数学（广东深圳卷专用）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

2025年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是(   ) A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意，选项正确； C、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：B． 2．截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，即的形式，，为整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 先将万变形为，再根据科学记数法表示为的形式即可求解． 【详解】解：万， 万用科学记数法表示为． 故选：A． 3．下列整式的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项、完全平方公式，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4．如图，数轴上的点A、、、、分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（    ）    A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴、无理数的估算等知识点，掌握无理数的估算方法成为解题的关键． 先估算出无理数的范围，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即表示数的点应落在上． 故选B． 5.如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角与圆周角的关系，解题的关键熟知相关性质． 根据圆内接四边形对角互补可求得，然后再根据同弧上的圆心角等于圆周角的2倍即可得到结论． 【详解】∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵与所对的弧都是， ∴． 故选：D． 6．．几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原计划参加旅游的同学共有人，则根据题可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系：原来人均单价－实际人均单价＝3，把相关数值代入即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： 原来人均单价为，实际人均单价为， 那么所列方程为， 故选：A． 【点睛】本题考查列分式方程，得到人均单价的关系式是解决本题的关键． 7．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，连接，先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． A.2 B. C.1 D. 【答案】B 【分析】连接，过点作于点，证明和都是等边三角形，再由勾股定理求得，再得出的最小值为，然后证明，进而推出是等边三角形，即可得解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，， ，， 和都是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 的最小值为， 故答案为B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式及平方差公式法分解因式．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10．如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用频率来估计概率，解一元一次方程，先计算正方形的面积，再建立方程求解即可，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中银杏叶的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键． 【详解】解：正方形面积为：， 设该银杏叶的面积为，依题意得： ， 解得：， ∴估计该银杏叶的面积为， 故答案为：． 11．如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数（）的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边长及反比例函数图象上点的坐标特征． 作交OB于点G，利用．求出，，表示出，，，利用相似的性质求出，再利用勾股定理即可求出k的值． 【详解】解：作交于点G，    ∵矩形的对角线．． ∴，，即， ∵E，F分别在，上，且在反比例函数上， ∴，， ∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 又∵， 即，解得：． 故答案为：． 13．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形和平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，构造全等三角形，一线三直角模型是解题关键．以、为邻边作矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，再过点作的平行线交、的延长线于点、，则四边形是矩形，结合矩形的性质，证明四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，从而推出，求出，，再证明，即可求出的长． 【详解】解：如图，以、为邻边作矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，再过点作的平行线交、的延长线于点、，则四边形是矩形， ，，，，， 是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则等计算即可． 【详解】解：原式 ． 15．先化简： 再从中选合适的数求值． 【答案】，2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解： ， ∵且， 且， ∴， 当时，原式 16．某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了㸷学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题：    (1)这次被调查的学生共有______人； (2)请你将条形统计图补充完整； (3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团； (4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3)这名学生中有人参加了篮球社团 (4) 【分析】（1）由D所占扇形的圆心角为，根据，计算可求这次被调查的学生； （2）根据C组人数为：，计算求解，然后补图即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据题意，画树状图，然后求概率即可． 【详解】（1）解：∵D所占扇形的圆心角为， ∴这次被调查的学生共有：（人）； 故答案为：； （2）解：由题意知，C组人数为：（人）， 补充条形统计图如下：    （3）解：（人）， 答：这名学生中有人参加了篮球社团， （4）解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：    ∴一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种， ∴． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，列举法求概率．从统计图中获取正确的信息，正确的画树状图是解题的关键． 17．根据以下素材，完成任务． 背景 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了100亿，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5个种娃娃、4个种娃娃，共需250元；若买3个种娃娃、3个种娃娃，共需165元． 素材2 该商店线下促销活动：用50元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 该商店线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 该商店在无促销活动时，求种娃娃和种娃娃的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买、两种娃娃共18个，其中款盲盒个，若在线下凭会员卡购买，共需要________元；若在线上淘宝店购买，共需要________元．（均用含的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买种娃娃的数量在什么范围内时，线下凭会员卡购买方式更合算？ 【答案】任务1：该商店在无促销活动时，A种娃娃销售单价为30元，B种娃娃销售单价为25元；任务2：；；任务3：购买A种娃娃数量大于10个且小于18个时，线下凭会员卡购买方式更合算． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列代数式，正确理解题意列出方程，不等式和代数式是解题的关键． 任务1：设A种娃娃销售单价为元，B种娃娃销售单价为元，根据买5个种娃娃、4个种娃娃，共需250元；买3个种娃娃、3个种娃娃，共需165元建立方程组求解即可； 任务2：根据所给折扣标准列式求解即可； 任务3：根据（2）所求令线下凭会员卡购买的费用小于在线购买的费用，据此建立不等式求解即可． 【详解】解：任务1：设A种娃娃销售单价为元，B种娃娃销售单价为元， 根据题意得， 解得， 答：该商店在无促销活动时，A种娃娃销售单价为30元，B种娃娃销售单价为25元； 任务2：由题意得，若在线下凭会员卡购买，共需要元； 若在线上淘宝店购买，共需要元； 任务3：由题意得，， ∴， ∴当，即购买A种娃娃数量大于10个且小于18个时，线下凭会员卡购买方式更合算． 18．如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．    (1)求证：EF与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴EF与相切； （2）解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19．【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式 【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______． 【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解． （2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由． 【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示． （3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集． 【答案】（1）；，[类比探究]；（2）画图见解析，或，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键． （1）观察图象解答即可； （2）画出函数的图象，观察图象解答即可； （3）观察图象解答即可． 【详解】解：[问题探究] （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为，所以的解为． 故答案为：，0＜x＜1； [类比探究] 受此启发，小蒙尝试解不等式，经过分析，小蒙发现需要借助函数和函数的图象来求解． 故答案为：； （2）如图所示， 该不等式组的解集是或； 从函数角度看，解不等式 相当于求双曲线， 在直线 上方的点的横坐标的取值范围． 由图象可知， 与的交点分别为和，因此解集为或； （3）在图3中画出的图象， 由图象可知，该不等式组的解集是． 20．如图： (1)问题发现： 如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c（a＞c），则AC的最小值为 　 　，AC的最大值为 　 　； (2)轻松尝试： 如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，连接B'D，则B'D的最小值为　 　． (3)方法运用： 在四边形ABCD中，BC＝4，点D是BC上方的动点，且CD＝2，∠ABD＝90°，＝m． ①如图3，当m＝1时，求线段AC的最大值． ②如图4，当m≠1时，用含m式子表示线段AC的最大值． 【答案】(1)a－c，a＋c； (2)8 (3)①，② 【分析】（1）根据当点A在线段BC上时，AC有最小值，点A在CB的延长线上时，AC有最大值可得答案； （2）由题意得出点B'的运动轨迹是以点E为圆心，5为半径的圆弧，当点E、B'、D共线时，B'D取最小值，求出ED可得答案； （3）①如图3，以BC为直角边作等腰直角△BCM，证明△ABC≌△DBM，可得当DM取最大值时，AC最大，而D、C、M共线时，DM最大，求出DM的最大值即可； ②如图4，作BN⊥BC，且BN＝4m，证明△ABC∽△DBN，可得当DN取最大值时，AC最大，即当D、C、N共线时，DN最大，求出DN的最大值然后计算AC即可． 【详解】（1）解：∵点A为平面内一动点，BC＝a，AB＝c（a＞c）， ∴当点A在线段BC上时，AC有最小值a－c， 当点A在CB的延长线上时，AC有最大值a＋c， 故答案为：a－c，a＋c； （2）∵E为AB边的中点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'， ∴EB＝EB'＝AB＝5，点B'的运动轨迹是以点E为圆心，5为半径的圆弧， ∴当点E、B'、D共线时，B'D取最小值， ∵    ， ∴B'D最小＝ED－EB'＝13－5＝8， 故答案为：8； （3）①如图3，以BC为直角边作等腰直角△BCM，则BC＝BM， ∵∠ABD＝∠CBM＝90°，＝m＝1， ∴∠ABC＝∠DBM，AB＝BD， ∴△ABC≌△DBM（SAS）， ∴AC＝DM， ∴当DM取最大值时，AC最大， 即当D、C、M共线时，DM最大，如图，D′M为最大值， ∵，， ∴， ∴当m＝1时，线段AC的最大值为； ②如图4，作BN⊥BC，且BN＝4m，即， ∵∠ABD＝∠CBN＝90°，＝m， ∴∠ABC＝∠DBN，， ∴△ABC∽△DBN， ∴， ∴， ∴当DN取最大值时，AC最大， 即当D、C、N共线时，DN最大，如图，D′N为最大值， ∵BC＝4，， ∴，， ∴， ∴AC最大． 【点睛】本题考查圆的综合应用，翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形、相似三角形来解决问题，综合性较强． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（7分）先化简： 再从中选合适的数求值． 16. （9分） （1） __________ （2） 请你将条形统计图补充完整； （3） （4） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.（9分） 任务1： 任务2：________；________； 任务3： 18. （9分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(11分） (1) ______ ，______ . (2) （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. (11分） (1)　 　，　 　. (2)　 　 　. (3)　 ① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学考前最后一卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是(   ) A．  B．  C．   D．   2．截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列整式的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上的点A、、、、分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（    ）    A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 5.．如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．．几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原计划参加旅游的同学共有人，则根据题可列方程（　　） A． B． C． D． 7．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． A.2 B. C.1 D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9．分解因式： ． 10．如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 11．如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为 ．    12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数（）的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为 ．    13．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ． 三、解答题（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．计算：． 15．先化简： 再从中选合适的数求值． 16．某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了㸷学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题：    (1)这次被调查的学生共有______人； (2)请你将条形统计图补充完整； (3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团； (4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率． 17．根据以下素材，完成任务． 背景 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了100亿，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5个种娃娃、4个种娃娃，共需250元；若买3个种娃娃、3个种娃娃，共需165元． 素材2 该商店线下促销活动：用50元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 该商店线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 该商店在无促销活动时，求种娃娃和种娃娃的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买、两种娃娃共18个，其中款盲盒个，若在线下凭会员卡购买，共需要________元；若在线上淘宝店购买，共需要________元．（均用含的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买种娃娃的数量在什么范围内时，线下凭会员卡购买方式更合算？ 18．如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．    (1)求证：EF与相切； (2)若，求的长． 19．【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式 【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______． 【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解． （2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由． 【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示． （3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集． 20．如图： (1)问题发现： 如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c（a＞c），则AC的最小值为 　 　，AC的最大值为 　 　； (2)轻松尝试： 如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，连接B'D，则B'D的最小值为　 　． (3)方法运用： 在四边形ABCD中，BC＝4，点D是BC上方的动点，且CD＝2，∠ABD＝90°，＝m． ①如图3，当m＝1时，求线段AC的最大值． ②如图4，当m≠1时，用含m式子表示线段AC的最大值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C B D A C B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13． 14． 15．/ 三、解答题（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.【详解】解：原式 (4分） （5分） 15.【详解】解： (1分） (2分） (3分） ，(4分） ∵且， 且，(5分） ∴，(6分） 当时，原式(7分） 16.详解】（1）；(1分） （2）解：由题意知，C组人数为：（人）， 补充条形统计图如下：   (3分） （3）解：（人），(4分） 答：这名学生中有人参加了篮球社团，(5分） （4）解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：   (7分） ∴一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种，(8分） ∴．(9分） 17.【详解】解：任务1：设A种娃娃销售单价为元，B种娃娃销售单价为元， 根据题意得，(2分） 解得，(3分） 答：该商店在无促销活动时，A种娃娃销售单价为30元，B种娃娃销售单价为25元； 任务2：由题意得，若在线下凭会员卡购买，共需要元；(4分） 若在线上淘宝店购买，共需要元；(5分） 任务3：由题意得，，(6分） ∴，(7分） ∴当，即购买A种娃娃数量大于10个且小于18个时，线下凭会员卡购买方式更合算．(9分） 18.【详解】（1）证明：连接，    ∵，∴， ∵， ∴，(1分） ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，(2分） ∴， ∵为半径， ∴EF与相切；(3分） （2）解：设半径为x，则， ∵，， ∴，(4分） 在中，，， ∴，即，(5分） 解得， 经检验，是所列方程的解，(6分） ∴半径为4，则， 在中，，，，(7分） ∴，(8分） ∴．(9分） 【详解】解：[问题探究] ，0＜x＜1；(2分） [类比探究] ；(4分） （2）如图所示， 该不等式组的解集是或；(6分） 从函数角度看，解不等式 相当于求双曲线， 在直线 上方的点的横坐标的取值范围． 由图象可知， 与的交点分别为和，因此解集为或；(8分） （3）在图3中画出的图象， 由图象可知，该不等式组的解集是．(11分） 【详解】（1）a－c，a＋c；(2分） （2）8；(5分） （3）①如图3，以BC为直角边作等腰直角△BCM，则BC＝BM， ∵∠ABD＝∠CBM＝90°，＝m＝1， ∴∠ABC＝∠DBM，AB＝BD， ∴△ABC≌△DBM（SAS），(6分） ∴AC＝DM， ∴当DM取最大值时，AC最大， 即当D、C、M共线时，DM最大，如图，D′M为最大值，(7分） ∵，， ∴， ∴当m＝1时，线段AC的最大值为；(8分） ②如图4，作BN⊥BC，且BN＝4m，即， ∵∠ABD＝∠CBN＝90°，＝m， ∴∠ABC＝∠DBN，， ∴△ABC∽△DBN，(9分） ∴， ∴， ∴当DN取最大值时，AC最大， 即当D、C、N共线时，DN最大，如图，D′N为最大值， ∵BC＝4，， ∴，，(10分） ∴， ∴AC最大．(11分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考考前最后一卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共15分） 9._________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算：． 15．（7分）先化简： 再从中选合适的数求值． 16. （9分） （1） __________ （2） 请你将条形统计图补充完整； （3） （4） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.（9分） 任务1： 任务2：________；________； 任务3： 18. （9分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（11分） (1) ______ ，______ . (2) (3) 20.（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (1)　 　，　 　. (2)　 　 　. (3)　 ① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考数学考前最后一卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是(   ) A．  B．  C．   D．   2．截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列整式的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上的点A、、、、分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（    ）    A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 5.．如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．．几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原计划参加旅游的同学共有人，则根据题可列方程（　　） A． B． C． D． 7．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． A.2 B. C.1 D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9．分解因式： ． 10．如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 11．如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为 ．    12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数（）的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为 ．    13．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ． 三、解答题（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．计算：． 15．先化简： 再从中选合适的数求值． 16．某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了㸷学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题：    (1)这次被调查的学生共有______人； (2)请你将条形统计图补充完整； (3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团； (4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率． 17．根据以下素材，完成任务． 背景 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了100亿，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5个种娃娃、4个种娃娃，共需250元；若买3个种娃娃、3个种娃娃，共需165元． 素材2 该商店线下促销活动：用50元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 该商店线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 该商店在无促销活动时，求种娃娃和种娃娃的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买、两种娃娃共18个，其中款盲盒个，若在线下凭会员卡购买，共需要________元；若在线上淘宝店购买，共需要________元．（均用含的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买种娃娃的数量在什么范围内时，线下凭会员卡购买方式更合算？ 18．如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．    (1)求证：EF与相切； (2)若，求的长． 19．【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式 【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______． 【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解． （2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由． 【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示． （3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集． 20．如图： (1)问题发现： 如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c（a＞c），则AC的最小值为 　 　，AC的最大值为 　 　； (2)轻松尝试： 如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，连接B'D，则B'D的最小值为　 　． (3)方法运用： 在四边形ABCD中，BC＝4，点D是BC上方的动点，且CD＝2，∠ABD＝90°，＝m． ①如图3，当m＝1时，求线段AC的最大值． ②如图4，当m≠1时，用含m式子表示线段AC的最大值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$