周测培优卷十九：垂直关系-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 必修第二册·周测培优卷十九 高一数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 必修第二册·周测培优卷十九 高一数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 必修第二册·周测培优卷十九 测试内容：垂直关系 建议用时：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．下列命题中正确的是（    ） A．若一条直线垂直于一个平面上的两条直线，则这条直线必垂直于这个平面 B．若一条直线垂直于一个平面上的无数条直线，则这条直线必垂直于这个平面 C．若一条直线垂直于一个平面上的任意一条直线，则这条直线必垂直于这个平面 D．若一条直线垂直于一个平面的一组平行线，则这条直线必垂直于这个平面 2．已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 3．下列平面中的两条直线与直线垂直，可以保证直线与平面垂直的是（    ） ①四边形的两边；②正六边形的两边；③圆的两条直径；④三角形的两边. A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 4．若空间中四个不同的平面，满足，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 5．如下四个正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的共有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 6．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，为圆上一个动点，若，，则（    ） A．对任意点，都有平面 B．存在点，使得平面平面 C．的面积的取值范围是 D．二面角的平面角的取值范围是 8．在四棱柱中，平面，四边形是平行四边形，且，以为球心，半径为2的球面与侧面的交线的长度为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．以下说法正确的是（   ） A．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行 B．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直 C．如果两个平面不相交，则它们就没有公共点 D．若一条直线与一个平面不垂直，则这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直 10．设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱上，且，平面平面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面平面 C．若，则直线与平面所成角为 D．存在某个位置，使平面与平面的交线与底面平行 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知正方体棱长为2，则点到平面的距离为 . 13．在三棱锥中，AP，AB，AC两两垂直，，.以PA为直径的球O与PB，PC分别交于点D，E，则 . 14．如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分）已知四棱锥中，底面是梯形，，，，，，分别是的中点．求证：     (1)平面； (2)平面 16．（15分）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小. 18．（17分）在四棱锥中，底面是菱形，． (1)若，证明：平面平面； (2)若平面平面，且二面角的大小为，求的值． 19．（17分）如图1，在中，分别为的中点.将沿折起到的位置（与不重合），连，如图2.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面交于过的直线，求证； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，指出点位置并证明；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册·周测培优卷十九 测试内容：垂直关系 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D B A D A AC ACD 题号 11 答案 ABC 1．C 【详解】在同一平面中可作出无数条平行直线与某直线垂直，显然A、B、D错误；根据线面垂直的定义可知C正确. 故选：C 2．B 【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知： 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面. 而“垂直于内的两条直线”，没有满足相交，所以不一定能推出直线与平面垂直，但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线，即可得：“垂直于内的两条直线”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．D 【详解】对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直； 对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直； 对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直； 对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直. 所以可以保证直线与平面垂直的是③④. 故选：D 4．D 【详解】如图，在正方体中，记平面为平面，平面为平面，平面为平面，满足， 若平面为平面，满足，此时， 若平面为平面，满足，此时. 由此可得，的位置关系不确定. 故选：D. 5．B 【详解】对于第1个图，如图（1）由正方体性质得， 所以四边形是平行四边形，所以，且与不垂直，所以与不垂直； 对于第2个图，如图（2），令为所在棱中点，则由中位线性质得， 令正方体边长为1，则，即， 因为，所以，所以；    对于第3个图，如图（3），令为所在棱中点，与P重合， 连接，，由正方体结构性质可得， 令正方体边长为1，则，，， 因为，所以，所以； 对于第4个图，如图（4），令为所在棱中点，与P重合， 连接，，由正方体结构性质可得， 令正方体边长为1，则，，， 因为，所以，则与不垂直， 所以与不垂直. 所以满足的共有2个. 故选：B. 6．A 【详解】取的中点为，连接， 点E为线段的中点，则，故为异面直线EF与BD所成角或其补角； 由题意知为直角三角形，且，则为直角，即， 又平面BCD，且平面BCD，故， 平面，故平面， 而F为线段的中点。故，故平面， 平面，故， 设，则， 又，同理， 故为正三角形，则， 则异面直线EF与BD所成角的余弦值为， 故选：A 7．D 【详解】当，重合时，平面，故A错误； 取中点，则.若平面平面，则平面. 所以，但是，故不可能.故B错误； 的面积等于，故C错误. 对于D，当与（或）重合时，两个半平面重合，二面角的大小为， 当为中点时，平面，则即为二面角的平面角，大小为，此时最大，故D正确 故选：D 8．A 【详解】如图，取，连接， 因为在四棱柱中，平面， 可得四棱柱的四个侧面均为矩形，所以， 因为，所以以为球心，半径为2的球面与直线相切. 在四棱柱-中，底面为平行四边形，， 根据余弦定理可得，， 所以，故，故， 因为平面平面，所以， 而平面，所以平面， 而平面，故， 故， 所以和是球面与侧面的相交轨迹上的其中两个交点， 所以点和在以为圆心，半径为1的圆上，因为， 所以的长度为， 所以球面与侧面的交线为，且交线的长度为. 故选：A. 9．AC 【详解】对于A，过直线外一点可作一条直线与这条直线平行，经过所作直线有无数个平面与该直线平行，A正确； 对于B，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，B错误； 对于C，两个平面不相交，则它们平行，没有公共点，C正确； 对于D，正四面体的相对棱垂直，而任意棱都不垂直于对棱所在的平面，D错误. 故选：AC 10．ACD 【详解】对于A，，若，则不能推得，A错误； 对于B，由，得，而，因此，B正确； 对于C，由，得，而，因此，C错误； 对于D，由，得，而，则可能平行、可能相交、也可能是异面直线，D错误. 故选：ACD 11．ABC 【详解】对于A，平面平面，平面平面平面平面， 又平面，故A正确； 对于B，由A知平面，又平面平面平面，故B正确； 对于C，由A知平面，在矩形中，， 直线与平面所成的角为，在中， ，故C正确； 对于D，设平面平面，假设底面， 平面平面，平面平面， ，则与重合，则， 显然不成立，则假设不成立，故D错误. 故选：ABC. 12． 【详解】如图所示，E为侧面的中心， 根据正方体的特征可知平面， 平面，所以， 又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 故答案为： 13． 【详解】因为，，，所以，所以， 因为，，所以， 因为是球O的直径，D在球O上，根据直径所对的圆周角为直角， 所以，则，， 同理，， 连接，因为，所以，故，得， 在中，由余弦定理得. 故答案为：. 14． 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点， 连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，解得， 由图知，的图象过点，且在递减区间内， 所以，即， 因为，点在递减区间内，所以. 故答案为： 15．【详解】（1）如图，取的中点，连结， 因为是的中点，所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面；    （2）连结，因为，是的中点，所以， 在中，，，， 所以，由条件，所以， 又是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 16．【详解】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 17．【详解】（1）∵底面ABCD，平面ABCD， ∴.如图，连接AC． ∵底面ABCD为正方形，∴， ∵M，N分别为棱AB，BC的中点， ∴，∴， 又平面PBD， ∴平面PBD， ∵平面MNE， ∴平面平面PBD． （2）如图，设，，连接FE，则F为线段OB的中点. 易知平面平面， 由（1）知，平面PBD，平面PBD ∴， ∴∠EFB为二面角的平面角， 又底面ABCD，，， ∴， ∴， 即二面角的大小为. 18．【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，四边形是菱形，所以是等边三角形， 所以，所以， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）过作于点，连接， 由（1）可知，又平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，又二面角的大小为， 所以，在中，可得，所以， 在中，，，所以， 所以，在中，，所以， 所以. 19．【详解】（1）因为在中，分别为中点， 所以， 将翻折到的位置后，即， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）因为在中，分别为中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面， 所以. （3）在线段上存在点，即为的中点，使得平面. 证明如下： 取中点，连接， 由（1）可知，平面， 因为平面，所以， 因为为中点， 所以，即为等腰三角形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为为的中点，即， 所以四点在同一个平面. 所以平面.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$