概率与统计（2）- 专题训练卷 内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》第100卷（原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》，依据《内蒙古自治区高等职业院校对口招收中等职业学校毕业生数学考试指导纲要》编写。本套试卷共110份：第一部分是按照考试大纲编写的78份知识点训练卷。第二部分是函数、三角函数、数列等七个模块的22份专题训练卷。第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本试卷是内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》的第100卷，是专题训练卷-概率与统计（2），试卷内容覆近5年内蒙古对口招生考试在本章节的必考考点与高频考点。 内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》 第100卷 概率与统计（2） 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级：___________姓名：___________学号：___________成绩:___________ 一、选择题：（本大题共12个小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先运用组合数计算出五个人中选取三人的基本事件的总数， 再得出甲、乙都当选的基本事件的数量，最后由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】五个人中选取三人参加演讲比赛共有个基本事件， 甲、乙都当选的基本事件有个， 所以甲、乙都当选的概率为， 故选：C. 2．一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽出一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽得的热水器台数是（   ） A．甲厂9台，乙厂5台 B．甲厂8台，乙厂6台 C．甲厂10台，乙厂4台 D．甲厂7台，乙厂7台 【答案】B 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【详解】根据分层抽样的定义可得抽到甲厂的热水器台数为， 抽到乙厂的热水器台数为. 故选：B. 3．从中任取2个不同的数，则两数之和为偶数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用组合公式结合古典概型求概率即可. 【详解】从中任取2个不同的数，共有种， 两数之和为偶数的有，，，，，，共有6种； 则两数之和为偶数的概率为； 故选：A. 4．由数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据位置限制法，先考虑个位，再运用排列数计算即可. 【详解】首先考虑个位有种排列方法， 所以奇数共有个. 故选：C. 5．某次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做2个小题，在第2题的6个小题中选做2个小题，则不同的选法有（     ）种． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分步计数原理和组合的知识进行求解. 【详解】第一步从第1题的4个小题选做2个，即，第二步从第2题的6个小题中选做2个，即， 故不同的选法由. 故选：C. 6．已知的展开式的第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（     ） A．80 B．40 C． D． 【答案】A 【分析】先根据组合数性质得到，再根据二项式展开式通项，即可求解. 【详解】因为二项式第3项与第4项的二项式系数相等， 即，结合组合数性质， 得到，即， 将代入二项式通项公式，得到， 即展开式中的系数为， 故选：A. 7．已知，若，则（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】令和，结合二次项的展开式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 又，所以，解得． 故选：B. 8．已知二项式，若，则实数等于（     ） A．3 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由二项式定理的通项公式即可求解. 【详解】，二项式展开式的通项公式为， ，又，，即，解得. 故选：C. 9．若，则整数（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据排列组合的两个公式即可求解. 【详解】， ， 因为， 所以， 得， 故选：A 10．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在范围内空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图所示，某市2022年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据.若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析.则“空气质量为一级的恰好抽取了2天”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由古典概型的定义及排列组合的应用即可得解. 【详解】由图易知第3,8,9,10天的空气质量为一级,共4天. 故所求事件的概率为. 故选:． 11．某班男、女生人数如下表所示，从中随机选取2人参加活动，则恰好选中男、女生各一人的概率为（     ） 性别 男生 女生 人数 10 30 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意,求出所有的情况,看恰好选中男、女各一人的情况数占总情况数的多少即可. 【详解】从表中知,男士人,女生人,共人, 从中选取2人有种选法,恰好有一男生,一女生有种选法, 恰好选中男、女生各一人的概率为 故选:D 12．一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次是，，（），当且仅当且时称为“凸数”.若，，均属于，则三位数是“凸数”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求出三位数共有几种排法，再分情况求得三位数为“凸数”有多少种情况，再利用古典概型，即可求解. 【详解】根据题意，若，，均属于，且两两不相等，可组成个不同的三位数； 其中当时，“凸数”有个； 当时，“凸数”有个； 当时，“凸数”有0个； 当时，“凸数”有0个； 所以三位数是“凸数”有个， 所以三位数是“凸数”的概率为. 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13．从的展开式各项的系数中任取2个，其和为奇数的概率是 ． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式所有项的系数，求出系数为奇数的个数，利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为， 所以的展开式各项的系数分别为：， 即， 其中有4项为奇数，有2项的系数为偶数， 所以其和为奇数的概率为. 故答案为：. 14．中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的常见表述为“任一大于2的偶数都可以表示为两个素数的和” ，如，，，，，现从，，，这四个素数中 随机取两个不同的数，这两数的和不等于18的概率是 ． 【答案】 【分析】先求取两个不同的数有几种选择，求出两数的和不等于18有几种选择，然后根据概率公式可求. 【详解】随机取两个不同的数可能是和；和；和；和；和；和，共种， 两数的和不等于18，，，，，共有4种， 则这两数的和不等于18的概率是. 故答案为：. 15．在的展开式中，常数项为 ． 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式列出，再令的指数为0求出即可. 【详解】已知， 则， 当，即时，． 故答案为：. 16．已知，则 . 【答案】0 【分析】利用赋值法即可得解. 【详解】因为， 令，得. 故答案为：0. 17．若，则 ． 【答案】6 【分析】根据列式求值即可. 【详解】已知， 由可得， 解得， 故答案为：6. 18．如图，三个开关控制着号四盏灯，其中开关控制着号灯，开关控制着号灯，开关控制着1，2，4号灯．开始时，四盏灯都亮着．现先后按动这三个开关中的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为 ．    【答案】 【分析】利用分类加法计数原理、排列数分类讨论计算即可. 【详解】先后按动中的两个不同的开关，有（种）按法． 若要1号灯亮，则先按第一个开关时，1号灯灭，再按第二个开关时，1号灯亮， 此时对应的按法有2种，即； 同理可得，若要2号灯亮，有，即2种按法． 综上，要1号灯或2号灯亮有（种）按法，故所求的概率． 故答案为： 三、解答题：（本大题共6个小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19．（本小题满分8分） 已知的展开式中二项式系数最大的项是第5项，问展开式中是否含有常数项. 【答案】没有常数项 【分析】根据题意可确定n的值，继而求得二项展开式的通项公式，令x的指数等于0，即可得出答案. 【详解】因展开式中二项式系数最大的项是第5项， 所以二项式系数中应当为最大值， 所以，即， 设为常数项，， 所以，即， 所以展开式中没有常数项. 20．（本小题满分8分） 一个坛子里有5个小球，其中3个红球，2个白球．求： (1)从中任取两个球，都是白球的概率是多少？ (2)从中任取两个球，至少有一个白球的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用组合数公式及古典概型的概率公式计算即可； （2）先计算2个球都是红球的概率，再对立事件的概率公式求解. 【详解】（1）从袋中5个球中任取2个球，共有种取法，其中2个球都是白球的取法为， 所以选出的2个球都是白球的概率为. （2）从袋中5个球中任取2个球，共有种取法，其中2个球都是红球的取法为， 所以选出的2个球都是红球的概率为， 所以至少有一个白球的概率是． 21．（本小题满分10分） 一个袋中装有四个形状，大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4． (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取出一个球，该球的编号为，将球放回袋中，再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的编号之和不大于4的事件有两个，两种情况，求比值即可. （2）有放回的取球根据分步计数原理可知有16种结果，再列举满足条件的结果，即可求解. 【详解】（1）设“从袋中随机取两个球，取出的球的编号之和不大于4”为事件， 样本空间为，共有6个样本点． 事件包含的样本点有，，共有2个， ． （2）设“”为事件，样本空间为， 共有16个样本点， 事件包含的样本点有，，，，，，，，，，共有10个， ． 22．（本小题满分10分） 在的展开式中，末尾三项的二项式系数之和为.求 (1)的值； (2)展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，即，解得即可； （2）利用（1）中结论，结合二项展开通项公式即可得解. 【详解】（1）因为在的展开式中， 末尾三项的二项式系数之和为， 所以，所以， 所以，所以， 所以或（舍）. （2）由（1）可知，， 则展开式的第项为， 令，得，即第3项为常数项， 该项为. 23．（本小题满分12分） 已知中，且． (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式结合求值即可. （2）运用赋值法，分别令，令求出值相减可得出的值，再取绝对值即可. 【详解】（1）已知，且， 则为第四项的系数，所以， 则，解得. （2）由（1）可得，， 所以 令，则 令，则 两式相减，得 所以. 24．（本小题满分12分） 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格. (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 【答案】(1)甲考试合格的概率为，乙考试合格的概率为 (2)甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 【分析】（1）设甲乙两人考试合格分别为事件A、B，根据古典概型可求解； （2）因为事件A、B相互独立，先计算“甲、乙两人考试均不合格的概率”，由“甲、乙两人考试均不合格”与'甲、乙两人至少有一人考试合格”为对立事件，根据独立事件的概率公式，计算可得答案. 【详解】（1）设甲乙两人考试合格分别为事件A、B，由题知， ； . 所以甲考试合格的概率为，乙考试合格的概率为； （2）因为事件A、B相互独立.所以甲、乙两人考试均不合格的概率为 所以甲乙两人至少有一人考试合格的概率为 . 故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》，依据《内蒙古自治区高等职业院校对口招收中等职业学校毕业生数学考试指导纲要》编写。本套试卷共110份：第一部分是按照考试大纲编写的78份知识点训练卷。第二部分是函数、三角函数、数列等七个模块的22份专题训练卷。第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本试卷是内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》的第100卷，是专题训练卷-概率与统计（2），试卷内容覆近5年内蒙古对口招生考试在本章节的必考考点与高频考点。 内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》 第100卷 概率与统计（2） 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级：___________姓名：___________学号：___________成绩:___________ 一、选择题：（本大题共12个小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为（     ） A． B． C． D． 2．一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽出一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽得的热水器台数是（   ） A．甲厂9台，乙厂5台 B．甲厂8台，乙厂6台 C．甲厂10台，乙厂4台 D．甲厂7台，乙厂7台 3．从中任取2个不同的数，则两数之和为偶数的概率为（     ） A． B． C． D． 4．由数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．某次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做2个小题，在第2题的6个小题中选做2个小题，则不同的选法有（     ）种． A． B． C． D． 6．已知的展开式的第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（     ） A．80 B．40 C． D． 7．已知，若，则（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．已知二项式，若，则实数等于（     ） A．3 B．1 C． D．2 9．若，则整数（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 10．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在范围内空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图所示，某市2022年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据.若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析.则“空气质量为一级的恰好抽取了2天”的概率为（     ） A． B． C． D． 11．某班男、女生人数如下表所示，从中随机选取2人参加活动，则恰好选中男、女生各一人的概率为（     ） 性别 男生 女生 人数 10 30 A． B． C． D． 12．一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次是，，（），当且仅当且时称为“凸数”.若，，均属于，则三位数是“凸数”的概率为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13．从的展开式各项的系数中任取2个，其和为奇数的概率是 ． 14．中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的常见表述为“任一大于2的偶数都可以表示为两个素数的和” ，如，，，，，现从，，，这四个素数中 随机取两个不同的数，这两数的和不等于18的概率是 ． 15．在的展开式中，常数项为 ． 16．已知，则 . 17．若，则 ． 18．如图，三个开关控制着号四盏灯，其中开关控制着号灯，开关控制着号灯，开关控制着1，2，4号灯．开始时，四盏灯都亮着．现先后按动这三个开关中的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为 ．    三、解答题：（本大题共6个小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19．（本小题满分8分） 已知的展开式中二项式系数最大的项是第5项，问展开式中是否含有常数项. 20．（本小题满分8分） 一个坛子里有5个小球，其中3个红球，2个白球．求： (1)从中任取两个球，都是白球的概率是多少？ (2)从中任取两个球，至少有一个白球的概率是多少？ 21．（本小题满分10分） 一个袋中装有四个形状，大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4． (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取出一个球，该球的编号为，将球放回袋中，再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率． 22．（本小题满分10分） 在的展开式中，末尾三项的二项式系数之和为.求 (1)的值； (2)展开式中的常数项. 23．（本小题满分12分） 已知中，且． (1)求m的值； (2)求的值． 24．（本小题满分12分） 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格. (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$