5.4 分式方程 第3课时 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

第五章 分式与分式方程 5.4 分式方程 第3课时 分式方程的应用 1.会分析题意找出等量关系，会列出分式方程解决工程、行程问题. 2.能结合实际问题的情境对分式方程的解进行检验. 3.在探究分式方程的应用的过程中，体会建立分式方程模型的作用. 学习目标 1.解分式方程的基本思路是什么？ 2.解分式方程有哪几个步骤？ 3.验根有哪几种方法？ 分式方程 整式方程 转化 去分母 一化二解三检验 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法. 复习导入 探究 1 行程问题 某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km， 提速后比提速前多行驶50 km， 提速前列车的平均速度为多少？ 表格法分析： 速度 时间 路程 提速前 提速后 等量关系： 提速前与提速后所用时间相同 设提速前列出的平均速度为 x km/h. 探究新知 解：设提速前列车的平均速度为x km/h，由题意得　　 方程两边都乘以x(x+v),得 s(x+v)=x(s+50) 解得 x = 检验：由于v，s 都是正数，当x = 时x（x+v）≠0， 所以，x = 是原分式方程的解，且符合题意. 答：提速前列车的平均速度为 km/h．　 行程问题 1.注意关键词“提速”与“提速前”的区别； 2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来； 3.行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程. 知识归纳 两个工程队共同参与一项筑路工程， 甲队单独施工1个月完成总工程的 三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 表格法分析： 工作 时间 工作 效率 工作 总量 甲队 乙队 等量关系： 甲队的工作总量+乙队的工作总量=“1” 设乙单独完成这项工程需要x天. 探究 2 工程问题 探究新知 解：设乙单独完成这项工程需要x个月，根据题意得 方程两边都乘以2x,得 解得 x=1. 检验：当x=1时，6x≠0. ∴ 原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. x+1=2x 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:清题意，并设未知数； 2.找:相等关系； 3.列:出方程； 4.解:这个分式方程； 5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根； (2)是否符合题意）； 6.写:答案. 知识归纳 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？ 解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程． 解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时． 由题意得 . 解得x＝6. 经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9. 答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时． 例 题 探究 3 销售问题 某学校食堂需采购部分餐桌，现有A，B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的便宜13元.若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为( ) A.117元 B.118元 C.119元 D.120元 解:设A商家每张餐桌的售价为x元、则B商家为(x+13)元 探究新知 销售问题:利润＝成本×利润率; 定价=成本×(1+利润率); 售价=标价×折扣率; 利润＝售出价－成本. 知识归纳 分式方程的应用 类型 行程问题、工程问题、数字问题、 顺逆问题、利润问题等 方法 步骤 一审二设三找四列五解六验七写 321法 课堂小结 知识点　分式方程的应用 1.为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行， 甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小 时比乙多骑行2千米.设甲每小时骑行x千米，根据题意列出的方程正确 的是（　A　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ A 随堂练习 2.某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5 000元，购买篮球用了4 000元，篮球的单价比足球的单价贵30元.根据题意可列方程 ＝ －30，则方程中的x表示（　D　） A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 D 3.（2024·西安校级月考）某工程队承担了3 000米河道的清淤任务， 为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比 原计划增加25％，结果提前30天完成这一任务.设原计划每天完成x米的 清淤任务，则所列方程正确的是（　D　） D A. ＋30＝ B. ＋30＝ C. ＝ ＋30 D. ＝ ＋30 4.“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次孔子和学生们到距离 他们住的驿站15千米的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘 牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍.若孔子和学生们同时到达书院， 设学生们步行的速度为每小时x千米，则可列方程 ⁠. ＝ ＋1　 5.（2024·自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织 了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽 子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同. 求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子. 解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包 （x＋20）个粽子. 根据题意，得 ＝ ，解得x＝80. 经检验，x＝80是原方程的根， ∴x＋20＝100. 答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个 粽子. 6.如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水 污染. 进货单 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况的回忆如下. 李阿姨：我记得甲商品的进价比乙商品的进价每件高50％. 王师傅：甲商品的数量比乙商品的数量多40件. 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单. 解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（1＋50％）x元/件. 依题意，得 － ＝40，解得x＝40. 经检验，x＝40是原方程的根，且符合题意， ∴（1＋50％）x＝60， ＝80， ＝120. 答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120 件，购进乙商品80件. 7.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题目的大意是：把一份文件用慢马送到900里（里：我国古代距离单位.一里＝500米）外的城市，需要的时间比规定的时间多一天.如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定的时间.设规定的时间为 x天，则可列方程为（　A　） A. ×2＝ B. ＝ ×2 C. ＝ ×2 D. ×2＝ A 8.甲、乙两个施工队合作完成某居民小区的绿化改造工程，乙施工 队先单独施工2天后，再由甲、乙两个施工队合作10天就能完成全部工 程.已知乙施工队单独完成此项工程所需的天数是甲施工队单独完成此 项工程所需天数的 ，则乙施工队单独完成此项工程需 天. 20　 9.六一儿童节将至，张老板计划购进A型玩具和B型玩具进行销售，已知用 1 200元购买A型玩具的数量比用1 500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍. （1）求A型玩具和B型玩具的进价分别为多少元； 解：（1）设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价为1.5x元/个. 由题意，得 － ＝20，解得x＝10. 经检验，x＝10是原方程的根，∴1.5x＝15. 答：A型玩具的进价为10元/个，B型玩具的进价为15元/个. （2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板 购进A，B型玩具共 75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购 进多少个？ 解：（2）设购进A型玩具m个，则购进B型玩具（75－m）个. 根据题意，得（12－10）m＋（20－15）（75－m）≥300， 解得m≤25. 答：A型玩具最多购进25个. 10.为了激发广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意 识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖 若干名，并购买了相应的奖品.现有经费1 275元用于购买奖品，且经费 全部用完.已知一等奖的奖品单价与二等奖的奖品单价之比为4∶3，当 用600元购买一等奖的奖品时，可购买一、二等奖的奖品共25件. （1）分别求一、二等奖的奖品的单价； 解：（1）设一等奖的奖品的单价为4x元， 则二等奖的奖品的单价为3x元. 依题意，得 ＋ ＝25， 解得x＝15. 经检验，x＝15是原方程的根，且符合题意， ∴4x＝60，3x＝45. 答：一等奖的奖品的单价为60元，二等奖的奖品的单价为45元. （2）若购买一等奖的奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几 种购买方案？ （2）设购买m件一等奖的奖品、n件二等奖的奖品. 依题意，得60m＋45n＝1 275， ∴n＝ . ∵m，n均为正整数，且4≤m≤10， ∴ 或 或 方案一：购买4件一等奖的奖品、23件二等奖的奖品； 方案二：购买7件一等奖的奖品、19件二等奖的奖品； 方案三：购买10件一等奖的奖品、15件二等奖的奖品. ∴共有三种购买方案： $$