9.2提公因式法（第2课时）（教案）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（冀教版2024）

9.2提公因式法（第2课时） 教材分析 本节课为冀教版七年级数学下册第九章《因式分解》中的9.2《提公因式法》第二课时。因式分解是整式的重要内容，是整式乘法的逆运算。本节课是在学生已经掌握了提取单项式公因式进行因式分解的基础上，进一步学习提取含多项式的公因式的方法。通过对含多项式公因式的因式分解，培养学生的整体思想和化归意识，提高运算技能。例如，在分解表达式 时，需要将 作为公因式提取出来；而在处理 与 的关系时，需要理解 ，并掌握奇次幂和偶次幂情况下符号的变化规律。 本节学习内容为后续学习因式分解的其他方法（如公式法、分组分解法）奠定基础，同时也为今后解方程、化简代数式等知识的学习提供了必要的工具。 教学目标 【学习目标】 1. 理解并掌握提公因式法，能够熟练地运用提公因式法进行因式分解。 2. 熟练确定含多项式因式的公因式，能够正确提取公因式并进行因式分解。 3. 学会运用因式分解进行简便计算，解决实际问题。 【素养目标】 1. 培养学生的分析和类比思维能力，积累确定公因式的初步经验。 2. 体会因式分解的应用价值，增强对数学方法的理解，培养整体思想的数学思维能力。 教学重难点 【重点】 熟练确定含多项式因式的公因式，正确提取公因式进行因式分解 【难点】 1. 运用整体思想进行因式分解，正确处理底数相反的多项式。 2. 在提取公因式时，正确处理符号变化，掌握变号技巧。 教学过程 （一）知识回顾 1、如何确定一个多项式的公因式？ 一看系数 二看字母 三看指数 2、提公因式法分解因式的一般步骤： 3、活动：分解`6x²y - 9xy²`（单项式公因式） - 追问：若将x换成(m+n)，如何分解`6(m+n)²- 9(m+n)？ （二）情境导入 师：同学们，前面我们学习了如何用 提公因式法 分解因式，提取的公因式通常是一个单项式。那么，你们觉得公因式可以是多项式吗？请大家观察下列各组式子，思考其中是否存在公因式： 1. 和 2. 和 3. 和 请同学们讨论，这些式子中，有没有公因式？如果有，公因式是什么？ 【设计意图】通过设置具有思考性的问题，引导学生发现公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式，激发学生的学习兴趣，为新知识的学习做好铺垫。 （三）新知探究 师：刚才大家讨论得很好，我们发现公因式不仅可以是单项式，还可以是多项式。下面，我们一起来探究如何提取多项式公因式 活动：完成下列填空 问题1：分解因式：a（x-3）+2b（x-3） 把多项式 看成一个整体， 则_______是多项式的公因式， 提取公因式后余下的部分是______________ 故可分解成___________________. 生：公因式是 。 师：很好，我们可以把 看作一个整体，提取公因式后余下的部分是什么？ 生：余下的是 。 师：那么，我们可以将原式分解为： 问题2：分解因式：y（x+1）+y ²（x+1），把多项式 看成一个整体， 则__________是多项式的公因式，提取公因式后余下的部分是______________.故可分解成 ___________________ 生：公因式是 。 师：很好，提取公因式后余下的部分是什么？ 生：余下的是 。 师：因此，原式可以分解为： 【设计意图】通过具体的例子，帮助学生理解如何提取多项式作为公因式，培养学生的整体思想，掌握提取公因式法的新方法。 （四）例题讲解 例1：把下列各式分解因式： (1) (2) 解： (1) 分析：两个项都有公因式 ，注意到第一个项前有负号。 提取公因式 ： (2) 分析：注意到 ，所以： 答： (1) (2) 【设计意图】通过例题讲解，帮助学生理解在提取公因式时如何处理符号相反的多项式，掌握变号的方法，提高解题技巧。 讨论：只有符号不同的多项式的关系 (1)a-b 与 -a+b 互为相反数. (a-b)n = (b-a)n (n是偶数） (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数） （2）a+b 与 -a-b 互为相反数. (-a-b)n = (a+b)n (n是偶数） (-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数） (3) a+b与b+a 相等. (a+b)n = (b+a)n (n是整数） 【设计意图】通过讨论帮助学生进一步理解多项式公因式的整体性，学会快速确定公因式的方法 例2:分解因式： 4a2(x-y)3-2b2(y-x)4. （板书） 解：原式=4a2(x-y)3-2b2(x-y)4 =2(x-y)3[2a2-b2(x-y)] =2(x-y)2(2a2 -b2x+b2y) 口诀：一看系数二看式，符号相反提负号 【设计意图】进一步讲解例题，帮助学生熟练掌握提取多项式公因式的方法，识别多项式中隐含的多项式公因式，正确提取多项式公因式并保证因式分解彻底性 避免因符号错误导致分解不彻底 巩固所学知识。 （五）课堂练习 1. 分解因式：学生先分组完成，老师订正 解： 首先，注意到 ，所以： （板书） 解： 注意到 ，且 ，所以： （板书） 2、练习： 请同学们完成以下练习，巩固本节所学内容。（学生独立完成，请同学上黑板完成） 1. 分解因式： 2. 分解因式： 3. 分解因式： 【设计意图】通过有针对性的练习，帮助学生熟练掌握提取多项式公因式的方法，巩固所学知识。 3、练习：教材练习第3题（学生独立完成，请同学上黑板完成） （六）课堂总结 本节课我们学习了提公因式法的更多应用，包括公因式为多项式的情况。主要内容总结如下： 1.确定多项式的公因式的方法： o 看系数：取各项系数的最大公约数。 o 看字母：取各项中相同的字母。 o 看指数：取相同字母的最低指数。 2.提公因式法的步骤： 1. 确定公因式：找出多项式各项的公因式，可以是单项式，也可以是多项式。 2. 提取公因式：将公因式提到括号外，括号内写上各项除以公因式后的结果，注意符号的变化。 3. 整理结果：将多项式写成公因式与另一因式的乘积形式。 2. 注意事项： 公因式可以是多项式，在提取公因式时，要运用整体思想。 底数相反时，提取负号，括号内各项的符号要改变。例如： 因式分解要彻底，不能漏掉任何因式。 检验方法：将分解后的因式重新相乘，验证是否等于原式。 3. 提公因式法与整式乘法互为逆运算： 提公因式法是将多项式化为因式的乘积形式，是整式乘法的逆运算。 （七）布置作业 1、课堂作业习题A组第3题，C组第5题，第,6题 2、提升巩固： 1、选择题： （1）分解因式 正确的结果是（  ） A． B． C． D． （2）把多项式 (x+2)(x-2)+(x-2) 提取公因式 (x-2) 后，余下的部分是（  ） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 （3）若 为 的三边长，且 ，则 是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2、 填空题： （1） （2）分解因式 （3）若 ，则 等于 （4）若 ，则 的值是 3、 计算题： （1）分解因式： ① ② （2）先分解因式，再求值： 已知 ，计算 （3）已知，，求的值 4、 综合题： 已知 ，求和 的值。 板书设计 提公因式法（二） 1. 公因式类型：单项式 / 多项式 2. 步骤： ① 定公因式（含符号处理） ② 提取后括号内项数=原项数 3. 注意： (a-b)n = (b-a)n （n为偶数） (a-b)n = -(b-a)n （n为奇数） 教学反思 本节课围绕提公因式法展开教学，重点在于引导学生理解公因式不仅可以是单项式，还可以是多项式。通过回顾确定公因式的方法，帮助学生巩固基础。在例题讲解中，通过分解如 的多项式，使学生掌握提取多项式公因式的技巧。同时，针对符号相反的多项式分解这一难点，利用 的关系，帮助学生理解变号的原理。这部分内容加深了学生对代数式符号变化的认识，提升了运算能力。在教学过程中，大部分学生能够积极参与，理解新的知识点。但也发现部分学生在变号处理中存在疑惑。今后教学中，应加强对此类问题的讲解，结合更多例题和练习，加深学生理解。此外，可鼓励学生自主探索多项式因式分解的规律，培养其思维能力。 7 学科网（北京）股份有限公司 $$