第七章 统计案例 章末小结课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第七章 统计案例 第七章章末小结 1 知识导图 2 知识导图 3 题型1 一元线性回归方程及应用 例1 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 （1）根据表中的数据，运用样本相关系数进行分析说明，是否可以用直线拟合与 的关系,并指出是正相关还是负相关； （2）求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量 的值； 题型探究 4 （3）设特征量，其中 为样本平均数，为样本方差 ，求 ． 参考公式： 样本相关系数 ， ， ． 参考数据：，，.若 ，则 ， . 题型探究 （1）根据表中的数据，结合相关系数的公式，求出样本相关系数，即 可得出结论；（2）根据最小二乘法，求出， ，即可得出线性回归方程，从而可得 预测值；（3）根据正态分布的对称性及题中的条件，即可求出结果． 题型探究 6 [解析] （1）由题意，得， ， ， ， ， 样本相关系数 ． 由于很接近1，说明， 线性相关性很强， 因而可以用直线拟合与 的关系. 由于 ，故其关系为负相关． 题型探究 7 （2）由（1）知， ， ， 所求的线性回归方程是 ． 当特征量为12时，可预测特征量 ． （3）由（1）知，又由，得 ， 从而 ． 题型探究 8 分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来判断两个变量之 间是否具有相关关系.若具有线性相关关系，则利用最小二乘法估计求出, 的值，利 用线性回归方程进行预测估计.本题渗透了数据分析、数学建模以及数学运算的素养. 题型探究 9 题型2 成对数据的线性相关性 例2 [2022年全国乙卷] 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估 计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面 积（单位：）和材积量（单位： ），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 题型探究 10 并计算得，， . （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； 题型探究 11 （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横 截面积总和为 .已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据 给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：样本相关系数， . 题型探究 12 [解析] （1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值 ， 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 ， 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 ，平均一棵的材积量为 . 题型探究 13 （2） . 题型探究 （3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为 ， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得，解得 . 则该林区这种树木的总材积量估计为 . 题型探究 15 熟练掌握样本相关系数的两个计算公式和两个公式之间的推导是解决本题的 关键.本题培养了数学运算、逻辑推理的素养. 题型探究 16 题型3 独立性检验 例3 [2022年新高考全国Ⅰ卷] 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的 卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机 调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人 （称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 题型探究 17 （1）能否有 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事 件“选到的人患有该疾病”，与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险 程度的一项度量指标，记该指标为 . 证明： . 题型探究 18 利用该调查数据，给出，的估计值，并利用的结果给出 的估计值. 附： . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 题型探究 19 [解析] （1）, 有 的把握认为患该疾病群 体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）由的定义可知, ， 又 ， . 题型探究 20 ， ， ，， . 题型探究 21 解独立性检验问题的基本步骤：（1）找相关数据，作列联表；（2）求统计 量 ；（3）根据检验规则得出结论，即与临界值作比较，得出事件有关的可信度． 题型探究 22 相关系数 的应用 大家是否知道啤酒与尿布的故事？ 全球零售业巨头沃尔玛在对消费者购物行为分析时发现，每周五的晚上，啤酒与 尿布的销售量呈现正相关关系，也就是每个周五的晚上，尿布和啤酒这两样东西卖得 特别好.原因竟然是年轻父亲会去超市帮婴儿买尿布，并且顺便买啤酒回家，以便周末 在家看球赛时喝，即男性顾客在购买婴儿尿布时，常常会顺便搭配几瓶啤酒来犒劳自 己.于是沃尔玛就尝试推出了将啤酒和尿布摆在一起的促销手段.没想到这个举措居然 使尿布和啤酒的销量都大幅增加了.如今，“啤酒 尿布”的数据分析成果早已成了大数 据技术应用的经典案例，被人津津乐道. 拓展延伸 23 要想找到“啤酒与尿布”之间的关联关系，就要对客户手中的购物篮进行计算，寻 找直截了当地表示商品之间关联度的量.统计中常用的表示商品关联度的数值可以统称 为值（的简称），这个 值作为商品之间相关性的数值统称，可以是商品 同时出现在购物篮的概率，也可以是商品之间的提高度，也就是我们学过的相关系数. 拓展延伸 24 1. 值的含义 值是衡量商品相关性的重要指标，按照购物篮分析的规律及 值与商品相关性的 对应关系定义.我们知道值大于，则可以认为其具有相当强的相关性， 值在 之间为较强相关性， 值低于0.25为弱相关性. 拓展延伸 25 2.当商品之间的 值大于0.75时 在分析购物篮商品相关性时，如果发现商品之间的相关性越强，那么代表商品之 间具有很强的关联关系，但是别高兴太早， 值越大越可能得出无意义的分析结果.因 为此时揭示的可能是卖场司空见惯的东西，比如三文鱼片与绿芥末、热狗面包与热狗、 卷笔刀与铅笔和方便面与火腿肠等经常出现在一起的商品，对于这样的分析结论要尽 早剔除，以免被业务人员所嘲笑.西方有一句名言：“不要尝试再去发明车轮”，用在这 里作为某些大的 值的评价是很恰当的. 拓展延伸 26 3.当商品之间的值在 之间时 在购物篮分析行业，将值在 之间的相关性称为“强关联”，很多“强关 联”是临时因素“干扰”造成的.有些“干扰因素”没有意义（如下面提到的伪关联），有 些“干扰因素”有意义，比如摆放在同一个区域的商品很容易同时出现在购物篮中，这 看上去具有很好的相关性，可一旦促销结束、区域撤销，商品的相关性也会消失，但 是这样的临时因素就非常有意义，可以证明促销组织非常成功，因此可以用来评估促 销效果. 拓展延伸 27 4.当商品之间的 值在0.25以下时 在购物篮分析行业，将 值低于0.25的相关性称为“弱关联”.在很多“弱关联”中，蕴 藏了很多不为人知的商业规律，比如啤酒与尿布这类商品的关联关系，相关关系特征 相当微弱，只有在特定的条件下（比如购买啤酒与尿布的父亲），这些特征才会强化 从而被人发现，所以零售专家认为，“弱关联”最吸引人.在“弱关联”中找出商品之间存 在的关联关系，对于很多数据分析人员来说是个极大的挑战，因此购物篮分析的主要 任务是在“弱关联”的关系中找出商品之间的相关性. 拓展延伸 28 5.当商品之间的 值为负值时 出现负值代表商品从来不出现在同一购物篮中，商品之间的关系是排斥关系.很多 购物篮分析数据不提及值为负值的情况，这是因为 值为负值时，分析难度更大.一般 来说，只有在商品之间的功能相同时， 值为负值才有意义，因此我们称为“同行是冤 家”，这时往往代表商品之间是竞争替代关系. 值背后隐藏的事实是在卖场中存在大量 的商品关联关系，比如油条与豆浆、三文鱼与绿芥末、牛奶与面包等等，这些商品之 间具有较强的关联关系，也有一些商品之间是竞争关系（负关联，即排斥关联），比 如米饭与面食、猪肉与鸡肉、各类面包之间、不同品牌牛奶之间等等. 拓展延伸 29 其实除了“啤酒与尿布”之外，商品之间还存在很多奇特的关联现象，只是这个故 事给我们打开了通往发现真相的大门.我相信，人们对这个经典案例的挖掘还会继续下 去，借一句老话说：“经典造就永恒”.我希望，这个小故事能够为在 挖掘出 来数据信息之后抓耳挠腮、不知何用的同学提供一点点思路.虽然我们还没涉足社会去 自己创业，但是我们可以结合平时的所见所闻所想，再佐以前人的经验，了解相关系 数在超市购物中的应用． 拓展延伸 （限时：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得 ，则 下列表述正确的是( ) . A A.有 的把握认为这种血清能起到预防感冒的作用 B.若有人未使用该血清，则他在一年中有 的可能性得感冒 C.这种血清预防感冒的有效率为 D.这种血清预防感冒的有效率为 综合测试 31 [解析] 因为，所以有 的把握认为这种血清能起到预防感冒的作用. 综合测试 32 2.设两个变量和之间具有线性相关关系，它们的相关系数为,关于 的线性回归方 程为 ，则( ) . C A.与的符号相反 B.与的符号相同 C.与的符号相同 D.与 的符号相反 [解析] 由线性相关关系可知，若，则两个变量正相关，等价于 ， 若，则两个变量负相关，等价于 ， 所以与 的符号相同，故A错误，C正确； 又因为与 的符号没有关系，所以B,D错误.故选C. 综合测试 33 3.已知两个变量的 列联表如下： 总计 200 800 1000 180 总计 380 经计算，，则 的值是( ) . B A.200 B.720 C.100 D.180 [解析] 由题意得，，解得 ． 综合测试 34 4.有人收集了春节期间平均气温（单位：）与某取暖商品销售额 （单位：万元） 的有关数据，如下表： 平均气温/ 销售额/万元 20 23 27 30 根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额与平均气温 之间线性回归方程 的系数.则预测当平均气温为 时，该商品的销售额为( ) . A A.34.6万元 B.35.6万元 C.36.6万元 D.37.6万元 [解析] ，，由题意知，过点 ，得 ，所以 . 当时， ，故选A. 综合测试 35 5.研究生毕业的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的调查数据，如 表所示： 硕士 博士 总计 男 162 27 189 女 143 8 151 总计 305 35 340 根据以上数据，则( ) . A A.性别与获取学位类别有关 B.性别与获取学位类别无关 C.性别决定获取学位的类别 D.以上都是错误的 综合测试 36 [解析] ， 因此有 的把握判断性别与获取学位类别有关. 综合测试 37 6.（改编）某工厂为调查各种促销政策对销量的影响情况，统计了前5天的销售情况. 设第天的产品销量为，有如下统计数据：，，，， . 由此得到的线性回归方程为 ，若前5天的总销量为130，则第10天的销量估 计为( ) . D A.20 B.24 C.30 D.40 [解析] 依题意得 ，因为前5天的总销量为130， 所以，解得.由，可得 ， 所以，将代入得 ，故选D. 综合测试 38 7.对某位运动员近5次比赛成绩的统计如下表: 比赛次数 1 2 3 4 5 得分 39 40 48 48 50 根据表可得关于的线性回归方程为 ，则下列说法不正确的是( ) . C A. B.与的样本相关系数 C.得分 的方差为22.8 D.预测第6次比赛成绩为54 综合测试 39 [解析] 由表格数据得， ， 所以，解得，故，当时， ，A，D正确； ，C错误； 由线性回归方程中的系数为正可知，与正相关，则其样本相关系数 ，B正确. 故选C. 综合测试 40 8.针对“中学生追星问题”，某校团委对学生性别与中学生追星是否有关做了一次调查. 调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人 数占女生人数的.若有 的把握认为是否喜欢追星与性别有关，则调查样本中男生 至少有( ) . 参考公式： . A A.12人 B.11人 C.10人 D.18人 综合测试 41 [解析] 设男生人数为，依题意可得 列联表： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 依题意得 , 由,且,，均为整数，得 的最小值为12,所以调查样本 中男生至少有12人． 综合测试 42 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分） 9.技术在我国已经进入高速发展的阶段， 手机的销量也逐渐上升.某手机商城统计 了2023年5个月的 手机的实际销量，如表所示： 月份 8月 9月 10月 11月 12月 月份编号 1 2 3 4 5 销量 万部 37 104 196 216 若与线性相关，且求得线性回归方程为 ，则下列说法正确的是 ( ) . 综合测试 43 A. B.与 正相关 C.与 的样本相关系数为负数 D.预测2024年2月份该手机商城的 手机销量为365万部 [解析] 由表中数据，计算得 ， 所以 ， 于是得，解得 ，故A正确； 由线性回归方程中的系数为正可知，与正相关，则其样本相关系数 ，故B正 确，C错误； 当时，（万部），故2024年2月份该手机商城的 手机销售量约为320万 部，故D错误． √ √ 综合测试 44 10.为了研究市民性别与喜欢冰雪活动是否有关，某校社团学生在部分市民中进行了一 次调查，得到下表： 性别 冰雪运动的喜好 男性 女性 总计 喜欢 140 不喜欢 80 总计 已知男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的 ，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数 的 ，则( ) . 综合测试 45 A.列联表中的值为60， 的值为120 B.有 的把握认为市民性别与喜欢冰雪运动有关 C.随机对一路人进行调查，对方有 的可能性喜欢冰雪运动 D.没有 的把握认为市民性别与喜欢冰雪运动有关 √ √ √ 综合测试 46 [解析] 依题意，由，解得，由，解得 ，A正确； ，则有 的把握认为市民性别与喜 欢冰雪运动有关，B正确； 随机对一路人进行调查，喜欢冰雪运动的频率为，则对方有 的可能性喜欢冰雪运动，C不正确； ，没有 的把握认为市民性别与喜欢冰雪运动有关，D正确． 综合测试 47 11.由样本数据得到关于的线性回归方程为 且 ，去除两个异常数据和 后，得到的新的回归直线的斜率为3，则 ( ) . AC A.变量， 具有正相关关系 B.去除异常数据后，新的平均数 C.去除异常数据后，新的线性回归方程为 D.去除异常数据后，随值的增加， 值增加的速度变小 综合测试 48 [解析] 因为线性回归方程的斜率为正，所以变量， 具有正相关关系， A正确； 因为，所以去除两个异常数据和 后， 得到新的平均数 ，B错误； 将代入得 ， 综合测试 49 故去除两个异常数据和后， ， 因为得到的新的回归直线的斜率为3，所以 ， 所以去除异常数据后的线性回归方程为 ，故C正确； 因为回归直线的斜率为正数，所以变量， 具有正相关关系， 且去除异常数据后，斜率由1.5增大到3，故值增加的速度变大，D错误.故选 . 综合测试 50 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.[原创] 已知变量与变量 有如下表所示的统计数据： 1 2 3 4 5 50 96 227 且根据表中数据，求得关于的线性回归方程为 ，若该直线过定点 ，则 _____. 327 [解析] 因为回归直线必过点，所以，解得 . 综合测试 51 13.为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的 喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼进行调查，得到下表： 性别 体育锻炼 男生 女生 总计 喜欢 280 不喜欢 120 总计 在本次调查中，男生人数占总人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的 ，则 的值为_____. 300 综合测试 52 [解析] 由题可知解得故 . 综合测试 53 14.[改编] 五组 数据的散点图如图所示，已知用图中所有 的数据求出的回归直线为，相关系数为；去掉点 求出的 回归直线为，相关系数为 .则下列说法正确的有________. ①②④ ; ②过点 ; ③若增大，则 必然增大; ④ 的拟合效果更好. [解析] 因为偏离集中位置较大且两个变量是正相关关系，所以且 的拟合 效果更好，故①④正确，③错误；, ，②正确. 综合测试 54 四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16~17题每题15分，第18 ~19题每题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.随着新高考改革的不断深入，高中学生的生涯规划越来越受到社会的关注，下表为 某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取的40名学生的统计数据. 成绩优秀 成绩不够优秀 总计 选修生涯规划课 20 不选修生涯规划课 16 总计 24 40 综合测试 55 参考公式：，其中 . （1）请将题目中的表格补充完整； （2）根据列联表，是否有 的把握认为学生成绩优秀与选修生涯规划课有关？ 请说明理由． 综合测试 56 [解析] （1） 成绩优秀 成绩不够优秀 总计 选修生涯规划课 12 8 20 不选修生涯规划课 4 16 20 总计 16 24 40 （2）根据表中数据，计算得到 , 故有 的把握认为学生成绩优秀与选修生涯规划课有关． 综合测试 57 16.当前，冷冻冷藏类技术发展迅速且应用广泛，某制冷技术重点实验室研究了不同果 蔬在不同冻结速率下的冰点温度.设冻结速率为，冰点温度为（单位： ），下表 为某种水果冰点温度随冻结速率变化的统计数据： 10 20 30 40 50 1 2 根据以上数据，绘制了散点图： 综合测试 58 （1）由散点图可以看出，可用直线拟合 与 的关系，请用相关系数 加以说明； （2）求关于 的线性回归方程，并预测当 冻结速率为60时，这种水果的冰点温度. 附：样本相关系数 ， 当 时，两个变量线性相关性很 综合测试 59 强，线性回归方程为 ，其中 ， . 参考数据： , , . 综合测试 [解析] （1） ， 因为，所以两个变量线性相关性很强，可以用直线拟合与 的关系. （2）由表可知，， . 因为，所以 ， 故关于的线性回归方程为 . 当时， ， 故当冻结速率为60时，这种水果的冰点温度为 . 综合测试 61 17.为了了解高中学生每天课后自主学习数学的时间 （单位：分钟）和他们的数学成 绩 （单位：分）的关系，某实验小组做了调查，得到以下数据： 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 综合测试 62 （1）请根据所给数据求出关于 的线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数 学的时间为100分钟时的学生的数学成绩. 参考数据：，， 的方差为200. （2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调 查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 列联表.问：是否有 的把握认为周末在校自主学习与成绩进步有关？ 综合测试 63 没有进步 有进步 总计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末在校自主学习 25 30 55 总计 60 160 220 附：，，, . 综合测试 64 [解析] （1）， ， 又的方差为 ， 所以 ， ， 故，当时， ， 故预测每天课后自主学习数学的时间为100分钟时的学生的数学成绩为140.5分. 综合测试 65 （2）根据数据，计算得 ， 所以有 的把握认为周末在校自主学习与成绩进步有关. 综合测试 66 18.某服装批发市场2023年月份的服装销售量与利润 的统计数据如表所示： 月份 1 2 3 4 5 销售量 万件 3 6 4 7 8 利润 万元 19 34 26 41 43 （1）已知销售量与利润大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出 关 于的线性回归方程 . 综合测试 67 （2）若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认 为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第5个月的数据检验由（1）中线性回归 方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想. 参考公式：， . 综合测试 68 [解析] （1）由题意得， ， ， ， ， ， 所以，，于是 ． （2）将代入线性回归方程得，因为 ， 所以由（1）中线性回归方程所得的第5个月的利润的估计数据不理想． 综合测试 69 19.2023年秋季，支原体肺炎在全国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年 人.某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽 查了200人的情况，并将调查结果整理如下: 有慢性疾病 没有慢性疾病 总计 未感染支原体肺炎 60 80 140 感染支原体肺炎 40 20 60 总计 100 100 200 （1）是否有 的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？ 综合测试 70 （2）现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层随机抽样的方式抽出6人，再从6人中 随机抽出4人作为医学研究对象并免费治疗.按以往的经验，有慢性疾病的老人每人的 研究治疗费用为2万元，没有慢性疾病的老人每人的研究治疗费用为1万元，记抽出的 这4人产生的研究治疗总费用为 （单位：万元），求 的分布列及数学期望. 参考公式：（其中 ）. 综合测试 [解析] （1）依题意得 ， 所以有 的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关. （2）从感染支原体肺炎的60位老人中按分层随机抽样的方式抽出6人， 其中有慢性疾病的有 人，没有慢性疾病的有2人. 研究治疗总费用 的可能值为6，7，8， 综合测试 72 则,, ， 所以 的分布列为 6 7 8 故数学期望 . 综合测试 73 $$