专题2 中考数学选择题压轴题10种常考题型训练-2025年中考数学复习题型对位训练（南通专用）

专题2 中考选择题压轴题10种常考题型训练（解析版） 类型一 利用代数式作恒等变形求值 1．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（　　） A．24 B． C． D．﹣4 【分析】方法1、先化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝10﹣7mn，再判断出mn≤2，即可求出答案． 方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，进而得出mnk2，进而得出原式＝10﹣7mnk2，即可求出答案． 【详解】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn， ∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n） ＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2 ＝5m2+5n2﹣12mn ＝5（mn+2）﹣12mn ＝10﹣7mn， ∵m2+n2＝2+mn， ∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号）， ∴mn， ∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号）， ∴mn≤2， ∴mn≤2， ∴﹣14≤﹣7mn， ∴﹣4≤10﹣7mn， 即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为， 故选：B． 方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2， ∴mn+2+2mn＝k2， ∴mnk2， ∴原式＝10﹣7mnk2， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）是解本题的关键． 2．（2024•南通二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　） A． B．6 C． D．3 【分析】根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n，因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3，将每个选项的数字代入，看能否求解出符合要求的实数a、b即可． 【详解】解：根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n， 因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b， 化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3； A．若p，则a2﹣b2＝2a，a，b2＝a2﹣2a＞0，故选项A正确； B．若p＝6，则a2﹣b2＝2a＝3，a，b2＝a2﹣2a＜0，故选项B错误； C．若p，则a2﹣b2＝2a，a，b2＝a2﹣2a＜0，故选项C错误； D．若p＝3，则a2﹣b2＝2a＝0，a＝0，明显不符合题意，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，关键在于根据互助数的定义，得到a2﹣b2＝2a＝p﹣3，然后将每个选项的数字代入验证即可． 3．（2024•海安市一模）已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（　　） A． B． C． D．﹣2 【分析】由a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1得（a+1）2b＝a2﹣a﹣1，当a+1＝0时，不合适．当a+1≠0时，b＝（）2，代入选项A、C、D均不合适，故选B． 【详解】解：∵a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1， ∴b（a2+2a+1）＝a2﹣a﹣1， ∴（a+1）2b＝a2﹣a﹣1， 当a+1＝0时，即a＝﹣1时， 左边＝0，右边＝1，左边≠右边， ∴a＝﹣1舍去． 当a+1≠0时， b ＝1﹣3 ＝（）2﹣3（）+1 ＝（）2且b≠1， 代入选项A、C、D均不合适， 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的知识，掌握顶点式是解题关键． 4．（2024•南通一模）已知实数a，b满足4a2b＝n，b2+2a＝n，b≠2a．其中n为自然数，则n的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】由原式知，（4a2b）﹣（b2+2a）＝0，进一步变形得（2a﹣b） （2a+b）＝0，因为b≠2a，所以2a+b0，得b2a，代入b2+2a＝n得，（2a）+2a＝n，配方法求极值． 【详解】解：由原式知，（4a2b）﹣（b2+2a）＝0， ∴（4a2﹣b2）﹣（2ab）＝0 ∴（2a﹣b）（2a+b）（2a﹣b）＝0 ∴（2a﹣b） （2a+b）＝0 ∵b≠2a ∴2a+b0， ∴b2a， 代入b2+2a＝n得，（2a）2+2a＝n， 整理，得n＝4a2﹣2a+7＝（2a ）25≥5， ∴自然数n的最小值为6 故选C． 【点睛】本题考查等式的基本性质，平方差公式、完全平方公式、配方法求极值；根据式子的具体特征，结合乘法公式对代数式作恒等变形是解题的关键． 5．（2024•海门区一模）已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），当x＝a时，该多项式的值为c﹣a，则多项式a2﹣b2+3的值可以是（　　） A． B．2 C． D． 【分析】先将x＝a代入多项式ax2+bx+c中得：a2＝﹣b﹣1＞0，则b＜﹣1，计算所求式并配方与平方的非负性相结合即可求解． 【详解】解：把x＝a代入多项式ax2+bx+c中得：a3+ab+c＝c﹣a， ∴a3+ab+a＝0， ∵a≠0， ∴a2+b+1＝0， ∴a2＝﹣b﹣1＞0， ∴b＜﹣1， ∴a2﹣b2+3 ＝﹣b2﹣b﹣1+3 ＝﹣b2﹣b+2 ＝﹣（b）2， ∵﹣1＜0， ∴当b时，a2﹣b2+3有最大值是， 当b＝﹣1时，a2﹣b2+3＝﹣（﹣1）22， ∵b＜﹣1， ∴本题多项式a2﹣b2+3的值可以是． 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法及偶次方的非负性在代数式求值中的应用，根据已知条件正确配方是解题的关键． 类型二 含参方程（组）与不等式（组） 6．（2023•南通）若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（　　） A．3 B． C．2 D． 【分析】结合已知条件解含参的二元一次方程组，然后代入﹣2xy+1中确定其取值即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 则﹣2xy+1 ＝﹣21 1 1 1 ， ∵32， ∴A，B，C不符合题意，D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解得x，y的值后代入﹣2xy+1中整理出是解题的关键． 7．（2024•海门区校级模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合， ③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴，x2＝﹣q， ∴， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程ax2+bx+c＝0的根为：，， 若x1＝2x2，则， 即， ∴， ∴， ∴， ∴9（b2﹣4ac）＝b2， ∴2b2＝9ac． 若2x1＝x2时，则， 则， ∴， ∴， ∴， ∴b2＝9（b2﹣4ac）， ∴2b2＝9ac． 故④正确， ∴正确的有：②③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 8．（2024•通州区二模）若x﹣2的值同时大于2x+1和2a﹣x的值，则a的取值范围是（　　） A．a＞﹣4 B．a≥﹣4 C．a＜﹣4 D．a≤﹣4 【分析】根据题意列出不等式组，求出解集即可． 【详解】解：∵x﹣2的值大于2x+1的值， ∴x﹣2＞2x+1， 解得：x＜﹣3， ∴x﹣2的值大于2a﹣x的值， ∴x﹣2＞2a﹣x， ∴x＞a+1， ∵x﹣2的值同时大于2x+1和2a﹣x的值， ∴a+1＜﹣3， ∴a＜﹣4， 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（2024•海门区二模）已知x，y满足2x+y＝3，且x≥﹣2，y＞2．若k＝x﹣y，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣9 B． C． D． 【分析】首先解关于x和y的方程组，利用k表示出x和y，然后根据x≥﹣2，y＞2即可列不等式组求得k的范围． 【详解】解： ①+②，得3x＝3+k， 解得x， 把x代入②，得y， ∵x≥﹣2，y＞2， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组，正确利用k表示出x和y的值是关键． 类型三 动点问题的函数图象 10．（2023•南通）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（　　） A．54 B．52 C．50 D．48 【分析】根据勾股定理求出AB＝25，再分别求出0≤x≤15和15＜x≤35时的PD，AD的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可． 【详解】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20， ∴AB25， ①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示， 此时AD＝x， ∵ED⊥AB， ∴∠DEA＝90°＝∠C， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴△CAB∽△EAD， ∴， ∴AE， DE， BE＝25， ∴yBE•DE（25）10x， 当x＝10时，y＝76， ∴a＝76， ②当15＜x≤35时，点D在BC边上，如图所示， 此时BD＝35﹣x， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°＝∠C， ∵∠DBE＝∠ABC， ∴△DBE∽△ABC， ∴， ∴BE28， DE21， ∴yDE•BE（28）×（21）＝（14）（21）， 当x＝25时，y＝24， ∴b＝24， ∴a﹣b＝76﹣24＝52， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握． 11．（2021•南通）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点P在AD，DC，BC上分三种情况，将面积表示成t的函数，即可确定对应的函数图象． 【详解】解：∵AD， ∴AB＞AD， ∴点P先到D， 当0≤t＜13时， 过点P作PH⊥AB于H， 则， ∴PH， ∴， ∴图象开口向上， ∴A，C不符合题意， 当18＜t＜31时，点P在BC上， ∴， 只有D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查动点问题求面积，关键是要根据动点在不同的线段上分情况讨论，依次来确定对应的分段的函数的图象． 12．（2024•崇川区三模）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，tanA．点P从点A出发，沿边AB向点B运动．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，PQ交△ABC的边于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y．y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当x＝4时，y的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【分析】根据题意可知，当x＝5时，y＝0，即AB＝5，再根据∠ACB＝90°，tanA即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知当x＝5时，y＝0，即AB＝5， ∵∠ACB＝90°，tanA， ∴， 当x＝4时，如图， AP＝4，BP＝1， 在Rt△BPQ中，tanB， ∴PQ， ∴y4． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象和锐角三角函数的有关知识，解答关键是分析动点到达临界点前后的图形变化． 13．（2024•海门区二模）如图1，等腰RtABC中，∠C＝90°，AB＝4，点D从点B出发，沿B→C→A方向运动，DE⊥AB于点E，△DEB的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（　　） A．函数图象上点的横坐标表示DB的长 B．当点D为BC的中点时，点E为线段AB的三等分点 C．两段抛物线的开口大小不一样 D．图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 【分析】当点D运动到点C处时，x＝2，故判断A错误；求出BE＝1，判断B错误；求出当点D在BC上和点D在AC上时的函数关系式，比较a值的绝对值，判断C错误；把x＝3，代入关系式求出y值，确定D正确． 【详解】解：A．∵AC＝BC，∠C＝90°，AB＝4，∴BC＝2，当点D运动到点C处时，x＝2，∴函数图象上点的横坐标表示不是DB的长，故A错误； B．当点D为BC的中点时，BDBC，∵∠B＝45°，∴BE＝1，∴点E为不是线段AB的三等分点，故B错误； C．由题意得BE＝x，∴0＜x≤2时，点D在BC上，y＝BE•DEx2，当2＜x＜4时，点D在AC上，AE＝DE＝（4﹣x），∴yBE•DEx2+2x，∵||＝||，两段抛物线的开口大小一样，故C错误； D．把x＝3，代入yx2+2x，得y，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键． 14．（2024•海安市二模）如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发，沿折线 A﹣D﹣C 向点C匀速运动，过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q．设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（　　） A．4 B． C．8 D． 【分析】点Q运动到点B处时，AQ为4，即AB为4，当点P运动到点D处时，路程AP为8，即AD为8，证明△ADC∽△CDQ，求出CQ、BQ，在Rt△ABQ中利用勾股定理求出AQ即可． 【详解】解：由图2得，当点Q运动到点B处时，AQ为4，即AB为4， 如图，当点P运动到点D处时，路程AP为8，即AD为8， ∵AC⊥PQ， ∴△ADC∽△CDQ， ∴AD：CD＝CD：CQ，即8：4＝4：CQ，∴CQ＝2， ∴BQ＝6， 在Rt△ABQ中，AQ2， ∴m＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键． 15．（2024•南通一模）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E﹣O﹣F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP，PQ，△BPQ的面积为S cm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】当0＜t≤1时，点P在OE上，当1＜t≤2时，点P在OF上，分别求出S与t的函数关系，即可解答． 【详解】解：如图，当0＜t≤1时， 由题得，PE＝BQ＝t cm， ∵正方向ABCD是边长为2cm， ∴P到BC的距离为（2﹣t）cm， ∴St•（2﹣t）t2+t， 如图，当1＜t≤2时， 由题得，PF＝CQ＝（2﹣t）cm， ∴四边形CFPQ为矩形， ∴PQ＝CF＝1cm， ∴St•1t， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象应用，三角形面积的计算是解题关键． 16．（2022•南通）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】过O点作OM⊥AB于M，由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AB，AC的长，结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求得OM，AM的长，设BE＝x，则EM＝5﹣x，利用勾股定理可求得y与x的关系式，根据自变量的取值范围可求得函数值的取值，即可判断函数的图象求解． 【详解】解：过O点作OM⊥AB于M， ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∵BC＝4， ∴AB＝8，AC， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AOAC， ∴OMAO， ∴AM， 设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB﹣AM﹣BE＝8﹣3﹣x＝5﹣x， ∵OE2＝OM2+EM2， ∴y＝（x﹣5）2+3， ∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为（5，3），与y轴的交点为（0，28）， ∵0≤x≤8， ∴当x＝8时y＝12， 故符合解析式的图象为： 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，二次函数的图象，求解函数解析式及函数值的范围是解题的关键． 类型四 反比例函数与几何综合 17．（2024•海安市二模）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为，则k的值是（　　） A．7 B．14 C．21 D．28 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接OC，OA， ∵⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径， ∴CB⊥x轴， ∴BC∥y轴， ∴S△ACD＝S△OAB， ∴k＝2S△BOC＝2×2S△OAB＝2×214． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是关键． 18．（2025•海门区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N．若B（10，0），MN⊥OA，则k的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】作AE⊥x轴，垂足为E，MC⊥x轴，垂足为C，ND⊥x轴，垂足为D，先分别求出直线OA和AB的解析式，分别与反比例函数解析式联立方程组求出点M、N的坐标，将点N的横坐标为15﹣2，代入解方程得到k值即可． 【详解】解：如图，作AE⊥x轴，垂足为E，MC⊥x轴，垂足为C，ND⊥x轴，垂足为D， ∵B（10，0）， ∴OB＝10， ∵△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝10，∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°， ∴OE5，AE＝5， ∴A（5，5）， ∴直线OA的解析式为yx， ，解得x，即OC， ∴OM＝2，AM＝10﹣2， 设直线AB的解析式为y＝k2x+b，代入点A、B坐标得： ，解得， ∴直线AB的解析式为yx+10， 令， 整理得， ∵AN＝2AM＝20﹣4，NB＝10﹣AN＝410， DB＝25， OD＝10﹣DB＝15﹣2， ∴点N的横坐标为15﹣2，代入得： （15﹣2）2+10（15﹣2）﹣k＝0， 405k﹣750， k﹣8150， 令k＝t2，则t， t2﹣8t+150， （t﹣3）（t﹣5）＝0， ∴t＝3或t＝5， ∴k＝9或25（舍去）． 经检验k＝9是原方程的解， ∴k＝9． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 19．（2025•海安市一模）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是18，则点B的坐标为（　　） A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5） 【分析】先求出反比例函数，设OB的解析式为y＝mx，由OB经过D（3，2），得出OB的解式为，设，且a＞0，由平行四边形的性质得BC∥OA，S▱OABC＝2S△OBC，则，，代入面积公式即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点D（3，2） ∴k＝3×2＝6， ∴反比例函数的解析式为， ∵OB经过原点O， ∴设直线OB的解析式为y＝mx（m≠0）， ∵OB经过点D（3，2）， ∴2＝3m， ∴， ∵直线OB的解析式为， ∵反比例函数经过点C， ∴设，且a＞0， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，S▱OABC＝2S△OBC， ∴点B的纵坐标为， ∵OB的解析式为， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形OABC的面积是18， ∴S平行四边形OABC＝2S△OBC， 解得：或（舍去）， ∴点B的坐标是（6，4）， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 类型五 反比例函数与一次函数的交点问题 20．（2021•南通）平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与双曲线y（k＞2）相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设M（m，2）为双曲线y（k＞2）上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC﹣OD的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】解法一：设A（a，2a），M（m，2），则B（﹣a，﹣2a），分别计算直线AM和BM的解析式，令x＝0可得OC和OD的长，相减可得结论； 解法二：作辅助线，构建相似三角形，先根据两个函数的解析式计算交点A和B的坐标，根据M（m，2）为双曲线y（k＞2）上一点，将点M的坐标代入反比例函数的解析式可得M的坐标，证明△EMD∽△FDB和△CPA∽△CEM，列比例式分别计算OC和OD的长，可得结论； 解法三，取特殊值k＝8，可得结论． 【详解】解：解法一：设A（a，2a），M（m，2），则B（﹣a，﹣2a）， 设直线BM的解析式为：y＝nx+b， 则，解得：， ∴直线BM的解析式为：yx， ∴OD， 同理得：直线AM的解析式为：yx， ∴OC， ∵a•2a＝2m， ∴m＝a2， ∴OC﹣OD4； 解法二：由题意得：， 解得：，， ∵点A在第一象限， ∴A（，），B（，）， ∵M（m，2）为双曲线y（k＞2）上一点， ∴2m＝k， ∴m， ∴M（，2）， 如图，过点A作AP⊥y轴于P，过点M作ME⊥y轴于E，过点B作BF⊥y轴于F， ∴∠MED＝∠BFD＝90°， ∵∠EDM＝∠BDF， ∴△EMD∽△FBD， ∴，即， ∴OD2， ∵∠CPA＝∠CEM＝90°，∠ACP＝∠ECM， ∴△CPA∽△CEM， ∴，即， ∴OC2， ∴OC﹣OD2﹣（2）＝4． 解法三：取k＝8，如图，则M（4，2），A（2，4），B（﹣2，﹣4）， 得AM的解析式为：y＝﹣x+6，BM的解析式为：y＝x﹣2， ∴OC＝6，OD＝2， ∴OC﹣OD＝6﹣2＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的综合问题，解题关键是构造相似三角形求解． 21．（2024•启东市二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接OB，若S△OBC＝4，tan∠BOC，则m的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论． 【详解】解：，作BD⊥y轴交于点D， ∵直线y＝kx+4与y轴交于点C ∴点C的坐标为（0，4）， ∴OC＝4， ∵S△OBC＝4， ∴BD＝2， ∵tan∠BOC， ∴， ∴OD＝6， ∴点B的坐标为（2，6）， ∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B， ∴k＝2×6＝12． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解直角三角形，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标，难度不大． 22．（2024•启东市一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点P（﹣3，0）的直线y＝x+b与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（　　） A．﹣2≤k＜﹣1 B． C． D． 【分析】先求出直线解析式，与反比例函数解析式联立方程组确定M、N的横坐标，利用平行线得到PD、PE的代数式，根据条件进行判断即可． 【详解】解：∵P（﹣3，0）在y＝x+b图象上， ∴b＝3， ∴y＝x+3， 令x+3， ∴x2+3x﹣k＝0， ∴Δ＝32﹣4×1×（﹣k）＝9+4k， ∵y＝x+3与y有两个交点， ∴9+4k＞0， ∴k， ∵x2+3x﹣k＝0， ∴x， ∴点M的横坐标为，N点的横坐标为， 作ME⊥x于点E，作ND⊥x轴于点D，则ME∥ND， ∴， ∵P（﹣3，0）， ∴PD，PE， ∵， ∴PD≤2PE， ∴， ∴1， ∵9+4k＞0， ∴9+4k≤1， ∴k≤﹣2． ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一元二次方程的判别式是解答本题的关键． 类型六 二次函数的性质 23．（2025•海安市一模）已知二次函数y＝mx2+nx（m≠0），经过点A（c，4）．当y≥﹣2时，x的取值范围为x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由y≥﹣2时，x的取值范围为x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，可得x＝3t﹣6或x＝﹣2﹣3t是方程mx2+nx+2＝0的两个根，则有n＝8m，再得c2+8c≤32，利用m的取值范围确定c的取值范围即可求解． 【详解】解：当y≥﹣2时，mx2+nx≥﹣2， ∴mx2+nx+2≥0， ∵当y≥﹣2时，x的取值范围为x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t， ∴x＝3t﹣6或x＝﹣2﹣3t是方程的两个根， ∴， ∴n＝8m， ∴y＝m（x+4）2﹣16m， ∴x＝﹣4是函数的对称轴，且﹣16m≤﹣2， ∴， ∴mc2+8mc＝4， ∴， ∴， ∴c2+8c＞0， ∴0＜c2+8c≤32， ∴﹣32＜c2+8c﹣32≤0， 设抛物线y＝c2+8c﹣32， 令0＝c2+8c﹣32，解得， 令﹣32＝c2+8c﹣32，解得c3＝0，c2＝﹣8， 根据抛物线开口向上， ∴c2+8c﹣32≤0的解集为或 ∴c的可能取值为2， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 24．（2024•崇川区三模）已知二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（　　） A．若p+q＝0，则p＝q＝0 B．若p﹣q＝0，则p＝q＝0 C．若p+q＝1，则p＝q＝0.5 D．若p﹣q＝1，则p＝1，q＝0 【分析】根据对称轴公式求出y1和y2的对称轴，再依据二次函数，（m，n为常数，n≠0）都有最小值可知，两抛物线开口都是向上，进而得出pn，q1，结合条件得出p+q＝0，列出方程求解即可． 【详解】解：由两函数表达式可知， 函数y1的对称轴 为x， 函数y2的对称轴为直线x， ∵二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（ ∴两函数图象均开口向上，两函数均在对称轴上取到最小值， 则有pn，q1， 若p+q＝0，则有n10， 解得：8n＝m2或n＝﹣1（舍去）， 将m2＝8n代入p，q得：p＝q＝0， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴及二次函数最大（小）值的求法． 25．（2024•海门区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（　　） A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点， ∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1， 又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3， ∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5， ∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣n的交点的横坐标在﹣5与﹣3之间和1与3之间， ∴关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是﹣4和2， 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答． 类型七 几何图形的性质 26．（2024•通州区二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，P为边AC上的一动点，以PA，PB为边作▱APBQ，则线段PQ长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质得到AO＝BOAB6＝3，PO＝QO，当线段PQ长最小，则线段PO长的最小，过点O作OP⊥AC于P，此时OP最小，解直角三角形得到结论． 【详解】解：∵四边形APBQ是平行四边形， ∴AO＝BOAB6＝3，PO＝QO， 当线段PQ长最小，则线段PO长的最小， 过点O作OP⊥AC于P，此时OP最小， 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8， ∴AC10，sin∠BAC， 在Rt△ABC中，AO＝3，sin∠BAC， ∴PO＝3， ∴PQ＝2PO， ∴线段PQ长的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 27．（2024•南通二模）如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接DE，由菱形的性质得AD＝CD，∠ADC＝∠B＝α，由轴对称的性质得ED＝AD，所以ED＝CD，则∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC，由∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+∠DCE+∠DEC＝360°，得α+2∠AEC＝360°，则∠AEC＝180°α，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接DE， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝α， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠B＝α， ∵点A关于直线DP的对称点为E， ∴DP垂直平分AE， ∴ED＝AD， ∴ED＝CD， ∴∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC， ∵∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+∠DCE+∠DEC＝360°， ∴α+2（∠DEA+∠DEC）＝360°， ∴α+2∠AEC＝360°， ∴∠AEC＝180°α， 故选：D． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、四边形的内角和等于360°等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 28．（2024•海门区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值． 【详解】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC10， ∴AO＝DOAC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12AO×EODO×EF， ∴125×EO5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分． 29．（2024•海门区一模）如图，用4个全等的Rt△ADE，Rt△CBG，Rt△GEH，Rt△EGF和2个全等的Rt△ABH，Rt△DCF拼成如图所示的矩形ABCD，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的性质得出AE＝EF＝GH，DE＝EH＝GF，DF＝BH，AE＝CF，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：∵用4个全等的Rt△ADE，Rt△CBG，Rt△GEH，Rt△EGF和2个全等的Rt△ABH，Rt△DCF拼成如图所示的矩形ABCD， ∴设AE＝EF＝GH＝a，DE＝EH＝GF＝b，DF＝BH＝a+b，AH＝CF＝a﹣b， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AB＝CD， 由勾股定理可得，BC2＝AD2＝AE2+DE2＝a2+b2，AB2＝AH2+BH2＝（a+b）2+（a﹣b）2， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出AE＝EF＝GH，DE＝EH＝GF，DF＝BH，AE＝CF解答． 30．（2024•海门区校级模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处．延长AF，与CD边交于点G，延长FE，与BA的延长线交于点H，则下列说法：①△BFH为等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA； ③∠DFG＝60°；④DE；⑤S△AEF＝S△DFG．其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①由折叠后对称很容易得到结果．②由上一证结论，并证明△AHF≌△ADF从而证得．③由①证得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°故不正确．④根据对折可以证明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF1，所以DEDF，从而得证．⑤作FM⊥CD于M，FN⊥AD于N，证明FM＝FN即可解决问题． 【详解】解：由题意三角形ABE对折后为三角EFB， ∴∠EFB＝∠DAB＝90°， 由题意正方形ABCD，连接BD， 则角ABF＝45°， ∴在直角三角形BHF中HF＝BF， 故①正确． 由上一证知：HF＝BF＝AB，∠FHB＝∠ADB＝45°， ∵∠EAH＝90°， ∴∠AEH＝∠DEF＝45°， ∴∠DFE＝90°， ∵EA＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∴∠AFD＝∠FAH， 又知AF为公共边， ∴△AHF≌△ADF（SAS）， 故②正确． 由①证得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°， 由已知∠BDC＝45°， ∴在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°， 在三角形DFG中角DFG＝67.5°， 故③不正确； 根据对折可以证明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF1， 所以DEDF， 即④正确， 或者过D作FG的垂线证明三角形全等， ⑤作FM⊥CD于M，FN⊥AD于N， ∵∠FDM＝∠FDN， ∴FM＝FN， 易证AE＝DG， ∵S△FEA•AE•FN，S△DFG•DG•FM， ∴S△AEF＝S△DGF， 故⑤正确． 所以①②④⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，①由折叠后对称很容易得到结果．②由上一证结论，并证明△AHF≌△ADF从而证得．③由①证得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°故不正确．④根据对折可以证明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF1，所以DEDF，从而得证．⑤过D作DI垂直于FG，垂足为I，EB与AF的交点为G证明三角形DFI与EFG全等． 31．（2024•启东市一模）如图，P为正方形ABCD内一点，∠APD＝∠ADP＝75°，延长DP交BC于点E．若，则正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BP，过点E作EF⊥BP于点F，因为∠APD＝∠ADP＝75°，则AD＝AP，∠DAP＝180°﹣（∠APD+∠ADP）＝30°，根据四边形ABCD是正方形，得出AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，则AP＝AB，∠BAP＝∠BAD﹣∠DAP＝60°，推出△ABP是等边三角形，则∠APB＝60°，BP＝AB＝AP，因为∠APD＝75°，∠APB＝60°，则∠EPF＝180°﹣∠APD﹣∠APB＝45°，又根据∠PFE＝90°，，求出PF＝EF＝1，因为∠ABC＝90°，∠ABP＝60°，则∠FBC＝∠ABC﹣∠ABP＝30°，求出，则，因为AB＝BP，可得结论． 【详解】解：连接BP，过点E作EF⊥BP于点F， ∵∠APD＝∠ADP＝75°， ∴AD＝AP，∠DAP＝180°﹣（∠APD+∠ADP）＝30°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴AP＝AB，∠BAP＝∠BAD﹣∠DAP＝60°， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠APB＝60°，BP＝AB＝AP， ∵∠APD＝75°，∠APB＝60°， ∴∠EPF＝180°﹣∠APD﹣∠APB＝45°， 又∵∠PFE＝90°，， ∴在Rt△PFE中，PF＝EF＝1， ∵∠ABC＝90°，∠ABP＝60°， ∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABP＝30°， ∴在Rt△BFE中，， ∴， ∵AB＝BP， ∴正方形的边长为 ， 故答案为：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 类型八 几何图形的翻折变换（折叠问题） 32．（2025•南通模拟）已知：菱形ABCD中，，AC＝2，AC 与BD交于点O，点E为OB上一点，以AE为对称轴，折叠△ABE，使点B的对应点F恰好落在边CD上，则BE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OCAC＝1，利用勾股定理求出OB，则BD，由折叠的性质得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，由等边对等角得∠AFD＝∠ADF，再根据AB∥CD得∠BAF＝∠AFD＝∠ADF，进而得到∠BAE＝∠BDA，于是可证明△ABE∽△DBA，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝2， ∴AB＝AD，AC⊥BD，OA＝OCAC＝1，AB∥CD，OB＝OD，∠ADB＝∠CDB， 在Rt△AOB中，OB， ∴BD＝2OB， 根据折叠的性质可得，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE， ∴∠AFD＝∠ADF， ∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AFD＝∠ADF， ∴∠BAF∠ADC， ∴∠BAE＝∠BDA， ∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴，即， ∴BE． 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质，利用折叠的性质和菱形的性质得出∠BAE＝∠BDA，以此证明△ABE∽△DBA是解题关键． 33．（2024•海安市一模）如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（　　） A．4 B．5 C． D． 【分析】利用折叠性质和菱形的性质得出△ADF为等腰三角形，过点A作AG⊥DF，由等腰三角形的性质可得点G为DF中点，由点F为CD中点可得DGCDAD，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AG⊥CD， ∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD沿AE翻折， ∴AB＝AD，AB＝AF，∠ABE＝∠D， ∴AD＝AF， ∴三角形ADF为等腰三角形， ∵AG⊥DF， ∴点G为DF中点， ∵点F为CD中点， ∴AD＝CD＝4DG， 设DG＝a，则AD＝4a， 在Rt△ADG中，AD2＝AG2+DG2， ∴（4a）2＝AG2+a2， ∴AGa， ∴tan∠ABE＝tanD， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质，菱形的性质，解直角三角形，解题的关键是证明△ADF为等腰三角形． 类型九 相似三角形的判定与性质 34．（2024•南通）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（　　） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【分析】旋转得到DH＝DE，∠HDE＝2α，当点E落在边 AC上时，利用三角形的外角推出∠CED＝α＝∠C，进而得到DE＝CD，推出 DH＝CD，判断小明的说法，连接AE，HE，等边对等角，求出，进而求出∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α，推出点E在射线HE上运动，根据垂线段最短，得到AE⊥HE时，AE的长最小，进而推出△AEH∽△AHB，判断小丽的说法即可． 【详解】解：∵将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE， ∴DH＝DE，∠HDE＝2α， 当点E落在边AC上时，如图： ∵∠HDE＝∠C+∠CED，∠C＝α， ∴∠CED＝α＝∠C， ∴DE＝CD， ∴DH＝CD， ∴D为CH的中点， 故小明的说法是正确的； 连接AE，HE， ∵DH＝DE，∠HDE＝2α， ∴， ∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝∠AHD＝90°， ∴∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α， ∴点E在射线HE上运动， ∴当AE⊥HE时，AE的长最小， ∴当AE的长最小时，∠AEH＝∠AHB＝90°， 又∵∠B＝∠C＝α＝∠AHE， ∴△AEH∽△AHB，， ∴AH2＝AB•AE， 故小丽的说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点E的轨迹，是解题的关键． 类型十 解直角三角形及其应用 35．（2024•启东市二模）如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C，F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠BAD的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KDCF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H，求出EH，即可解决问题． 【详解】解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KDCF＝5， ∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆， ∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小， ∵AD是切线，点D是切点， ∴AD⊥KD， ∵AK＝13，DK＝5， ∴AD＝12， ∵tan∠EAO， ∴， ∴OE， ∴AE， 作EH⊥AB于H． ∵S△ABE•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE， ∴EH， ∴sin∠BAD． 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 36．（2025•南通模拟）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝1.7米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为α，当时，此时悬托架AE的长度为（　　）米. A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【分析】过点E作EM⊥AD，垂足为M，根据题意可得：DG∥EH，从而可得∠DGB＝∠α，再根据垂直定义可得：∠ABC＝∠FDG＝90°，从而可得∠BDG+∠DGB＝90°，∠ADE+∠BDG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠DGB＝∠ADE＝α，从而可得tan∠ADE，再根据已知易得：AD＝0.8m，再利用等腰三角形的三线合一性质可得：AM＝DM＝0.4m，最后在Rt△DME中，利用锐角三角函数的定义求出EM的长，从而利用勾股定理求出DE的长，即可解答． 【详解】解：过点E作EM⊥AD，垂足为M， 由题意得：DG∥EH， ∴∠DGB＝∠α， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BDG+∠DGB＝90°， ∵DF⊥DG， ∴∠FDG＝90°， ∴∠ADE+∠BDG＝180°﹣∠FDG＝90°， ∴∠DGB＝∠ADE＝α， ∵， ∴tan∠ADE， ∵AB＝2.5m，BD＝1.7m， ∴AD＝AB﹣BD＝2.5﹣1.7＝0.8（m）， ∵AE＝DE，EM⊥AD， ∴AM＝DMAD＝0.4（m）， 在Rt△DME中，EM＝DM•tan∠ADE＝0.40.3（m）， ∴DE0.5（m）， ∴DE＝AE＝0.5m， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，生活中的旋转现象，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 中考选择题压轴题10种常考题型训练（原卷版） 类型一 利用代数式作恒等变形求值 1．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（　　） A．24 B． C． D．﹣4 2．（2024•南通二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　） A． B．6 C． D．3 3．（2024•海安市一模）已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（　　） A． B． C． D．﹣2 4．（2024•南通一模）已知实数a，b满足4a2b＝n，b2+2a＝n，b≠2a．其中n为自然数，则n的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2024•海门区一模）已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），当x＝a时，该多项式的值为c﹣a，则多项式a2﹣b2+3的值可以是（　　） A． B．2 C． D． 类型二 含参方程（组）与不等式（组） 6．（2023•南通）若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（　　） A．3 B． C．2 D． 7．（2024•海门区校级模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024•通州区二模）若x﹣2的值同时大于2x+1和2a﹣x的值，则a的取值范围是（　　） A．a＞﹣4 B．a≥﹣4 C．a＜﹣4 D．a≤﹣4 9．（2024•海门区二模）已知x，y满足2x+y＝3，且x≥﹣2，y＞2．若k＝x﹣y，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣9 B． C． D． 类型三 动点问题的函数图象 10．（2023•南通）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（　　） A．54 B．52 C．50 D．48 11．（2021•南通）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 12．（2024•崇川区三模）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，tanA．点P从点A出发，沿边AB向点B运动．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，PQ交△ABC的边于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y．y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当x＝4时，y的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 13．（2024•海门区二模）如图1，等腰RtABC中，∠C＝90°，AB＝4，点D从点B出发，沿B→C→A方向运动，DE⊥AB于点E，△DEB的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（　　） A．函数图象上点的横坐标表示DB的长 B．当点D为BC的中点时，点E为线段AB的三等分点 C．两段抛物线的开口大小不一样 D．图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 14．（2024•海安市二模）如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发，沿折线 A﹣D﹣C 向点C匀速运动，过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q．设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（　　） A．4 B． C．8 D． 15．（2024•南通一模）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E﹣O﹣F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP，PQ，△BPQ的面积为S cm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 16．（2022•南通）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A．B． C． D． 类型四 反比例函数与几何综合 17．（2024•海安市二模）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为，则k的值是（　　） A．7 B．14 C．21 D．28 18．（2025•海门区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N．若B（10，0），MN⊥OA，则k的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 19．（2025•海安市一模）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是18，则点B的坐标为（　　） A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5） 类型五 反比例函数与一次函数的交点问题 20．（2021•南通）平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与双曲线y（k＞2）相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设M（m，2）为双曲线y（k＞2）上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC﹣OD的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 21．（2024•启东市二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接OB，若S△OBC＝4，tan∠BOC，则m的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 22．（2024•启东市一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点P（﹣3，0）的直线y＝x+b与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（　　） A．﹣2≤k＜﹣1 B． C． D． 类型六 二次函数的性质 23．（2025•海安市一模）已知二次函数y＝mx2+nx（m≠0），经过点A（c，4）．当y≥﹣2时，x的取值范围为x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 24．（2024•崇川区三模）已知二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（　　） A．若p+q＝0，则p＝q＝0 B．若p﹣q＝0，则p＝q＝0 C．若p+q＝1，则p＝q＝0.5 D．若p﹣q＝1，则p＝1，q＝0 25．（2024•海门区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（　　） A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4 类型七 几何图形的性质 26．（2024•通州区二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，P为边AC上的一动点，以PA，PB为边作▱APBQ，则线段PQ长的最小值为（　　） A． B． C． D． 27．（2024•南通二模）如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（　　） A． B． C． D． 28．（2024•海门区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 29．（2024•海门区一模）如图，用4个全等的Rt△ADE，Rt△CBG，Rt△GEH，Rt△EGF和2个全等的Rt△ABH，Rt△DCF拼成如图所示的矩形ABCD，则的值为（　　） A． B． C． D． 30．（2024•海门区校级模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处．延长AF，与CD边交于点G，延长FE，与BA的延长线交于点H，则下列说法：①△BFH为等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA； ③∠DFG＝60°；④DE；⑤S△AEF＝S△DFG．其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（2024•启东市一模）如图，P为正方形ABCD内一点，∠APD＝∠ADP＝75°，延长DP交BC于点E．若，则正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 类型八 几何图形的翻折变换（折叠问题） 32．（2025•南通模拟）已知：菱形ABCD中，，AC＝2，AC 与BD交于点O，点E为OB上一点，以AE为对称轴，折叠△ABE，使点B的对应点F恰好落在边CD上，则BE的长为（　　） A． B． C． D． 33．（2024•海安市一模）如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（　　） A．4 B．5 C． D． 类型九 相似三角形的判定与性质 34．（2024•南通）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（　　） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 类型十 解直角三角形及其应用 35．（2024•启东市二模）如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C，F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠BAD的值是（　　） A． B． C． D． 36．（2025•南通模拟）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝1.7米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为α，当时，此时悬托架AE的长度为（　　）米. A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 1 学科网（北京）股份有限公司 $$