精品解析：四川省嘉祥教育集团2024-2025学年高一下学期期中质量监测数学试题

嘉祥教育集团2024－2025学年高一下学期质量监测试题 数 学 注意事项： 1.全卷满分150分，考试时间120分钟． 2.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3.选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知向量，，若，则x =（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：A 2. 化简 的结果是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二倍角公式可得答案. 【详解】由二倍角公式：. 故选：C 3. 为得到函数的图象，只需把余弦曲线上的所有点的（    ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及三角函数平移规则判断即可. 【详解】余弦曲线上的所有点的向右平移个单位长度得到函数的图象， 故选：C. 4. 若为单位向量，，则（     ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，即可求出，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，为单位向，所以， 即，所以， 所以. 故选：D 5. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 6. 已知，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，然后由二倍角公式可得答案. 【详解】 ， 则. 故选：A 7. 筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具”．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4 米的时间为（     ） A. 9秒 B. 12秒 C. 15秒 D. 20秒 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合题意中的实际意义，确定盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为圆周，即可得到答案. 【详解】根据题意，以为坐标原点，平行于水面的直线为轴，垂直于水面的直线为轴， 建立平面直角坐标系，如图所示， 则，则，所以， 如图，盛水筒距离水面的高度为时，分别在点处， 则由对称性可得，则， 因筒车按逆时针方向每分钟转1圈，所以筒车转1圈的时间为60秒， 由上分析，盛水桶距离水面的高度不低于的时间为圆周， 所以盛水筒距离水面的高度不低于的时间为秒. 故选：D. 8. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O，若，则的值是（     ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共线定理结合平行四边形法则和已知条件，设，用平面向量基本定理求出的值，进而求的值. 【详解】因为在上，所以与共线， 设，因为，所以， 又D是BC的中点，所以，所以， ， ， 所以， 所以，即，所以，故 所以， 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列说法错误的是（     ） A. B. 若向量与共线，则存在唯一的实数使 C. 若非零向量，满足，则与的夹角为60 D. 若非零向量，满足，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量数量积及向量共线可判断；分，和时讨论可判断；根据向量的三角形法则和平行四边形法则可判断；根据垂直的向量表示及向量运算可判断. 【详解】对于：当时，与共线， 时，与共线， 而与不一定共线，所以不一定成立，故错误； 对于：若，时，向量与共线，但不存在实数使； 当时，向量与共线，但实数不唯一，任意实数都能使成立.故错误； 对于：，则以为三边的三角形为等边三角形， 则与的夹角为，所以与的夹角为，故错误； 对于：，则， 则， ，即，故正确. 故选：. 10. 已知函数，则（ ） A. B. ≤ C. 在，上单调递增 D. 若为偶函数，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由二倍角公式与辅助角公式化简函数为正弦型函数，然后由正弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，得， 所以的单调递增区间为， 故在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，，为偶函数， 所以，即， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD 11. 记△ABC中三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c．如图，M，N分别是函数与直线的两个交点，其中，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 周长的取值范围为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得.对于A，由诱导公式可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由余弦定理，基本不等式可得，据此可判断选项正误；对于C，由正弦定理边角互化可得，然后利用结合和差化积公式可判断选项正误；对于D，由正弦定理边角互化可得，然后由结合辅助角公式可判断选项正误. 【详解】由图可得，而，故， 注意到或，. 由题可得，则. 对于A，，故A错误； 对于B，， 由余弦定理，，由基本不等式， ，当且仅当取等号. 则，故B正确； 对于C， ，因，则，结合和差化积公式， 则， 因，则， 因在上单调递增，在上单调递减， 则，故C正确； 对于D，， 因是锐角三角形，，则. , 其中，，又. 因，则，又， 则在上单调递增，在上单调递减， . 因，，则. 则， 因，则. 故，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据，得到，结合向量的坐标运算，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】由点，可得， 设，因为，可得，所以， 可得，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 13. 若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数关系，结合二倍角公式，正切函数单调性可得答案. 【详解】由题可得，因， 因在上单调递增，则. 故答案为：. 14. 在中，已知，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由平面向量数量积公式和余弦定理得到，进而由余弦定理和基本不等式求出，从而求出有最大值，最大值为. 【详解】由得， 即， 又由余弦定理得：， 化简得：， ， 当且仅当时，等号成立， 将代入中，可得，满足任意两边之和大于第三边， 故有最小值，且为锐角，此时，， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故有最大值，最大值为． 故答案为： 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，且与的夹角为． （1）求； （2）若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义及运算律求解. （2）利用共线向量定理列式求解. 【小问1详解】 由，且与的夹角为，得， . 【小问2详解】 由向量与不能作为平面向量的一组基底，得与共线， 则存在实数，使得，而与不共线， 于是，解得， 所以实数的值为. 16. 已知，，． x （1）将函数化简为的形式并用五点法画出在上简图； （2）求函数取得最大值时所组成的集合，并试从向量数量积坐标表示的角度，结合数量积的定义解释的最大值为2． 【答案】（1）， 列表如下： 作图如下： （2） 令，，解得， 故函数取得最大值时所组成的集合为. 因为 ， 当且仅当时等号成立，此时与同向，夹角为0， 则函数的最大值为2． 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换化简可得，再利用五点作图法画出图象即可； （2）结合正弦函数的性质求解即可，再结合进行解释即可. 【小问1详解】 由题意，， 列表如下： 作图如下： 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）求的定义域A，并化简函数； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数m的最小值． 【答案】（1） （2）3． 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数及余弦函数定义域计算，再根据二倍角正弦及同角三角函数关系化简计算； （2）应用函数值域把恒成立转化为最值计算求解. 【小问1详解】 的定义域由满足 及的值组成， 即及， 所以 及，得，， 因此 ． 在前提下，化简函数 =． 【小问2详解】 对任意，不等式 ≤恒成立， 恒成立． 而当时，，所以实数m的最小值为3． 18. 如图，和与存在对顶角，且 ，，，且． （1）求 的大小； （2）证明：O为BD中点； （3）若，求OC的长． 【答案】（1） （2） 设，，则，. 在中，由余弦定理得： . 在中，由余弦定理得：. 由，所以. 化简得：，故为中点. （3） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理边角转化再应用余弦定理求角； （2）设，，则由余弦定理计算求解证明； （3）根据二倍角正弦及余弦公式化简求出，再应用两角和正弦求解应用正弦定理计算求值. 【小问1详解】 , 化简得：. 在中，由正弦定理得：, 由余弦定理可得：，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图：过点做，交与.则. 由（）. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由于 所以. 又，所以，所以. 所以.即. 在中，根据正弦定理，可得：. 19. 声音的本质是介质振动形成的波，其基本特性可分解为三个正弦函数参数：频率决定音高（单位Hz），振幅对应响度（dB），相位差反映波形偏移．复杂声波通过傅里叶变换可展开为多个幅度、频率各异的正弦波叠加，如乐器声包含基频与泛音列的正弦组合．请根据你所学的研究一个函数的性质，探究谐音函数的性质，请补充解答完整： 函数的自变量x的取值范围是R． 显然有，函数是奇函数，图象关于原点对称. （1）函数的一个周期为　 　　　，简要说明理由； （2）求出函数f（x）的零点； （3）对称轴的定义：‌若存在直线，使得对任意，有，则称函数关于直线对称．试判断函数‌有无对称轴？若有，求出对称轴方程并证明；若无，说明理由． 【答案】（1），理由如下： 的周期分别为、、​，其最小公倍数为 ． ． 所以，函数的一个周期为． （2）， （3）无对称轴，理由如下： 假设存在对称轴，展开方程‌ 将条件代入函数 ， 利用三角恒等式展开各项： ， ， 整理后方程变为：左侧减去右侧得： 由于等式需对任意 成立，故所有系数必须为零． 令各项系数为零：‌①，解得 （ 为整数）． ②，解得 ．（ 为整数） ③，解得 ．（ 为整数） 上述三个条件需同时满足，，，为整数， 显然‌无共同解‌： ∴函数 没有对称轴‌. 【解析】 【分析】（1）由周期的概念即可判断； （2）化简，问题转换成，即可求解； （3）由对称性的定义即可判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为＞0， 所以令， 得， 因此，， 所以函数的零点‌为，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥教育集团2024－2025学年高一下学期质量监测试题 数 学 注意事项： 1.全卷满分150分，考试时间120分钟． 2.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3.选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知向量，，若，则x =（    ） A. B. C. D. 2. 化简 的结果是（     ） A. B. C. D. 3. 为得到函数的图象，只需把余弦曲线上的所有点的（    ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 若为单位向量，，则（     ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 6. 已知，则的值为（    ） A. B. C. D. 7. 筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具”．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4 米的时间为（     ） A. 9秒 B. 12秒 C. 15秒 D. 20秒 8. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O，若，则的值是（     ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列说法错误的是（     ） A. B. 若向量与共线，则存在唯一的实数使 C. 若非零向量，满足，则与的夹角为60 D. 若非零向量，满足，则 10. 已知函数，则（ ） A. B. ≤ C. 在，上单调递增 D. 若为偶函数，则的最小值为 11. 记△ABC中三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c．如图，M，N分别是函数与直线的两个交点，其中，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 周长的取值范围为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 第Ⅱ卷（选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为_______． 13. 若，，则_______． 14. 在中，已知，则的最大值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，且与的夹角为． （1）求； （2）若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数的值． 16. 已知，，． x （1）将函数化简为的形式并用五点法画出在上简图； （2）求函数取得最大值时所组成的集合，并试从向量数量积坐标表示的角度，结合数量积的定义解释的最大值为2． 17. 已知函数． （1）求的定义域A，并化简函数； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数m的最小值． 18. 如图，和与存在对顶角，且 ，，，且． （1）求 的大小； （2）证明：O为BD中点； （3）若，求OC的长． 19. 声音的本质是介质振动形成的波，其基本特性可分解为三个正弦函数参数：频率决定音高（单位Hz），振幅对应响度（dB），相位差反映波形偏移．复杂声波通过傅里叶变换可展开为多个幅度、频率各异的正弦波叠加，如乐器声包含基频与泛音列的正弦组合．请根据你所学的研究一个函数的性质，探究谐音函数的性质，请补充解答完整： 函数的自变量x的取值范围是R． 显然有，函数是奇函数，图象关于原点对称. （1）函数的一个周期为　 　　　，简要说明理由； （2）求出函数f（x）的零点； （3）对称轴的定义：‌若存在直线，使得对任意，有，则称函数关于直线对称．试判断函数‌有无对称轴？若有，求出对称轴方程并证明；若无，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $