＝0.08， 故＝1.23x＋0.08. 9．已知x与y之间的数据如表： (1)求y关于x的经验回归方程； x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (2)设i＝yi－i， 所以1＝－0.34，2＝0.03，3＝0.5，4＝0.27，5＝－0.46， 则残差表如表所示， x 2 3 4 5 6 yi－i －0.34 0.03 0.5 0.27 －0.46 因为 ＝(2.2－5)2＋(3.8－5)2＋(5.5－5)2＋(6.5－5)2＋(7－5)2 ＝15.78， 所以R2＝1－≈0.96>0.9， 所以该线性回归模型的拟合效果良好． 9(2)完成下面的残差表，并判断(1)中线性回归模型的拟合效果是否良好．(若R2>0.9，则认为回归模型拟合效果良好) x 2 3 4 5 6 yi－i           $$